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2018年秋新课堂高中数学人教A版必修一学案:第3章 3.2 3.2.1 几类不同增长的函数模型 Word版含答案


3.2 3.2.1

函数模型及其应用

几类不同增长的函数模型

学习目标:1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. (重点)2.区分指数函数、 对数函数以及幂函数增长速度的差异.(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决 一些实际问题.(难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 三种函数模型的性质 y=ax(a>1) 在(0,+∞)上的增减性 图象的变化趋势 增函数 随 x 增大逐渐近似 与 y 轴平行 y=logax(a>1) 增函数 随 x 增大逐渐近 似与 x 轴平行 y=xn(n>0) 增函数 随 n 值而不同

①y=ax(a>1):随着 x 的增大,y 增长速度越来越快,会 增长速度 远远大于 y=xn(n>0)的增长速度, y=logax(a>1)的增长速 度越来越慢 ②存在一个 x0,当 x>x0 时,有 ax>xn>logax [基础自测] 1.思考辨析 (1)函数 y=x2 比 y=2x 增长的速度更快些.( 1 (3)函数 y=log x 衰减的速度越来越慢.( 2 [答案] (1)× (2)× (3)√ ) B.y=ln x D.y=e-x ) ) (2)当 a>1,n>0 时,在区间(0,+∞)上,对任意的 x,总有 logax<xn<ax 成立.( )

2.下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( A.y=ex C.y=x2

A [结合指数函数,对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A 正确.] 3.某工厂 8 年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图 321 所示.

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图 321 以下四种说法: ①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后 这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【导学号:37102371】 ②④ [结合图象可知②④正确,故填②④.] [合 作 探 究· 攻 重 难] 几类函数模型的增长差异 (1)下列函数中,增长速度最快的是( A.y=2 018x C.y=log2 018x B.y=x2 018 D.y=2 018x )

1 x - 1 1 ? ? (2)下面对函数 f(x)=log x,g(x)=?2? 与 h(x)=x 2在区间(0,+∞)上的递减情况说 ? ? 2 法正确的是( ) A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢 B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢 D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快 (1)A (2)C [(1)指数函数 y=ax,在 a>1 时呈爆炸式增长,并且随 a 值的增大,增长 速度越快,应选 A.

1 x - 1 1 ? ? (2)观察函数 f(x)=log x, g(x)=?2? 与 h(x)=x 2在区间(0, +∞)上的图象(如图)可知: ? ? 2 函数 f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上, 递减较慢,且越来越慢,同样,函数 g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递
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减速度越来越慢;函数 h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在 区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢.] [规律方法] 常见的函数模型及增长特点? ???线性函数模型? 线性函数模型 y=kx+b?k>0?的增长特点是直线上升,其增长速度不变?? ???指数函数模型? 指数函数模型 y=ax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越 快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”?? ???对数函数模型? 对数函数模型 y=logax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来 越慢,即增长速度平缓?? ???幂函数模型? 幂函数 y=xn?n>0?的增长速度介于指数增长和对数增长之间?? [跟踪训练] 1.四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如表: x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 2 5 26 32 10 4.322 10 101 1 024 20 5.322 15 226 37 768 30 5.907 20 401 1.05×106 40 6.322 25 626 3.36×107 50 6.644 30 901 1.07×109 60 6.907

关于 x 呈指数函数变化的变量是________. 【导学号:37102372】 y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量 y1,y2,y3, y4 均是从 2 开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2 的增长速度 最快,画出它们的图象(图略),可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化.故填 y2.]

指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

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函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象如图所示,设两函数的图象交于点 A(x1,y1), B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出图 322 中曲线 C1,C2 分别对应的函数;

图 322 (2)结合函数图象,判断 f(6),g(6),f(2 016),g(2 016)的大小. [解] (1)C1 对应的函数为 g(x)=x3,C2 对应的函数为 f(x)=2x.

(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), ∴1<x1<2,9<x2<10, ∴x1<6<x2,2 016>x2. 从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6); 当 x>x2 时,f(x)>g(x), ∴f(2 016)>g(2 016). 又 g(2 016)>g(6), ∴f(2 016)>g(2 016)>g(6)>f(6). [规律方法] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得 快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数 是对数函数. [跟踪训练] 2.函数 f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1 的图象如图 323 所示.

图 323 (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1,C2 分别对应的函数;

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(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较). 【导学号:37102373】 [解] (1)C1 对应的函数为 g(x)=0.3x-1,C2 对应的函数为 f(x)=lg x. (2)当 x<x1 时,g(x)>f(x);当 x1<x<x2 时,f(x)>g(x);当 x>x2 时,g(x)>f(x);当 x=x1 或 x=x2 时,f(x)=g(x).

需选择函数模型的实际问题 [探究问题] 1.一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点? 提示:一次函数模型的增长速度不变,是均匀的;指数函数模型的增长速度最快,呈 爆炸式;对数函数模型的增长速度先快后慢. 2.在选择函数模型时,若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化,应选择 哪个函数模型?若变化的速度很平缓,应选择哪个函数模型? 提示:前者应选择指数函数模型,后者选择对数函数模型. (1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长 迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时 间 x 的关系,可选用( A.一次函数 C.指数型函数 ) B.二次函数 D.对数型函数

(2)某皮鞋厂今年 1 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万双,1.2 万双,1.3 万双,1.37 万双.由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销 员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分 析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备 和工人.假如你是厂长,就月份为 x,产量为 y 给出三种函数模型:y=ax+b,y=ax2 +bx+c,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量? 思路探究:结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解. (1)D [结合“直线上升,对数增长,指数爆炸”可知,对数型函数符合题设条件, 故选 D.] (2)由题意知,将产量随时间变化的离散量分别抽象为 A(1,1), B(2,1.2) , C(3,1.3), D(4,1.37)这 4 个数据. ①设模拟函数为 y=ax+b 时, 将 B,C 两点的坐标代入函数式,

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?3a+b=1.3, ?a=0.1, 得? 解得? ?2a+b=1.2. ?b=1. 所以有关系式 y=0.1x+1. 由此可得结论为:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升 1 000 双,这是不 太可能的. ②设模拟函数为 y=ax2+bx+c 时,将 A,B,C 三点的坐标代入函数式,得

?a+b+c=1, ?4a+2b+c=1.2, ?9a+3b+c=1.3.

?a=-0.05, 解得?b=0.35, ?c=0.7.

所以有关系式 y=-0.05x2+0.35x+0.7. 结论为:由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双,比实际产量少 700 双,而且由二次函 数性质可知,产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴为 x=3.5),不合 实际. ③设模拟函数为 y=abx+c 时, 将 A,B,C 三点的坐标代入函数式, +c=1, 1? ?ab2 得?ab +c=1.2, 2? ?ab3+c=1.3. 3? 由 1),得 ab=1-c,代入 2)3), ?b?1-c?+c=1.2, 得? 2 ?b ?1-c?+c=1.3. 1.2-b ? c = ? 1-b , 则? 1.3-b2 c = ? ? 1-b2 ?b=0.5, 1-c 解得? 则 a= b =-0.8. ?c=1.4.

所以有关系式 y=-0.8×0.5x+1.4. 结论为:当把 x=4 代入得 y=-0.8×0.54+1.4=1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如:增 产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房 新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段 时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数型函数模型恰好反映了这种 趋势. 因此选用指数型函数 y=-0.8×0.5x+1.4,模拟比较接近客观实际.
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[规律方法]

???此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就

是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数?? ???函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过 对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选 择模拟,进行数据的拟合?? [跟踪训练] 3.某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.5~8 千美元的地区 销售该公司 A 饮料的情况调查时发现:该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最 多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x 表示人均 GDP,单位:千美元,y 表示年人均 A 饮料的销售量,单位:L).用哪个模 拟函数来描述人均 A 饮料销售量与地区的人均 GDP 关系更合适?说明理由; (2)若人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 A 饮料的销售量为 2 L,人均 GDP 为 4 千美元 时,年人均 A 饮料的销售量为 5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地 区中,年人均 A 饮料的销售量最多是多少? 【导学号:37102374】 [解] (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多, 然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都 不合适,故用①来模拟比较合适. (2)因为人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 A 饮料的销量为 2 升;人均 GDP 为 4 千美 元时,年人均 A 饮料的销量为 5 升,把 x=1,y=2;x=4,y=5 代入到 y=ax2+bx, ?2=a+b, 1 9 1 9 得? 解得 a=-4,b=4,所以函数解析式为 y=-4x2+4x.(x∈[0.5,8]) ?5=16a+4b, 1 9 1? 9? 81 9 81 ∵y=-4x2+4x=-4?x-2? +16,∴当 x=2时,年人均 A 饮料的销售量最多是16 L. ? ? [当 堂 达 标· 固 双 基] 1. 如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型( x y 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 )
2

A.一次函数模型

B.二次函数模型

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C.指数函数模型 选 A.]

D.对数函数模型

A [自变量每增加 1 函数值增加 2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故 2.下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( A.y=1 C.y=3x 速度最快的是 y=3x.] 3.能使不等式 log2x<x2<2x 一定成立的 x 的取值区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,2) B.(2,+∞) D.(4,+∞) ) B.y=x D.y=log3x ) 【导学号:37102375】

C [结合函数 y=1,y=x,y=3x 及 y=log3x 的图象可知(图略),随着 x 的增大,增长

D [当 x>4 时,log2x<x2<2x,故选 D.] 4.某人投资 x 元,获利 y 元,有以下三种方案.甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100, 丙:y=1.005x,则投资 500 元,1 000 元,1 500 元时,应分别选择________方案. 【导学号:37102376】 乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较 y 值的大小即可求 出.] 1 5.画出函数 f(x)= x与函数 g(x)=4x2-2 的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小 关系. [解] 函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示.

根据图象易得:当 0≤x<4 时,f(x)>g(x); 当 x=4 时,f(x)=g(x); 当 x>4 时,f(x)<g(x).

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