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8 指数函数及其性质第二课时


2.1.2 指数函数及其性质

问题1 据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%. 那么,在2001~ 2020年,各年的GDP可望为2000年的多 少倍?

y ? 1.073 ,(x ? N , x ? 20 )
x *

问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减,大约每经过5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半 衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系

1 P?( ) 2

t 5730

, (t ? 0)

问题3: 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4 个,……, 一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞的个 数y与x的函数关系式是什么?

y?2

x

?? (x ? N *)

问题4:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半, 第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了x次后绳 子剩余的长度为y米,试写出y与x之间的函数关系.

1 x y ? ( ) ,( x ? N *) 2

??

以上实例得到的函数:

y ? 1.073x , 定义域?x ? N *, x ? 20?
1 P?( ) 2
x
t 5730

,定义域?t ? 0
*

?

?x ? N y ? 2 ,定义域
它们的共同形式: y

?
?

1 x * y ? ( ) ,定义域 ?x ? N 2

?a

x

1. 指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数, 其中x是自变量,函数定义域是R.

对常数a的考虑:
(1)若a=0,则当x>0时,ax=0; 当x≤0时,ax无意义. (2)若a<0,a 没有意义. (3)若a=1,则y=ax=1是一个常数函数.
x

问下列函数是指数函数吗? (1) y ? 4x ; (2) y ? x4 ; (3) y ? ?4 x ; (4) y ? (?4) x ; x x2 x x 1 (5) y ? ? ; (6) y ? 4 ; (7) y ? x ; (8) y ? ( ) ? 1 ; 4 4
(9) y ? (2a ? 1) x (a ? 1 , 且 a ? 1) . 2

答: (1),(5),(9) 是指数函数;

1 x 1 (8) 是指数函数 ( ) 与 的和 . 4 4

例1:已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1)

的图象经过点( 3,?),求f (0), f (1), f (?3)
分析:要求f(0),f(1),f(3)的值,首先要求出 指数函数的解析式,因此问题转化成求指数函 数的解析式。

例2:函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数, 求a的值,并写出这个指数函数.
思考:根据指数函数的概念,实数a应该满足哪 些条件呢?
解:∵ y =(a2-3a+3 )ax是指数函数,


a 2 ? 3a ? 3 ? 1

a ? 0且a ?1



a ? 1或 a ? 2 a ? 0, 且 a ? 1

? a ? 2.
故所求指数函数为:y ? 2 x .

二、指数函数的图象和性质:

1、探究新知

作出函数y ? 2 的图象 .
x

列表

二、指数函数的图象和性质:

1、探究新知

作出函数y ? 2 的图象 .
x

列表

x
y?2
x

… - 3 - 2 - 1 0


1

2

3 …

1 8

1 4

1 0 2

2

4

8



y
8 7 6 5 4 3

.y ? 2 . .
1 2 3 4

x

描点

连线

-4

-3

. . . . o
1 -2 -1

2

x

能否用同样的方法画出函数 y ? 3 x , 8 x y? ( ) 的图象呢 ? 5 x
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

y?3

y ? 2x
x y? (8 ) 5

o

1

2

3

4

x

讨论:图象都有哪些性质呢?
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

y ? 3x
y ? 2x
x y? (8 ) 5

o

1

2

3

4

x

y
8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

y ? 3x
y ? 2x
x y? (8 ) 5

图象特征
图象恒在x轴的上方
图象从左到右 是上升的

函数性质
对于任意的自变量 x ? R, 函数值 a ? 0恒成立
x

o

1

2

3

4

x

函数在定义域内 单调递增
底数a ? 1, 图象恒过点( 0,1 )

a>1

图象恒过点( 0,1 )
在y轴的左边,图象上点的 纵 坐标大于0小于1; 在y轴的右边,图象上点 的纵坐标大于 10

x ? 0时, 0 ? y ? 1; 当x ? 0时,y ? 1

2、类比探究

列表

1 x 作出函数 y ? ( ) 的图象 . 2

2、类比探究

列表

1 x 作出函数 y ? ( ) 的图象 . 2

x
y?2
x

… - 3 - 2 - 1 0
… 8 4 2 0

1

2

3 …

1 2

1 4

1 … 8

x 1 y?( ) 2

. . .

y
8 7 6 5 4 3 2 1

描点

连线

-4

-3

-2

-1

. .. . o
1 2 3

4

x

1 x 用同样的方法可画出函数 y ? ( ) , 3 5 x y? ( ) 的图象 8 y ? ( 1 )x
y ? ( 1 )x 2
x y? (5 ) 8

3

y
8 7 6 5 4 3 2

1 -4 -3 -2 -1

o

1

2

3

4

x

x 1 y?( ) 2

. . .

y
8 7 6 5 4 3 2 1

y ? 2x

描点

连线

-4

-3

-2

-1

. .. . o
1 2 3

4

x

新视野,新发现
y ? ( 1 )x 3
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

y ? 3x

y ? ( 1 )x 2
x

y ? 2x
x y? (5 ) 8

y? (8 ) 5

o

1

2

3

4

x

y ? ( 1 )x 2

y ? ( 1 )x 3

y
8 7 6 5 4 3 2 1

图象特征
图象恒在x轴的上方
o
1 2 3 4

函数性质
对于任意的自变量 x ? R, 函数值 a ? 0恒成立
x

x y? (5 ) 8

-4

-3

-2

-1

x

图象从左到右 是下降的

函数在定义域内 单调递减
底数0 ? a ? 1, 图象恒过点( 0,1 )

0<a<1

图象恒过点( 0,1 )
在y轴的左边,图象上点的 纵 坐标大于 1; 在y轴的右边,图象上点 的纵坐标大于 0小于1

x ? 0时, 0 ? y ? 1; 当x ? 0时,y ? 1

4、指数函数的图象和性质: a ?1 0 ? a ?1

图 像

y
1

y
1

O

x

O

x

性 质

定义域为 R ; 值域为(0,??) ;恒过点 (0, 1)

单调 递增
a ? 1时 x ? 0时, y ? 1 x ? 0时, 0 ? y ? 1

单调 递减
0 ? a ? 1时 x ? 0时, y ? 1 x ? 0时, 0 ? y ? 1

二、知识应用
例1、比较下列各题中两个值的大小:

(1) 1.7
(2) 0.8

2.5

和 1.7
和0.8

3

?0.1

?0.2

(3) ? 0.8

?0.1

和 ? 0.8

?0.2

例1.比较下列各题中两个值的大小:

(1) 1.7

2.5

和 1.7

3

(2) 0.8

?0.1

和0.8

?0.2

解:(1) ? 1.7 ? 1 , y ? 1.7 x 是增函数,

又 2.5 ? 3 ? 1.72.5 ? 1.73 .
(2) ? 0 ? 0.8 ? 1 , y ? 0.8 是减函数,
x

又 ? 0.2 ? ?0.1 ? 0.8?0.1 ? 0.8?0.2

例1.比较下列各题中两个值的大小:

(3) ? 0.8

?0.1

和 ? 0.8

?0.2

(3) ? 0 ? 0.8 ? 1 , y ? 0.8 是减函数,
x

又 ? 0.2 ? ?0.1 ? 0.8?0.1 ? 0.8?0.2
? ? 0.8?0.1 ? ?0.8?0.2 .

新视野,新发现
y ? ( 1 )x 3
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

y ? 3x

y ? ( 1 )x 2
x

y ? 2x
x y? (5 ) 8

y? (8 ) 5

o

1

2

3

4

x

例2、比较下列各题中两个值的大小

( 1 ) 7

- 0.5
6

和8

- 0.5
6

y
8 7 6 5 4 3 2 1

(2) 0.3 和0.7

-4

-3

-2

-1

o

1

2

3

4

x

例3、比较下列各题中两个值的大小
0.3 3.1

( 1) 和 1.7 0.9

0 . 8 0 . 7 (2) 和 6 7

(3) 0.8 和 0.9

0.5

0.4

总结:指数式比较大小的方法:
(1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单 调性来判断;
(2)底数不同,指数相同:利用指数函数的图 象来判断。底数 a 越大,函数图象在 y 轴右侧 部分越接近 y 轴正半轴 ;

(3)底数不同,指数也不同:利用介值法(中 间量)

三、巩固练习

(1) 10 和10
-0.5

0.8

1 .5

y
8 7 6

2 3 (2 ) )和 ( ( ) 3 4
(3) 0 . 2 和 0 .3
0 .3

-0.5

5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

o

1

2

3

4

0 .2

x

四、课堂小结

1. 指数函数的图象和性质;
2. 指数式比较大小的方法。

五、布置作业

1、课本59页习题2.1 A组第7题 2、同步解析与测评54页训练4,随 堂检测第6题


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