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高中数学第一章集合1-1集合与集合的表示方法学习导航学案新人教B版必修1

高中数学第一章集合 1-1 集合与集合的表示方法学习导航学 案新人教 B 版必修 1
自主整理 1.与集合有关的概念 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是 由这些对象的全体构成的集合(或集).常用大写字母 A、B、C、D……表 示;构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员),常用小写字母 a、 b、c、d……表示. 2.元素与集合的从属关系 a 是集合 A 的元素,记作 a∈A,读作“a 属于 A”;a 不是集合 A 的元素, 记作 aA,读作“a 不属于 A”.? 3.空集
一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作. ?
4.集合元素的特征 (1)确定性:对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的. (2)互异性:对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的. (3)无序性:对于一个给定的集合,它的任何两个元素的位置都是可以交 换的.
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5.集合的分类 集合按照元素个数可以分为有限集和无限集. (1)有限集——含有有限个元素的集合. (2)无限集——含有无限个元素的集合. 6.一些常见的数集及其记法 全体非负整数组成的集合,叫做非负整数集(或自然数集),记作 N; 所有正整数组成的集合,叫做正整数集,记作 N*或 N+; 全体整数组成的集合,叫做整数集,记作 Z; 全体有理数组成的集合,叫做有理数集,记作 Q; 全体实数组成的集合,叫做实数集,记作 R. 7.集合的表示方法 (1)列举法: 把集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内,元素之间用逗号 分隔,但列举时与元素的次序无关. 注意:如果两个集合所含的元素完全相同,则称这两个集合相等. (2)特征性质描述法: 如果在集合 I 中,属于集合 A 的任一元素 x 都具有性质 P(x),而不属于 集合 A 的元素都不具有性质 P(x),则性质 P(x)叫做集合 A 的一个特征 性质.于是,集合 A 可以用它的特征性质 P(x)描述为{x∈I|P(x)},它表 示集合 A 是由集合 I 中具有性质 P(x)的所有元素构成的.
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高手笔记 1.集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合,最 好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合 元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合的理 解. 2.元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系, 可在具体运用中逐渐熟悉. 3.学习列举法时,要知道集合中元素的列举与元素次序无关,即集合元 素的无序性.学习特征性质描述法时,可针对具体的集合,先用自然语言 表示集合的元素具有的共同属性,再用描述法来表示集合. 4.列举法和描述法在表示集合时各有优点,一般情况下,对有限集,在元 素不太多的情况下,宜采用列举法,它具有直观明了的特点;对无限集, 一般采用描述法. 5.对于含参数的集合问题,要注意元素的互异性、分类讨论思想的应用. 名师解惑 1.怎样正确地理解集合、元素及其关系? 剖析: (1)集合是由元素构成的,认识集合应该从认识它的元素开始: ①不能把整数集与{整数集}看作是相同的集合,因为前一个集合的元素 是整数,而后一个集合中的元素是集合;
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②a 与{a}不同,a 表示一个元素,{a}表示由一个元素 a 构成的集合,一 般称{a}为单元素集; ③{0}是含有一个元素 0 的集合,同理,{}是含有一个元素的集合,而却
是不含有任何元素的集合,三者都表示集合,但却是三个不同的集合. ? ??
(2)研究集合还应着眼对元素构成的“全体”的整体研究. 集合可以由离散型元素构成(例如{π ,2π ,3π }),也可以由连续型元素 构成(例如{x|-3≤x<7}),还可以由有序实数对构成({(x,y)|5x+6y=3,x、 y∈R})等等,有时还要研究不给出具体元素的抽象集合. (3)元素与集合是“属于”与“不属于”的关系.符号“∈,”只能用于 集合与元素之间,表示元素与集合之间的从属关系,不能用来表示集合 与集合之间的关系,这一点千万要记准.? 2.集合的表示法常见的有描述法和列举法,通过本节学习你能归纳如何 选择这两种方法吗? 剖析: (1)当集合中元素的个数有限但公共属性难以概括时,只能用列举法,如 {x,x2+1,x-y}. (2)当集合中元素的个数无法一一列出时,可先抽象出元素的特征性质, 用描述法描述它. (3)当集合的元素不是实数或式子,常采用自然语言表示,当用自然语言
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来描述集合中元素的特征和性质时,分隔号及前面的部分常常省去.如 “所有四边形组成的集合”记为{x|x 是四边形}.在不致混淆的情况下, 可以省去“|”及其左边的部分,直接写成{四边形}. (4)对于用自然语言描述的集合,要试着分别用列举法和描述法去表示 它,如 B={大于 10 且小于 20 的整数},可以写作 B={x∈Z|10<x<20}或 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.这说明描述法、列举法也可相互转 化,同时也可转化成自然语言表示. (5) 在 不 致 引 起 混 淆 的 情 况 下 , 所 有 的 非 负 数 组 成 的 集 合 可 记 为 {x|x≥0}.当集合是数集时,在没有标明 x 范围的前提下,我们认为 x 的 值是使式子有意义的所有 x 的值.如{y|y=},此时我们认为 x∈R 且 x≠0, 由反比例函数的性质,可知该集合可化为{y|y∈R 且 y≠0}. 1
x
3.为何说用描述法表示的集合,认识它要看清集合的代表元素是什么? 在使用描述法时,应注意什么? 剖析: (1)描述法是将所给集合中全部元素的共同特征和性质用文字或符号语 言描述出来的方法,它反映了集合元素的形式. 如{y|y=x2-2x+3}与{y|y≥2}、{x|x≥2}均为同一集合; 又 如 , 集 合 A={y|y=x2-2x+3,x∈R},B={y|y=x2-2x+3,x>2} 与 C={(x,y)|y=x2-2x+3} 不 是 同 一 集 合 . 这 是 因 为 集 合 A={y|y=x22x+3,x∈R}中的代表元素是“y”,它代表一个数,所以集合 A 是个数集,
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且 A={y|y=(x-1)2+2}={y|y≥2};集合 B 同样也是一个数集,但由于 x 的 取值不一样,所以有 B={y|y=(x-1)2+2,x>2}={y|y>3},与 A 并不是同一 集合;而集合 C 中的代表元素为“(x,y)”,代表直角坐标平面上的点, 因此集合 C 是个点集,表示坐标平面上抛物线 y=x2-2x+3 上的所有点. (2)在使用描述法时,应注意以下五点: ①写清楚该集合中元素的代表符号; ②说明该集合中元素的特征; ③多层描述时,应当准确使用“或”“且”“非”等逻辑联结词; ④所有描述的内容都要写在集合括号内; ⑤用于描述的语句力求简明、确切,如{x|x 为中国的直辖市}. 讲练互动 【例题 1】下列各组对象能构成集合吗? (1)你所在班级的男生; (2)美丽的小鸟; (3)关于 x 的方程 ax2+1=0 的实数解; (4)从 1988 年到 2004 年所有举办过奥林匹克运动会的城市; (5)所有小的正数; (6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点. 分析:“美丽”和“小”没有确定的标准,因此(2)(5)的对象不能构成 集合,(3)中的方程可能有实数解,也可能没有实数解,但一旦 a 给定后,
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其方程解的情况就是确定的.

解:(1)(3)(4)(6)可以构成集合;(2)(5)不能构成集合.

绿色通道

看一组对象能否构成一个集合,只要看这组对象是否是确定的,即任何

一个对象,要么在这一组中,要么不在这组之中,而没有第三种情况出现.

变式训练

1.下列各组对象中不能构成集合的是( )

A.高一年级开设的课程

B.高一年级任教的老



C.高一年级 1992 年出生的学生

D.高一年级比较聪明

的学生

解析:依据集合元素的确定性判断.

答案:D

【例题 2】已知 x2∈{1,0,x},求实数 x 的值.

分析:根据集合与元素关系,可知 x2=0,1 或 x,但考虑元素的互异性,则

有 x≠0,1.

解:若 x2=0,则 x=0,此时集合为{1,0,0},不符合集合元素的互异性;

若 x2=1,则 x=1 或-1,易知 x=1 应舍去,故 x=-1;

若 x2=x,则 x=0 或 1,都应舍去.

综上,可知 x 为-1.

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绿色通道 此类问题求解时,注重对集合元素互异性的检验和分类讨论思想的应用. 要先由集合与元素的关系讨论 x2=0,1 或 x 时,x 所对应的取值,然后去 建立集合,注意用集合元素的互异性判断集合的成立与否. 变式训练 2. 设 -5∈{x|x2-ax-5=0}, 则 集 合 {x|x2-4x-a=0} 中 所 有 元 素 之 和 为 __________. 解析:∵-5∈{x|x2-ax-5=0}, ∴-5 是方程 x2-ax-5=0 的解. ∴(-5)2-a(-5)-5=0. ∴a=-4. ∴{x|x2-4x-a=0}={x|x2-4x+4=0}={2}. 答案:2 3.已知由“x,xy,”组成的集合与由“0,|x|,y”组成的集合是同一个 集合,则 x,y 的值是否是确定的?若确定,请求出来;若不确定,则说明 理由. x - y 分析:两个集合是同一个集合,必须是两个集合的元素完全相同,而后一 个集合出现元素“0”,因而第一个集合中也必出现元素“0”,它有三 种情况.结合元素的特性对它进行讨论即可. 解:若 x=0,则 xy=0,这与元素互异性矛盾,∴x≠0.
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若 x≠0,xy=0,则 y=0,则第二个集合的元素中出现了两个“0”,

这与元素互异性矛盾,∴xy≠0.

综上,可知=0,即 y=x.由两个集合是同一个集合,可知 x - y

xy=|x|,即 x2=|x|.∴x=±1.当 x=1 时,y=1,这与元素互异性矛盾.

∴x=y=-1.

故 x,y 是确定的,x=y=-1.

【例题 3】比较并说明下列两个集合之间的差异:

(1)A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={y|y=x2,x∈R};

(2)A={x|x2-6x-7=0},B={(x,y)|}.

?2x ??3x

? ?

y?5 2y ? 11

分析:要确定一个集合,必须从这个集合中的元素入手,只有确定了这个

集合中元素的特征,才可以确定这个集合.对于本例中给出的每组集合

中两个集合的元素,可以发现:一个是数,一个是实数对(点).

解:(1)集合 A 是一个点集,是由函数 y=x2 图象上的所有的点构成的集

合;集合 B 是数集,是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元

素显然是不同的.

(2)化简两个集合可以得到:A={-1,7},B={(-1,7)}.集合 A、B 分别是方

程、方程组解的集合,但 A 中有两个元素-1,7,而 B 中只有一个元素(-

1,7).

绿色通道

比较两个集合间的关系关键在于清楚代表元素的形式是点、数还是代

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数式……另外要注意理解元素所具备的特征性质描述的意义及新字母

的取值范围,即代表元素形式一样时,注意区分它的“来源”.如:集合

A={x|y=x2},B={y|y=x2},两个集合中的元素都是数,但是 A 描述的对象

为 x,它是 y=x2 中 x 的范围所构成的集合,此时 x∈R;B 描述的对象为 y,

它是 y=x2 中 y 的范围所构成的集合,此时 y∈R+,所以两个集合是不一

样的.

变式训练

4.下面各集合中,可以表示方程组的解集的是______.

?x ??x

? y ? 3, - y ? -1

①{x=1,y=2} ②{1,2} ③{(1,2)} ④{(x,y)|x=1 或 y=2}

⑤{(x,y)|x=1 且 y=2} ⑥{(x,y)|} ⑦{(x,y)|(x-1)2+(y-

2)2=0}

?x ??y

? ?

1 2

解 析 : 方 程 组 的 解 是 一 组 数 对 (1,2), 所 以 解 集 可 用 列 举 法 表 示 为

{(1,2)},也可用特征性质描述法表示为{(x,y)|}

?x ??y

? ?

1 2

?x ??y

? ?

1 2

并且③⑤⑥⑦相互等价.所以可以表示方程组解集的集合为③⑤⑥⑦;

①中两个元素是两个方程;②中两个元素是两个数,它们都不能表示方

程组的解集;④中的元素虽也是数对(x,y),也能表示直角坐标平面上的

点集,问题是 x=1 和 y=2 之间用“或”连接,表示的却是直线 x=1 与直

线 y=2 上所有点的集合.

答案:③⑤⑥⑦

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【例题 4】设集合 A={x|∈Z,x∈N},试用列举法表示该集合. 6
3? x
分析:由∈Z,可知 3-x 必为 6 的因数,且 3-x 取遍 6 的诸因数,然后再验 证 x∈N 即可. 6
3? x
解:∵∈Z,∴3-x 可取±1、±2、±3、±6. 6
3? x
又 x∈N,∴A={0,1,2,4,5,6,9}. 黑色陷阱 本题可能会有如下错误解法:∵x∈N,∈Z,∴可取 2,3,6,-6,-3,-2,-1. 故 A={-6,-3,-2,-1,2,3,6}. 6 6
3?x 3?x
这是因为解题者没有弄清集合 A 所描述的对象.要注意 A 的对象是 x.还 有一种错误是认为 6 的因数只有 1,2,3,6,从而遗漏了 6 的负因数的情 况. 变式训练 5.对于集合 A={2,4,6},若 a∈A,则 6-a∈A,那么 a 的值是_________. 解析:若 a=2,则 6-a=4∈A;若 a=4,则 6-a=2∈A;若 a=6,则 6-a=0A,所 以 a 的值是 2 或 4.? 答案:2 或 4 6.集合 M 的元素为自然数,且满足:如果 x∈M,则 8-x∈M.试回答下列问 题: (1)写出只有 1 个元素的集合 M; (2)写出元素个数为 2 的所有集合 M;
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(3)满足题设条件的集合 M 共有多少个? 分析:此题关键在于理解“如果 x∈M,则 8-x∈M”,并要注意集合中元 素的互异性. 解:(1)因为 M 中只有 1 个元素,根据已知条件,x 必须满足 x=8-x. 所以 x=4. 故只含 1 个元素的集合 M 为{4}. (2)当 M 中只含有 2 个元素时,其元素只能是 x 和 8-x,从而含有 2 个元 素的集合 M 应为{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}. (3)满足题设条件的 M 是由集合{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}中的元 素组合而成.以上 5 个集合中任取 1 个集合有 5 种;5 个集合中任取 2 个 集合有 10 种;5 个集合中任取 3 个集合有 10 种;5 个集合任取 4 个集合 有 5 种;5 个集合都取,只有 1 种.故满足已知条件的集合 M 共有 5+10+10+5+1=31 种. 教材链接 1.[思考与讨论] 你能否确定,你所在班集体中高个子同学构成的集合?并说明理由. 答:不能确定.因为“高个子”是个不确定性的概念,不满足集合中元素 的确定性. 2.[思考与讨论] 你能否确定,你所在班集体中,最高的 3 位同学构成的集合?
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答:能确定.因为“最高”可确定,最高的 3 位同学就是从高到低依次排 的 3 名同学,满足集合元素的特性. 3.[思考与讨论] 哪些性质可作为集合{-1,1}的特征性质? 答 : 特 征 性 质 描 述 法 中 的 元 素 的 特 征 性 质 P(x) 不 唯 一 , 可 描 述 为 x2=1,|x|=1 等. 4.[思考与讨论] 平行四边形的哪些性质,可用来描述所有平行四边形构成的集合? 答:①两组对边分别平行的四边形;②在平面内,两组对边相等的四边 形;③对角线相交且平分的四边形.
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