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精品解析:【全国百强校首发】河北省衡水中学2016届高三下学期第二次调研考试理数试题解析(原卷版)

河北省衡水中学 2016 届高三下学期二调考试 数学(理科)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? ?1,3, 4,5? ,集合 B ? x ? Z | x ? 4x ? 5 ? 0 ,则 A

?

?

B 的子集个数为( )

A.2

B.4

C.8

D.16

2.如图,复平面上的点 Z1 , Z2 , Z3 , Z4 到原点的距离都相等,若复数 z 所对应的点为 Z1 ,则复数 z ? i ( i 是 虚数单位)的共轭复数所对应的点为( )
[来源:学科网 ZXXK]

[来源:Zxxk.Com]

A. Z1

B. Z 2

C. Z3

D. Z 4 )

3.下列四个函数中,在 x ? 0 处取得极值的函数是( ① y ? x ;② y ? x ? 1 ;③ y ? x ;④ y ? 2
3 2 x

A.①②

B.①③

C.③④

D.②③

?2x ? y ? 0 ? 4.已知变量 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? ?x ? 0 ?
A. 2 B. 2 2 C.2

? 2?
D.4 )

2 x? y

的最大值为(



5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是(

A.5

B.6

C.7

D.8

6.两个等差数列的前 n 项和之比为

5n ? 10 ,则它们的第 7 项之比为( 2n ? 1



A.2

B.3

C.

45 13

D.

70 27

2 7.在某次联考数学测试中,学生成绩 ? 服 从正态分布 100,?

?

? ?? ? 0 ? ,若 ? 在(80,120)内的概率为

0.8,则落在(0,80)内的概率为( ) A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2

8.函数 f ? x ? ? Asin ? x ? A ? 0, ? ? 0? 的部分图象如图所示, f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? ? ? ? ? f ? 2015? 的值 为( )

A.0

B. 3 2
7

C. 6 2

D. ? 2 )

9.若 ?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 的值是( A.-2 B.-3 C.125 D.-131

10.已知圆 C1 : x2 ? 2cx ? y2 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? 2cx ? y 2 ? 0 ,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ,焦距为 a 2 b2

2c ) ,若圆 C1 , C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是(
A. ? ,1?

) D. ? 0,

?1 ? ?2 ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

? ? ?

2? ? 2 ?
且函数 y ? f ? x ? 1? 的图象 ? 0,

11.定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

2 2 关于(1,0)成中心对称 ,若 s , t 满足不等式 f s ? 2 s ? ? f 2t ? t ,则当 1 ? s ? 4 时,

?

?

?

?

t ? 2s 的取 s?t

值范围是( ) A. ? ?3, ?

? ?

1? ? 2?

B. ? ?3, ? ? 2

? ?

1? ?

C. ? ?5, ?

? ?

1? ? 2?

D. ? ?5, ? ? 2

? ?

1? ?

12.正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,此时四面体 ABCD 外 接球表面积为( ) A.7 ? B.19 ? C.

7 7? 6

D.

19 19? 6

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为

.

14.已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60°,且 | AB |?| AC |? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC ,则实 数 ? 的值为 .

x2 y 2 15.已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的半焦距为 c ,过右焦点且斜率为 1 的直线与双曲线的右支交于 a b
两点,若抛物线 y 2 ? 4cx 的准线被双曲线截得的弦长是 为 .

2 2 2 , 则 e 的值 be ( e 为双曲线的离心率) 3

16.用 g ? n ? 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9, g ? 9? ? 9,10 的因数有
2015 ?1 ? 1,2,5,10, g ?10? ? 5 ,那么 g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? ? ? ? ? g 2

?

?

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

a ? 7, b ? 3, 7 sin B ? sin A ? 2 3 .
(1)求角 A 的大小; (2)求 ?ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据 这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机 的“星级卖场”.

(1)当 a ? b ? 3 时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m ,乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n , 比较 m , n 的大小关系;

(2)在这 10 个卖场中,随机选取 2 个卖场,记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求 X 的分 布列和数学期望;
2 2 (3)若 a ? 1 ,记乙型号电视机销售量的方差为 s ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 达到最小值.(只需写

出结论)

?BAD ? 60 ,DE ? AB 于点 E , 19.(本小题满分 12 分)如图 1, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, 将 ? ADE
沿 DE 折起到 ?A 1 D ? DC ,如图 2. 1 DE 的位置 ,使 A

(1)求证: A1 E ? 平面 BCDE ; (2)求二面角 E ? A1 B ? C 的余弦值; (3)判断在线段 EB 上是否存在一点 P ,使平面 A1 DP ? 平面 A 1 BC ?若存在,求出 说明理由.

EP 的值;若不存在, PB

x2 ? y 2 ? 1 ,点 A, B 是它的两个顶点,过原点且斜率为 k 的直线 20.(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆: 4
l 与线段 AB 相交于点 D ,且与椭圆相交于 E , F 两点.

(1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值;

[来源:学科网 ZXXK]

(2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 2? x ? a ln x .
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值; (3)若方程 f ? x ? ? c ? c ? R ? 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,比较 f ' ?

? x1 ? x2 ? 2

? ? 与 0 的大小. ?

请从下面所给的 22 , 23 ,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PQ 与⊙ O 相切于点 A, AB 是⊙ O 的弦, ? PAB 的平分线 AC 交⊙ O 于点 C ,连 接 CB ,并 延长与直线 PQ 相交于 Q 点.
[来源:学|科|网]

(1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ ? 6, AC ? 5 ,求弦 AB 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在以原点 O 为极点, x 轴 2 ? y? 5? t ? ? 2
正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ,求 x 的取值范围 ,使 f ? x ? 为常函数; (2)若 x, y, z ? R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求 m ?

?

?

2x ? 2 y ? 5z 的最大值.



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