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4.2.2用函数模型解决实际问题.ppt


教学目的及重点 理解解决应用题的步骤及思维方式, 能利用信息技术帮助理解应用问题。 教学难点:建立恰当的数学模型。 函数模型是应用最广泛的数学 模型之一,许多实际问题一旦认定 是函数关系,就可以通过研究函数 的性质把握问题,使问题得到解决。

例1 某公司一年需要一种计算机 元件8000个,每天需同样多的 元件用于组装整机,该元件每年分n 次进货,每次购买元件的数量均为x, 购一次货需要手续费500元,已 购进而未使用的元件要付库存费, 可以认为平均库存量为x/2件,每个 元件的库存费是一年2元,请核算 一下,每年进货几次花费最小?

分析:
1,每次进货量x与进货次数n有 8000 什么关系: x?
8000 n? 2,进货次数为: x 8000 3,全年的手续费是: 500 ? x n

4,一年的总库存费为:
5,其它费用: C

1 2? x 2

解决应用问题的基本步骤
实际应用题
明确题意,找出 题设与结论的数 学关系——数量 关系和空间位置 关系

再翻译成具 体应用问题 的结论

在分析联想的 基础上,转化 为数学问题, 抽象构建成一 个或几个数学 模型来解。

阅读、分析、联 想、转化、抽象

解答数学问题

运用数学知 识作为工具

建立数学模型

例2已知某商品的价格每上涨x%,销 售的数量就减少kx%,其中k为正常 数。 1 k ? 1. 当 2 时,该商品的价格上涨多少, 就能使销售的总金额最大? 2. 如果适当的涨价,能使销售总金额 增加,求k的取值范围。

解:1.设商品现在定价a元,卖出的 数量为b个。 由题设:当价格上涨x%时,销售总 额为 y ? a(1 ? x%) ? b(1 ? kx%) ab 即 y? [?kx 2 ? 100 (1 ? k ) x ? 10000 ]
10000

ab 1 2 y? [?( x ? 50 ) ? 22500 ] 取 k ? 得: 20000 2

当 x = 50时, y max 价格上涨50%时,销售总金额最大。

9 ? ab 即该商品的 8

2.∵二次函数
50(1 ? k ) 在 (?? , 上递增, ] k 50(1 ? k ) ) 在 [ k ,?? 上递减

ab 2 y? [?kx ? 100 (1 ? k ) x ? 10000 ] 10000

∴适当地涨价,即 x > 0 , 即 50(1 ? k ) ? 0
k

就是 0 < k <1 , 能使销售总金额增 加。

例3某乡镇现在人均一年占有粮食 360千克,如果该乡镇人口平均每年 增长1.2%,粮食总产量平均每年增 长4%,那么x年后若人均一年占有y 千克粮食,求出函数y关于x的解析式.
解:设该乡镇现在人口量为M,则该 乡镇现在一年的粮食总产量360M,经 过1年后,该乡镇粮食总产量为360M (1+4%),人口量为M(1+1.2%)

则人均占有粮食为 360M (1 ? 4%) M (1 ? 1.2%)
经过2年后,人均占有粮食为 2 360M (1 ? 4%) ……
M (1 ? 1.2%)
2

经过x年后,人均占有粮食
360M (1 ? 4%) y= M (1 ? 1.2%) x
x

即所求函数式为: y=360(

1.04 x ) 1.012

例4(本例2)电器材厂在生产扬声器 的过程中,有一道重要的工序:使用 AB胶粘合扬声器中的钢与夹板。长 期以来,由于对AB胶的用量没有一 个确定的标准,经常出现用胶过多, 脱水外溢;或用胶过少,产生脱胶, 影响了产品质量。经过实验,已有一 些恰当用胶量的具体数据(见表4-3) 现在需要提出一个既科学又简便的方 法来确定磁钢面积与用胶量的关系。

例5某地区不同身高的未成年男性 的体重平均值如表: (1)根据表提供的的数据,能否 建立一个恰当的函数模型,使它能 比较近似地反映这个地区一体化未 成年男性体重ykg与身高xcm的函 数关系?试写出这个函数模型的关 系式;

(2)若体重超过相同身高男性体 重的平均值的1.2倍为偏胖,低于 0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名 身高为175cm,体重为78kg的在 校男生的体重是否正常? 解:(1)以身高为横坐标,体重 为纵坐标,画出散点图,根据图的 分布特点,设y=a.bx这一函数来近 似刻画其关系;

取两点(70,7.90),(160,47.25),代入
y=a.bx得:?7.9 ? a.b 70

用计算器得:a?2, b?1.02
这样就得到函数模型:y=2?1.02x为 所求解析式;

? ? 160 ? ?47.25 ? a.b

(2)将x=175代入y=2?1.02x,得
y=2?1.02175,用计算器得:y?63.98. 由于78?63.98?1.22>1.2,所以这个男 生偏胖。

练习P142 作业P148:A组:2; B组:1

小结:掌握解决应用题的步骤及 思维方式。
见开始


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