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河南省郑州市2015-2016学年高一数学上册期末考试题


2015—2016 学年上期末考 18 届 高一数学试题
说明: 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,满分 150 分,时间 120 分钟. 2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中. 第Ⅰ卷 (选择题、填空题,共 80 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {x | x2 ? x} ,则 M ? N ? ( A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} ) C. y ?
x 1? x

) D.{-1,0,1}

2.下列函数中,在 ?? ?,1? 内是增函数的是( A . y ? 1 ? x3 D. y ? 1 ? x 3.已知 a ? log 1 5, b ? log2 3, c ? 1, d ? 3?0.6 ,那么(
2

B. y ? x 2 ? x

) C . a?b?c?d

A . a?c?b?d D. a ? c ? d ? b

B . a?d ?c?b

4.若函数 f ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 在区间(0,1)内恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是( A. (??,?1) ) B. (1, ??) ) C. (?1,1) D. [0,1)

5.下列命题中正确的是(

A.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

C.由五个面围成的多面体一定是是四棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 6.四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB, EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角等于( ) A.30° B. 45° C. 60° D. 90 ° 7.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1B 与平面 BB1D1D 所成的角的大 小是 ( A.90° ) B.30° C.45° D.60°

8.矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角
B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积是(

) C.
125 ? 6

A. D.
125 ? 3

125 ? 12

B.

125 ? 9

9. 函 数 f ( x)? l oag a (x ? ( )

在 2 ) [1,3] 上 单 调 递 增 , 则 a 的 取 值 范 围 是

A. (1, ??)

B.(0,2)

C. (0, )

2 3

D. (2, ??)

10.数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依 次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半, 这 条 直 线 被 后 人 称 之 为 三 角 形 的 欧 拉 线 . 已 知 ?ABC 的 顶 点
A( 2 , 0B ),
AC (0 ,4 ) ? BC ,则 ?ABC 的欧拉线方程为( ,


2x ? y ? 3 ? 0

A . x ? 2y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0

B . x ? 2y ? 3 ? 0

C .

11.方程 1? x2 ? k ( x ?1) ? 2 有两个不等实根, 则 k 的取值范围是 ( A. ( , ??)
3 4



B. ( ,1]

1 3

C. (0, )

3 4

D. ( ,1]

3 4

12.设集合 A ? ?( x, y) | x 2 ? y 2 ?| x | ? | y |, x, y ? R? ,则集合 A 所表示图形的 面积为( A.
1? ?

) B. 2 C. 2 ? ? D. ?

二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 一个几何体的三视图如右图所示,且其 侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的 体积为________.

14. (log3 3 ) ? 3
2

2log3 2

1 ? ?1 ? ? log 0.25 ? ? ? =______. 4 ? 2?
2

?4

15. 当 x ? (1,3) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则

m 的取值范围是

________.

16.圆C 的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得 以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ________.

2015—2016 学年上期末考 18 届 高一数学试题答题卷
三 题号 一 二 17 18 19 20 21 22 总分

得分

一、选择题: (共 60 分) 题 1 号 答 案 二、填空题: (共 20 分) . 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12

13. 16.

14.

15.

第Ⅱ卷 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)已知集合 A ? ?x x2 ? x ?12 ? 0? ,集合

B ? ?x x 2 ? 2x ? 8 ? 0 ,集合 C ? {x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0}(a ? 0) .

?

(Ⅰ)求 A ? (CR B) ; (Ⅱ)若 C ? ( A ? B) ,试确定正实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)分别求出适合下列条件的直线方程: (Ⅰ)经过点 P(?3, 2) 且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍; (Ⅱ)经过直线 2x+7y-4=0 与 7x-21y-1=0 的交点,且和 A(-3, 1),B(5,7)等距离. .

19.(本小题满分 12 分)一片森林原来面积为 a ,计划每年砍伐一些 树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时 间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已 知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (Ⅰ)求每年砍伐面积的百分比; (Ⅱ)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (III)今后最多还能砍伐多少年?
2 . 2
1 4

座 号 20.(本小题满分 12 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 , 将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, 使 A 移到 A?1 点, 且 A?1A在平面 BCD 上 1 的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC . (Ⅰ)求证: BC ? A1D ; (Ⅱ)求证:平面 A?1 BC ? 平面 A?1 BD ; (III)求点 C 到平面 A?1 BD 的距离.
D A O B C

21. (本小题满分 12 分)如图,已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴 及直线 y ? 3x 分别相切于 A、B 两点,另一圆 N 与圆 M 外切,且与 x 轴及直线 y ? 3x 分别相切于 C、D 两点. (Ⅰ)求圆 M 和圆 N 的方程; (Ⅱ)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( 1 ) x , 其反函数为 y ? g ( x).
2

(Ⅰ) 若 g (mx2 ? 2x ? 1) 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ) 当 x ? ? ?1, 1? 时,求函数 y ? ? f ( x)?2 ? 2af ( x) ? 3 的最小值 h(a) ; (III) 是否存在实数 m ? n ? 2 ,使得函数 y ? h( x) 的定义域为 ? n, m? ,值
2 2 域为 ? ?n , m ? ? ,若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,则说明理由.

2015—2016 学年上期末考 18 届 高一数学试题 参考答案
一、选择题: 1-5 BCBBD 6-10 ABCDA 11-12 DC 二、填空题 13.
(8 ? ? ) 3 6

14.

5 4

15. m ? ?5

16.

12 5

三、解答题:
A ? (C 17.解: (Ⅰ) 依题意得, A ? ?x ? 3 ? x ? 4?, B ? ?x x ? ?4 或 x ? 2? ,
R

B ) ? ( ?3, 2]

.……

5分 (Ⅱ) A ? B ? (2, 4) ,由于 a ? 0 则 C ? ?x a ? x ? 3 a? ,由 C ? ( A ? B) 得 ? 以
4 ? a ? 2. 3

?a ? 2, 所 ?3a ? 4,

……10 分

18. (Ⅰ)解:当直线不过原点时,设所求直线方程为 + =1, 2a a 1 将(-3,2)代入所设方程,解得 a= ,此时,直线方程为 x+2y-1 2 =0. 2 2 当直线过原点时, 斜率 k=- ,直线方程为 y=- x,即 2x+3y=0, 3 3 综 上 可 知 , 所 求 直 线 方 程 为 x + 2y - 1 = 0 或 2x + 3y = 0. ……6 分 (Ⅱ) 解:有 ?
? 2x ? 7 y ? 4 ? 0 2 解得交点坐标为(1, ), 7 ?7 x ? 21y ? 1 ? 0

x

y

当直线 l 的斜率 k 存在时, 设 l 的方程是 y- =k(x-1), 即 7kx-7y+(2 -7k)=0, 由 A、B 两点到直线 l 的距离相等得
| ?21k ? 7 ? (2 ? 7k ) | 49k 2 ? 49
3 4

2 7

?

| 35k ? 49 ? (2 ? 7k ) | 49k 2 ? 49



解得 k= ,当斜率 k 不存在时,即直线平行于 y 轴,方程为 x=1 时也 满足条件. 所以直线 l 的方程是 21x-28y-13=0 或 x=1. ……12 分

19.解: (Ⅰ)设每年降低的百分比为 x(0 ? x ? 1) . 则 a(1 ? x)10 ? a ,即
(1 ? x )10 ? 1 2
1

1 2





得 …

1 x ? 1 ? ( ) 10 . 2

…4 分 (Ⅱ)设经过 m 年剩余面积为原来的
m 1

2 2 a, 即 ,则 a(1 ? x) m ? 2 2

m 1 1 1 ? ,解得 m ?5 ,故到今年为止,已砍伐了 5 ( ) 10 ? ( ) 2 , 10 2 2 2

年.

……8 分
2 a (1 ? x) n , 2

(III) 设从今年开始, 以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为
n 3

1 n 3 2 1 1 2 令 a(1 ? x) n ≥ a ,即 (1 ? x) n ≥ , ( ) 10 ≥ ( ) 2 , ≤ ,解得 n ≤ 4 10 2 2 4 2 2
15



















15

年. 20.解: (Ⅰ)∵ A?1O ? 平面 DBC ,∴ A?1O ? BC , 又 ∵ BC ? DC , AO 1 ? DC ? O , ∴ BC ? 平面 A?1 DC ,∴ BC ? A?1D . 分 (Ⅱ)∵ BC ? A?1D , A?1D ? A?1B , BC ? A?1B ? B , ∴ A1D ? 平面 A1BC , 又 ∵ A?1D ? 平面 A?1 BD , ∴
A?1

……12 分

……4


D



A?1

B

?

C





.B

……8 分

(III)设 C 到平面 A?1 BD 的距离为 h ,则 ∵ VC ? A BD ? VA ?DBC , ∴
1 1

又 ∵ S?A BD
1

1 1 S?A1BD ? h ? S?DBC ? A1O , 3 3 24 6 ? 8 24 ,∴ h ? . ? S?DBC , AO ? ? 1 5 10 5

……12

分 21.解: (Ⅰ)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距 离均为⊙M 的半径,则 M 在∠BOA 的平分线上,同理,N 也在∠BOA 的 平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线. ∵M 的坐标为( 3,1),∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 则⊙M 的方程为(x- 3)2+(y-1)2=1, 设⊙N 的半径为 r,其与 x 轴的切点为 C,连接 MA、NC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM∶ON=MA∶NC, 2 1 即 = ? r=3,则 OC=3 3, 3+r r 故 ⊙ N 的 方 程 为 (x - 3 3 )2 + (y - 3)2 = 9. ……6 分 (Ⅱ)由对称性可知,所求的弦长等于点过 A 的直线 MN 的平行线被

⊙N 截得的弦长, 此弦的方程是 y= 圆心 N 到该直线的距离 d=

3 (x- 3), 即 x- 3y- 3=0, 3

3 ,则弦长为 2 r2-d2= 2

33. ……12 分 22.解 : (Ⅰ)g ( x) ? log 1 x ,g (mx2 ? 2x ? 1) ? log 1 (mx2 ? 2x ? 1) 定义域为 R,
2

2

?m ? 0, mx 2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立, 所以 ?? ? 4 ? 4m ? 0, m ? (1, ??) . ?

……4 分

(Ⅱ)令 t ? ( ) x , t ? [ , 2] , y ? t 2 ? 2at ? 3 ? (t ? a)2 ? 3 ? a2 , 当 a ? 2, t ? 2 时, ymin ? 7 ? 4a. 当 a ? 2, t ? 2 时, ymin ? 7 ? 4a. 当 a ? 2, t ? 2 时, ymin ? 7 ? 4a.
? ?7 ? 4 a , a ? 2 ? 1 ? h(a) ? ?3 ? a 2 , ? a ? 2 . 2 ? 1 ?13 ? a, a ? ? ?4 2

1 2

1 2



…8 分 (III) h( x) ? 7 ? 4 x, x ? (2, ??) ,且 h( x) 在 x ? (2, ??) 上单调递增. 所以 ? 不 件. …12 分
2 ? ?h( n) ? 7 ? 4n ? m , 两式相减得, m ? n ? 4 ,与 m ? n ? 2 矛盾,所以 2 h ( m ) ? 7 ? 4 m ? n , ? ?





m, n





条 …


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