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大型超市顾客交费排队系统优化分析


   

第 2 卷第 2 期 管 理 学 报 V o l 2 N o. 2 .                        2005 年 3 月 Ch inese Jou rna l of M anagem en t M a r. 2005

大型超市顾客交费排队系统优化分析
郑 欢 古福文
( 四川大学工商管理学院, 四川成都 610064)
  摘要: 利用排队论方法对成都市某大型超市的收费系统进行了研究, 提出了优化收费台数目 的数学模型。 通过分析对比, 证明这个模型是切实可行的。 优化的结果表明, 此模型可有效地提高 工作效率, 为企业节约经营成本。 这种方法可用于大型商场、 医院等收费系统的动态管理。 关键词: 运筹学; 排队系统优化; 排队论; 收费窗口数目; 动态管理 中图分类号: F 224. 1  文献标识码: A   文章编号: 1672- 884
( 2005) 02- 0171- 03

O pti iza tion of the Queu ing System in Large Supermarket m Zheng H uan  Gu Fuw en ( Sichuan U n iversity, Chengdu, Ch ina ) Abstract: B y m ak ing u se of queu ing theo ry, the cha rg ing sy stem s fo r a sup erm a rket in Chengdu w ere stud ied and a m odel of op t i izing the num bers of ca shers g iven. m It w a s p roved tha t th is op t i izing m odel of the queu ing is fea sib le and i p rove the efficiency and save the m anagem en t co st. m m T h is m anagem en t so lu t ion cou ld be w idely app lied to the dynam ic m anagem en t of the cha rg ing sy stem in L a rge sup erm a rket s, ho sp ita ls and so on. Key words: op era t ion resea rch; op t i iza t ion of queu ing sy stem ; queu ing theo ry; ca sher num ber; m dynam ic m anagem en t   随着零售业的迅猛发展, 各超市、 商场的竞 争日益激烈, 作为超市与其每位消费者最终完 成交易的必经之道——排队系统占到了一个突 出位置。 排队系统是超市和顾客接触的前线, 排 队系统的服务质量将影响到公司在消费者心中 的形象, 制约着公司整个运营的水平和绩效。 优 化排队系统, 为顾客提供最佳服务是公司面对 竞争的必然选择, 而要从根本上解决排队问题, 公司必须在可接受的经营成本下, 使顾客尽量 减少等待时间。 由于顾客的到达是随机的, 各顾 客需要交费的时间也是随机的, 若开放的窗口 过少, 顾客等待时间会很长, 使顾客不满意, 而 导致顾客流失或转向竞争者; 若开放的窗口过 多, 虽然减少了顾客的等待时间, 但将导致收银 员空闲, 使企业的经营成本增加。 因此, 如何根 据顾客流量及所需的交费时间动态地、 合理地 开设收费窗口数目, 使得顾客满意且企业经营 成本也不会过高, 这是该类企业亟待解决的问 题。 现有解决这一问题的一般方法是将系统中
收稿日期: 2004- 10- 12 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 70440007)

的顾客由于等待所产生的损失费用加企业开放 收费窗口的费用作为总费用, 使得这个总费用 最小的收费窗口数即为所求
[1 4] ~

。 在文献 [ 5 ] 提

出的模型中, 决策者需根据服务水平来决定最 优化的 K 值 ( K 表示一个拥挤指标, 当每个队伍 中的人数超过 K 时就增加一个服务台) 和需开 放的服务台数。 而服务水平的确定又必须考虑 每位顾客的机会成本, 即他们到达带来的收入 是否大于服务台的运营成本, 但这往往很难确 定。 文献[ 6 ] 探讨了二层限制条件的 M G 1 排 队模型的优化问题, 即服务员在二层限制条件 下, 根据不同的队长确定开放服务台的数量以 降低成本, 其假设顾客平均等待费用已知且是 线性的。 文献[ 7 ] 划分不同的顾客等级, 利用先 到先服务的 M G 1 排队模型, 提出了在多等级 顾客中的价值构成模型: 净收入 = 期望收入 顾客等待费用 提高收入所需费用, 他们假设 顾客的等待费用为已知。 以上文献均把顾客由 于等待所产生的费用假设为一个已知量, 将等 待费用和服务成本的总费用作为目标函数得到

?171?

管理学报第 2 卷第 2 期 2005 年 3 月

最优的控制策略, 但在实际应用中顾客的等待 费用往往很难确定。 例如, 一个 70 岁的退休老 人与一个 30 岁的年轻人同样等待 1 个小时所产 生的损失费用显然是不同的, 同一个人在不同 时间的等待损失费用也是不同的; 另一方面, 由 于这类企业竞争激烈, 应提高服务质量, 把顾客 满意放在首位。 因此, 上述方法在实际中往往是 不可行的。 基于此, 通过调查获得顾客能接受的 平均等待时间 T D (N ) , 提出了以 T D (N ) 为约束条件 的优化模型, 在此约束条件下可求得使服务成 本最小的收费台数。 本文通过成都市一大型超 市的调查数据, 利用上述方法对收银台开放数 目进行优化, 所得结果比该商场原开放方式更 能满足顾客的要求, 同时还节约了成本。

W 的均值为
E (W ) = p c (c) Κ( t) ) n 1 nΛ = p0(  , ) Λ n ! (n Λ - Κ 2 cΛ( 1 - Θ) 2 c Κ( i) 式中, Θ = 。 c cΛ

( 3)

本 文的模型是, 当系统达到统计平衡状态

时, 一个顾客在收费系统中的平均等待时间
E (W ) 不超过顾客能够接受的平均等待时间 T D (N ) 的条件下, 求使服务成本最小的收费台数
c ( i ) = m in{c E (W ) ≤ T D (N ) } = p c (c) ≤ T D ,  1 ≤ i ≤ 9; [ cΛ( 1 - Θ) 2 ] c

m in c m in c

设 X i 表示在时段 i, 当收费台开放数为 c ( i)

时, c ( i) 个收费台中正在工作的台数, 则 X i 的分 布为
P (X i = k ) = p k (c ( i ) ) ,  k = 0, 1, …, c ( i ) c ( i) - 1

1  系统描述
大型超市顾客交费排队系统是一个随机服 务系统 , 它有如下特征:
[8]

P (X i = c ( i ) ) = 1 -

( 1) 顾客到达收费系统是相互独立的, 顾

所以

客相继到达的时间间隔是随机的;
( 2) 服务规则遵从先到先服务原则, 且为

c ( i) - 1

E (X i ) =

等待制, 即顾客接受服务需要等待;
( 3) 顾客交费时间是相互独立的。

i 因此, 收费台的有效工作率为 c ( i) 。

3  实际数据的收集与整理

2  模型假设及建立
系 统运行较长时间达到稳态, 进入系统的 顾客可随时改变其队列。 假设顾客的到达服从 泊松分布, 其交费时间服从负指数分布, 因此这 个收费系统是 M M C ∞ ∞ 的一个排队系 统 。
[1]

对成都某大型超市进行调查, 数据如下:
( 1) 共设有 40 台收银机, 这些收银机各时 ( 2) 在收费系统现场连续记录了 150 名顾

段的开放情况见表 1。

客各自进入系统的时刻, 利用文献 [ 9 ] 中定数 检验法得到一天 i 时段内进入收费系统的顾客 流是一个符合泊松分布的顾客流, 其平均到达 值得注意的是, 进入 率记为 Κ( i) ( 数据见表 1) 。 流, 但在整个一天内却不是一个平稳泊松流。
( 3) 利用计算机收费记录数据, 随机选取

n 个顾客的概率; c ( i) 为 i 时段使服务成本最小

p 0 (c) = [

p n (c) =

务员的服务率; Θ 为系统的服务强度; p n ( c) 为 c 的平均等待时间。 达到稳态时, 可得

开放 c 台收银机时在统计平衡状态下系统中有 的收费台数; T D (N ) 为白天或晚上顾客能够接受 当到达率为 Κ( i) , 服务率为 Λ 的生灭过程
Κ( i) ) n ( ) p 0 c ,  n = c + 1, …。 Λ 由文献 [ 9 ] 可得, 在 M M C ∞ ∞ 系统
1
c ! cn c

中, 对于时段 i ( i = 1, 2, …, 14 ) , 当系统达到统 计平衡状态时, 每个顾客在系统中的等待时间

?172?

变量设置: Κ( i) 为顾客平均到达率; Λ 为服

收费系统的顾客流在一个时段内是一平稳泊松

了 400 名顾客交费时所需的时间数据, 通过统 指数分布且其均值为 E (v ) = Λ- 1 = 1. 629m in 人, 即 Λ = 36. 8 人 h。 等待时间。 间 数 据。对 这 些 数 据 的 分 析 发 现 , 9 ∶00 ~
19∶00 顾客能够接受的等待时间均值为 T D =

计检验得到顾客交费时所需的时间 v 是服从负

6

c- 1

k= 0

k!

1 Κ( i) n ( ) p 0 (c) ,  n = 1, 2, …, c; n! Λ (

1 Κ( i) k ( ) + Λ

1

c! [ 1 -

Κ( i) ) ( ] cΛ

(

Κ( i ) ) c - 1 ] , Λ

( 4) 通过对 100 名随机选择的购物顾客的

( 1)

调查, 获得了顾客在交费时能够接受的等待时

( 2)

0111h , 19 ∶00~ 23∶00 的均值为 T N = 0 113h。

这说明, 晚上顾客的时间没白天那么紧迫, 所以

晚上能够接受的等待时间大于白天能够接受的

[ cΛ( 1 - Θ) 2 ] c

p c (c)

( 4)

≤ T N ,  10 ≤ i ≤ 14。

1 ,

( 5) ( 6)

6

kp k (c ( i ) ) + c ( i ) [ 1 -

k= 1

6

p k (c ( i ) )  ,

k= 0

c ( i) - 1

E (X )

6

p k (c ( i ) ) ]。 ( 7)

k= 0

大型超市顾客交费排队系统优化分析 —— 郑   欢   古福文 表 1 各时段样本均值 单位: 人 h

时段 时 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 平均到 775. 6 834. 6 754. 3 560. 8 541. 9 589. 3 888. 8 达率
1014 958. 8 756 802. 7 803. 5 699. 4 286. 2

4 模型求解
根据上述模型, 借助 M A TLAB 软件, 代入 以上的商场数据即可研究该排队系统中服务台 数的优化设计问题。 编制含有 5 个子程序 [ 关于
p 0 ( c) , p n ( c) , E (W ) , c ( i) 和 E (X i ) ] 的M A TLAB

助人员, 在客流量大时作收银员, 客流量小时可 将顾客准备购买但排队时又放弃购买的货物整 理放回货架, 这样既可进一步优化排队系统, 也 是降低成本的一种途径。

6 结语
从上可知, 利用上述排队模型理论, 在满足 顾客需求的情况下, 对其开放的收费台数进行 优化, 实施动态管理, 将有效提高工作效率, 为 企业节约成本。 在实际运营中由于工作日、 双休 日及节假日客流量会有较大差异, 各企业可根 据历史数据对其进行个别分析, 使之更具针对 性, 为实际决策提供依据。 因此本文的研究成果 对于大型商场、 医院等具有收费系统的服务企 业有普遍借鉴意义。
参 考 文 献
[ 1 ] 李维铮, 李梅生, 胡运权等 运筹学 [M ]. 北京: 清华 .

源程序来实现如下功能: 给定顾客在各时段的 平均到达率 Κ( i) 、 平均服务率 Λ, 以及服务台数 的起始变化值及终止值 ( 需要注意最小开放服 Κ( i) < 1才 cΛ 能使系统达到统计平衡) 的情况下, 算出各时 务台数应保证系统服务率, 即 Θ = c
优化后的 实际开放的 时段 时 收费台数 收费台数 c0 ( i ) c ( i)
9~ 10 10~ 11 11~ 12 12~ 13 13~ 14 14~ 15 15~ 16 16~ 17 17~ 18 18~ 19 19~ 20 20~ 21 21~ 22 22~ 23 22 23 21 16 15 17 25 28 27 21 23 23 20 8 30 30 12 12 12 12 12 12 30 30 30 30 12 4
E (X i ) E (X i ) c ( i)

段顾客等待时间不超过 T D (N ) 的 c ( i) 值, 再算出
E (X i ) E (X i ) 值及 的值。 计算结果见表 2。 c ( i) 表 2  系统优化前后比较

大学出版社, 2000: 310 348 ~
[ 2 ] 宋卫斌, 苏秦 虚拟顾客服务系统排队模型 [J ]. 管理 .

21. 0761 22. 6793 20. 4989 15. 2391 14. 7255 16. 0136 24. 1538 27. 5543 26. 0543 20. 5435 22. 7599 22. 7856 19. 0054 7. 7772

0. 958 0. 986 0. 976 0. 952 0. 982 0. 942 0. 966 0. 984 0. 965 0. 978 0. 989 0. 99 0. 95 0. 972

科学学报, 2001, 4 ( 3) : 53 64 ~
[ 3 ] 邓小琳 基于排队理论的最优生产线设计 [J ]. 运筹 .

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5  研究结果分析

~ Eva lua tion, 1997, 29: 63 80

( 1) 从表 2 可见, 在时段 9∶00~ 11∶00 及

[ 7 ] Su resh R adhak rishnan, Ka sh i R. B a lachand ran. Service Cap acity D ecision and Incen tive Com p a tib le Co st A lloca tion fo r R epo rting U sage Fo rca sts [J ]. Eu rop ean Jou rna l O f O p era tiona l R esea rch, 2004, 157: 180 195 ~ [ 8 ] 胡迪鹤 应用随机过程引论 [M ]. 哈尔滨: 哈尔滨工 .

17∶00 ~ 21∶00 优化的台数 c ( i) 小于实际开

放的台数, 可见这些时段实际开放的台数过多,

而 11∶00~ 17∶00 和 21∶00~ 23∶00 期间实 际 开放的收费台数又太少, 尤其是 22∶00 ~ 们能接受的等待时间, 从而使得顾客不满意。
23∶00 时段, 这样顾客等待的时间将会超过他

业大学出版社, 1994. 社, 1993: 190

从 表 2 还可看到, 优化后各时段收费系统

[ 9 ] 赵玮, 王荫清 随机运筹学 [M ]. 北京: 高等教育出版 .

E (X i ) 的有效工作率 ( ) 均在 95% 以上, 说明收银 c i

员的工作量比较饱和, 避免了由于收银台开放 数过多造成的人员浪费。

作者简介: 郑欢 ( 1981 ) , 女, 汉族, 重庆人。四川大学 ( 成都 ~ 市 610064) 工商管理学院硕士研究生。 研究方向为服务运 作管理、 供应链管理。 古福文, 四川大学工商管理学院。

( 2) 大型超市的排队系统还可设置少许辅

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