数系的扩充
复数的概念
3.1
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充与复数的概念
自然数
整数
数 系 的 扩 充
3?5 ? ?
2?3 ? ?
用图形表示数集包含关系
有理数
R
Q
N
z
x ? 2, 则 x ? ?
2
实数
数系是怎样一步一步扩充的?
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知识引入
我们已知知道:
对于一元二次方程
x ? 1 ? 0 没有实数根.
2
思考?
x ? ?1
2
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?
引入一个新数:
i
满足
i ? ?1
2
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现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、
结合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .
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复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即
z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位。
? R? C
讨 论?
复数集C和实数集R之间有什么关系?
?实数(b ? 0) ? 复数a+bi ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ? 虚数 ( b ? 0) ? ? ?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ?
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思
考? 复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
复数集,虚数集,实 数集,纯虚数集之间 的关系?
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复数的发展史 虚数这种假设, 是需要勇气的 ,人们在当时是无法接受 的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究 :第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹,他是 1545 年开始讨 论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年, 笛卡尔才给这种 “虚幻之数” 取了一个名字——虚数. 但 是又过了 140 年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中” ,并用 i (imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义, 但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的作用.1830 年,高 斯 详 细 论 述 了 用 直 角 坐 标 系 的 复 平 面 上 的点 表 示 复 数 a ? bi ,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
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1.说明下列数中,哪些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。
2 ? 7 0.618
i
2
i 1? 3
?
?
2 0 i 7 5i +8, 3 ? 9 2i
2、判断下列命题是否正确:
(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数
(3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数
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例1 实数m取什么值时,复数
z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即
是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
m ? 1时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是虚数. (3)当 ?m ? 1 ? 0 即 m ? ? 1时,复数z 是 ? 纯虚数. m ? 1 ? 0 ?
练习1:当m为何实数时,复数
z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2
m ? 1或m ? ?1
是 (1)实数
(2)虚数
m ? 1且m ? ?1
(3)纯虚数
m ? ?2
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我们知道若
a ? bi ? 0 则
0 0 a ? _____ b ? _____
如何定义两个复数的相等?
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,
注意:一般对两个复数只能说相等或不相等; 不能比较大小。
?a ? c a ? bi ? c ? di ? ?b ? d ?
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如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,
例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .
?a ? c a ? bi ? c ? di ?? b ? d ?
? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R
解:根据复数相等的定义,得方程组
?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )
5 解得 x ? , y ? 4 2
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例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .
? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R
转化
解题思考: 复数相等 的问题 求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想:转化思想
1、若x,y为实数,且
求x,y
?
x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2
?
2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值.
i
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实数可以用数轴上的点来表示。 实数 (数 )
规定了
一一对应
数轴上的点 (形 )
直线
正方向,
原点,单位长度
数轴
1
o
x
(几何模型)
你能否找到用来表示复数的几何模型呢?
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有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应
y
直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
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能否把绝对值概念推广到复数范围呢? 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 实数 a 在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a
O
A
X
? a (a ? 0) | a | = | OA | ? ? ?? a (a ? 0)
z=a+bi Z (a,b)
O
y
x
| z | = |OZ| ? a ? b
2
2
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例 求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)复数的模能否比较大小? (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复
数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
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y
满 足 |z|=5(z∈C) 的复数 z 对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)
5
5
O x
? z ? x ? y ?5
2 2
x y
-5 -4 -3 0 3 4 5 0 ?3 ?4 ?5 ?4 ?3 0
–5
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辨析: 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
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2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
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例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。
? ?3 ? m ? 2 ? m2 ? m ? 6 ? 0 得? 解:由? 2 ?m ? ?2 或 m ? 1 ?m ? m ? 2 ? 0
? m ? (?3, ?2) ? (1, 2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想:数形结合思想
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变式一:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复
平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数 m的值。 解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2), ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0, ∴m=1或m=-2。
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例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。 变式二:证明对一切m,此复数所对应的点不可能 位于第四象限。
证明:若复数所对应的点位于第四象限, ?m 2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? ?3或m ? 2 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0 ? ?2 ? m ? 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
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B
n?Z
*
i
i
4n
?
?
1
4n?2
-1
i ? i 4 n ?3 i ? ?i
4 n ?1
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?a ? c a ? bi ? c ? di ?? b?d ? 练习 2.
求实数 x , y 的值. x ? 3, y ? ⑵ 若? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i , 求实数 x , y 的值.
若a, b, c, d ? R,
⑴ 已知? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5? ? ? 3 x ? y ? i
?2
x ? 1, y ? 1
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1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等
3.复数的分类:
选做作业: 1. 若方程x2 ? ? m ? 2i ? x ? ? 2 ? mi ? ? 0至少有 一 个 实 数根,求实数 m 的值.
作业:课本 P55 A 组 1、2
m ? ?2 2