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人教A版高中数学必修四 1.4《三角函数的图像与性质》教案6

课题:三角函数的图象与性质(三) 课型:新授课 课时计划:本课题共安排二课时 教学目标: 1、理解并会判断正、余弦函数的奇偶性; 2、培养学生直观猜想,归纳抽象,演绎证明的能力; 3、培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神. 教学重点: 求正、余弦函数的奇偶性. 教学难点: 正、余弦函数奇偶性的证明. 教学过程: 一、创设情境,引入新课 我们已经知道正、余弦函数的定义域 x ? R ,值域 ??1,1? 那它们除此之外还有哪些性质呢? 本节我们研究正余弦函数的奇偶性, 引导学生观察正余弦函数图象的对称性. 正弦函数的图象关于原点对称; 余弦函数的图象关于 y 轴对称. 怎样证明这两个结论呢? 设(x,y)是正弦曲线 y=sinx x ? R 上的任意一点,即 P(x, sinx) 是正弦曲线上的一点,它关 于原点的对称点是(-x,-y)即 Q(-x,- sinx) 现在只要证明(-x,- sinx)也是正弦曲线上的点. 由诱导公式 sin(-x)=- sinx 可知,这个对称点就是 (-x ,sin(-x)).它显然也在正弦曲线上. 所以正弦曲线关于原点对称. 这说明: 将正弦函数曲线绕原点旋转 180 度后得的曲线能够和 原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称. 同学们仿照证明 y=cosx x ? R 关于 y 轴对称 分析:设 y ? cos x x ? R 从余弦函数的图象 上任取一点 P(x,y),即 P(x,cosx),其关于 y 轴对称点 P′(-x,y)即 P′(-x,cosx)由诱导公式 cos(-x)=cosx 知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么? 这说明若将余弦曲线延着 y 轴折叠,y 轴两旁的部分能够互相重合,即余弦曲线关于 y 轴对 称. 二、新课讲解 ㈠知识要点: 1、奇函数的定义: 一般的, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x) = -f(x),则称 f(x)为这一 定义域内的奇函数. 定义知正弦函数是奇函数.关于原点对称的函数一定是奇函数,且奇函数的图像一定关于原 点对称.正弦函数是这样的. 注意:(1)对于定义域内任任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),所以-x 也在定义域内故判断一个函 数是否为奇函数,一定要判断定义域是否关于原点对称; (2)若 f(x)是奇函数, 且 x=0 在 定义域内,则 f(0)=0 函数 y=sinx,x∈[0,2π ]是奇函数吗?函数 y=sinx,x∈[-π /2, π /2]是奇函数吗? 2、偶函数的定义:一般的,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),则 称 f(x)为这一定义域内的偶函数. (关于 y 轴对称)定义知余弦函数是偶函数. 函数 y=cosx, x∈[0,π ]是否为偶函数 ? 关于 y 轴对称的函数一定是偶函数, 且偶函数的图像一定关于 y 轴对称.余弦函数是这样的. 从上面的分析知道,正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性. 正弦函数 y ? sin x , x ? R 是奇函数,余弦函数 y ? cos x , x ? R 是偶函数。 理解: (1)由诱导公式 sin ? ? x ? ? ? sin x , cos(? x) ? cos x 可知以上结论成立; (2)反映在图象上,正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称. 三.典例精讲 例 1:判定下列函数的奇偶性(1)y=-sinx x∈R (2)y=|sinx|+|cosx| x∈R (3)y=1+sinx x∈R 解: (1)f(-x)=- sin[3(-x)]=-(-sin3x)=-f(x)且 f(x) 的定义域关于原点对称,可知 y=f(x)=-sin3x, x∈R 是奇函 数.(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且 f(x)的定义域关于原点对称, 可知 y=f(x)=|sinx|+|cosx|, x∈R 是偶函数. (3)f(-x)=sin(-x)+1=1-sinx f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x)可知 y=f(x)=1+sinx x∈R 即不是奇函数也不是偶函数. 四.巩固训练 1.下列命题正确的是( ) A.y=-sinx 为偶函数 B.y=|sinx|是非奇非偶函数 C.y=3cosx+1 为偶函数 D.y=sinx-1 为奇函数 2.函数 y=cos(x+π /2), x? R ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.即不是奇函数也不是偶函数 D.有无奇偶性不能确定 3.判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (1)y=|sinx| x ∈ (-2 π ,2 π ) (2)y=3cosx-1 (-5,5) (3)y=3sinx x∈(- π ,0)∪(π , 2π ) (4)sinx+cosx x∈R 这是奇函数吗? 不是,因为这个函数的图象不成中心对称图型 五.课堂小节 1.奇函数的定义; 2.偶函数的定义; 3.如何判断函数的奇偶性.


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