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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:平面向量的平行与垂直


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 15:平面向量的平行与垂直
一、选择题 错误!未指定书签。 .(江西省上高二中 2012 届高三第五次月考(数学理))已知 A(2,-2)、B(4,3),向量 p

??

的坐标为(2k-1,7)且 p / / AB ,则 k 的值为 A. ?

? ?

??? ?





9 10

B. D.

9 10

C. ?

19 10

D.

19 10

【答案】

错 误 !未 指定 书签 。 . (山东 省实验中学 2013 届高三 第一次诊断 性测试数学( 理)试题) 已知向量

? ? ? ? ? ? a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? ( k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ?
A.—3
【答案】A

( D.-l



B.—2

C.l

( ) c c c 【解析】 因为 a ? 2b与c 垂直,所以有 a ? 2b ? =0 ,即 a ? ? 2b? =0 ,所以 3k ? 3 ? 2 3 ? 0 ,解得

?

? ?

?

? ?

? ?

??

k ? ?3 ,选 A.
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 山 东 省 莱 芜 五 中 2013 届 高 三 4 月 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量 (

?? ? ?? ? 1 m ? (? x ? 1, 2), n ? (3, 2 y ? 1), 若 m ? n ,则 8x ? ( ) y 的最小值为 16
A.2
【答案】C





B.4

C. 2 2

D. 4 2

错误!未指定书签。 .(2013 辽宁高考数学(文))已知点 A ?1,3 ? , B ? 4, ?1 ?, 则与向量 AB 同方向的单位向量

??? ?

为 A. ? ,- ?
【答案】A





?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

? 3 4 ??? ? ??? ? 1 ??? AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,这样同方向的单位向量是 AB ? ( , ? ) 5 5 5 ??? ???? ???? ???? ? 错误!未指定书签。 .在四边形 ABCD 中, AB ? DC , 且 AC ?AD ? 0 ,则四边形 ABCD 是 (
A.矩形
【答案】B 错误!未指定书签。 .过



B.菱形

C.直角梯形

D.等腰梯形

?ABC 的 重 心 G 作 一 直 线 分 别 交 AB 、 AC 于 D 、 E , 若
1 1 ? 的值为 x y
D.4
1 1 3 x 1 1 1 AE) ? AD ? AE ,由点 D, G, E 共线可 y 3x 3y

AD ? x AB, AE ? y AC, xy ? 0 ,则
A.1
【答案】





B.2 C.3 C.错误人数 40/94
2 3 1 3

提示:设 BC 的中点为 F , AG ? AF ? ( AB ? AC) ? ( AD ?

第 1 页,共 6 页



1 1 1 1 ? ?1? ? ? 3 3x 3 y x y

错误!未指定书签。 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题) 已知向量

a ? (1, 2) , b ? ( x, 6) ,且 a ∥ b ,则 x 的值为
A.1 B.2 C.3 D.4





【答案】C 因为 a ∥ b ,所以 1? 6 ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 3 ,选 C. 错误!未指定书签。 .(2013 陕西高考数学(文))已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于

( A. ? 2
【答案】



B. 2

C. ? 2 或 2

D.0

C 解:? a ? (1, m), b ? (m,2), 且a // b,?1 ? 2 ? m ? m ? m ? ? 2. ,所以选 C

错误!未指定书签。 .(2012 年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量

a ? (3,4) , b ? (2,1) ,若 (a ? xb) //(a ? b) ,则 x 的值等于
A.

( D. ?



3 2
! 未 指 定

B. ? 1

C.1

3 2
学 ( 理 )) 已 知 ( ) 点

【答案】A. 错 误 书 签 。 .

(2013

辽 宁 高 考 数

??? ? A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
A. ? ,- ?
【答案】

?3 ?5

4? 5?
??? ?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?
??? ?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

? 3 4 1 ??? AB ? ( , ? ) 5 5 5 ? ? ? ? a b 错误!未指定书签。 (2012 年高考(四川理))设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的 . |a| |b|
A 解: AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,这样同方向的单位向量是 充分条件是 ( )

? ? A. a ? ?b
【答案】

? ? B. a // b

? ? C. a ? 2b

? ? ? ? D. a // b 且 | a |?| b |

[答案]D D.

? ? a b [ 解析]若使 ? ? ? 成立,则 a与b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 |a| |b|

[点评]本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其 模为 0 且方向任意. 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 山 东 省 菏 泽 市 2013 届 高 三 5 月 份 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量 . a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 ? 为实数,且 (b ? ? a) ? c ,则 ? = A. ? ( )

3 11

B. ?

11 3

C.

1 2

D.

3 5

【答案】A
第 2 页,共 6 页

错误!未指定书签。 (2011 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)若向量 a ? ? 2, 0 ? , b ? ?1,1? ,则下 .

?

?

列结论正确的是





? ? A. a ? b ? 1
【 答 案 】

? ? B. a ? b

? ? ? C. a ? b ? b

?

?

? ? D. a // b
? ? ? 2 , 则 a ? b ,B 不 正

【 解 】 a ? b ? 2 ,A 不 正 确 ; a ? 2 , b ?

? ?
?

?

确 ; a ? b ? ?1, ?1? , a ? b ? b ? ?1, ?1? ? ?1,1? ? 0 , 所 以 a ? b ? b ,C 正 确 ; 不 存 在 实 数 ? , 使

?

?

?? ?

?

?? ?

?

?

? ? a ? ?b ,D 不正确.故选

C.

2 错误! 未指定书签。 山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ) ( . 已知向量 a ? ? 4, 3 , ? ? ? 1, ? , ?b
若向量 a ? kb 与 a ? b 垂直,则 k 的值为 A. ( C. ? )

23 3

B.7

11 5

D. ?

23 3
?? ? 2? 2 若 ,,


【答案】A 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 (2013 大 纲 版 高 考 数 学 ( 理 )) 已 知 向 量 m ? ? ? ? 1 , 1 n ? ? ? ? . ? ,

? m ? n ? ? ? m ? n ? ,则 ? =
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. -1 ?? ? ?? ? ?? 2 ? 2 2 2 【答案】B. m ? n ? m ? n ?| m | ? | n | ? 0 ? (? ? 1) ? 1 ? [(? ? 2) ? 4] ? ? ? ?3

??

?

?? ?



?

? ?

?

错误!未指定书签。 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 OB ? a5 OA ? a6 OC ( O 为坐标原点),且 .

??? ?

??? ?

????

A, B, C 三点共线(该直线不过点 O ),则 S10 等于
A.4
【答案】

( D.10



B.5

C.6

B.提示:依题意有 a5 ? a6 ? 1 ,故 S10 ?

(a1 ? a10 ) ? 10 ? 5(a5 ? a6 ) ? 5 2
( )

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 山 东 省 莱 芜 市 莱 芜 二 中 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设向 量 .

a ? (1,sin ? ) , b ? (3sin ? ,1) ,且 a // b ,则 cos 2? 等于
A. ?

? 3

B

? . 3 ?

C

? .3

D

? .3

【答案】D 二、填空题 错误!未指定书签。(山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)理科数学)已知向量 a ? ( 2,3) , b ? (1,2) ,且 a, b .

满足 (a ? ? b) ? (a ? b) ,则实数 ? ? _______.
【答案】

?

5 【 解 析 】 由 a ? ( 2,3) , b ? (1,2) , 得 a ? ? b ? (2 ? ? ,3 ? 2? ) , a ? b ? (1,1) , 因 为 3
第 3 页,共 6 页

5 (a ? ? b) ? (a ? b) ,所以 (a ? ? b) ? (a ? b) ? 0 ,即 (2 ? ? ) ?1 ? (3 ? 2? ) ?1 ? 0 ,解得 ? ? ? . 3 ? ? 错误! 未指定书签。 山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题) ( . 已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ? 2, k ? ,
且 a / / b ,则实数 k ? ____________
【答案】 ?2

?

?

【解析】因为 a / / b ,所以 ? k ? 1? 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 .

?

?

错误!未指定书签。 (2013 山东高考数学(文))在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? ( ?1, t ) , OB ? (2, 2) , .

??? ?

??? ?

若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为______
【答案】答案:

t 2) 5 . 解 析 :∵ OA ? ( ? 1 ,) , OB ? (2 , ,∴ AB ? OB ? OA ? (2 , 2)
, 又 ∵

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?(? 1 , t ) ? (3 , 2 ? t )

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?ABO ? 90? ,∴ AB ? OB ,∴ AB ? OB ? 2 ? 3 ? 2 ? (2 ? t ) ? 0 ,解得 t ? 5 .
错误!未指定书签。 (2012 年石景山区高三数学一模理科)设向量 a ? (cos? ,1), b ? (1,3 cos? ) ,且 a // b , .

?

?

?

?

则 cos 2? =________.
【答案】

?

1 3
? ? ? ? ?

错误!未指定书签。 (2012 年高考(安徽文))设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 (a ? c) ⊥ b ,则 .

?

? a ? _____ .

? ? ? ? ? ? 1 a ? c ? (3,3m),(a ? c)? ? 3(m ? 1) ? 3m ? 0 ? m ? ? ? a ? 2 b 2 ??? ? ??? ? 错误!未指定书签。 已知 O 是坐标原点, A, B 是坐标平面上的两点,且向量 OA ? (?1, 2) , OB ? (3, m) .若 .
【答案】 【解析】 a ?

?

2

△ AOB 是直角三角形,则 m ? _________.
【答案】

3 或4; 2

错误!未指定书签。 (2013 上海春季数学(理))已知向量 a .

?

? ? ? k ? (1, ) , b ? (9, ? 6) .若 a // b ,则实数 k ? k

__________
【答案】

?

3 4

错误! 未指定书签。 (山西省实验中学仿真演练试卷理) e1 、e2 是互相垂直的两个单位向量,且向量 2e1 ? e2 .

??

?? ?

?? ?? ?

与 e1 ? ke2 也相互垂直,则 k ? _____________.
【答案】 2 三、解答题
第 4 页,共 6 页

??

?? ?

错误!未指定书签。 四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3) .

(1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积. D C

A

B

【答案】解: BC ? ( x, y )

DA ? ? AD ? ?( AB ? BC ? CD) ? ?( x ? 4, y ? 2) ? (? x ? 4,? y ? 2)

(1)? BC // DA 化简得: x ? 2 y ? 0

则有 x ? (? y ? 2) ? y ? (? x ? 4) ? 0

(2) AC ? AB ? BC ? ( x ? 6, y ? 1)

BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3)
又 AC ? BD
2 2

则 ( x ? 6) ? ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? ( y ? 3) ? 0

化简有: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0 联立 ?

?x ? 2 y ? 0 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0 ? x ? ?6 ? y?3
或?

解得 ?

?x?2 ? y ? ?1

? BC // DA AC ? BD 则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当?

? x ? ?6 ? y?3

AC ? (0,4) BD ? (?8,0)

此时 S ABCD ? 当?

1 ? AC ? BD ? 16 2
AC ? (8,0) BD ? (0,?4)

?x?2 ? y ? ?1

此时 S ABCD ?

1 ? AC ? BD ? 16 2

错误!未指定书签。 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) . .

第 5 页,共 6 页

⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ; ⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?
【答案】因为 a ? (1,2), b ? (?3,2) 所以 | a | ? 5 , | b |? 13 , a ? b ? 1 ,
2

(1) | a ? b |?

a ? 2a ? b ? b ? 2 5 , | a ? b |? a ? 2a ? b ? b ? 4 ;
2

2

2

2

2

(2)当向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直时,则有 (k a ? b) ? (a ? 3b) ? 0 , k a ? (3k ? 1)a ? b ? 3b ? 0 ,即

5k ? (3k ? 1) ? 39 ? 0 解得 k ? ?5 所以当 k ? ?5 时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直;
(3)当向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行时,则存在 ? 使 k a ? b ? ? (a ? 3b) 成立,于是 ?

?k ? ? 1 解得 k ? ,当 3 ?3? ? 1

k?

1 1 1 1 时, k a ? b ? a ? b ? (a ? 3b) ,所以 k ? 时向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行且它们同向. 3 3 3 3

第 6 页,共 6 页



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