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第03讲-常见不等式的解法:二次不等式、高次不等式、分式不等式的解法


高一上衔接课资料,王鹏兴整理

第三讲、二次不等式及其他常见不等式的解法
【复习要求】
1、掌握一元一次不等式的解法; 2、掌握简单分式不等式的解法; 3、掌握一元二次及一元高次不等式的解法。

【复习重点】
1、一元二次不等式的解法; 2、一元高次不等式的解法。

【复习难点】
1、一元二次不等式的解法; 2、一元高次不等式的解法。

【家庭作业】
1、完成拓展内容; 2、复习知识点;

【知识梳理】
1、一次不等式: ax ? b 的不等式; 2、一元二次不等式的解集步骤: ① 看二次项系数;② 计算△;③ 写解集;其中:学会数形结合:

ax 2 ? bx ? c ? 0
的根的判别式( a ? 0 )

? ? b2 ? 4ac ? 0

? ? b2 ? 4ac ? 0

? ? b2 ? 4ac ? 0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

? ? 解集: ?x x ? x ? x ? 解集: ?x x ? x 或x ? x ? 解集: ?x x ? x ? x ?
解集: x x ? x1或x ? x2
1 2 1 2 1 2

解集: x ? x1 解集: ? 解集:x=R 解集: x ? x1

解集:x=R 解集: ? 解集:x=R 解集: ?

注意:突出配方法和因式分解法,重视一元二次函数、一元二次方程的根、一元二次不等式 的解集(三个二次)之间的关系在解题中的作用,如未指明 a 是否为零,应对其讨论;那么 自己讨论下当 a ? 0的情况 。 3*、一元高次不等式利用数轴标根法求解(基本步骤)

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高一上衔接课资料,王鹏兴整理

① 将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+”;(为了统一方 便) ② 求根,并在数轴上表示出来; ③ 由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?) ; ④ 若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”, 则找“线”在 x 轴下方的区间.

⑤ 穿线:奇穿偶不穿; 4、分式不等式的解法: (1)

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

(2)

? f ( x) g ( x)? 0 f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0, ? 0?? g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0
2

【典型例题】
例 1、 求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2mx ? m 的解. 解:原不等式可化为: m(m ? 2) x ? m ? 2 (1) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 ,不等式的解为 x ? (2) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时, mx ? 1 . ① 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 x ? ② m ? 0 时,不等式的解为 x ?

1 ; m

1 ; m

1 ; m

③ m ? 0 时,不等式的解为全体实数. (3) 当 m ? 2 ? 0即m ? 2 时,不等式无解. 综上所述:当 m ? 0 或 m ? 2 时,不等式的解为 x ?

1 ;当 0 ? m ? 2 时,不等式的解为 m

x?

1 ;当 m ? 0 时,不等式的解为全体实数;当 m ? 2 时,不等式无解. m
2

例 2、解下列不等式:(1) x ? x ? 6 ? 0

(2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1)

⑴ 解 法 一 : 原 不 等 式 可 以 化 为 : ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 , 于 是 : ?

?x ? 3 ? 0 或 ?x ? 2 ? 0

?x ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ? x ? ?3 ? x ? ?3或x ? 2 所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 . ?? 或? ? x?2 x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? ?
解法二:解相应的方程 x ? x ? 6 ? 0 得: x1 ? ?3 , x2 ? 2 ,所以原不等式的解是
2

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x ? ?3或x ? 2 .
(2) 解法一:原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x2 ? 4 x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是:
2

?x ? 0 ?x ? 0 或? ? x ? 0或x ? 4 ,所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . ? ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
解法二: 原不等式可化为:? x ? 4 x ? 0 , x ? 4 x ? 0 , 即 解相应方程 x ? 4 x ? 0 ,
2 2 2

得 x1 ? 0 , x2 ? 4 ,所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . 说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的 图象判断出不等式的解. 拓展:下列不等式:(1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0
2

(3) x ? x ? 2 ? 0
2

解:(1) 不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ∴ 不等式的解是 ?2 ? x ? 4 (2) 不等式可化为 ( x ? 2)2 ? 0 ∴ 不 等 式 的 解 是 x ? 2 ; (3) 不 等 式 可 化 为

1 7 ( x ? )2 ? ? 0 . 2 4
例 3*、解下列高次不等式: (1) (2 x ? 3 x ? 1) ? (3 x ? 7 x ? 2) ? 0 (2) ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 2) ? 0
2 2 2 3 5

(3) ( x-1) ( x +3) ( x-4) ( x +5) ( x ? 6) ? 0
2 3 4 5 7

(4) ( x ? 2) ( x ? 3) ( x ? 4) ( x ? 5) ( x ? 6) >0
2 3 4 5 7

答案:略(2) x ? ?2或x ? ?1或1 ? x ? 2

例 4、解下列不等式: (1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

1 ?3 x?2

分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组 处理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接 转化为整式不等式求解. (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数. 解:(1) 解法(一)原不等式可化为:

3 3 ? ? ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ?x ? 或? ?? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? ? 2 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? ? 3 解法(二) 原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? . 2
(2) 解:原不等式可化为:

?(3x ? 5)( x ? 2) ? 0 1 ?3 x ? 5 3x ? 5 ?3? 0 ? ?0? ?0?? ? x?2 x?2 x?2 ?x ? 2 ? 0
x ? ?2或x ? ? 5 3

说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. (2) 本 例 也 可 以 直 接 去 分 母 , 但 应 注 意 讨 论 分 母 的 符 号 :
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?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 ? 3? ? 或? x?2 ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1
练习:解不等式: (1)

3 ? 2x 3x ? 5 3x ? 1 <0 (2) 2 ? 2 (3) ? ?1 2 ? 3x x ? 2x ? 3 3? x

答案:略

【课后练习】
1.解下列不等式: (1) 2 x ? x ? 0
2

(2) x ? 3x ? 18 ? 0
2

(3) ? x ? x ? 3x ? 1
2

(4) x( x ? 9) ? 3( x ? 3)

2.解下列不等式: (1)

x ?1 ?0 x ?1
2 2

(2)

3x ? 1 ?2 2x ?1

(3)

2 ? ?1 x

(4)

2x2 ? x ? 1 ?0 2x ?1

3.解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 2 x ? 2 4.解关于 x 的不等式 (m ? 2) x ? 1 ? m . 5.已知关于 x 的不等式 mx ? x ? m ? 0 的解是一切实数,求 m 的取值范围.
2

(2)

1 2 1 1 x ? x? ?0 2 3 5

6.若不等式

x?2 x?3 ? 1 ? 2 的解是 x ? 3 ,求 k 的值. k k
2

7. a 取何值时,代数式 (a ? 1) ? 2(a ? 2) ? 2 的值不小于 0?

1 ? x ? 0 (2) ? 3 ? x ? 6 (3) x ? ?1 (4)x ? ?3 ; 2 1 1 2. (1) x ? ?1或x ? 1 (2) x ? 或x ? 3 (3) x ? ?2或x ? 0 (4) x ? ? ; 2 2
1. (1) ? 3.(1) 无解 (2) 全体实数 4.(1)当 m ? 2 时, x ? 数. 5. m ? ?

1? m 1? m ;(2)当 m ? 2 时, x ? ;(3) 当 m ? 2 时, x 取全体实 m?2 m?2
7. a ? ?5或a ? 1 .

1 ; 2

6. k ? 5

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