3.1 数系的扩充与复数的概念

数系的扩充

复数的概念

3.1

数系的扩充与复数的概念

数系的扩充

复数的概念

数系的扩充与复数的概念
自然数
整数

数 系 的 扩 充

3?5 ? ?
2?3 ? ?

用图形表示数集包含关系

有理数

R

Q

N

z

x ? 2, 则 x ? ?
2

实数

数系是怎样一步一步扩充的？

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知识引入

我们已知知道：

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根．
2

思考？

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？

引入一个新数：

i

满足

i ? ?1
2

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现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定： （1）i2??1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、

结合律和分配律)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .

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复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
? R? C

讨 论？

复数集C和实数集R之间有什么关系？

?实数(b ? 0) ? 复数a+bi ?纯虚数a ? 0，b ? 0 ? 虚数 ( b ? 0) ? ? ?非纯虚数a ? 0，b ? 0 ?

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思

考？ 复数集
虚数集
纯虚数集

实数集

复数集，虚数集，实 数集，纯虚数集之间 的关系？

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复数的发展史 虚数这种假设, 是需要勇气的 ,人们在当时是无法接受 的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究 :第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年， 笛卡尔才给这种 “虚幻之数” 取了一个名字——虚数． 但 是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中” ，并用 i （imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义， 但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830 年，高 斯 详 细 论 述 了 用 直 角 坐 标 系 的 复 平 面 上 的点 表 示 复 数 a ? bi ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.

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1.说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。

2 ? 7 0.618

i

2

i 1? 3

?

?

2 0 i 7 5i +8， 3 ? 9 2i

2、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数

（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数

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例1 实数m取什么值时，复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i

解: （1）当 m ? 1 ? 0，即

是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

m ? 1时，复数z 是实数． （2）当 m ? 1 ? 0 ，即 m ? 1 时，复数z 是虚数． （3）当 ?m ? 1 ? 0 即 m ? ? 1时，复数z 是 ? 纯虚数． m ? 1 ? 0 ?

练习1:当m为何实数时，复数

z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

m ? 1或m ? ?1

是 （1）实数

（2）虚数

m ? 1且m ? ?1

（3）纯虚数

m ? ?2

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我们知道若

a ? bi ? 0 则

0 0 a ? _____ b ? _____

如何定义两个复数的相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．

若a, b, c, d ? R,

注意：一般对两个复数只能说相等或不相等； 不能比较大小。

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ?b ? d ?

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复数的概念

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．

若a, b, c, d ? R,

例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .

?a ? c a ? bi ? c ? di ?? b ? d ?

? y ? (3 ? y )i ，其中x, y ? R

解：根据复数相等的定义，得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

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复数的概念

例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .

? y ? (3 ? y )i ，其中x, y ? R
转化

解题思考： 复数相等 的问题 求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想：转化思想
1、若x，y为实数，且

求x，y

?

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.

i

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实数可以用数轴上的点来表示。 实数 (数 )
规定了

一一对应

数轴上的点 (形 )

直线

正方向，

原点，单位长度

数轴
1

o

x

(几何模型)

你能否找到用来表示复数的几何模型呢？

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有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应

y

直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

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能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 实数 a 在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a
O

A

X

? a (a ? 0) | a | = | OA | ? ? ?? a (a ? 0)

z=a+bi Z (a,b)
O

y

x

| z | = |OZ| ? a ? b
2

2

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例 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复

数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

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y

满 足 |z|=5(z∈C) 的复数 z 对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)

5

5
O x

? z ? x ? y ?5
2 2

x y

-5 -4 -3 0 3 4 5 0 ?3 ?4 ?5 ?4 ?3 0

–5

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辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

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2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

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例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。

? ?3 ? m ? 2 ? m2 ? m ? 6 ? 0 得? 解：由? 2 ?m ? ?2 或 m ? 1 ?m ? m ? 2 ? 0

? m ? (?3, ?2) ? (1, 2)

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想

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变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复

平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数 m的值。 解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。

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例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式二：证明对一切m，此复数所对应的点不可能 位于第四象限。

证明：若复数所对应的点位于第四象限， ?m 2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? ?3或m ? 2 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0 ? ?2 ? m ? 1
不等式解集为空集

所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

小结

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B

n?Z

*

i
i

4n

?
?

1

4n?2

-1

i ? i 4 n ?3 i ? ?i

4 n ?1

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?a ? c a ? bi ? c ? di ?? b?d ? 练习 2.
求实数 x , y 的值. x ? 3, y ? ⑵ 若? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i , 求实数 x , y 的值.

若a, b, c, d ? R,

⑴ 已知? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5? ? ? 3 x ? y ? i

?2

x ? 1, y ? 1

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复数的概念

1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：

复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等

3.复数的分类：
选做作业: 1. 若方程x2 ? ? m ? 2i ? x ? ? 2 ? mi ? ? 0至少有 一 个 实 数根,求实数 m 的值.

作业:课本 P55 A 组 1、2

m ? ?2 2