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北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用


北京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

3 1.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x 2 ? )( x ? a ) ,若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,则 a 的取值范围是 2
( ) A. ( ??,?

3 2) ? 2

? 2 ,???

B. ? ?,? 2 ? (

?

?

3 2 ,??) 2

3 ? ? 2? C. ? ? ?,? 2 ? ?

3 3 ? ? 2? ? ( 2 ,??) D. ? ? ?,? 2 2 ? ?

【答案】D

2.设

为曲线 )

上的点,且曲线

在点

处切线倾斜角的取值范围是

,则点

横坐标

的取值范围是(

A. 【答案】A

B.

C.

D.

3.

? ? (1 ? cos x)dx 等于(
2 ? 2

?

) C. ? ? 2 D. ? ? 2

A. ? 【答案】D
3

B.2
2

4.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜率均为-1,给 出以下结论:①f(x)的解析式为 f(x)=x -4x,x∈[-2,2];②f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最 大值与最小值之和等于 0.其中正确的结论有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 【答案】C 5.函数 y ? sin x 在点 ( D.3 个
3

?
3

,

3 ) 处的切线的斜率为( 2 2 2
C.

)

A. 【答案】C 6.

3 2

B.

1 2

D.1

f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值等于(
A. 19
3

) D. 10
3

B. 16
3

C. 13
3

【答案】D 7.已知

f ( x) ? x2 ? 2xf '(1) ,则 f '(0) 等于(

)

A.0 【答案】B

B.-4 )

C.-2

D.2

8.如下图,阴影部分的面积是(

A. 2 【答案】C 9.设函数

3

B. 2 ?

3

C.

32 3

D.

35 3

f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点
)

(1, f (1)) 处切线的斜率为(
A. 4 【答案】A B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2 1 3 x ? 81x ? 234 , 3

10. 已知某生产厂家的年利润 (单位: 万元) 与年产量 x(单位: 万件) 的函数关式为 y ? ? 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( A. 13万件 【答案】C 11.曲线 y= B. 11万件 ) D.7万件

y

C.9万件

x3 ? 3x2 有一条切线与直线 3 x+y=0 平行,则此切线方程为(
B. 3x+y-5=0 D. 3x+ y -l= O

)

A. x-3y+l=0 C. 3x - y -l = 0 【答案】D 12.函数 y ? 2sin x, x ? A.4 【答案】C

? ? 5? ? ? 2 , 2 ? 和 y ? 2 的图像围成了一个封闭图形,则此封闭图形的面积是( ? ?
B. 2? C. 4? 第Ⅱ卷(非选择题 D. 8? 共 90 分)

)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数 y=2x -3x -12x+5 在[0,3]上的最小值是 【答案】-15 14.设曲线
3 2



y ? e? x ( x ? 0) 在点 M (t , e?t ) 处的切线 l 与 x 轴, y 轴所围成的三角形面积为 S (t ) ,则 S (t ) 的最

大值为____________.

【答案】

2 e

15.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递减区间为____________; 【答案】 (0, ) 16.定积分 【答案】1 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知

1 e

?

ln 2

0

e x dx 的值为



f ? x ? ? x ? ln x , g ? x ? ?

ln x ,其中 x ? ? 0, e? (e 是自然常数). x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调性和极小值; (Ⅱ)求证: g

? x ? 在 ? 0,e? 上单调递增;
1 . 2

(Ⅲ)求证: f ( x ) ? g ( x ) ?

1 x ?1 ? x x / / ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 1 ? ln x (Ⅱ) g ? ? x ? ? x 当 0 ? x ? e 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 (0, e] 上单调递增
【答案】 (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? (Ⅲ)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1,∴ f ( x) ? 0 , ∴ g max ? x ? ? 18.设函数

f ( x)min ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? f min ? x ? 2 e 2 2 2

. f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x ( x ? R )

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, 2] 上的最大值与最小值. 【答案】 (Ⅰ)因为 所以

f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x ,

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1,且 f (2) ? ?2 .

所以 f ?(2) ? ?5 .

? 所以 曲线 f ( x ) 在点 (2, 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,

整理得

5x ? y ? 8 ? 0 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1 ? ?(3x ? 1)( x ? 1) .
1 或 x ?1. 3

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

当 x ? [0, 2] 时, f ?( x ) , f ( x ) 变化情况如下表:

因此,函数

f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x , x ? [0, 2] 的最大值为 0,最小值为 ?2 .
3 2

19.已知函数 f(x)=-x +ax +bx+c 在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数 f(x)在 R 上有三个 零点,且 1 是其中一个零点. (1)求 b 的值; (2)求 f(2)的取值范围. 3 2 【答案】(1)∵f(x)=-x +ax +bx+c, 2 ∴f′(x)=-3x +2ax+b. ∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值, 即 f′(0)=0.∴b=0. 3 2 (2)由(1)知,f(x)=-x +ax +c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. 2a 2 ∵f′(x)=-3x +2ax=0 的两个根分别为 x1=0,x2= . 3 2a 3 ∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点,∴x2= >1,即 a> . 3 2 5 ∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>- . 2 5 故 f(2)的取值范围为?- ,+∞?. ? 2 ? 20.已知函数 f ( x) ? ⑴求 x1 , x 2 的值; ⑵证明:线段 MN 与曲线 f ( x ) 存在异于 M 、 N 的公共点; 【答案】解法一:∵

1 3 x ? x 2 ? 3x 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) . 3

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a ,依题意, f ?(1) ? 12 ? 2 ? a ? a ? 1 ? ?4

∴ a ? ?3 , 分) f ( x) ? (2 由 令

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3

f ?( x) ? 0, x ? 3或x ? ?1, f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,

f ?( x) ? 0,?1 ? x ? 3 ,单调减区间为 (?1,3)

5 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 3 8 所以直线 MN 的方程为 y ? ? x ? 1 3
所以函数 f ( x ) 在 x1

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x
3

? 3x2 ? x ? 3 ,易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 ,

而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线,故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线

f ( x) 有异于 M , N 的公共点。
解法二:同解法一,可得直线 MN 的方程为 y ? ?

8 x ?1 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?

解得 x1

? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y2 ? ? 3 , ? y3 ? ?9 ? ?
11 ) 。 3

所以线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ? 21.设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) . (1) 求函数 f ( x ) 的最小值; (2) 设 F ( x) ? ax
2

? f ?( x) (a ?R) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;
? x2 ) 两点,求证: x1 ?
1 ? x2 . k

(3) 斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ?( x) 交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( x1

【答案】 f ?( x) ? ln x ? 1 ( x ? 0) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . e

∵当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ∴当 x ? (2)

1 e

1 e

1 1 1 1 时, f ( x) min ? ln ? ? . e e e e

1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0) . x x ① 当 a ? 0 时,恒有 F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (0,??) 上是增函数;

F ( x) ? ax2 ? ln x ? 1 ( x ? 0) , F ?( x) ? 2ax ?

2 ② 当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,得 2ax ? 1 ? 0 ,解得 0 ?

x? ?

1 ; 2a

令 F ?( x) ? 0 ,得 2ax ? 1 ? 0 ,解得 x ?
2

?

综上,当 a ? 0 时, F ( x) 在 (0,??) 上是增函数;

1 2a

1 1 ) 上单调递增,在 ( ? , ??) 上单调递减. 2a 2a f ?( x2 ) ? f ?( x1 ) ln x2 ? ln x1 (3) k ? . ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ?1 x1 x 1 x2 ? x1 x ? 2 ,令 t ? 2 , 要证 x1 ? ? x2 ,即证 x1 ? ? x2 ,等价于证 1 ? x k x1 ln x2 ? ln x1 x1 ln 2 x1 t ?1 ? t ,由 t ? 1 知 ln t ? 0 ,故等价于证 ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1) (*). 则只要证 1 ? ln t 1 ① 设 g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1) ,则 g ?(t ) ? 1 ? ? 0(t ? 1) ,故 g (t ) 在 [1, ??) 上是增函数, t ∴ 当 t ? 1 时, g (t ) ? t ? 1 ? ln t ? g (1) ? 0 ,即 t ? 1 ? ln t (t ? 1) . ② 设 h(t ) ? t ln t ? (t ? 1)(t ? 1) ,则 h?(t ) ? ln t ? 0(t ? 1) ,故 h(t ) 在 [1, ??) 上是增函数, ∴ 当 t ? 1 时, h(t ) ? t ln t ? (t ? 1) ? h(1) ? 0 ,即 t ? 1 ? t ln t (t ? 1) .
当 a ? 0 时, F ( x) 在 (0,

?

由①②知(*)成立,得证. 22.已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x . (1)求函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程; (2)若 k ? Z ,且

k ( x ?1) ? f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值;

【答案】 (1)因为 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,所以

f ? ?1? ? 2 ,

函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程 y ? 2 x ? 1 ; (2)由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x ,所以 k ( x ?1) ? 恒成立.

f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 x ?1

令 g ? x? ?

x ? x ln x x ? ln x ? 2 ,则 g ? ? x ? ? , 2 x ?1 x ? 1? ? 1 x ?1 ? ?0, x x

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.

因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足

x0 ? ?3, 4? .
当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,…13 分 所以函数 g ? x ? ? 所以 ? g ? x ? ? ? ? 所以

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? . x0 ? 1 x0 ? 1
.故整数 k 的最大值是 3.

k ? ? g ? x ? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? ? ?



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