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一轮复习--3.1变化率与导数、导数的计算


学案3.1 变化率与导数 导数的运算

1.平均变化率 (1)定义:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 f ?x2 ) ? f ( x1 ? f ?x1 ? ?x ? ? f ?x1 ? ?f ? __________ x2 ? x1 _ ? __________ ?x ____ ,其中 ?x ?x 是相对于x1的一个“增量”, ?f 是相对于f(x1)的一 个增量。 (2)几何意义:表示函数y=f(x)图像上割线P1P2的 斜率 (其中P1 (x1, f(x1)) ,P2 (x2, f(x2)),即 _______.

k p1 p2

f ?x2 ) ? f ( x1 ? f ?x1 ? ?x ? ? f ?x1 ? ? ? x2 ? x1 ?x



(3)平均变化率的物理意义:把位移S看成时间t的

平均速度 ,即 函数S=S(t)在时间段[t1,t2]上的__________


S ?t1 ? ?t ? ? S ?t1 ? v? ?t

2.瞬时变化率与瞬时速度. 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到 x0 +△t的平均变化率在 ?x ? 0 时的极限即
f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?f lim lim ? __________ ______ . x? x ? x ?x ?0 ?x
0

3. 1 .导数的概念 (1)函数 y= f(x)在x=x0处的导数: ①定义:称函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率

____________________为函数 y=f(x)在 x= x0处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0.

②几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何 意义是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处的 __________.相 切线斜率 应地,切线方程为 _____ _ _____________. y-f (x0 )= f′意 (x0义 )(x: -位 x0)移 函 数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 就 是 ③ 物 理

_________.
_瞬时速度

4.导函数 (1) 函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内每一点的导数都存在, 就说 f(x) 在区间 (a,b) 可导,这样对 (a,b) 内每个值 x , 都对应一个确定的导数f ’ (x) ,于是在区间(a,b)内 导函数 f ’ (x)构成一个新的函数,称为函数y=f(x)的_______, 记为f ’ (x)或y’.

(2) 函数 f(x) 的导函数 f ’ (x) 在 x=x0时的函数值 f ’ (x0) 就
是f(x)在x0处的________. 导数

5.几个常用函数的导数:
' 0 ? ? f x ? c f (1)若 (为常数),则 ?x ? ? ______; ' 1 ?x? ? ______; f (2)若 f ?x ? ? x ,则

2x (3)若 f ?x? ? x ,则 f ?x ? ? ______; 1 1 ' ? 2 ? ? f x ? ______; (4)若 f ? x ? ? ,则 x x 2 ' 3 3 x ? ? (5)若 f ?x? ? x ,则 f x ? ______;
2 ' ' (6)若f ?x ? ? x ,则 f ?x ? ? ______; 2 x

1

6.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
n- 1 n · x f′(x)=_________

f(x)=xn(n∈Q*)
f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax

cos x f′(x)=__________ -sinx f′(x)=__________ axlna f′(x)= ______(a>0) ex f′(x)=_______
1 xln a f′(x)=__________ 1 x f′(x)=__________

f(x)=ln x

7.导数的运算法则
f′(x)±g′(x) (1)[f(x)±g(x)]′=_________________ ;

f′(x)g (x)+ f(x)g′( x) (2)[f(x)·g(x)]′=______________________ ;
f(x) f′(x)g(x)-f(x)g′(x) (3)[ ]′=_____________________________ 2 g(x) (g(x)≠0).

[g(x)]

1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?

【提示】

f′(x) 是 一 个 函 数 , f′(x0) 是 常 数 ,

f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值.

2 . 曲 线 y = f(x) 在 点 P0(x0 , y0) 处 的 切 线 与 过
P0(x0,y0)的切线,两种说法有区别吗?

【提示】

有,前者 P0 一定为切点,而后者 P0

不一定为切点.


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