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高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题


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【解析】一共可作 5 个,其中均外切的 2 个,均内切的 1 个,一外切一内切的 2 个,故选 D. 9.如图甲,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB // CD .由 4 个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形 ABCD 中 ? A 度数为 ( )
第 9 题图

高二数学选修 4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( ) A. 15? B. 30? C. 45? D. 60? 【解析】由弦切角定理得 ? DCA ? ? B ? 60 ? ,又 AD ? l ,故 ? DAC ? 30 ? , 第 1 题图 故选B. 2.在 Rt ? ABC 中, C D 、 CE 分别是斜边 A B 上的高和中线,是该图中共有 x 个三角形与 ? ABC 相似,则 ) x ?( A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】2 个: ? ACD 和 ? CBD ,故选 C. 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另一弦被分为 3 : 8 ,则另一弦的长为( ) A. 11cm B. 33cm C. 66cm D. 99cm 【解析】设另一弦被分的两段长分别为 3 k , 8 k ( k ? 0) ,由相交弦定理得 3 k ? 8 k ? 12 ? 18 ,解得 k ? 3 ,故所 求弦长为 3 k ? 8 k ? 11k ? 33 cm .故选 B. 4.如图,在 ? ABC 和 ? D B E 中,
AB ? BC ? AC ? 5

A. 30? B. 45? C. 60? D. 75? 【解析】 6 ? A ? 360 ? ,从而 ? A ? 60 ? ,选 A. 10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为 10mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为( A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm 2 2 2 【解析】依题意得 OA ? AM ? OM ,从而 OM ? 12 mm , 故 CM ? 13 ? 12 ? 1mm ,选 A.

)

第 10 题图

??? ? 2 ??? 1 ???? ???? ? ? 2 ??? 1 ???? 11.如图,设 P , Q 为 ? ABC 内的两点,且 A P ? A B ? A C , A Q = AB + A C ,则 ? A B P 的面积与 5 5 3 4
C

,若 ? ABC 与
B

A D E

? ABQ 的面积之比为(

)
Q

DB BE DE 3 ) ? D B E 的周长之差为 10cm ,则 ? ABC 的周长为( 25 50 cm cm A. 20 cm B. C. D.25 cm 4 3

A.
C 第 4 题图
22 3

1 5

B.

4

C.

1

D.

1
A

P B

【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案 D. 5. ? O 的割线 P A B 交 ? O 于 A , B 两点,割线 PC D 经过圆心,已知 P A ? 6, P O ? 12, A B ? 径为( A.4 ) B. 6 ? 14
22 3

,则 ? O 的半

5 4 3 ??? ???? ???? ? ? ???? ? 2 ??? ???? 1 ???? ? 【解析】如图,设 A M ? A B , A N ? A C ,则 AP ? AM ? AN . 5 5 ???? 1 ?ABP AN 由平行四边形法则知 NP // AB ,所以 ? ???? = , 5 ?ABC AC ?ABQ ?ABC 1 4
?ABP ?ABQ 4 5

第 11 题图
C

Q N A M P B

C. 6 ? 14

D.8

同理可得

?

.故

?

,选 B.

【解析】设 ? O 半径为 r ,由割线定理有 6 ? (6 ?

) ? (12 ? r )(12 ? r ) ,解得 r ? 8 .故选 D.

6.如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D , 且 AD ? 3 DB ,设 ? COD ? ? ,则 tan 2 A.
1 3

12.如图,用与底面成 30? 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 ( ) A.
1 2

?
2

=(

) D. 3
3 2

B.

3 3

C.

3 2

D.非上述结论

第 12 题图

B.

1 4 3 2 r, BD ? 1 2

C. 4 ? 2 3
2

第 6 题图
r

【解析】设半径为 r ,则 A D ? 选 A.

r ,由 C D ? AD ? BD 得 C D ?

,从而 ? ?

?
3

,故 tan 2

?
2

?

1 3

,

7.在 ? ABC 中, D , E 分别为 A B , A C 上的点,且 DE // BC , ? A D E 的面积是 2cm 2 ,梯形 D B C E 的面积为
6cm ,则 DE : BC 的值为(
2

【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,故选 B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________ 【解析】圆;圆或椭圆. 14.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、B 两点且 A 与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 , 则 AC= 【解析】由已知得 BD ? AD ? BC , BC ? C D ? AC ? ( AC ? BC ) ?AC ,
2

)

O? D

A. 1 : 3 B. 1 : 2 C. 1 : 3 D. 1 : 4 【解析】 ? ADE ? ? ABC ,利用面积比等于相似比的平方可得答案 B. 8.半径分别为 1 和 2 的两圆外切,作半径为 3 的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A.2 B.3 C.4 D.5

解得 AC ? 2 . 15.如图, A B 为 ? O 的直径,弦 AC 、 B D 交于点 P ,

B

C

第 14 题图

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第 15 题图

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若 AB ? 3, CD ? 1 ,则 sin ? APD = 【解析】连结 A D ,则 sin ? A P D ? 从而 cos ? A P D ?
PD PA
1 3

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又 ? EPC 为 ? CPE 与 ? FPC 的公共角, 从而 ? CPE ? ? FPC ,∴
2

AD AP

,又 ? CDP ? ? BAP ,
R 30

CP FP

?

PE PC

∴ PC 2 ? PE ? PF
E A F G B D O C

?

CD BA

?

1 3

, .

所以 sin ? A P D ? 1 ? ( ) 2 ?

2 2 3

135 180

16.如图为一物体的轴截面图,则图中 R 的值 是 【解析】由图可得 R 2 ? (
30 2 ) ? (180 ? 135 ? R ) ,解得 R ? 25 .
2 2

第 16 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图: EB , EC 是 ? O 的两条切线, B , C 是切点, A , D 是 ? O 上两点,如果 ? E ? 46 ?, ? DCF ? 32 ? ,试求 ? A 的度数. 【解析】连结 OB , OC , AC ,根据弦切角定理,可得
?A ? ?BAC ? ?CAD ? 1 2 (180 ? ? ? E ) ? ? D C F ? 67 ? ? 32 ? ? 99 ? .
E F B O C D P

又 PC ? PB , ∴ P B ? P E ? P F ,命题得证. 21.(本小题满分 12 分) 如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D , 过点 B 作 ? O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E, G 是 A D 的中点,连结 C G 并延长与 B E 相交于点 F , 延长 A F 与 CB 的延长线相交于点 P . P (1)求证: B F ? E F ; (2)求证: P A 是 ? O 的切线; (3)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 ,求 B D 和 FG 的长度. 【解析】(1)证明:∵ BC 是 ? O 的直径, B E 是 ? O 的切线, ∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,∴ A D ∥ B E . 易证 △ BFC ∽ △ DGC , △ FEC ∽ △ GAC .
∴ BF ? CF

第 21 题图 E A F

第 17 题图

18.(本小题满分 12 分) 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P ,
A 为⊙O 上一点, ? ? ? , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , AE AC 求 P F 的长度. 【解析】连结 OC , OD , OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

EF CF BF EF .∴ . , ? ? DG CG AG CG DG AG ∵ G 是 A D 的中点,∴ DG ? AG .∴ BF ? EF . P B (2)证明:连结 AO, AB .∵ BC 是 ? O 的直径,∴ ? BAC ? 90 ° .


G D O C

E

第 18 题图
E

结合题中条件 ? ? ? 可得 ? CDE ? ? AOC ,又 ? CDE ? ? P ? ? PFD , AE AC
? AOC ? ? P ? ? C ,从而 ? PFD ? ? C ,故 ? PFD ? ? PCO ,∴
PF PC ? PD PO

,
A C

O

F B D P

在 Rt △ BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 B E 的中点, ∴ AF ? FB ? EF .∴ ? FBA ? ? FAB .又∵ OA ? OB ,∴ ? ABO ? ? BAO . ∵ BE 是 ? O 的切线,∴ ? EBO ? 90 ° . ∵ ? EBO ? ? FBA ? ? ABO ? ? FAB ? ? BAO ? ? FAO ? 90 ° ,∴ P A 是 ? O 的切线. (3)解:过点 F 作 FH ? AD 于点 H .∵ BD ? AD, FH ? AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1),知 ? FBA ? ? BAF ,∴ BF ? AF . 由已知,有 BF ? FG ,∴ AF ? FG ,即 △ AFG 是等腰三角形.
∵ FH ? AD

由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ?

PC ? PD PO

?

12 4

?3.

,∴ AH ? GH .∵ DG ? AG ,∴ DG ? 2 HG ,即

HG DG

?

1



19.(本小题满分 12 分) E 已知:如右图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, D A AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于 点 E.求证:(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC=AE·BD. B 【解析】证明:(1) ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AC=DB 第 19 题图 ∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD (2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD=AE:CD, ∴DE·DC=AE·BD. 20.(本小题满分 12 分)

C

2 ,∴ 四边形 BD H F 是矩形, B D ? F H . ∵ FH ∥ BD, BF ∥ AD, ? FBD ? 90 ° FH FG HG BD FG HG 1 ,即 ? ? ? ? ? . ∵ FH ∥ BC ,易证 △ HFG ∽ △ DCG .∴ CD CG DG CD CG DG 2 BD BD BD 1 ∵ ? O 的半径长为 3 2 ,∴ B C ? 6 2 .∴ ? ? ? . CD BC ? BD 2 6 2 ? BD

解得 B D ? 2 2 .∴ B D ? F H ? 2 2 .∵

FG CG

?

HG DG

?

1 2

,∴ F G ?

1 2

C G .∴ CF ? 3 FG .

在 Rt △ FBC 中,∵ CF ? 3 FG , BF ? FG ,由勾股定理,得 CF 2 ? BF 2 ? BC 2 . 2 2 2 ∴ (3 F G ) ? F G ? (6 2 ) .解得 FG ? 3 (负值舍去) ∴ FG ? 3 . . [或取 C G 的中点 H , 连结 D H , C ?H 则G G . 易证 △ AFC ≌ △ DHC , FG ? HG , C ?F 故G G 2 ∴ 2
CF ? 3 FG .由 GD ∥ FB ,易知 △ CDG ∽ △ CBF ,∴
CD CB ? CG CF ? 2 FG 3FG ? 2 3





如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交 AC、CF 于 E、F,求 证: PB 2 =PE?PF. 【解析】连结 PC ,易证 PC ? PB , ? ABP ? ? ACP ∵ CF // AB ∴ ? F ? ? ABP ,从而 ? F ? ? ACP
第 20 题图 解答用图



6 2 ? BD 6 2
2 2

?

2 3

,解得 B D ? 2 2 .又在 Rt △ CFB 中,由勾股定理,得
2

,∴ FG ? 3 (舍去负值)] . 22.(本小题满分 14 分)
(3 F G ) ? F G ? (6 2 )
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AC BC

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如图 1,点 C 将线段 A B 分成两部分,如果 ,那么称点 C 为线段 A B 的黄金分割点.某研 ? . AB AC 究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线” ,类似地给出“黄金分割线”的定义: 直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 S 1 , S 2 ,如果
S1 S ? S2 S1

,那么称直线 l

为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想: △ ABC 中, 在 若点 D 为 A B 边上的黄金分割点(如图 2),则直线 C D 是 △ ABC 的 黄金分割线.你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点 C 任作一条直线交 A B 于点 E ,再过点 D 作直线 DF ∥ CE , 交 AC 于点 F ,连接 E F (如图 3),则直线 E F 也是 △ ABC 的黄金分割线.请你说明理由. (4)如图 4,点 E 是 ? ABCD 的边 A B 的黄金分割点,过点 E 作 EF ∥ AD ,交 D C 于点 F ,显然直 线 E F 是 ? ABCD 的黄金分割线.请你画一条 ? ABCD 的黄金分割线,使它不经过 ? ABCD 各边黄金 分割点.

第 22 题图 【解析】(1)直线 C D 是 △ ABC 的黄金分割线.理由如下:设 △ ABC 的边 A B 上的高为 h .
S △ ADC ? 1 2 A D ?h , S △ B D C ? 1 2 B D ?h , S △ A B C ? 1 2 AD AB ? BD AD A B ?h ,所以
S △ ADC S △ ABC ? AD AB S △ ADC S △ ABC ?



S △ BDC S △ ADC

?

BD AD

又因为点 D 为边 A B 的黄金分割点,所以有 所以,直线 C D 是 △ ABC 的黄金分割线.

.因此

S △ BDC S △ ADC



(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 s1 ? s 2 ?

1 2

s ,即

s1 s

?

s2 s1

,所以三角形

的中线不可能是该三角形的黄金分割线. (3)因为 DF ∥ CE ,∴ △ DEC 和 △ FCE 的公共边 CE 上的高也相等,所以有 S △ DEC ? S △ FCE 设直线 E F 与 C D 交于点 G .所以 S △ DGE ? S △ FGC .所以 S △ A D C ? S 四 边 形 A F G D ? S △ F G C
? S四 边 形 AFGD ? S △ DGE ? S △ AEF

, S △ BDC ? S四 边 形 BEFC .
S △ AEF S △ ABC ? S四 边 形 BEFC S △ AEF

DN F G B

又因为

S △ ADC S △ ABC

?

S △ BDC S △ ADC

,所以

.

C

DN F

C B

A E M A E M 因此,直线 E F 也是 △ ABC 的黄金分割线. (第 22 题答图 1) (第 22 题答图 2) (4)画法不惟一,现提供两种画法; 画法一: 如答图 1, E F 的中点 G , 取 再过点 G 作一条直线分别交 A B , D C 于 M , N 点,则直线 M N 就是 ? ABCD 的黄金分割线. 画法二:如答图 2,在 D F 上取一点 N ,连接 EN ,再过点 F 作 FM ∥ NE 交 A B 于点 M ,连接 M N , 则直线 M N 就是 ? ABCD 的黄金分割线.

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