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高中数学人教A版必修一优化练习:第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性 含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]

1.若函数 f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数 f(x) 在区间(a,c)上( A.必是增函数 B.必是减函数 C.是增函数或是减函数 D.无法确定单调性 答案:D 2.如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取 值范围是( ) B.(-∞,-3] D.[3,+∞) 2?a-1? 2 =1-a,要使 f(x)在(-∞,4] )

A.[-3,+∞) C.(-∞,5]

解析:二次函数开口向上,对称轴为 x=- 上是减函数,需满足 1-a≥4,即 a≤-3. 答案:B 3.函数 y=|x+2|在区间[-3,0]上是( A.递减 C.先减后增 )

B.递增 D.先增后减

解析: y=|x+2|的图象是由 y=|x|图象向左平移 2 个单位 得来, 由图可知 y=|x+2|在[-3, -2]上递减, 在[-2,0] 上递增. 答案:C 1 4.函数 f(x)=x-x 在(0,+∞)上( A.递增 C.先增再减 ) B.递减 D.先减再增

1 解析:∵y=x 在(0,+∞)上递增,y=- x在(0,+∞)上也递增,

1 ∴f(x)=x-x 在(0,+∞)上递增. 答案:A 5. 下列函数中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 都有 2 A.f(x)= x C.f(x)=x2+4x+3 解析:∵x1,x2∈(0,+∞)时, f?x1?-f?x2? >0 恒成立, x1-x2 ∴f(x)在(0,+∞)是增函数. 答案:C 6.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[2,+∞)时是增函数,当 x∈(-∞,2]时是减 函数,则 f(1)=________. m m2 m 解析:f(x)=2(x- 4 )2+3- 8 ,由题意 4 =2,∴m=8. ∴f(1)=2×12-8×1+3=-3. 答案:-3 7.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:y=-(x-3)|x|
2 ?-x +3x ?x>0?, =? 2 ?x -3x ?x≤0?.

f?x1?-f?x2? >0”的是( x1-x2

)

B.f(x)=-3x+1 D.f(x)=x2-4x+3

3? ? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? 3? ? 答案:?0,2? ? ? 8.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 是________. 解析:由 f(x)在[1,2]上单调递减可得 a≤1;由 g(x)在[1,2]上单调递减可得 a>0 ∴a∈(0,1]. 答案:(0,1] a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围 x+1

9.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的 x,y∈(0,+∞), 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且 f(4)=5. (1)求 f(2)的值; (2)解不等式 f(m-2)≤3. 解析:(1)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5, ∴f(2)=3. (2)由 f(m-2)≤3,得 f(m-2)≤f(2). ∵f(x)是(0,+∞)上的减函数. ?m-2≥2, ∴? 解得 m≥4. ?m-2>0 ∴不等式的解集为{m|m≥4}. 10.求函数 f(x)=|x2-6x+8|的单调区间. 解析:先作出 y=x2-6x+8 的图象,然后 x 轴上方的不变,x 轴下方的部分关于 x 轴对称翻折,得到如图 f(x)=|x2-6x+8| 的图象,由图象可知 f(x)的增区间为[2,3],[4,+∞];减区间 为(-∞,2],[3,4]. [B 组 能力提升]

1.已知 f(x)=x2+bx+4,且 f(1+x)=f(1-x),则 f(-2),f(2),f(3)的大小关系为 ( ) B.f(-2)>f(2)>f(3) D.f(2)<f(3)<f(-2)

A.f(-2)<f(2)<f(3) C.f(2)<f(-2)<f(3)

解析:∵f(x)=x2+bx+4,且 f(1+x)=f(1-x),∴f(x)图象开口向上且关于 x=1 对称, ∴f(x)在[1, +∞)上递增, 而 f(-2)=f(1-3)=f(1+3)=f(4), ∴f(2)<f(3)<f(4) =f(-2). 答案:D 2.已知,a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0 )

解析:∵f(0)=f(4),∴二次函数图象关于直线 x=2 对称,又 f(0)>f(1), ∴f(x)在(-∞,2]上递减,∴二次函数图象开口向上,即 a>0.

答案:A 3.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是 [3,+∞),则 a=________. 解析:利用函数图象确定单调区间. a 2 x + a , x ≥ - ? ? 2, f(x)=|2x+a|=? a ? ?-2x-a,x<-2. 作出函数图象,由图象知: a 函数的单调递增区间为[-2,+∞), a ∴-2=3,∴a=-6. 答案:-6 ??2-a?x,x≤1 4.函数 f(x)=? 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围为________. ?ax,x>1

?2-a>0, 解析:?a>0, ?2-a≤a,
答案:[1,2) 5.若函数 f(x)= 解析:f(x)=

解得 1≤a<2.

ax-1 在(-∞,-1)上是减函数,求实数 a 的取值范围. x+1

ax-1 a+1 =a- . x+1 x+1

设 x1<x2<-1, 则 f(x1)-f(x2)=(a- a+1 a+1 a+1 a+1 ?a+1??x1-x2? )-(a- )= - = . x1+1 x2+1 x2+1 x1+1 ?x2+1??x1+1?

又函数 f(x)在(-∞,-1)上是减函数, 所以 f(x1)-f(x2) >0. 由于 x1<x2<-1, 所以 x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, 所以 a+1<0,即 a<-1. 故 a 的取值范围是(-∞,-1).

6.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件: (1)f(xy)=f(x)+f(y); (2)f(2)=1; (3)在(0,+∞)上是增函数. 如果 f(2)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. 解析:∵f(xy)=f(x)+f(y),∴令 x=y=2, 得 f(4)=f(2)+f(2)=2f(2). 又 f(2)=1,∴f(4)=2. ∵f(2)+f(x-3)=f(2(x-3))=f(2x-6), ∴f(2x-6)≤2=f(4),即 f(2x-6)≤f(4). ∵f(x)在(0,+∞)上递增, ?x-3>0, ∴? 解得 3<x≤5.故 x 的取值范围为(3,5]. ?2x-6≤4



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