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高中数学第二章概率2超几何分布课件北师大版选修2_3_图文

理解教材新知 §2 知识点 第 二 章 超 几 何 分 布 考点一 把握热点考向 考点二 应用创新演练 § 2 超几何分布 超几何分布 已知在 8 件产品中有 3 件次品,现从这 8 件产品中任取 2 件,用 X 表示取得的次品数. 问题 1:X 可能取哪些值? 提示:0,1,2. 问题 2 :“X = 1”表示的试验结果是什么? P(X = 1) 的值 呢? 提示:任取 2 件产品中恰有 1 件次品. 1 C1 3C5 P(X=1)= 2 . C8 问题 3:如何求 P(X=k)?(k=0,1,2) 2-k Ck C 3 5 提示:P(X=k)= . C2 8 超几何分布 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件是次品.从中 任取 n(n≤N)件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数, 那么 n k Ck MCN-M n C N P(X=k)=___________ (其中 k 为非负整数). - 如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从参数 N,M,n 的超几何分布. 为___________ (1)超几何分布,实质上就是有总数为 N 件的两类物品, 其中一类有 M(M≤N)件,从所有物品中任取 n 件,这 n 件中 所含这类物品的件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 k n k Ck C M N-M 时的概率为 P(X=k)= ①(k≤l,l 是 n 和 M 中较小的 Cn N - 一个). (2)在超几何分布中,只要知道 N,M 和 n,就可以根据公 式①求出 X 取不同值时的概率 P,从而写出 X 的分布列. 利用超几何分布公式求概率 [例 1] 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋 中装有 10 个红球,20 个白球,这些球除颜色外完全相同.现一 次从中摸出 5 个球,若摸到 4 个红球 1 个白球的就中一等奖,求 中一等奖的概率. [思路点拨] 若以 30 个球为一批产品,则球的总数 30 可与 产品总数 N 对应, 红球数 10 可与产品中总的不合格产品数对应, 一次从中摸出 5 个球,即 n=5,这 5 个球中红球的个数 X 是一 个离散型随机变量,X 服从超几何分布. [精解详析] 若以 30 个球为一批产品,其中红球为不合格产 品,随机抽取 5 个球,X 表示取到的红球数,则 X 服从超几何分 布. 5 4 C4 C 700 10 20 由公式得 P(X=4)= = ≈0.0295, C5 23751 30 - 所以获一等奖的概率约为 2.95%. [一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属 于超几何分布问题,若是,则可直接利用公式求解,要注意 M, N,n,k 的取值. 1.一批产品共 10 件,次品率为 20%,从中任取 2 件,则正好 取到 1 件次品的概率是 28 A. 45 11 C. 45 16 B. 45 17 D. 45 ( ) 解析:由题意 10 件产品中有 2 件次品,故所求概率为 P= 1 C1 C 16 2 8 . 2 = C10 45 答案:B 2.设 10 件产品中,有 3 件次品,现从中抽取 5 件,用 X 表示 抽得次品的件数, 则 X 服从参数为________(即定义中的 N, M,n)的超几何分布. 答案:10,3,5 3. 从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技 测试.试求出选 3 名同学中,至少有一名女同学的概率. 解:设选出的女同学人数为 X,则 X 的可能取值为 0,1,2,3, 且 X 服从参数为 N=10,M=4,n=3 的超几何分布,于是 选出的 3 名同学中,至少有一名女同学的概率为:P(X≥1) 2 1 0 C1 C2 C3 5 4C6 4C6 4C6 = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 3 + 3 + 3 = 或 C10 C10 C10 6 3 C0 C 5 4 6 P(X≥1)=1-P(X=0)=1- 3 = . C10 6 超几何分布的分布列 [例 2] (10 分)从 5 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加某运动 会火炬接力活动,若随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数,求 X 的分布列及 P(X<2). [思路点拨] 可以将 8 人看作 8 件“产品”, 3 名女生看作 3 件“次品”,任选 3 人中女生的人数可看作是任取 3 件“产品” 中所含的“次品”数. [精解详析] 由题意分析可知,随机变量 X 服从超几何分 布.其中 N=8,M=3,n=3, ?(2 分) 0 2 1 C3 C 5 C 15 5 3 5C3 所以 P(X= 0)= 3 = , P(X= 1)= 3 = , P(X= 2) C8 28 C8 28 2 0 3 C1 C 15 C 1 5 3 5C3 = 3 = ,P(X=3)= 3 = . C8 56 C8 56 ?(8 分) 从而随机变量 X 的分布列为 X= k P(X=k) 0 1 2 3 5 15 15 1 28 28 56 56 5 15 5 所以 P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)= + = . ?(10 分) 28 28 7 [一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服 从超几何分布,如果满足超几何分布的条件,则直接利用超几何 分布概率公式来解.当然,本例也可通过古典概型解决. 4.(重庆高考改编)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数 字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布 列.(注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个 数


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