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高中数学必修5第三章不等式单元测试(含答案)

高中数学必修五第三章不等式单元测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.不等式 x2≥2x 的解集是( ) A.{x|x≥2} B.{x|x≤2} C.{x|0≤x≤2} 2.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A. D.{x|x≤0 或 x≥2} D. a ? 2b
2

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a b

C. a ? b

2

3.直线 3x+2y+5=0 把平面分成两个区域,下列各点与原点位于同一区域的是( A.(-3,4) B.(-3,-4) C.(0,-3) D.(-3,2) 4.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( ) A. y ? x ? C. y ?

)

1 x

B. y ? sin x ? D. y ? x ?

1 ? , x ? (0, ) sin x 2

x2 ? 3 x2 ? 2

2 ?1 x

5.设 M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则有( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2x-y+2≥0, ? ? 6.不等式组?x+y-2≤0, ? ?y≥0 A.三角形 表示的平面区域的形状为( C.梯形 ) D.正方形 )

B.平行四边形

?x+y-3≥0, ? 7.设 z=x-y,式中变量 x 和 y 满足条件? 则 z 的最小值为( ? ?x-2y≥0,

A.1

B.-1 C.3 D.-3 2 m 8.若关于 x 的函数 y=x+ 在(0,+∞)的值恒大于 4,则( ) x A.m>2 B.m<-2 或 m>2
2

C.-2<m<2

D.m<-2 )。

9.一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ? A. 10
2

B. ?10

C. 14

1 1 , ) ,则 a ? b 的值是( 2 3 D. ?14

10.若方程 x ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是( A. m ? ?4 或 m ? 4 B. ? 5 ? m ? ?4

).

C. ? 5 ? m ? ?4

D. ? 5 ? m ? ?2

11. 已知定义域在实数集 R 上的函数 y=f(x)不恒为零, 同时满足 f(x+y)=f(x)· f(y), 且当 x>0 时, f(x)>1, 那么当 x<0 时,一定有( ) A.f(x)<-1 B.-1<f(x)<0 C.f(x)>1 D.0<f(x)<1 x+2 12.若 <0,化简 y= 25-30x+9x2- (x+2)2-3 的结果为( ) 3x-5 A.y=-4x B.y=2-x C.y=3x-4 D.y=5-x

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 1 13.对于 x∈R,式子 恒有意义,则常数 k 的取值范围是_________. 2 kx +kx+1 14.x≥0,y≥0,x+y≤4 所围成的平面区域的周长是________.

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x 的最小值是________。 sin 2 x 2 1 16.若 f (n) ? n 2 ? 1 ? n, g (n) ? n ? n 2 ? 1, ? (n) ? (n ? N * ) ,用不等号从小到大 2n
15.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 连结起来为____________。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) e e 17.(8 分)已知 a>b>0,c<d<0,e<0,比较 与 的大小. a-c b-d

?

18.(8 分)解下列不等式: 2 2 (1)-x +2x- >0; 3

(2)9x -6x+1≥0.

2

19.(8 分)已知 m∈R 且 m<-2,试解关于 x 的不等式:(m+3)x -(2m+3)x+m>0.

2

?2x+y-4≤0, ? 20.(8 分)已知非负实数 x,y 满足? ?x+y-3≤0. ?

(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域; (2)求 z=x+3y 的最大值.

21.(8 分)经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的

1 函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20- |t-10|(元). 2 (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

22.(10 分)某工厂有一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126 m2 a 的厂房,工程条件是:(1)建 1 m 新墙的费用为 a 元;(2)修 1 m 旧墙的费用为 元; 4 a (3)拆去 1 m 的旧墙,用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为 元. 2 经讨论有两种方案: ①利用旧墙 x m(0<x<14)为矩形一边;②矩形厂房利用旧墙的一面长 x≥14. 试比较①②两种方案哪个更好.

必修 5 第三章《不等式》单元测试题答案
1.解析:原不等式化为 x -2x≥0,则 x≤0 或 x≥2. 答案:D 2.C 对于 A,B,倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?
2

1 1 ? ,要求 a, b 同号, a b

1 ? b ? ?1 ? b2 ? 1, 而a ? 1 ,对于 a 2 ? 2b 的反例: a ? 1.1, a 2 ? 1.21, b ? 0.8, 2b ? 1.6
3.解析:当 x=y=0 时,3x+2y+5=5>0,所以原点一侧的平面区域对应的不等式是 3x+2y+5>0, 可以验证,仅有点(-3,4)的坐标满足 3x+2y+5>0. 答案:A 4.答案:D 对于 A:不能保证 x ? 0 ,对于 B:不能保证 sin x ?
2

1 , sin x

对于 C:不能保证 x ? 2 ? 对于 D: y ? x ?

1 x ?2
2



1 1 ? ?1 ? 33 1 ?1 ? 2 x x
2

5.解析:M-N=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a ≥0, 所以 M≥N.

答案:B 6.解析:在平面直角坐标系中,画出不等式组表示的平面区域,如下图中的阴影部分.

则平面区域是△ABC. 答案:A 7.解析:画出可行域如下图中的阴影部分所示.解方程组?
? ?x+y-3=0, ?x-2y=0. ?

得 A(2,1).由图知, 当

直线 y=x-z 过 A 时,-z 最大,即 z 最小,则 z 的最小值为 2-1=1.

答案:A 8.解析:∵x+ ≥2|m|,∴2|m|>4. ∴m>2 或 m<-2. 答案:B 9. D 方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的两个根为 ?
2

m2 x

1 1 和 , 2 3

1 1 b 1 1 2 ? ? ? ? , ? ? ? , a ? ?12, b ? ?2, a ? b ? ?14 2 3 a 2 3 a ?? ? (m ? 2)2 ? 4(m ? 5) ? 0 ? 10. B , ?5 ? m ? ?4 ? x1 ? x2 ? ?(m ? 2) ? 0 ?x x ? m ? 5 ? 0 ? 1 2
11.解析:令 x=y=0 得 f(0)=f (0), 若 f(0)=0,则 f(x)=0·f(x)=0 与题设矛盾. ∴f(0)=1.又令 y=-x,∴f(0)=f(x)·f(-x), 1 故 f(x)= . f(-x) ∵x>0 时,f(x)>1,∴x<0 时,0<f(x)<1,故选 D. 答案:D x+2 5 2 2 12.解析:∵ <0,∴-2<x< .而 y= 25-30x+9x - (x+2) -3=|3x-5|-|x+2|-3=5 3x-5 3 -3x-x-2-3=-4x.∴选 A. 答案:A 二、填空题 1 13.对于 x∈R,式子 恒有意义,则常数 k 的取值范围是__________. 2 kx +kx+1 1 2 解析: 式子 恒有意义, 即 kx +kx+1>0 恒成立. 当 k≠0 时, k>0 且Δ =k2-4k<0, ∴0<k<4; 2 kx +kx+1 2 而 k=0 时,kx +kx+1=1>0 恒成立,故 0≤k<4
2

14.x≥0,y≥0,x+y≤4 所围成的平面区域的周长是________. 解析:如下图中阴影部分所示,围成的平面区域是 Rt△OAB.

可求得 A(4,0),B(0,4),则 OA=OB=4, AB=4 2,所以 Rt△OAB 的周长是 4+4+4 2=8+4 2. 答案:8+4 2

15.

f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x 2 cos 2 x ? 8sin 2 x 1 ? ? 4 tan x ? ?2 4 ?4 sin 2 x 2sin x cos x tan x
f ( n )? 1 n ?1 ? n
2

16. f (n) ? ? (n) ? g (n)

g , n ( ? )

1 n ?1 ? n
2

? ,n (? )

1 n ?n
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

e e 与 的大小. a-c b-d e e e(b-d)-e(a-c) (b-a)+(c-d) 解: - = = e. a-c b-d (a-c)(b-d) (a-c)(b-d) ∵a>b>0,c<d<0, ∴a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0. e e e e 又 e<0,∴ - >0.∴ > . a-c b-d a-c b-d
17.(12 分)已知 a>b>0,c<d<0,e<0,比较 18.(12 分)解下列不等式: 2 2 (1)-x +2x- >0; 3 2 (2)9x -6x+1≥0. 2 2 2 2 2 解:(1)-x +2x- >0?x -2x+ <0?3x -6x+2<0. 3 3 Δ =12>0,且方程 3x -6x+2=0 的两根为 x1=1- ∴原不等式解集为{x|1-
2

3 3 ,x2=1+ , 3 3

3 3 <x<1+ }. 3 3 2 2 (2)9x -6x+1≥0?(3x-1) ≥0. ∴x∈R.∴不等式解集为 R. 2 19.(12 分)已知 m∈R 且 m<-2,试解关于 x 的不等式:(m+3)x -(2m+3)x+m>0. 解:当 m=-3 时,不等式变成 3x-3>0,得 x>1; 当-3<m<-2 时,不等式变成(x-1)[(m+3)x

m ; m+3 m 当 m<-3 时,得 1<x< . m+3 综上,当 m=-3 时,原不等式的解集为(1,+∞);当
-m]>0,得 x>1 或 x<

- 3<m< - 2 时,原不等式的解集为 ?-∞,

? ?

m ? ∪ (1 ,+∞ ) ;当 m< - 3 时,原不等式的解集为 m+3? ?

?1, m ?. ? m+3? ? ?
?2x+y-4≤0, ? 20.(12 分)已知非负实数 x,y 满足? ?x+y-3≤0. ? (1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域; (2)求 z=x+3y 的最大值.

解:(1)由 x,y 取非负实数,根据线性约束条件作出可行域,如下图所示阴影部分.

(2)作出直线 l:x+3y=0,将直线 l 向上平移至 l1 与 y 轴的交点 M 位置时,此时可行域内 M 点与直 线 l 的距离最大,而直线 x+y-3=0 与 y 轴交于点 M(0,3). ∴zmax=0+3×3=9. 21. (13 分)(2009· 江苏苏州调研)经市场调查, 某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件) 1 与价格(元)均为时间 t(天)的函数, 且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件), 价格近似满足 f(t)=20- |t 2 -10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解:(1)y=g(t)·f(t) 1 =(80-2t)·(20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|) ? ?(30+t)(40-t), 0≤t<10, =? ?(40-t)(50-t), 10≤t≤20. ? (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 22. (14 分)某工厂有一段旧墙长 14 m, 现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形, 面积为 126 2 m 的厂房,工程条件是: (1)建 1 m 新墙的费用为 a 元; (2)修 1 m 旧墙的费用为 元; 4 (3)拆去 1 m 的旧墙,用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为 元. 2 经讨论有两种方案: ①利用旧墙 x m(0<x<14)为矩形一边; ②矩形厂房利用旧墙的一面长 x≥14.

a

a

试比较①②两种方案哪个更好. 解:方案①:修旧墙费用为

ax
4

(元),

拆旧墙造新墙费用为(14-x) (元), 2 2×126 其余新墙费用为(2x+ -14)a(元),

a

x

ax a 2×126 x 36 则总费用为 y= +(14-x) +(2x+ -14)a=7a( + -1)(0<x<14), 4 2 x 4 x x 36 ∵ + ≥2 4 x x 36 · =6, 4 x

x 36 ∴当且仅当 = 即 x=12 时,ymin=35a, 4 x 方案②: a 7a 利用旧墙费用为 14× = (元), 4 2 252 建新墙费用为(2x+ -14)a(元), x
7a 252 126 21 则总费用为 y= +(2x+ -14)a=2a(x+ )- a(x≥14), 2 x x 2 126 可以证明函数 x+ 在[14,+∞)上为增函数,

x

∴当 x=14 时,ymin=35.5a. ∴采用方案①更好些.



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