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2018-2019学年高中数学人教A版必修五课件:第二章 数列2.1.2_图文

1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项. 递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项 an-1(n>1)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式 叫做数列的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法. 名师点拨递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有 的数列都有递推公式. 【做一做】 已知在数列{an}中,a1=3,an+1=2an,则a3等于( ). A.3 B.6 C.12 D.18 解析:a2=2a1=6,a3=2a2=12. 答案:C 通项公式与递推公式的异同 剖析如表所示. 不同点 通项公式 递推公式 可根据某项的序号 ,直接用代入 法求出该项 可根据第 1 项或前几项的值 ,通 过一次或多次赋值逐项求出数 列的项 ,直至求出所需的项 相同点 都可确定一个 数列 ,都可求出 数列的任何一 项 题型一 题型二 题型三 递推公式的应用 【例1】 已知数列{an}的第一项是1,以后各项由公式an-1=2an2(n>1)给出,写出这个数列的前5项. 分析先将递推公式变形为 an=1+ ? 1, 再根据递推公式写出 数列的前几项.由 a1=1 及 a2=1+ 1 求出a2,这一步是解题的关键, 求 a3,a4,a5 与求 a2 类似. 1 2 1 2 题型一 题型二 题型三 解 ∵an-1=2an-2(n>1), 1 ∴an=1+ 2 1 2 1 a4=1+ 3 2 1 a5=1+ 4 2 ? 1( > 1). 1 2 1 1+ × 2 1 1+ × 2 1 1+ × 2 3 7 = , 2 4 7 15 = , 4 8 15 31 = . 8 16 1 2 3 2 又 a1=1,∴a2=1+ 1 = 1 + × 1 = , a3=1+ 2 = = = 反思根据递推公式写出数列的前几项,这类问题要弄清楚递推公 式中各部分的关系,依次代入n的值计算即可.解答这类问题时还需 注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的 项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前 面的项的形式. ∴这个数列的前 5 项是 a1=1,a2= 2 , 3 = 4 , 4 = 3 7 15 , 5 8 = 31 . 16 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 已知数列{an}的第一项a1=1,以后的各项由公式 an+1= 2 给出, 试写出这个数列的前 +2 2 解 ∵a1=1,an+1= , +2 2 1 2 ∴a2= +2 = 3, 1 5 项. a3= a4= a5= 22 =2 2 +2 3+2 2× 1 23 =1 2 3 +2 2+2 24 =2 5 4 +2 +2 5 2× 2 2× 3 2 = , = 2 , 5 1 3 1 2 = . 2 1 2 1 1, , , , . 3 2 5 3 故该数列的前 5 项分别为 题型一 题型二 题型三 由递推公式写出通项公式 1 【例2】 已知数列{an}满足a1=1,an= an-1+ ( ≥2) ,写出该 (-1) 数列前5项,并归纳出它的一个通项公式. 分析由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的规律,写出一 个通项公式. 解a1=1, 1 a2=a1+ 2×1 1 a4=a3+ 4×3 1 3 1 3 1 5 = 1 + = , a3=a2+ = + = , 2 2 3×2 2 6 3 5 1 7 1 7 1 9 = + = , a5=a4+ = + = , 3 12 4 5×4 4 20 5 3 5 7 9 故数列的前 5 项分别为 1, , , , . 2 3 4 5 2×1-1 3 2×2-1 5 2×3-1 7 2×4-1 9 2×5-1 由于 1= , = , = , = , = , 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2-1 1 故数列{an}的一个通项公式为 an= = 2? . 题型一 题型二 题型三 反思由递推公式写出通项公式的步骤: (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项); (2)根据写出的前几项,归纳总结其特点,并把每一项统一形式; (3)写出数列的一个通项公式. 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2】 (1)已知在数列{an}中,a1=1, { }的通项公式是( ). 1 2 1 2 +1 = , 则数列 1 2 A.an=2n C.an= 1 2-1 B.an= D. = 解析:∵a1=1, ∴a2= 2 1 1 1 1 1 5 = 4 = . ∴ = -1. 2 16 2 答案:C +1 1 = , 2 1 1 = , 3 = 2 2 2 = , 4 = 3 = , 1 4 1 2 1 8 题型一 题型二 题型三 (2)在数列{an}中,已知a1=0,an+1=an+(2n-1),写出这个数列的前5 项,并写出数列{an}的一个通项公式. 解∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1, a3=a2+(2×2-1)=1+3=4, a4=a3+(2×3-1)=4+5=9, a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2. 题型一 题型二 题型三 易错辨析 易错点:忽视函数单调性与数列单调性的关系致错 【例3】 已知在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,求 实数k的取值范围. 错解∵y=x2-kx在 ∴an=n2-kn在 ∴ ≤1,即 2 ,+ 2 ,+∞ 2 上单调递增, ∞ 上也单调递增. k≤2. ∴k 的取值范围为(-∞,2]. 仅做学习交流,谢谢! 语文:初一新生使用的是教育部编写


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