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2013年广东省中山市(高中)数学老师教学论文(18份)


高一新生数学学习障碍的分析及对策

中山市东升镇高级中学董卜毓
摘要:高一新生,指刚由初中升入高中,对高中知识体系、课程设置、学法教法 尚不了解,学习习惯、生活习惯和思维水平还停留在初中阶段的学生。数学学习 障碍对每个人都存在的, 对高一新生这个群体无论是学习优生、 中等生还是差生, 在这一特定的时期遇到的学习障碍显得尤为突出, 曾经有一尖子生对我说高中数 学学习使他产生了困惑,甚至怀疑自己的能力。本文通过对高一新生的问卷调查 和访谈,从教材内容衔接、教师教学方法、学生学习习惯和学生学习心理四个方 面分析了高一新生数学学习障碍,并给出相应对策。 关键词:高一新生 数学学习障碍 学习心理 数学教育是基础阶段教育的重要核心课程, 高一数学学习是在初中数学基础 上开展的,在容量和深度上远远超过初中数学,所以高一数学的学习对于绝大多 数学生而言具有关键的承接作用, 对整个高中理科教育具有非常基础和重要的作 用。由于高一数学具有承上启下和影响广泛深远的独特性,了解高一新生数学学 习障碍从而有针对性的实施高一数学的有效教学是十分有必要的。 本文在梳理大 量相关理论的基础上,以中山市东升镇高级中学高一学生为研究对象,通过问卷 调查和访谈的方法深入分析,找到学生产生数学学习障碍的阶段性原因。并结合 自己的教学实践提出相应的对策建议,期望对高一数学教学提供借鉴。 一、高一新生数学学习障碍的分析 1、 教材内容衔接方面 初中数学教材通俗易懂,难度不大,侧重于定量计算;而高中数学教材,较 多研究的是变量和集合,不但注重定量计算,且需作定性研究,注重于各种数学 思维能力的提高、空间想象能力的培养等,在初、高中教材知识点衔接上有脱节 现象。一是知识点内容上表现为减少公式,乘法公式只有两个(即平方差和完全 平方公式),没有立方和差公式;多项式相乘仅指一次式相乘,会影响今后的二 项式定理的学习;因式分解的要求降低,只要求提公因式法和公式法,而十字相 乘法不作要求,但高中却经常用到;一元一(二)次方程中含字母系数的不作要 求;根式的运算比较薄弱,分母有理化不作要求,但高中在学习圆锥曲线会经常 用到;初中没有“轨迹”概念,高中讲解析几何时会讲到,学生对有关求轨迹问 题很困惑,有无从下手之感;一元二次方程根的判别式在初中新课标不要求。在 高中教直线与圆锥曲线综合应用时常常要用到, 在涉及到函数图象交点问题也常 用到, 这无疑是一个障碍; 圆内接四边形的性质 (四点共圆) 初中没有; 反证法: 课标只要求通过实例, 体会反证法的含义, 要求不高; 但在高中遇到“至多”“最 多”“至少”“唯一”等字词的证明题,需要用反证法。例如选修 1-1《常用逻 辑用语》一章经常出现;平行线线段成比例定理初中没有,这样在立体几何的教 学中,空间的线面平行等问题受到影响;相切在作图中的应用初中不作要求,在 高中有相切问题。二是数学语言方面,初中的数学语言主要以形象具体为主,而

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高一必修一就是抽象的集合语言和函数语言,概念多、符号多、定义严格、论证 要求高,高一新生学起来相当困难。 2、教师教学方法方面 初中教师的教学主要依据初中学生特点及教材的内容,教学进度较慢,对重 点内容及疑难问题都有较多时间反复强调、答疑解惑;而高中教师在处理高中教 材时却没有充裕的时间去反复强调教材内容, 对于习惯于初中教师教法的学生进 入高中后,难以适应高中教师的教法。另外,初中教师在知识点的处理上侧重记 忆,学生只要记住概念、公式、定理和法则,就能取得较好的成绩,而高中教师 在教学中,教材对每课时安排的内容较多不仅要对教材中的概念、公式、定理和 法则加以认真讲解,还要重视学生各种能力的培养,所以教学进度一般较快,即 使是重点内容教师也没有更多的时间反复强调,对习惯于“依样画葫芦”缺乏 “举一反三”能力的高一学生来说无疑是一大挑战, 对部分接受能力较弱的学生 或基础缺陷的学生来说常处于一知半解的状态。  3、学生学习习惯方面 一是学不得法,初中学生习惯于跟着老师转,不善于独立思考和刻苦钻研数 学问题,缺乏归纳总结能力。进入高中后,则要求学生勤于思考、勇于钻研、善 于触类旁通、举一反三、归纳探索规律。然而高一新生往往沿用初中一套学习方 法,不善于抓住学习中自学、阅读、复习、小结等必要环节,对高中学习内容缺 乏必要的抽象思维能力和空间想象能力。二是思想松懈,有的同学把初中那一套 思想移植到高中,认为初一初二自己没用功,到初三才发奋努力一样可以考上高 中,有的还可以考上重点高中,但高考和中考的差别是很大的,高考是选拔性的 考试,所以这种临时抱佛脚的心态是不可取的。三是不重视基础,一些自我感觉 良好的学生经常不重视基础知识基本技能,例如对于题目只是听老师讲解,觉得 自己知道了怎么做就可以了,自己根本不亲自动手演算一遍,所以到真正考试经 常遇到会做的题目算不对的现象。  4、学生学习心理方面  刚刚进入高中的新生常常既十分向往又有些害怕的心情踏入高中校门, 随着时 间的推移高一新生逐渐显露出一些不成熟的心理。一是依赖心理,很多学生还会 像初中时候那样过分依赖老师, 依赖课堂, 不会掌握学习的主动权, 没有计划性, 一切等课堂上等待老师帮着归纳总结,习惯于老师给出详细的解题示范,一步一 步的模仿生搬硬套,从不质疑。二是自卑心理,面对高中数学突如其来的大容量 和大难度,很多学生对自己很不自信,其中包括初中时的数学学优生,在访谈中 遇到了这样一个学生说,初中时在数学方面特别自信,每次考试都会有八十分以 上,但来到高中每次测验都不及格,甚至只有二三十分,这让他的自尊心严重受 到伤害,导致极度自卑,认为自己从此在数学方面就是学困生。三是似懂非懂心 理。初中时一种类型的题目老师不断地领着大家做直到会做为止,这样导致学生 认为听懂了就是能把这道题目的解题过程写出来而已, 而不是真正弄清楚为什么 这样去做,知其然而不知所以然。所以高一新生对听懂的概念就是能模仿老师把 题目的过程写出来。这种似懂非懂的现象很普遍。例如之前讲过一题直线(4-m) x-(m+2)y+m2+8=0 与直线 2 x + y ? 1 = 0 平行,求 m 的值。这个题目讲完了学生都 说听懂了,不看板书也能写出完整的答案,过两天周测时出了一道题已知过点

A(?2, m) 和 B (m, 4) 的直线与直线 2 x + y ? 1 = 0 平行,求 m 的值,但全班只有少部
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分学生解答出来。 其实这两道题的类型一样考察的知识点也是同一个判断两条直 线平行。类似的情况经常发生,在访谈中学生也苦恼的说上课“听懂了” ,也不 知道为什么自己做题时想不到做不对,这种现象不但普通学生会发生,甚至连数 学成绩好的学优生也会出现。 二、消除高一新生数学学习障碍的对策 1、正确把握教材的衔接 依据学生的具体水平,适当补充初中没有学过但高中要经常用到的知识点, 例如绝对值运算,十字相乘法等。在内容讲解上要循序渐进,低起点,小步子, 少食多餐。在考题上做到难易适中,既使学生感到力所能及,又使他们认识到只 有通过努力才能取得好成绩,只有这样才能调动学生学习的积极性,促进学生持 续稳定的发展。 2、 注重情感教育 马克吐温说过: “给我一句赞扬的话,我可以快乐两个月。 ”教师在日常教学 中要注重情感教育。一是可以利用多媒体和教具激发学生的兴趣,对于必修二的 立体几何中抽象的定理的讲解和证明过程,可以利用几何画板做出动画效果,让 学生更直观的感知。二是加强师生沟通,及时反馈。加涅认为: “学习的每一个 动作, 如果要完成就要及时反馈。 例如可以利用写数学周记的方式与学生沟通, ” 这样构建起了师生交流的平台, 形成和谐师生关系, 缓解数学学习中的不良情绪, 同时写数学周记可以促进学生对数学学习进行反思, 有利于提高学生的数学学习 归纳概括能力,形成清晰的数学知识结构,使新旧知识不再是凌乱的、孤立的储 存,而是科学的知识网络,逐步形成自我管理的能力。 3、 加强对学生的学法指导 3.1 指导学生学会听课 由于初中学习习惯于老师讲、自己记、复习背的学习方式,所以教师也要适 当地调整自己的讲课方式,讲完一段内容后给他们留出几分钟记笔记,并指导学 生听的过程中要有自己的独立思考, 思考老师是怎样提出分析并解决这个问题的, 记笔记的时候要记下这些,然后课后自己复习的时候作为参考。 3.2 培养学生纠错的习惯和能力 建议学生准备一个错题本, 把每次作业测验和考试中自己经常出错的题目按 照章节整理到一起,并用红笔标注出错误的原因,加深印象,学生解答中的错误 并不是孤立的错误,背后映射着对概念公式等知识的不理解,教师可以在课堂上 暴露出错误的思维过程,组织学生辩论错误,引导学生纠正错误并反思,让学生 经历自我否定、自我反省的过程,加深对知识点的深刻理解,从而解决了“似懂 非懂”的现象。 3.3 引导学生解题反思 高一新生在解题后缺少反思,所以经常出现下次出现同种类型的题目仍然不 会做的现象。所以我们在教学过程中要注意引导学生解题反思,包括对自己的思 考过程进行反思,对题目所涉及到知识点和思想方法进行反思,对题目中有联系 的问题进行反思,对题意的理解过程进行反思等等。构建主义学习论认为信息不 是简单的积累,还包括新旧经验冲突所引发的观念和结构重组。所以反思尤为重 要,从新的层次,新的角度及时优化已有知识,提高自身学习水平,使得学习活 动成为有目标有策略的主动行为。下面是学习分段函数的反思表:

3

1、你是否掌握的分段函数的含义? 2、你是否掌握的分段函数的求值方法? 3、本节课中哪个题目使你有很大的收获?为什么? 4、你是否还有其他疑问? 对于高一新同学而言,刚刚从初中迈入高中,很多事情都感觉到新鲜。接纳 了很多的新同学新朋友。同时伴随年龄的增长,高一新同学和初中阶段相比,心 理和心态上都会有所变化,而在这个阶段,对于他们而言非常具有挑战性的学科 数学的学习模式也将和初中有所不同。因此,在这样的氛围下如何对其进行调节 对于高中教学而言也具有重要作用。 本文通过对高一学生的调查和访谈分析了高 一新生数学学习障碍并给出相应的对策,希望对高一数学教学有所帮助。 参考文献: [1]《普通高中数学课程标准》 普通高中数学课程表针研制工作组 [2]蔡小华. 浅谈新课程下高中生的情感教育. 中国科教创新导刊,2007(10) [3] 曹才翰、章建跃. 数学教育心理学(第二版)[M] .北京:北京师范大学出 版社,2006 . [4] 张大均主编.教育心理学[M].人民教育出版社 2003. [5] 陈皓.排除学生数学学习心理障碍的实践探索[J]数学教学,1993.6 [6] 胥兴春.数学学习困难及其心理分析[J] .中国特殊教育,2003.3 附件一:高一新生数学学习情况调查表 1、是否喜欢数学? A、喜欢 B、比喜欢 C、说不清 2、课前是否有预习? A、有 B、没有 C、偶尔有 3、上课时是否积极回答老师问题? A、是要会的都有 B、只要老师问的都有 4、是否有做数学笔记? A、有 B、不会的地方有 C、没有 5、课后是否有复习? A、有 B、没有 C、偶尔有 6、是否有独立完成课后作业? A、有 B、基本上没有 C、偶尔有 7、觉得数学难学的原因? A、听不懂 B、不感兴趣 C、其他

C、没有

附件二:访谈提纲 1、和初中数学学习相比,你认为目前数学学习发生了什么变化?(教学进度的 快慢,内容的难易程度,学习的压力等方面) 2、你在课余时间是否会看一些数学方面的参考书和课外书? 3、谈谈你对数学学习的感受? 4、你是如何学习数学的? 5、你每天对数学学习进行反思吗? 6、你觉得数学学习不好的原因是什么?
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精习题教学 重能力培养
中山市广外附设外语学校黄向阳 摘要: 习题教学是高中数学教学的常态,但如何通过精选习题,达到新课程所提
出的“重视学生能力发展”的目标,却是一个值得数学教育者思考的问题.本文 拟从习题 “精选”的角度入手,浅谈笔者在这方面的做法.

关键词:精? 审题 培养 探究 归纳 能力
著名的数学教育家波利亚曾说过:“问题”是数学的心脏.而作为一线的教师 也知道,习题教学是高中数学教学的常态.解题不仅有利于学生复习,有利于学生 解题思路的开拓、 思维的启迪和探究问题能力的培养,引导学生深入与拓展,而且 还可以巩固并加深所学的知识,充分发挥教材的作用,培养学生认识知识、 发现知 识、改造世界的意识能力. 数学习题教学,主要是指数学教学过程中所进行的例题讲解、习题处理和作 业题、试题评讲等教学活动,它是数学教学的重要组成部分,是概念、性质、公式 和原理教学的延续和深化,是达到教学目的,使学生掌握“三基”,培养和提高能 力的重要环节.如何充分发挥数学习题的功效,开拓思维,培养能力,这是一个值 得深入探讨的问题.下面笔者谈几点教学体会: 1. 精选含“隐含条件”习题,培养审题能力 审题是解题的基础,要提高解题能力,首先在于培养认真审题的习惯,而训练 这种习惯的最有效手段,是在平常精选习题时,应适时设置一些隐含条件的习题 让学生练习,通过练习,让学生加深理解,从而提高解题能力. 例 1 设 M 是 ?ABC 内 一 点 , 且 AB ? AC = 2 3 , ∠BAC = 30 0 , 定 义

f ( M ) = (m, n, p) , 其 中 m, n, p 分 别 是 ?MBC 、 ?MCA 、 ?MAB 的 面 积 , 若

1 f ( P) = ( , x, y ), 则在平面直角坐标系中,以 x, y 为坐标的点 ( x, y ) 的轨迹图形是 2 y? ( ) y? y? 1? y?
1? 2 1 2

1? 2
1 2

O?

1 2

x?

O?

1 x? 2

O

x?

O?

1

x?

? ? ? ? ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D? 学生选 B、C、D 的都有,结论应选 A. 1 解 答 : S?ABC = | AB|| AC | sinBAC , 由 AB? AC = 2 3, ∠BAC= 300 , 得 2 1 AB? AC =| AB|| AC| cosBAC , 因 而 S ?ABC = | AB || AC | sin 300 = 1 , 由 “ 定 义 ” 2
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f ( M ) = (m, n, p) , 其 中 m, n, p 分 别 是 ?MBC 、 ?MCA 、 ?MAB 的 面 积 , 则

1 1 1 ? f ( P ) = ( , x , y ) 中 x, y ” “ 分别表示 ?MCA 、 MAB 的面积, 故 x + y = 1 ? = , “ 2 2 2 又因为 x > 0, y > 0 ,所以 x, y 为坐标的点 ( x, y ) 的轨迹是一段线段,图形是 A.
由上可见,在精选习题时,将一个或多个隐含条件巧置在题设,或解题过程中, 让学生从错误中得到教训,提高审题能力,培养学生思维的批判性. 2. 精选含“定势因素”习题,培养抗干扰机智能力 在教学中,我们发现学生常受思维定势的影响,面对新的问题情境,缺乏求异 意识,表现出解题过程中生搬硬套,张冠李戴等错误现象,反映了学生思维狭窄不 灵活,因此,我们应该抓住学生常受干扰的那些思维定势的消极影响,精选一些 “形似神异” 的题目让学生练习,从中发现错误,剖析错误,及时转向,找到正确解 法,必将收到培养学生思维灵活性的好效果.
? 3 ? 例 2 (Ⅰ) 已知二次函数 f ( x ) = ax2 + ( 2a ?1) x + 1 在 ?? ,2? 上的最大值为 3 ,求 ? 2 ?

实数 a 的值. x2 (Ⅱ) 已知函数 f ( x) = ? + x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3m ,最大值是 3n , 2 求 m , n 的值. 分析:这是两道逆向最值问题,若从求最值入手,需分情形讨论,过程繁琐不 堪.若注意到(Ⅰ)中的最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此 先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程就简明多了;对于(Ⅱ),若注意到闭 区间上的最值不超过整个定义域上的最值,就可缩小了 m , n 的取值范围,从而巧 妙地避开了繁难的分类讨论,解题过程就会简洁、明了.

1 ? 2a ? 1 ? 解答:(Ⅰ)①若 f ? ? ? = 3 ,则 a = ? ,此时抛物线开口向下,对称轴为 2 ? 2a ? 1 1 ? 3 ? x = ?2 ,且 ?2??? ,2? ,故 ? 不合题意;②若 f (2) = 3 ,得 a = ,此时抛物线开口向 2 2 ? 2 ? 1 3 2 上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a = 符合题意; ③若 f (? ) = 3 ,得 a = ? , 2 2 3 2 此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a = ? 符合题意.综上 3 2 1 ①②③可知,实数 a 的值为 ? 或 . 3 2 1 1 1 1 (Ⅱ) 由 f ( x) = ? ( x ? 1) 2 + ,知 3n ≤ , n ≤ ,则 [m, n] ? (?∞,1] ,所以 f ( x) 在 2 2 2 6
? f ( x) max = f (n) = 3n [m, n] 单调递增,所以 ? ,解得 m = ?4, n = 0 . ? f ( x) min = f (m) = 3m

受思维定势的影响还表现在:进入复数后,学生往往自觉或不自觉地在实数
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范围内考虑问题,将平面几何中的公理、 定理不加区别地任意扩展到立体几何中, 由此出现虚伪论据.照般自己习惯程序、 已有经验,缺乏对不同问题作深入细致的 分析,而造成方法不当,产生解题或论证错误等. 3. 精选含“探究程序”习题,培养创造能力和探索能力 教师在教学过程中紧密结合数学的基本规律,引导学生积极去探索科学的基 本规律,为此编拟出适合学生的研究过程,创设情景,让学生理解知识的发生发展 过程,从而培养其创造能力. 例 3 求 sin 2 10 0 + cos 2 40 0 + sin 10 0 cos 40 0 的值. 从常规解法(降幂、积、和差互化)中发现起关键作用的是 sin 30° 的出现,此 时启发学生研究问题的特征“ 40° ? 10° = 30° ”将命题上升为一般结论.故编拟题 组: (1) 求 sin 2 200 + cos 2 500 + sin 200 cos 500 的值; (2) 已知 β ? α = 2kπ +

π
6

,求证: sin 2 α + cos 2 β + sin α cos β =

3 ; 4

2 3 (3) 已知 α + β = π ,求证: cos 2 α + cos 2 β + cos α cos β = ; 4 3 3 (4) 求证: cos 2 A + cos 2 (60 0 ? A) + cos 2 (60 0 + A) = . 2 通过本组习题的训练,可以在能力培养方面达到下列效果.其一、能使学生
牢固掌握命题本质及解决的方法;其二、使学生真正做到举一反三;三、能激发 学生积极探究新问题,从而使学生把书本知识学深、学透、学活;四、能训练学 生养成钻研问题、探究规律的好习惯,提高其创造能力. 4. 精选含“一题多变因素”习题,培养归纳、推理能力 变求证结论为探索结论,再求证结论,然后创设另一种问题,得到更新的结论, 无疑在能力上发生一个飞跃. 例如在《数列》一章教学中,可以设计这样一个问题. 例 4 已知方程 (b ? a)x2 + (a ? c)x + (c ? b) = 0 有相等的实数根,求证: a, b, c 依次 成等差数列. 学生完成这道题证明后,可进行变式训练. 若条件用它的等价命题去替换,结论不变,则可编出这样一个问题: 已知 (a ? c) 2 ? 4(b ? a)(c ? b) = 0 ,求证: a, b, c 依次成等差数列. 若原题的条件不变,其结论用它的等价命题去替换,则可以编出一串变式题: 已知方程 (b ? a ) x 2 + (a ? c) x + (c ? b) = 0 有相等实数根 求证: (1) b + c, c + a, a + b 依次成等差数列; (2) a 2 ? bc, b 2 ? ac, c 2 ? ab 依次成等差数列; (3) a 2 (b + c), b 2 (c + a), c 2 (a + b) 依次成等差数列. 可以看出,具有“一题多变因素”的习题在教学中作用不能低估,若能充分利
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用好的话,不仅有利于学生能力的培养,而且能使数学的学习向更深一层发展. 5. 精选含“一题多解因素”习题,培养求异的思维能力 求异思维亦称为发散思维,它是从各方面寻求答案的心理过程,在教学中有 目的、有计划地设置一些含“一题多解因素”的题目,能有效地对学生进行求异 思维的训练,多方面地开拓学生的思路. 例 5 已知 a, b 为实数,且 b > a > e ,其中 e 为自然对数的底,求证: a b > b a . 分析:通过考察函数的单调性证明不等式是常用的一种解题方法.根据题目 自身的特点,适当的构造函数关系,在建立函数关系时,应尽可能选择求导和判断 导数都比较容易的函数,一般地,证明 f (x) > g(x), x ∈(a, b) ,可以等价转化为证明
F(x) = f (x) ? g(x) > 0 ,如果 F ′( x) > 0 ,则函数 F (x) 在 (a, b) 上是增函数,如果 F (a ) ≥ 0 ,

由增函数的定义可知,当 x ∈ (a, b) 时,有 F ( x) > 0 ,即 f ( x) > g ( x) . 证 法 一 : Q b > a > e , ∴ 要 证 a b > b a , 只 要 证 b ln a > a ln b , 设 a a f (b) = b ln a ? a ln b(b > e) ,则 f ′(b) = ln a ? .Q b > a > e ,∴ ln a > 1 ,且 < 1 ,∴ b b f ′(b) > 0. ∴ 函 数 f (b) = b ? ln a ? a ln b 在 (e,+∞) 上 是 增 函 数 . ∴
f (b) > f (a) = a ln a ? a ln a = 0 ,即 b ln a ? a lnb > 0 , ∴ b ln a > a ln b,∴ a b > b a .

证 法 二 : 要 证 a b > b a , 只 要 证 b ? ln a > a ln b(e < a < b) , 即 证

ln a ln b > ,设 a b

ln x 1 ? ln x ( x > e) ,则 f ′( x) = < 0 ,∴函数 f (x) 在 (e,+∞) 上是减函数.又 x x2 ln a ln b Q e < a < b,∴ f (a) > f (b) ,即 > ,∴ a b > b a . a b 进行一题多解的训练,实质上是学会多途径、 多角度地去分析问题,灵活运用 f ( x) =
已有的知识技能,找出尽可能新、尽可能多、尽可能好的解题方法,是一种打开思 路,激发思维,巩固基础,沟通联系的重要途径,通过一题多解的训练,既可帮助我 们总结解题规律,达到对知识的融会贯通,又可自我发展逻辑思维能力及综合思 考能力. 6. 精选含“常规技巧”习题,培养积累能力 波利亚指出: “中学数学教学的首要任务就是加强解题训练,掌握数学就意味 着善于解题.”在数学教学中,通过学生亲身参与解决数学问题活动,使之巩固和 掌握知识,形成必要的技能、技巧. 例 6 求证:

x2 + 2 x +1
2

≥2
x2 + 2 ? 2 x2 +1 x +1
2

比 较 法 :

x2 + 2 x +1
2

?2=

=

( x 2 + 1) ? 2 x 2 + 1 + 1 x +1
2

=

8

( x 2 + 1 ? 1) 2 x +1
2

因为 x 2 + 1 ≥ 1, ( x 2 + 1 ? 1) 2 ≥ 0 ,所以
x2 + 2 x +1
2

x2 + 2 x +1
2

? 2 ≥ 0, 故

x2 + 2 x +1
2

≥2







:

≥ 2 ? x2 + 2 ≥ 2 x +1 ? x2 +1? 2 x +1 +1 ≥ 0
2 2

? ( x 2 + 1 ? 1) 2 ≥ 0 成立,所以原不等式成立。
综 合 法 : ∵ ( x 2 + 1 ? 1) 2 ≥ 0 , ∴ x 2 + 1 ? 2 x 2 + 1 + 1 ≥ 0 , 即
x 2 + 2 ≥ 2 x 2 + 1 ,又 x 2 + 1 ≥ 0



x2 + 2 x +1
2

≥2
2 2

反 证 法 : 假 设

x2 + 2 x +1
2

< 2 ? x2 + 2 < 2 x +1 ? x2 +1? 2 x +1 +1 < 0
x2 + 2 x +1
2

? ( x 2 + 1 ? 1) 2 < 0, 这是不可能的,假设不成立,故
换元、判别法:设 x 2 + 1 = t ,则 t ≥ 1 .记 y =
2

≥ 2 成立.
t2 +1 ? t 2 ? yt + 1 = 0 , t

x +2 x +1
2

=

?t1 + t 2 = y > 0 ?y > 0 x2 + 2 ∵ t ∈ [1,+∞), ∴ ? ?? , ? y ≥ 2 ,∴ ≥2 2 2 ? y ≥ 2或y ≤ ?2(舍去) ?? = y ? 4 ≥ 0 x +1

利用均值定理:

x2 + 2 x +1
2

= x2 + 1 +

1 x +1
2

≥ 2 (∵

x 2 + 1 ≥ 1 ), 当 且 仅 当

x2 + 1 =

1 x2 + 1

即 x = 0 时等号成立.

以上几种证法,巩固了比较法、分析法、综合法、反证法、换元法和判别法 证明不等式的步骤,是熟练掌握不等式证明方法的表现,也是培养、提高、积累学 生解题技巧能力的好方法. 7. 精选含“转化因素”习题,培养综合解题能力 转化,是一种变异性思维,指的是在解题过程中,不断改变解题方向,从不同 的角度、不同的侧面探讨问题的解法,数学解题的过程就是将问题不断转化的过 程.在分析解题时,能否把握问题的特点和解题中出现的具体情况“随机应变” , 调整思路,是衡量解题能力的重要方面. 数学习题中,转化的形式有很多,如由陌生问题向熟悉问题的转化、由“正 向”向“逆向”问题的转化、 “数”与“形”之间的转化、由一般问题向特殊问 题的转化、由抽象问题向具体问题的转化等,如: 例 7 求 y = sin x cos x + sin x + cos x 的最大值.
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解 答 : 令

t = sin x + cosx

π? ? = 2 sin ? x + ? 4? ?

,

t ∈ ? ? 2, 2 ? ? ?

, 则

sin x cos x =

1 (sin x + cos x )2 ? 1 2 2

1 t 2 ?1 t 2 ?1 1 2 = ,那么 y = + t = (t + 1) ? 1 ,所以当 t = 2 时, y max = 2 + . 2 2 2 2 通过换元将其转化为求闭区间上二次函数的最值问题,这种方法是一种重要
的转化途径, 也是我们熟悉的问题.事实上,在碰到陌生题目或没有直接思路解决 问题时, 我们不妨回忆旧知, 联想已学过的或类似较为熟悉的问题与之进行比较, 设法建立联系,把隐含的数学关系明朗化,从而达到转化的目的,又如: 例 8 设 A = {t | 0 < t < 2π } , B = {( x, y ) | x ∈ R, y ∈ R} , 定 义 A 得 B 的 映 射
f : t → (sin t , sin 2t ) . 又 设 C = { f (t ) | t ∈ A} , D(r ) = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ r 2 , r < 0 , 若

{

}

C ? D(r ) 恒成立,求 r 的最小值.

分析:本题集合关系比较抽象,根据集合与映射的知识可以把复杂问题转化 为具体的问题,即:已知 f (t ) = (sin t , sin 2t ) ,且 f (t ) 恒是 D(r ) 的元素,求 r 的最小 值 . 也 就 是 依 题 意 对 t ∈ (0,2π ) , 不 等 式 r 2 ≥ sin 2 t + sin 2 2t 恒 成 立 , 故

r 2 ≥ max{sin 2 t + sin 2 2t}, t ∈ (0,2π ) ,又 sin 2 t + sin 2 2t =
1 ? 25 25 5 ? .而 r > 0 ,因此 r = . ? ? cos 2t + ? + ,∴ r 2 ≥ 16 4 4 ? 16 ?
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抽象的推理,需要较高的逻辑思维水平,具体的运算则显而易见,所以化抽象 为具体,使其数量关系由隐变显,从中寻求获得解决问题的途径. 当然,除了上述提到的转化外,还有很多其它转化,这里不一一陈述.“转化” 在数学学习和解题中有着广泛的用途,使许多复杂棘手的问题化繁为简,化难为 易,因此在习题精选与习题教学过程中,经常引导学生应用转化策略,有利于培养 学生思维的灵活性和深刻性,能拓宽学生的思路,提高学生的综合解题能力. 总而言之,知识是能力的载体,领悟并运用蕴含在知识发生、 发展和深化过程 中,贯穿在问题探索研究和解决的过程中,通过以学生为主体的具有前瞻性的习 题教学,不但可以培养学生的数学的个性,挖掘学生的潜能,还可以提高学生的以 不变应万变、融会贯通的能力,培养学生积极探索的科学创造精神.

浅析三种课型的“小结”在教学设计中的位置安排与作用
中山市东区中学高中部孟 雪 小结, 类似于数学中的反比例函数, 随 x 的减小而增大。 y 它占用的时间短, 发挥的作用却很大,是一种效率高、功效强的知识记忆途径。小结亦是复习的知 识和方法依据。充分利用好小结,学生既减轻了一节课学习负担,又掌握了知识

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间的内在联系,还有利于掌握各种数学思想与方法。 在传统教学设计中,小结通常位于一节课的结尾之处,但是根据课型的特点 和小结的类型,在不同的课型中,小结应有不同的位置与作用。本文结合笔者实 际教学实践浅析课堂小结在新授课、习题课、复习课这三种课型的教学设计中的 位置安排与作用,一下以三方面进行阐述: 一、新授课中——画龙点睛、纲举目张 新授课是以新知识的传授及技能的形成为核心,渗透思维训练,促进学生智 能发展的基本教学课型。这种课型重在帮助学生掌握规律探究的思维过程。知识 点小结通常位于知识探究之后,让学生自主回顾全课的知识和研究方法,重现知 识的建构过程,教师指导学生科学地将新旧知识和方法体系进行链接,帮助学生 实现能力提升。 根据教育心理学理论,随着课堂教学的进度逐渐接近尾声,学生的精力也逐 渐减弱;心理学理论中的后摄效应告诉我们:最后留下的印象,往往是最深刻的 印象,正所谓“故事的结尾往往是最容易被记住的” 。每堂课的结尾都是一个值 得好好利用的黄金时期,利用得好就会使本节课的教学锦上添花,利用的不好会 前功尽弃、甚至功亏一篑。 例如在新授课 《函数的奇偶性》 教师遵循 中, “教必须以学为基础” 的原则, 结合学生在形象思维能力及概括、理解能力上的差异,采用教师引导下的合作探 究教学方法,运用现代化多媒体教学手段,结合黑板板书进行教学活动。首先按 照由特殊到一般的认知规律,由形及数、数形结合,通过设置问题引导学生观察 分析归纳,形成概念,同时设计问题,探究问题,深化对概念以及性质的理解, 突出本节课的重点。使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探索和 交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解, 并能够在教师的引导下对 本节课的知识与方法进行小结。 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理, 使学生边学边练,以练促学,及时巩固,突破难点。 这节课的教学过程设计如下: 创设情境,引入新课
即时训练,巩固新知

观察探究,形成概念 研究图像,小结性质

剖析概念,深化理解 归纳总结,提高认知

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强化训练,自主探究 其中第六个环节 “归纳小结、 提高认知” 就是本节课的小结内容, 具体如下: 1、两个定义:对于 f(x)定义域内的任意一个 x, 如果都有 f ( ? x) = ? f ( x) ? f ( x) 为奇函数; 如果都有 f ( ? x) = f ( x ) ? f ( x) 为偶函数。 2、两个性质: 一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称; 一个函数为偶函数?它的图象关于 y 轴对称。 3、用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)求定义域,看是否关于原点对称; (2)判断 f (? x) = ? f ( x) 或 (3)作出结论。 这部分的内容并不是由教师直接讲授,而是教师引导学生从知识、方法两个 方面来对本节课的内容进行归纳总结,并谈本节课的收获,进行反思。目的是使 学生能利用函数的图像理解函数的奇偶性; 能根据定义和图像判断函数的奇偶性; 并在此过程中体会由形及数、数形结合的数学思想,并学会由特殊到一般的归纳 推理的思维方法。 学生掌握了小结的内容, 就抓住了这节课的知识、 方法与思想, 解决课堂练习和课下作业也就游刃有余了。 二、习题课中——首尾呼应、知识升华 习题课是数学学习的一种重要课型。 习题课的基本目的是通过解题的形式来 提高学生学习数学能力,并通过解题教学,进一步培养学生数学的应用意识和能 力。对于教师来说还可以检查学生对所学知识的理解和掌握之程度,以便及时调 整教学方法和策略,实现数学课堂教学的三维目标 数学习题课按教学的情境和目标的不同,一般可分成三类: 1.形成性习题课: 形成性习题课是指在新概念、新规律建立时,为准确认识新知识的内涵、条 件、范围及基本运用方法而设的习题课,这种习题课一般不单独进行,往往与讲 授新课结合在一起,不是一个完整的课堂结构,这里暂不分析。
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f (? x) = f ( x) 是否恒成立;

2.小结性习题课: 小结性习题课是指一个单元结束时,学生对本单元知识结构网络的建构、对 某些知识点认识模糊的再认识及提高学生运用知识解决问题的能力而设的习题 课。 3.专题性习题课: 专题性习题课是指学完数学知识体系中占有重要地位的知识点或知识块, 或 是对数学思想方法的形成及对今后的学习有着重大影响而难度又较大的知识后, 为帮助学生提高认识及减轻学习困难而设置的习题课。 小结性习题课和专题性习题的课堂设计大同小异,授课过程一般包括:知 识梳理;典例分析;习题演练;方法总结;分层作业 。其中除“分层作业” 外的第一个环节和最后一个环节都属于“小结” ,只不过第一个环节大多数 是知识点小结,而最后一个环节多是学法小结。知识点小结的设计目的在 于让学生明确本节课的学习目标,学法小结的设计目的在于让学生掌握各 种数学方法、思想。 以习题课《二倍角的三角函数》为例: 这节课的教学过程设计如下: 知识梳理 牛刀小试 典例分析

知识检测

总结归纳?

分层作业?

本节课有两个“小结”“知识梳理”和“总结归纳” : ,其中前者属于知识点 小结,后者属于学法小结。 本节知识点小结内容以表格形式给出,开篇点题。从简单的同角三角函数的 基本关系式入手,到二倍角的三角函数公式,提示学生公式的巧妙记法: “扣扣 赛赛不听话,赛扣扣赛很听话” ,使学生能够快速准确的记起和(差)角三角函 数公式内容,再由替换方法回忆二倍角公式内容。这个“小结”环节的具体内容 如下(空白部分由学生完成) : 1、同角三角函数的基本关系式:
?

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2、二倍角三角函数公式:

和(差)角三角函数公式:

二倍角三角函数公式:

sin 2α = ?
sin(α ± β) =

cos 2α = ?
cos(α ± β) =?
?

tan(α ± β) =?

tan 2α = ?

本节课的学法小结以教师引导学生回答形式完成, 在整节课的习题处理过程 中,学生会出现种种问题,如公式用错,找不到化简技巧,公式不会灵活应用, 不会从其他题型中抽离出关于本节课内容的已知条件等。针对这些问题,教师在 解决习题时应给予纠正,并在课末引导学生自己做学法小结,使学生留下深刻记 忆,并在作业中得以运用并纠正错误方法、掌握科学正确的思想方法。 三、复习课中——开门见山、有的放矢 复习不是简单地再现旧知识,而是要通过对旧知识的系统整理,给学生以新 的信息,引发新的思考,促进新的发展,特别要引导学生自主参与整理,在整理 的过程中, 进行知识编码, 对自己的认识结构实行精加工, 使平时所学的 “分散、 零乱、 细碎” 的知识点, 结成知识链, 形成知识网。 整理, 即对过去所学的分散、 零碎的知识要点进行系统的梳理、总结,使之纵成线、横成片,从而使知识结构 脉络分明.所以复习课教学中,教师要帮助学生根据回忆的知识要点,从“点一 线一片”上整理。 例如在复习课《一元二次不等式》中,教师以高考对本节内容的要求导入课 堂, 用一道简单却很经典的一元二次不等式让学生们回忆起一般的一元二次不等 式解法, 然后以表格的形式引导学生给出求一般的一元二次不等式解集的各种情 况,学生根据知识回顾内容解决常见的几种类型题。 这节课的教学过程设计如下: 直击高考 经典重现 知识梳理

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牛刀小试

典例分析

知识检测

体验高考

其中第三个环节“知识梳理”就是本节课的小结内容,以表格形式给出如下 (空白部分由教师引导学生完成) :

根据记忆法原理, 大脑的右半脑主管形象思维, 又是记忆力非常强的脑部分, 记忆效果非常明显。这节课的重点内容就是一元二次不等式的解法,所以知识点 的内容以表格给出比文字更容易让学生记住, 因为表格所给出的不仅有图形还有 不同情况之间的对比情况。这个环节是本节课的重点知识掌握内容,本节课左右 的内容都是为荣这一知识展开,所以开门见山的把知识点问题解决,学生在课堂 上才会有的放矢。学生理解并掌握了各类一元二次不等式的解法,不仅仅对完成 本节课的内容,也掌握了高中阶段解决不等关系的重要工具。 无论采用什么样的方法构建知识网络, 都是把所学的知识纳入原有知识的网 络体系中去,使知识系统化、条理化.在构建知识网络后,教师要引导学生具体 分析所构建的知识网络的每个知识要点。 特别是对学生复习中的疑难点要进一步

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分析,抓其联系与区别,帮助学生解决重点、难点和疑点,从而使学生全面、准 确地理解和掌握知识,达到查漏补缺、温故知新的目的。 课堂教学是一门技术,课堂小结更是一门艺术。套用教学的规律来说“小结 有法,但无定法,因需而用,贵在得法” 。在今后的教学工作中,笔者将深入地 研究与不断地实践,争取让课堂小结这一看似微小的课堂环节发挥巨大的作用, 让这个反比例函数在第一象限无限接近 y 轴!

?

?

我们与新课改一起成长
‐‐‐‐‐‐‐浅谈新课程理念下高中数学的探究教学? 中山市第二中学:孙平? 注重“数学探究”是新课改的一大亮点。 《普通高中数学课程标准》明确指 出:数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容。新 课程改革强调教学活动是师生的双边活动。 课堂上, 教师的作用在于组织、 引导、 点拨。学生通过自己的活动,获取知识,所以说,课堂舞台上的主角不是教师, 而是学生。没有学生的积极参与的课堂教学,不可能有高质量和高效率。下面结 合平常的教学实践,论述如何在课堂教学中开展“数学探究”活动。? 1、 以学生为本,就是充分发挥学生学习的能动性? 让学生积极主动地参与教学活动, 并以自己的知识经验和兴趣动机为基础来 获取知识, 形成技能, 发展智力。 心理学认为: 课堂上只有经常性启发学生动手、 动口、动脑,自己去发现问题、解决问题,才能使学生始终处于一种积极探索知 识,寻求答案的最佳学习状态中。重视学生进行学习目的性教育,培养他们的学 习兴趣,增强学生的学习兴趣,增强学生的自信心;让学生动手操作参与学习过 程,以充分发挥学生的主动性,积极性和创造性,使学生成为真正的学习主人。 “授之以鱼不如授之以渔” ,因此,强调把“教”建立在“学”的基础上,在改 进教学方法的同时,通过多种途径对学生的学法进行有效的指导;在注重样学生 的思维能力和自学能力的同时, 要不断同样学生的创新思维和创新意识, “教 实现 是为了学”这一根本目标。? 2、 重视教材“探究”素材的教学,培养数学探究习惯? 与大纲教材相比,新课标教材中一个明显的特点就是增加“探究”素材,人 教 A 版必修 1、必修 4 两个模块共有 37 个探究素材,如何处理好这些内容,最 大限度地挖掘其教育功能,是每个数学教师的责任和义务。数学课堂中通过设置 问题情境,尝试过程的研究,加上信息技术的运用,可以全方位地展现数学知识 的产生发展的动态过程,增强学生的数学学习兴趣和追求真理的信心,培养学生 发现问题、分析问题、探究问题和类比、归纳、猜想、论证能力,从而提高课堂
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教学的有效性。? 案例 1、人教 A 版必修 1 第 30 页的函数的单调性的“探究”问题。? 1 画出反比例函数 y = 的图象。? x (1) 这个函数的定义域 I 是什么?? (2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的?证明你的结论。? ? ? ? ? 学生按步完成这个探究,用描点法画出函数的图象,写出它的定义域,说出 它的单调性并用定义加以证明。表面上看,这个探究是比较容易的,结论也很清 晰。关键是要引导学生真正领会探究的意义与价值。为此,还需要在教学中对这 个问题进行更多的探究设问。? 1 设问 1、你能说函数 y = 是减函数吗?? x 强调指出函数的单调性的本质及其单调区间不能求并的根据。? k 设问 2、函数 y = (k > 0) 具有怎样的单调性?? x k 设问 3、函数 y = (k ≠ 0) 具有怎样的单调性?? x 通过以上探究,当然还可以运用几何画板来作图,领略和掌握反比例函数的 性质。? 3、重视例习题的探究教学,促进数学思维迁移? 在学生刚刚接触一个新的知识时,思维定势对理解知识本身是有益的,同时 对学生养成一定的思维习惯,形成一定的解题思路也是有帮助的,教材中的例习 题对数学问题的解决起着示范启迪的作用。 将例习题设计成探究问题进行课堂教 学,对学生的做法进行归类分析,从单一的求解过程提升到类型问题的思考方法 和步骤,可以形成思维的正迁移,从而发挥例习题的探究效能。? 案例 2、人教 A 版必修 4 第 46 页习题 1.4A 组第 11 题? 正弦函数 y = sin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的 对称中心,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,对称中心的坐标 是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,对称轴方程是什么?你能用 学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对余弦函数和正切函数, 讨论上述同样的 问题。? 课堂教学中通过对正弦曲线的图象特征的探究,观察发现正弦曲线除原点外, 还有其他对称中心,有正弦函数的周期性可知,其对称中心的坐标为 (kπ ,0), k ∈ Z ; 同时也是轴对称图形,其对称轴方程为 x = kπ +

π
2

, k ∈ Z ,同样可以得到余弦、 正切

图象的性质。? 在课堂教学中,教师可引导学生做问题探究,进一步概括出如下结论:? (1)正弦曲线、余弦曲线的对称中心都是曲线与 x 轴的交点;其对称轴都正 好是使正弦或余弦函数值取到最大(小)值。? (2)正切曲线的对称中心包括曲线与 x 轴的交点,还包括一些其他在 x 轴上 的点。? 这样对于研究函数 y = A sin( wx + ? ) + B ,y = A cos( wx + ? ) + B 的对称性就比
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较有益。? 最后归纳发现研究三角函数的对称性的基本思路是: 利用三角函数的图象和 周期性来研究其对称性。? 4、 重视探究教学的课外延续,巩固课内探究成果? 课标指出, 教师应根据不同的内容目标及学生的实际情况, 给学生留下拓展、 延伸的空间和时间,对有关课题做进一步的探究研究,新教材中有许多开放性和 探究性的问题,受课堂教学条件的制约无法完全在课内实现,因此这类探究问题 在教学设计时应注重课堂内多启发学生,诱导学生进行探究性学习,并将探究的 过程延伸到课外,通过课外的实践性活动进而巩固课堂探究的成果,做到课内外 相结合。? 案例 3、在指数函数 y = 2 x 中, x 为自变量, y 是因变量,如果把 y 当成自 变量, x 当成因变量,那么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如 果不是,请说明理由。 (人教 A 版必修 1 第 76 页的反函数教学中的“探究” )? 课内通过探究,启发学生得到:按照对应关系 x = log 2 y , x 是 y 的函数, 由此说明同底的对数函数与指数函数互为反函数。? 同时向学生指出, 对于这两个互为反函数的指数函数 y = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 与 对数函数 y = log a x(a > 0且a ≠ 1) 之间有什么关联呢?? 引导学生在课后设计一个指数函数与对数函数对照的表格, 其中包含函数的 一般形式,图、定义域、值域、函数值变化情况,单调性,奇偶性等方面。目的 在于引导学生回顾、对比这两类函数,对它们形成整体的认识,并发现两者之间 的关联性。? 虽然地互为反函数的两个函数图象之间的关系并不做一般要求, 但对学有余 力以及有兴趣的学生,可以进一步启发他们对教科书中的“探究与发现”“互为 : 反函数的两个函数图象之间的关系”做一次全面的探究,这样就将问题探究延续 到课外,以便能有更加充裕的时间来作好这个探究。? 5、 重视教材和教学用书中存在问题的探究教学,倡导科学求真精神? 教材是教学的依据,教材对教师的教与学生的学会产生直接的启迪作用,但 教材中难免有一些错误或不严谨之处, 我们可以引导学生对错误或不严谨处提出 质疑,进行探究求真,实际上是遇到学生学会学习,学会判断和分析,形成数学 思维的批判性和严谨性。? 例如:求函数 f ( x) = ln x + 2 x ? 6 零点的近似解。 (必修 1 第 89 页)? 用二分法求方程的近似解,二分法处理中的精确度与精确到的问题,这里就 可以对“精确度”和“精确到”进行一次较好的探究,领会其间的关联和区别, 从而对二分法求方程的近似解的步骤化更为透彻理解。? 对教材中一些问题的探究,容易激发学生的兴趣,但也需要把握好一个正确 的导向。通过探究,让学生认识到科学容不得半点马虎,有差错就要加以改正。 同时也让学生体会到学习需要善于思考,不要迷信书本迷信权威。? 总之,探究其实是一种发散思维, 《数学课程标准》指出: “动手实践、自主
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探索与合作角落是学习数学的重要方式。 ”在课堂中开展探究活动,不仅是学生 深入理解知识,掌握技能的有效途径,更是促进学生自主学习和合作学习的良好 形式,它为培养学生创新意识和实践能力开创了新园地。? ? ????????????????????????????????????????????????? 参考文献:? (1) 中华人民共和国教育部。 普通高中数学课程标准。 北京: 人民教育出版社。? (2) 高中数学《必修 1》 。人民教育出版社 A 版。? (3) 高中数学《必修 4》 。人民教育出版社 A 版。? (4) 任志鸿,高中优秀教案《数学(A)必修 1》新课程人教版。? (5) 王富英,新课程理念下中学数学学习过程评价的探究。数学教学学报,?

迁移原理在高中数学教学中应用的策略?
中山市濠头中学? 贺? ? 词? ? ? 摘要:迁移是学习的一条重要规律,是用以有的知识和技能学习新知识和新 技能。根据迁移的作用可以分为正迁移和负迁移。在高中数学教学中,教师要充 分利用迁移原理,采用不同的教学策略来促进正迁移,防止负迁移,促进教学质 量的提高。? 关键词:迁移原理? ? 策略? ? ? 学生已学过的知识、技能、方法对于学习新的知识、技能、方法会产生一种 影响与作用,这种影响与作用在教育学上称之为“学习的迁移” ,学习的迁移是 一个复杂的过程,在学习新的知识时,由感知诱发产生联想而回忆起旧知识,通 过思维活动,再将与新知识相类似的旧知识运用到新知识中。根据迁移的作用, 可以分为正迁移和负迁移。正迁移可产生有利的、积极的促进作用;负迁移可产 生不利的、消极的干扰作用。高中数学知识之间是相互联系的,新知识的传授依 赖于旧知识的掌握, 学生掌握知识及教师传授知识的过程都是迁移现象产生的过 程。所以,在高中数学教学中,教师有效运用迁移原理,采取合理教学策略,促 进正迁移、 预防负迁移是一项重要任务, 以下谈谈怎样促进正迁移和预防负迁移。 ? 一、促进正迁移? 教师在教学中为促进正迁移,教学必须能激发学习者进行有意义学习所需的 内部认知过程,保证学生成功地选择相关信息,并在新知识与旧知识之间建立内在 联系。在数学课堂教学中可通过温故知新、启发联想、教会类比、演变拓广、渗
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透数学思想等教学策略,来促进正迁移的顺利实现。? 1、 温故知新。? 由于数学知识的逻辑性严谨,在概念形成的学习过程中,起主要作用的智力 活动方式是观察、分析综合、抽象概括、比较、形式化和具体化。如果学生能对 新旧知识做出概括,找出他们之间的联系,就能实现学习之间的迁移。在教学的 适当阶段, 根据需要, 有目的的复习旧知识, 用学生熟悉的知识进行铺垫、 引入, 这样学生会“触景生情” ,产生联想,诱发正迁移。? 例如:在进行立体几何“空间角”概念教学时,可根据需要复习旧知识,诱 发联想,产生迁移。具体如下:? ①温故:提问学生以前是否学过有关角的概念,回忆角的定义。? ②联想:提问“空间角”与已学过的角之间有没有联系呢?能否利用已学过 的角的概念来研究“空间角”呢?诱发学生联想,产生正迁移。立体几何的一个 重要思想就是将空间问题转化为平面问题来解决,通过上述联想,解决问题的方 向、思路就比较清楚了。? ③小结:异面直线所成的角通过平移化归为相交直线所成的角,将空间角转 化为平面角。这样不仅揭示了新旧知识间的内在联系,而且还培养了学生的创造 性思维能力,对于线面所成的角与二面角的问题,便可举一反三,触类旁通地迁 移了。? 2、启发联想。? 联想就是对某一事物的思维引起对另一与其相关联的事物的思维过程。 许多 学生解题时受阻并非相关知识掌握得不好, 而是在当时情境下联想不到可以使问 题迎刃而解的公式、定理、与此相关的例题、习题,可以借鉴的处理方法等。因 此, 教师在教学过程中, 要通过巧妙点拨、 新奇设问、 精心为学生创设联想情境, 诱导学生进行知识,方法和能力的迁移,打开解题思路受阻的突破口。? 例如:求函数 f ( x) = x 2 + 2 x + 2 + x 2 ? 4 x + 8 的最小值。? 按常规思路, 用代数方法难以求解, 引导学生观察式子的特征, “配方” 联想 , 进 而 联 想 到 “ 两 点 间 距 离 公 式 ”。 为 此 , 函 数 式 可 化 为

f ( x) = ( x + 1) 2 + (0 + 1) 2 + ( x ? 2) 2 + (0 ? 2) 2 ,进一步联想到 f(x)就是动点 P(x,0)到
点 A(‐1,‐1)和点 B(2,2)的距离之和。并且发现问题的几何背景,故
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f ( x)≥|AB|=3 2 ,即 f(x)的最小值是 3 2 。?
3、教会类比。?

数学的一个很重要的思想方法是类比思想,它可以把相似问题进行归类,揭示 出问题中的共同本质,对于问题的解决是很有帮助的。很多数学知识在形式,方 法和思想等方面是相互联系的, 这些联系能帮助学生类比联想知识之间共同的要 素,容易产生迁移。教学中要善于运用类比,找出不同问题的类似之处,从类比 中掌握新知识,找到解决问题途径,从而促进方法与能力的迁移。? 例如:证明:①等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。②正 n 边形内的任意一点到各边的距离之和为定值。 ③正四面体内任意一点到四面的距 离之和为定值。? 分析:第①题的证明非常简单,只要用到等面积法即可。第①题证法很容易 类比到第②题, 平面几何的 “面积证法” 类比到空间就得到第③题的 “体积证法”? 又如:在学习等比数列的性质时,可以利用等差数列与等比数列性质之间的 相似性进行类比研究。? ①若 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N * ) ?
迁移 在 等 差 数 列 {an } 中 有 am + an = a p + aq ? ??? 在 等 比 数 列 中 有 →

am an = a p aq ;?
② 若 sn 是等差或等比数列前 n 项的和?
迁移 在等差数列{an } 中有 sn , s2 n ? sn , s3n ? s2 n … 成等差数列 ??? 在等比数列 →

中有 sn , s2 n ? sn , s3n ? s2 n …成等比数列;?
迁移 ③在等差数列 {an } 中有 ak , ak + d , ak + 2 d …成等差数列 ??? 在等比数列中 →

有 ak , ak + d , ak + 2 d …成等比数列;? 这样让学生类比等差数列的性质来学习等比数列的性质, 不但对新知识的理 解深刻,而且在知识和技能的运用上同样可以迁移使用,同时有利于形成知识体 系,提高解决新问题的能力。?
4、

演变拓广。?

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演变拓广是数学教学中运用比较多的手段, 教师在教学中要善于对问题进行 演变拓广,选择典型例题、习题,改变条件引导学生横向、纵向探索,或将结论 延伸,充分运用迁移规律,去提高学生运用知识解决问题的能力。?

1 4 例如: 1)已知曲线 y = x3 + ,求曲线在点 P(2,4)处的切线方程。? ( 3 3 1 4 演变:已知曲线 y = x3 + ,求曲线过点 P(2,4)处的切线方程。? 3 3
? ? ? ? 利用导数求曲线的切线学生很清楚函数在切点处的导数值就是切线的斜率。

已知切点坐标可求切线的斜率,已知斜率可求切点坐标。这两道题仅一字之差, 但也可以模仿例题的做法设 Q( x0 , y0 ) 为 但变式题中的 P 可以是切点也可以不是, 切点,列方程,求出切点坐标。通过此题可引导学生从“变”的现象中发现“不 变”的本质,从“不变”中探索“变”的规律,帮助学生使所学的知识点融会贯 通,提高解决问题的能力。?
5、

渗透数学思想。?

数学思想方法是数学活动的基本观点,是数学知识发生过程的提炼、抽象、 概括和升华,是对数学规律的更一般的认识。由于同类问题知识之间的联系,只 要学生能较好地掌握了数学思想方法,就能触类旁通,抓住数学问题的本质,促 进学习的正迁移。教师在教学中要注意发掘隐藏于知识中的思想方法。?

2 ? sin x 的值域。? 2 ? cos x 本题可以把函数化为关于 x 的三角函数, 然后利用三角函数的有界性求值域,
例如:求 y = 但其运算量大,对学生的运算能力有较高要求,有一定难度。但如果能联想到过 两点的连线的斜率公式,利用数形结合的思想,将此式看成两点 P (cos x,sin x) ,
Q(2,2)连线的斜率的范围,而点 (cos x,sin x) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上,故可构造图

像求函数值域,显然当直线与圆相切时斜率有最值。此方法揭示了三角函数值域 与直线斜率之间的内在联系, 在解决三角函数的有关问题时,将数(量)与图 形结合起来进行分析、研究,使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出 来,从而使一道较难的题迎刃而解。? 二、预防负迁移? 在数学教学中,教师要根据学生的心理特征和学习特点,研究教学规律,改

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进方法,尽量防止可能导致的负迁移,创造和加强产生正迁移的条件。?
1、

加强概念的辨析对比,理解概念的本质。?

? ? ? ? 学生在学习概念的过程中,往往容易理解有关概念的共同或相似因素,而不容

易理解它们的本质区别,以致容易产生负迁移。例如 a 2 和( a ) 2 在形式上有相似 之处, 不少学生认为它们相等。 教师此时应揭示两者之间的本质区别:前者是 a 2 的 算术平方根,a 可为任意实数;后者是 a 的算术平方根的平方, a 只能是非负数。 如果不揭示这一点,就会得出 a 2 =( a ) 2 = a 的错误结论。因此,对于相似、相 近、易混的概念,要通过分析对比,讲清内涵、讲透外延,揭示概念的特征,让 学生理解其实质,可以有效地防止知识的负迁移。?
2、? ? 精心选定习题,实时充分练习。?

对于易产生负迁移的知识,教师要根据教材前后内容的内在联系,精心选定 习题,循序渐进地安排反复练习。如算术平方根的概念,学生易产生 a 2 = a 的
1 负迁移,这是可以安排诸如求 52 , (? ) 2 , x 2 , (a ? b) 2 (a > b), ( x ? 1) 2 的值的 2

练习,针对错误,及时纠正。?
3、

引导多向思考,克服思维定势。?

定势也叫“心向” ,是先于一定的活动而指向一定活动的动力准备状态。在 学习过程中,学生应用知识的准备状态,便是一种定势,它可以促进正迁移的发 生,也可能促使负迁移的发生。? 例如,已知 a,b,c 是三角形的三边,求证方程 b 2 x 2 + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 = 0 没 有实根。? ? 思路一:? △=(b 2 + c 2 ? a 2 ) 2 ? 4b 2 c 2

= (b 2 + c 2 ? a 2 + 2bc)(b 2 + c 2 ? a 2 ? 2bc) ? ? = ……
? ? ? ? ? ? 这是学生一般都能想到的思路(判别式法)但不少学生不易想到继续因式

分解,用三角形三边关系来证明,思维受阻。有的学生嫌繁琐而终止证明,若联

23

想到余弦定理,便可得到简洁证法。?
? ? ? ? ? ? ? 思路二:
2 △=(2bc cosA) ? 4b 2 c 2

= 4b 2 c 2 (cos 2 A ? 1) < 0

?

若想到在原方程中直接用到余弦定理,下面证明思路是全新的。? 思路三:?
因b2 x 2 + 2bc cos A ? x + c 2 = 0 即(bx + c cos A) 2 = ?c 2 (1 ? cos 2 A)

?

左端要为负值,所以上式绝不能成立。? 因此,在教学中要引导学生多方向、多角度进行思考,横向、纵向,正面, 反面探索,防止思维单一,克服思维定势,产生负迁移。?
4、合理利用负迁移,促进负迁移向正迁移转化。?

正迁移与负迁移是矛盾双方,既对立又统一,在一定条件下可以相互转化。 教师在课堂教学中可能采取了各种方法防止学生产生负迁移,但实际上学生在数 学学习中还是会产生各种形式的负迁移,对这些负迁移的产生,教师应该因势利 导,找出产生负迁移的根本原因,引导学生由负迁移向正迁移转化。? r r r r r r r r r 例如,在讲解向量性质: a ? b ? a ? c = 0(a ≠ 0) ? a⊥(b ? c ) ,很多学生容易
r r r 由实数的运算规律得到 b = c ,把 a 约掉了,这是学生很容易造成的错误认识。教师

可以向学生讲清楚两向量的数量积是一个实数,向量是有大小有方向的量,向量 不定义除法,所以由数量积这个实数是不能把其中的向量以实数的形式约掉的。 这样来进行教学的话,能让学生在自己的错误中认识到问题,找到正确的解决方 法,由负迁移向正迁移转化。? 总之,教师作为教学活动的引导着,应结合数学知识的特点,在教学过程中 采用不同的教学策略,促进正迁移,克服负迁移,引导学生对数学知识、技能、 情感的迁移,加强对数学知识的认识和了解,提高学生运用数学分析问题、解决 问题的能力。?
?

参考文献?
[1].蒙秋秋.迁移理论在高中数学教学中的应用研究[D].?2008.5? [2].顾亮.浅谈高中数学教学中的迁移能力的渗透[J].? 语数外学习,?2012.(11)? ?
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[3].宋美丽.浅谈高中数学学习中的正迁移[J].教科论坛,2012,?(NO.15)? ?

浅谈新课标理念下的数学探究性教学
广东省中山市古镇高级中学? ? ? 袁长娴 内容摘要:如何在日常教学中实施探究性教学,从以下几个方面加以策述: 1.在日常的课堂教学中渗透探究性学习; 在数学问题中渗透探究性学习; 在 2. 3. 数学的应用题中渗透探究性学习;? 关键词:探究性学习;应用题探究;开放题探究;社会实践活动。 探究性学习是学生在教师指导下,从自然、社会和生活中选择和确定专题进 行研究, 并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。设置探究性 学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式, 为学生构 建开放的学习环境,提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践 的机会,促进他们形成积极的学习态度和良好的学习策略,培养创新精神和实践 能力。通过探究性学习使学生获得亲身参与研究探索的体验,培养学生发现问题 和解决问题的能力,培养学生收集、分析和利用信息的能力,使学生学会分享与 合作? 。 如何在高中数学课中开展数学探究性学习呢? 一、在日常的课堂教学中渗透探究性学习 求知欲是人们思考研究问题的内在动力,学生的求知欲越高,他的主动探索 精神越强,就能主动积极进行思维,去寻找问题的答案。我们教师在教学中可采 用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径,活跃课堂气氛,调动学生的学习热情和 求知欲望,以帮助学生走出思维低谷。在讲授新课时,我们可根据课题创设问题 情境,让学生产生悬念,急于要了解问题的结果,而使学生求知欲望大增。在遵 循教学规律的基础上,采用生动活泼,富有启发、探索、创新的教学方法,充分 激发学生的求知欲, 培养学生的学习兴趣, 为开展数学探究性学习的活动铺垫了 基础。 数学探究性学习的过程是围绕着一个需要解决的数学问题而展开, 经过学生 直接参与研究,并最终实现问题解决而结束。学生学习数学的过程本身就是一个 问题解决的过程。当学生学习一章新的知识、乃至一个新的定理和公式时,对学 生来说,就是面临一个新问题。事实上,课本中,不少定理、公式的证明、推导 本身就是一节数学探究性学习的好材料。比如,三角函数中,正弦、余弦诱导公 式的推导;直线的倾斜角和斜率的研究;直线与抛物线的位置关系;等等。以某 一数学定理或公设为依据,可以设计适当的问题情景,让学生进行探究,通过自 己的努力去发现一般规律,体验探究的乐趣。
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二、在数学问题中渗透探究性学习 在课堂上要形成“问题中心” ,把社会生活中的问题搬进课堂内进行探究, 使课堂成为问题展示平台、讨论与辨析的场所。我们开展数学的探究性学习,就 是要让学生自主地去发现、去探究自己感兴趣的问题,亲身体验问题。数学中的 各种各样的问题为我们探究性学习提供了许多研究的方向, 数学教学中的各种问 题都是渗透探究性学习的重要载体。 1、在数学的应用题中渗透探究性学习 新课程改革旨在培养学生创新精神和实践能力, 改革传统教学理论严重脱离 实际的状况。使学生能将学到数学知识能应用到解决实际问题中去,这也是我们 探究性学习的一个重要方面。利用数列知识解决购房、购车分期付款问题,利用 函数求最值的方法解决现实生活中最佳方案问题,等等。带动学生去探究生活中 的数学问题,让数学探究性学习带给学生无穷的乐趣,真正的做到使学生学以致 用。数学的应用不仅是应用数学知识解决问题,更重要的是能够在实际生产、生 活中发现问题,提出问题,通过学生的社会调查与实践,在实际生产过程中发现 数学问题,研究数学问题,建立解决各种问题的数学模型,这样学生一方面能用 所学的数学基础理论解决实际问题, 另一方面又能在日常生活中的具体事例抽象 成数学的模型,数学的探究性学习就在这样的过程中循环推进。 2、在数学开放题中渗透探究性学习 数学开放题能体现数学探究的思想方法,解答过程是探究的过程,能体现数 学问题的形成过程,体现解答对象的实际状态,数学开放题有利于因材施教,可 以用来培养学生思维的灵活性和发散性,使学生体会学习数学的成功感,使学生 体验到数学的美感。将数学开放题用于学生探究性学习是十分有意义的。 开放题的核心是培养学生的创造意识和创新能力, 激发学生独立思考和创新 的意识,是一种新的教育理念的具体体现。数学开放题作为开展数学探究性学习 一个切入口,促进了数学教育的开放化和个性化,从发现问题和解决问题中培养 学生的创新精神和实践能力。开放题通常是改变命题结构,改变设问方式,增强 问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考, 对命题赋予新的解释进而形成 和发现新的问题。数学老师就应该充分的利用探究性学习的机会,编制数学开放 题,提高学生运用的能力。但无论是改造陈题,还是自创新题,编制数学开放题 都要围绕使用开放题的目的进行, 开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变, 应作为常规问题的补充。 用于探究性学习的开放题尽量能有利于解题者充分利用 自己已有的数学知识和能力解决问题。 编制的开放题应体现某一完整的数学思想 方法,具有鲜明的数学特色,帮助解题者理解什么是数学,为什么要学习数学, 以及怎样学习数学。

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三、在社会实践中渗透探究性学习 在数学探究性学习中,社会实践是重要的获取信息和研究素材的渠道,学生 通过对事物的观察、了解并亲身参与取得了第一手资料,可以用所学的数学知识 予以解决。 探究性学习强调理论与社会、科学和生活实际的联系,特别关注环境问题、 现代科技对当代生活的影响以及社会发展密切相关的重大问题。 要引导学生关注 现实生活,亲身参与社会实践性活动。同时探究性学习的设计与实施应为学生参 与社会实践活动提供条件和可能。 对于高中学生而言,要开展探究性学习,必须培养他们的实践能力。具体说 来,主要包括有以下几个方面能力:发现问题、提出问题、分析问题和解决问题 的能力;动手操作的能力;参加社会活动的能力。例如让学生尝试探究“银行存 款利息和利税的调查” :先让学生制定调查研究专题,从教科书、课外阅读书以 及网络中查找有关银行存款利息和利税的内容,由学生自己根据实际需要,分组 到建设银行、农业银行、农村信用社、国税、地税等相关部门进行原始数据的搜 集,通过对原始数据的分析、整理,建立一个数学模型。在探究过程中,学生的 积极性以及创新能力得到充分展示,使他们发现探究数学的乐趣,也享受到成功 的喜悦。 总之,探究性学习旨在将学习更多地看作一个解决问题的过程,让学生掌握 解决问题的方法。由对知识的认识过程转化为对问题的探索过程;由对知识的认 知掌握转化为对问题的研究解决。 这样才能使学生学会在复杂的社会环境中不断 地用探究科学的态度与方法去认识、发现、改变与创造,真正使今天的学习成为 明天参与和改造社会,从而获得发展的基础。通过主要采取探究性学习方式实施 的数学教学, 不仅可以促进学生学习数学、 掌握和运用一种现代数学的学习方式, 学会主动学习、终身学习,而且可以促进数学教师的教学观念和教学行为方式的 改变,学会指导学生自主学习,促进教师综合素质的提升和教学能力、研究能力 的提高。 参考文献: [1] 《数学课程标准》 。国家教育部制定。 [2] 《数学课程标准教师读本》 。
?

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创设数学问题情境 培养学生创新意识
广东省中山市桂山中学 祁云芳

内容摘要:
(1)创设问题解决情境的基本要求与方法。 (2)创设问题发现情境的思维策略。

关键词:
新课标 问题解决情境 问题发现情境 创新

新的数学课程标准倡导发展学生的创新意识,创新源于问题,问题源于情 境。数学问题总源于某种现实情境或某种纯数学情境,离开了情境,数学问题的 产生就失去了肥沃的土壤,因此我们在数学教学中必须遵循“问题驱动”这一基 本数学教学原则,创设恰当的数学问题情境,培养学生创新意识。 通常所说的“问题情境”可分为问题解决情境与问题发现情境两类。问题 解决情境指为解决问题而创设恰当的客观情境,能激发学生的参与意识,启发学 生积极思维,培养学生的数学能力,开发和挖掘智力因素和非智力因素。问题发 现情境可以理解为这样一种氛围:它既能使学生产生积极的、愉快的情感体验和 希望发现问题的心理倾向, 又具有有利于数学问题产生的丰富的数学信息或背景 材料,能对学生提出数学问题起帮助和促进作用,是学生敢提出问题,想提出问 题, 能提出问题的一种数学情境, 是培养学生学习兴趣、 创新意识和能力的情境, 是较问题解决情境更高层次的情境。

一、创设问题解决情境的基本要求与方法
1. 创设问题解决情境的基本要求 ①创设问题解决情境要符合由已知到未知、由直观到抽象的基本要求。 数学方法论指出: “数学教学的任务,主要是引导学生的认识由已知到未 知、 由具体到抽象。 创设问题解决情境是使学生数学思维由具体到抽象的阶梯, ” 是调动思维积极性的重要手段,因此,创设问题解决情境要符合由已知到未知, 由直观到抽象的要求。 如要学生理解任意两平行线 l1:Ax+By+C1 = 0、l2:Ax+By+C2 = 0 间的距 离d =
| C1 ? C 2 | A2 + B 2

这一比较抽象的公式。可利用学生已知的点到直线的距离公式,

先让问题具体化,要学生在直线 2x-7y-6 = 0 上任取一点,如(3,0) ,求此 点到另一直线 2x-7y+8 = 0 的距离,再在直线 2x-7y+8 = 0 上任取一点,求该
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点到直线 2x-7y-6 = 0 的距离,从而将线→线距离转换为点→线距离,而发现 两个距离表达式中,

| 8 ? ( ?6) | 22 + 72

是一样的,从而很容易引申到对于任意两平行线
| C1 ? C 2 | A2 + B 2

l1: Ax+By+C1 = 0、 2: l Ax+By+C2 = 0 间的距离的求法, 而得一般的结论 d =



一般结论的获取与发现靠特殊情况中个性的启发,引导学生由已知到未知, 由具体到抽象,抓住知识之间的内在联系,是创设问题解决情境的关键。 ②创设问题解决情境要符合从问题奇妙处入手,循序渐进、由浅入深的要 求。 心理学告诉我们: “浅出的过程较易唤起学生的无意注意,甚至唤起学生的 好奇与兴趣,而深入的理解才可能使学生的好奇与兴趣增浓和持久。 持久的好 ” 奇与兴趣才能真正激活学生的创造思维。因此,创设问题解决情境要符合从问题 奇妙处入手,循序渐进,由浅入深的基本要求。 ,除用两边平 如要证明: “已知 m 1 ? n 2 + n 1 ? m 2 = 1 ,求证 m2 + n2 = 1” 方化简或用三角变换方法来证明外, 为了增强学生对问题解决的好奇与兴趣, 真 正激活学生的创造思维,还可突破常规,从问题奇妙处入手,循序渐进,由浅入 深, “单位圆的切线构思” 用 创设问题解决情境: 先让学生发散思维, 引导联想, ( 得到( m, 1 ? m 2 )是单位圆上一点, 1 ? n 2 , n )也在单位圆上,再由 x2+y2 = r2 上有一点(a,b)的切线方程是 ax +by = r2;当 r = 1 时,过单位圆上一点(a, b)的切线方程就是 ax+by = 1,而由( m, 1 ? m 2 )是单位圆上一点,其切线方 程为 mx + 1 ? m 2 y = 1 ;另一方面, 1 ? n 2 , n )也满足单位圆的切线方程。可 ( 推出( 1 ? n 2 , n )也是切点;比较 mx + 1 ? m 2 y = 1 与 1 ? n 2 x + ny = 1 ,可得
m = 1 ? n 2 与n = 1 ? m 2 ? 与m 2 + n 2 = 1 。

若仅用两边平方化简或用三角变换方法来证明, 那么这种新颖独特的方法学 生是没法欣赏到的。 面对学生似乎熟悉但并非深刻理解的问题时, 要从讲述问题 的奇妙之处入手,循序渐进,创设问题解决情境,激起学生的好奇心,促使其向 知识的海洋深处探秘,趁学生惊奇之际,由浅入深,再探其究竟,深入一层,把 对学生创新能力的培养真正落到实处。 2、创设问题解决情境的方法 创设问题解决情境的方法很多,都是以启发学生积极思维,激活创新意识 为前提。下面就以演示、试验、类比、改变思维策略等举例说明。 ①用演示或制作教具、模型来创设形成直觉思维的问题解决情境。 教师在传授知识时,让学生发现相关生活实例、动手制作教具模型,或借 助多媒体技术,直观、形象地描绘,使学生获得感性认识,产生数与形的联系或 矛盾,体会生活与数学的美妙结合,使抽象问题具体化。 如讲“三点确定一平面”用晒衣服的三角架,或用教室的门由门轴上的两
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点及一把锁就能固定; 讲空间的几何体时可让学生来一次空间几何体模型的制作 比赛;研究圆锥的内切或内接几何体的截面可借助多媒体构造直观、形象的空间 图形;探索幂、指、对函数增长的比较,可借助函数软件工具制作瞬息万变的函 数图像等。通过直观演示,创设形成直觉思维的问题解决情境,能使学生轻松感 知到抽象概念的具体化,打好数学基础,提高数学素养。 ②用试验来创设启迪创造思维的问题解决情境。 新课标倡导自主探索、动手实践,使学生的学习过程成为在教师引导下的 “再创造” 过程。 通过学生自己动手试验, 能使学生亲身体验到愉快的数学情感, 激起他们的好奇心、好胜心及创新意识,加深对知识的理解和掌握,摆脱数学学 习中的枯燥氛围。 如实地测量估算,指导学生估算教学楼、学校旗杆等的高度;讲椭圆的方 程时可课前先要求每一个学生准备一根细绳与两颗小钉;讲概率时每人准备 2 个硬币等。通过自己动手,亲身经历知识的“再创造”过程,启迪学生的创造思 维,发展学生创新的意识。 ③用类比创设形成发散思维的问题解决情境。 在许多数学问题中,贯彻数学教学的启发性原则,创设类比的思维情境, 能加强新旧知识的联系,形成发散思维,提高学生的创新能力。 例 1 (公式变形类比) 设 x1、x2…xn∈R ,求证
+

x 2 x3 x + + … + n ≥ x1 + x 2 + … + x n x1 x 2 x1

证明:由公式 a 2 + b 2 ≥ 2ab,有

a2 ≥ 2a ? b , b

2 2 xn x12 x2 ∴ 2 ≥ 2 x1 ? x 2 , ≥ 2 x 2 ? x 3 … ≥ 2 x n ? x1 ,各式相加即得结论 x1 x3 x

例 2(数形结论类比) 求函数 y =

x 2 + 2 x + 3 + x 2 ? 2 x + 5 的最小值。
( x + 1) 2 + (0 ? 2 ) 2 + ( x ? 1) 2 + (0 ? 2) 2 ,类比两点间距

解析:因为 y =

离公式,问题视为求 x 轴上一点(x、0)到两定点(-1, 2 )与(1、2)的距 离之和的最小值,化为解析几何中求(-1、 2 )到(1、2)之间的距离。 ④改变思维策略,创设形成良好思维品质的问题解决情境。 新课标注重提高学生的数学思维能力, 把提高学生的数学思维能力作为数学 教育的基本目标之一。在教学中,教师要善于改变思维策略,创设形成良好思维 品质的问题解决情境,切实提高学生的思维水平,培养创新技能。 例1 ( “巧妙转移”培养学生思维的开阔性) (a 实数 x、y∈R+,满足(logax)2+(logay)2 = loga(ax2)+loga(ay2) 是 非 1 的正数)试求 M = loga(xy)的取值范围。
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先用“

x y (x-1)2+(y-1)2=4 有公共点,求圆心到直线 + = 1 与圆 C: M M
| x0 + y 0 ? M | 2 ≤ 2即 |1+1? M | ≤2。 2

的距离”来创设思维情境:

从这两个问题表面上看似风马牛不相及,事实上它们有惊人的联系: 令 u = logax v = lgoay,则 u、v∈R u2 + v2 = 2u+1+2v+1 即(u-1)2 + (v -1)=4,而 M = loga(xy)=logax + logay = u+v,u+v = M,可化为直线的截距 x y 式: + =1 。 这 样 问 题 就 转 化 成 上 面 创 设 的 情 境 , 可 得 : M M

|1+1? M | ≤ 2 ? 2?2 2 ≤ M ≤ 2+2 2 2
通过引导学生将问题巧妙转移,培养了学生思维的开阔性。 例 2( “反客为主”培养学生思维的敏捷性) 解方程 x3+(1+ 2 )x2-2 = 0 若以 x 为主元,解它的三次方程,则无从下手,若以 2 为主元 y,2 = y2, 得关于 y 的一元二次方程,y2-x2-(x3+yx2) = 0,则有(y2-x2)-(x2y+x3) =0, (y+x)(y-x-x2) = 0, ? 2 =y = -x 或 y = x+x2 而得解。 通过变换主元,反客为主,培养了学生思维的敏捷性。 例 3( “布设疑阵”培养学生思维的严谨性) 给出下列命题: 1) y = f (x) 满足 f (1+x) = f (3-x),则 y = f (x) 的图象关于直线 x = 2 对称。 2) y = f (1+x)与 y = f (3-x)的图象关于直线 x = 2 对称。 3) y = f (x) 关于 A(a,b)对称的函数为 2b-y = f(2a)-x。 4) y = f (x)与 y = f (-x)关于 y 轴对称。 其中正确的命题是 。 通过布设疑阵,学生对这些命题的判断,进而再作出反思,最终完成对函数 图象对称性的掌握,培养了学生思维的严谨性。 例 4( “拔云见日”培养学生思维的深刻性) 解关于 x 的不等式:0<

x 2 ? 2x + 2 <1( a ∈ R ) 1 + 2ax

分析:若按常规解法,需解两个不等式(且含参数) ,运算复杂,若用 1 1 0 < x < a ? > (a > 0) 进行等价变形,易得最佳途径,简化分类讨论过程。 x a 1 + 2ax 解:原不等式 ? 2 >1 ? 1 + 2ax>x2 ? 2 x + 2(因x 2 ? 2 x + 2 > 0) x ? 2x + 2

x 2 ? 2(a + 1) x + 1 0 <

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{x a + 1 ?

当△=4(a+1)2-4≤0 时,即 ? 2 ≤ a ≤ 0 时无解。 当 △ > 0 , 即 a < - 2 或 a > 0 时 , 不 等 式 的 解 集 为 :

a 2 + 2a < x < a + 1 + a 2 + 2 a .

}

通过打破常规,从深刻理解结论,进行等价变形入手解决问题,培养了学生 思维的深刻性。

二、创设问题发现情境的思维策略
1、摆正师生角色,提供民主氛围,使学生敢于提出问题。 “数学新课标”提出,教师要从传统的知识传授转者变为知识的促进者; 由教学活动的主角转变为学生学习活动的指导者、数学能力的培养者、学习方法 的指引者、 数学潜能的唤醒者、 教学的研究者。 教师要能给学生营造一种民主的、 自由的课堂教学氛围,让学生敢于提出问题。要让学生明白:①增强问题意识, 提高问题发现能力是学习的重要目标,提出问题是重要的学习内容和任务;②课 堂的本质是学生的“学堂” ,是学生探索、讨论、交流的平台,而不单纯是教师 的“表演舞台” ;③学生可以按自己的思维和意愿自由地提出问题,而不用担心 提出错误问题受到讽刺或挖苦; ④教师欣赏学生用不同的方式方法从不同的角度 提出问题,探索问题。 2、创设挑战性情境,使学生想提出问题。 教师要在学生认知的“最近发展区”内提供有意义的要解决的初始问题、 知识结构缺陷等具有挑战性的问题,为学生开拓足够的探索空间。如以认知为目 标,制造认知冲突,创设矛盾性问题;以解决实际问题为目标,创设应用问题; 以激发学生学习兴趣为目标,创设趣味性的问题;以激励学生探索为目标,创设 开放性的问题…… 如学习“等比数列求和公式”时,可先提供“太子发不出棋手的奖品”的故 事;学习余弦定理时,可给他们介绍真实故事“一条余弦定理夺走十四条生命” 等材料,让学生讨论、发现,提出问题。 又如在函数的奇偶性练习中有如下这样一道题及解答过程:

? 2x + a ( a , b 为实常数) f ( x) 是奇函数,求 a 与 b 的值; . 设函数 f ( x) = x +1 2 +b
解: f (x) 是奇函数时, f (? x) = ? f ( x) , 即

? 2?x + a ? 2x + a = ? x +1 对任意实数 x 成立. 2 ? x +1 + b 2 +b

化简整理得 (2a ? b) ? 2 2 x + (2ab ? 4) ? 2 x + (2a ? b) = 0 ,这是关于 x 的恒等式,

?2a ? b = 0, ?a = ?1 ?a = 1 所以 ? (舍)或 ? . 所以 ? ?2ab ? 4 = 0 ?b = ?2 ?b = 2 ?a = ?1 我将这个问题及解答作为背景抛给学生评判, 学生大胆提出了问题: ? ?b = ?2

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这组解为什么要舍去?舍去这组解对吗?再鼓励学生主动探究得到了所给解答 舍去该组解的错误理由:f(x)是奇函数时 f(0)=0,则 a ? 2 0 = 0 可知 a=1, 并得

?a = ?1 时,函数定义域不再是 x ∈ R ,而变为了 {x x ≠ 0, x ∈ R} ,得也可以成 到了 ? ?b = ?2
为奇函数的正确结论。 通过这些问题情境的设置,有效地激活了学生的好胜心、好奇心与表现欲, 体会到了提出问题的乐趣, 强化了学生探索的动机与需求, 促使他们想提出问题。 3、加强提出问题的策略指导,使学生善于提出问题。 学生所提的问题取决于教师的设计,不仅要培养学生敢于批判、质疑的精 神,更要提高他们发现问题,找出问题难点的能力。 如在数列求和教学中给出如下问题:
已知 : 0 < n < 100, n ∈ Z, 求S n = n ? 1 + n ? 2 + ...... + n ? 100 ,学生开始只知

道问题难,却不会给自己提出问题进而解决问题。顺势引导学生提出问题系列: n 为具体的数值时如何计算,有何启发?该问题的难点在哪里(含绝对值)?去 绝对值的最基本方法是什么?如何解决这一问题?这些问题提出后, 一些基础不 好的学生也轻松得到了如下解答:
S n = n ? 1 + n ? 2 + ...... + n ? 100 = n ? 1 + n ? 2 + ...... + n ? n + ....... + n ? 100

= (n ? 1) + (n ? 2) + ...... + 1 + 1 + 2 + ...... + (100 ? n)
至此,学生产生了强烈的心理体验,对善于提出问题的重要性及如何提出 问题很有感触。教师要通过加强提出问题的策略指导,使学生善于提出问题,会 用数学的眼光看世界,从数学知识的来源与应用中提出问题;让学生用结构的眼 光看数学,从数学知识的逻辑发展中提出问题;使学生掌握探索的一般思路与方 法,从数学现象的共性与个性中提出问题;培养学生良好的思维方式与习惯,从 习以为常的学习中提出问题,即凡事问个“为什么” 。 学生的思维活动常常是由实践中碰到要解决的问题而引起的,恰当创设解 决问题的客观情境,能启发学生发现问题、理解教材,激发学生解决问题的愿望 与求知欲,进而提升到学生能发现问题并提出新问题,增强创新意识,提高创新 能力。这正是新课程理念下数学教学的核心和基本要求。 参考文献: 中华人民共和国教育部制定.数学课程标准[M].人民教育出版社.2003 《数学教学》2006 年第 1 期《推进上海教育的新发展》 唐盛昌 《高中数学教与学》2006 年第 3 期《数学学习方式的优化策略》 张国良 吕传汉、汪秉彝.再论中小学“数学情景与提出问题”的数学学习.数学教育 学报.2002.11
? ? ?? ??????????????

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? 含参数恒成立问题的求解策略? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 姚汉豪? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 男? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1981 年 9 月? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中山市龙山中学? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0760-87398298? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中山市龙山中学? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 528471? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yaohanhao@163.com? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18924993282? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2200? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???? ?? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????????????????????????????????

含参数恒成立问题的求解策略 中山龙山中学 姚汉豪
摘 要: 函数型不等式的恒成立问题在高三备考过程中频频“闪亮登场”, 特别在高考模拟考、
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高考中常以压轴题的身份出现,能有效地测试考生的思维品质,成为高考的热点和 难点.由于这类问题综合性强,难度大,能力要求高,很多同学望而生畏,无从下 笔.本文通过一些典型例题探究常见的含参数恒成立问题求解策略,仅供参考. 关键词: 恒成立;分离变量;最大值;最小值;函数不等式. 正文: 恒成立问题往往要涉及到不等式中参数的取值范围,确定恒成立不等式中参数的取 值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识,并时常要在两者间进行合理的交汇,因此此 类问题属学习的重点;然而,怎样确定其取值范围呢?我们教科书中却从很少论及,但它 已成为近年来命题测试中的常见题型,因此此类问题又属学习的热点;在确定恒成立不等 式中参数的取值范围时,需要在函数思想的指引下,灵活地进行代数变形、综合地运用多 科知识,方可取得较好的效益,因此此类问题的求解当属学习过程中的难点. 正对恒成立 问题,笔者在平时的教学过程中积累和总结出来了以下求解策略与方法. ? 一、运用一元二次方程根的判别式的策略? ? 有关含有参数的一元二次不等式问题, 若能把不等式转化成二次函数或二次方程, 通过

根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.?

?a > 0 满足不等式ax 2 + bx + c > 0在R上恒成立是的条件为: ? ? ? (如图 1).? ?? < 0
当然还要考虑: a = b = 0, c > 0 的特殊情况.? 例 1? ? 对于 x ∈ R ,不等式 x ? 2 x + 3 ? m ≥ 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.?
2

图 1?

?

解:不妨设 f ( x) = x ? 2 x + 3 ? m ,其函数图象是开口向上的抛物线,?
2

2 为了 f ( x) ≥ 0 ( x ∈ R ) , 只需 ? ≤ 0 , (?2) ? 4(3 ? m) ≤ 0 , 即 解得 m ≤ 2, ∴ m ∈ ( ?∞, 2] .?

变式题:? 对于 x ∈ R ,不等式 mx + 2mx + 3 > 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.?
2

?

此题需要对 m 的取值进行讨论,设 f ( x) = mx + 2mx + 3 ,①当 m=0 时,3>0,显然
2

成立. ②当 m>0 时,则△<0 ? 0 < m < 3 .③当 m<? 0 时,显然不等式不恒成立.由①②③知

m ∈ [ 0,3) .
思 维 策 略 : 对 于 有 关 二 次 不 等 式 ax + bx + c > 0 ( 或 <? 0 ) 的 问 题 , 可 设 函 数
2

f ( x) = ax 2 + bx + c , a 的符号确定其抛物线的开口方向, 由 再根据图象与 x 轴的交点问题,
由判别式进行解决.? 例 2:? ? 已知函数 f ( x) = x ? 2kx + 2 ,在 x ≥ ?1 时恒有 f ( x) ≥ k ,求实数 k 的取值范围.?
2

?

分析:运用一元二次方程根的分布来解题:?
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解:令 F ( x) = f ( x) ? k = x ? 2kx + 2 ? k ,则 F ( x) ≥ 0 对一切 x ≥ ?1 恒成立,?
2

而 F ( x) 是开口向上的抛物线.? ? ①? 当图象与 x 轴无交点满足 ? < 0 ,即 ? = 4k ? 4(2 ? k ) < 0 ,解得-2< k <1.?
2

②? 当图象与 x 轴有交点,且在 x ∈ [ ?1, +∞ ) 时 F ( x) ≥ 0 ,?

? ? ?k ≤ ?2或k ≥ 1 ?? ≥ 0 ? ? ,则 ?3 ≤ k ≤ ?2 .? 只需 ? F ( ?1) ≥ 0 ,解得 ?k ≥ ?3 ? ?2k ? k ≤ ?1 ?? ?? ≤ ?1 ≤ ?1 2 ? 2 ?
由①②知? k 的取值范围是 [ ?3, ?1) .? 思维策略:为了使 f ( x) ≥ k 在 x ∈ [ ?1, +∞ ) 恒成立,构造一个新函数 F ( x) = f ( x) ? k 是解 题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决.? 二、运用分离变量法化为参数大于最大值或小于最小值的策略? 将参数 不等式及函数在区间 [a, b]内恒成立问题,一般可采用分离变量的方法:

m 与变量 x 分别分到等号或者不等号的两边,化成形如:m = ? ( x) 或 m > ? ( x) 或 m < ? ( x) 在

[a, b] 恒 成 立 的 形 式 .? 则 m = ? ( x)
m < ? ( x)min ;? ?
? m > ? ( x) 恒成立

m 的 范 围 是 ? ( x) 的 值 域 ; m < ? ( x) 恒 成 立

m > ? ( x)max ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

例 3? :? (2012 年中山市高三期末理科)已知函数 f ( x) = ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) + 1 ? 第(2)小问:若 f ( x) ≤ 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围.? 由于定义域为 {x | x > 1} ,从而不等式转化为 k ≥ 令 ? ( x) =

ln( x ? 1) 1 + ,? x ?1 x ?1

ln( x ? 1) 1 1 ? ln( x ? 1) 1 ? ln( x ? 1) ' ,则 ? ( x) = .? + ? = 2 2 x ?1 x ?1 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

所以 ? ( x )在 (1, 2] 为增函数,在 [ 2, ∞ ) 为减函数 .? + ? ? ? ? ? ? 由此, ? ( x) 的最大值 ? ( x) max = ? (2) = 1 ,? ? ? ? ? ? ? 即要使 k ≥ ? ( x) 恒成立,只需 k ≥ ? ( x) max ,所以 k 的取值范围为 [1, +∞ ) .? ? ? ? 例 4: (2007 深圳二模文)已知函数 f ( x) =

2 9 x( x 2 ? 3ax ? ) (a ∈ R). ? 3 2

第(2)小问:若函数 f (x ) 在 [1, 2] 内是增函数,求 a 的取值范围.? 解:因为函数 f (x ) 在 [1, 2] 内是增函数,?

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所以? f ′( x) = 2 x ? 4ax ? 3 ≥ 0 对于一切 x ∈ [1, 2] 恒成立,? ? ? ?
2

即 4ax ≤ 2 x ? 3 ,? 从而 a ≤
2

x 3 .? ? 2 4x

令 ? ( x) =

x 3 1 3 ? ,则 ? ' ( x) = + 2 > 0 .? 2 4x 2 4x x 3 1 ? 在 [1, 2] 上单调递增? ,从而 ? ( x) min = ? ,? 2 4x 4 1? 1 ? ,? 即 a 的取值范围为 ? ?∞, ? ? .? 4? 4 ?

所以 ? ( x) =

因此 a ≤ ? ( x) min = ?

思维策略:求参数范围的恒成立问题,采用分离变量法转化参数大于某个函数的最大值或 小于最小值的策略.? 三、证明函数 f ( x) > g ( x) 在某区间I内 恒成立,运用:在区间 I 内 f ( x) min > g ( x) max 的 策略 例 5:已知两个函数 f ( x) = 7 x ? 28 x ? c , g ( x) = 2 x + 4 x ? 40 x .
2 3 2

若对任意 x1 ∈ [-3,3], x2 ∈ [-3,3],都有 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 成立,求实数 c 的取值 范围. 分析:可转化为 在区间[-3, ]内,f ( x)max ≤ g ( x)min 即可. 3 解: x = 2 为函数 f ( x) = 7 x ? 28 x ? c 的对称轴,当 x = ?3 时,
2

f ( x) max = f (?3) = 147 ? c .
而 g ( x) = 6 x + 8 x ? 40 = 2(3 x + 10)( x ? 2) ,令 g ( x) = 0 得临界点为
' 2 '

x=2 或 x=?

10 (舍). 3

g 比较: g ( ?3) = 102, g (2) = ?48, (3) = ?30 得: g ( x) min = g (2) = ?48 .
由于 对任意 x1 ∈ [-3,3], x2 ∈ [-3,3],都有 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 成立, 则 在区间 ? ?3, ?内,f ( x)max ≤ g ( x)min . 3? ? 令 147 ? c ≤ ?48 得: c ≥ 195 , 所以 c 的取值范围为 [195, +∞ ) .

例6: (2009高二中山市期末)已知 f ( x) = ax + ln x , x ∈ ( 0, e ] , g ( x) = 其中e=2.71828…是自然对数的底数, a ∈ R .?

ln x ,? x

(1)若 a = ?1 ,求 f(x)的极值;w? (2)求证:在(1)的条件下,? f ( x) < ? g ( x) ?

1 .? 2

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? ? 解:(1)? 由 f ( x) = ax + ln x 得, f ( x) =? ?1 +
' '

1 1? x = .? x x

所以当 1<x<e 时, f ( x) <0,此时 f ( x) 单调递减.? 当 0<x<1 时, f ( x) >0,此时 f ( x) ? 单调递增.? 从而 f ( x) 的极大值为 f (1) = ?1 .? (2)f(x)在(0,e]上的最大值也为极大值 f (1) = ?1 .? 从而令 h( x) = ? g ( x) ?
'

1 ln x 1 ln x ? 1 =? ? ,? 则 h / ( x) = .? x 2 2 x2

因为当 0<x<e 时,? h?(x)? <0,且 h(x)在 x = e 处连续, ,因而 h(x)在(0,e]上单调 递减.? 所以 h( x) min = h(e) =

1 1 ? > f ( x) max = ?1 .? e 2 1 可证.? 2

从而当 x∈(0,e]时,? f ( x) < g ( x) ?

思维策略: 运用在区间 I 内 f ( x) min > g ( x) max 的策略, 证明函数 f ( x) > g ( x) 在某区间I内 恒成立. 四、运用“主参换位法”策略:? ? 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦,即使能容易分离出参 数与变量,但函数的最值却难以求出.此时,可我们考虑变换思维角度.即把变量与参数 换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 例 7:若对于任意 a ∈ ( ?1,1] ,函数 f ( x ) = x 2 (a ? 4 )x + 4 ? 2 a 的值恒大于 0,求 x 的取 值范围.? 分析:此题若把它看成 x 的二次函数,由于 a ,? x 都要变,则函数的最小值很难求出,思 路受阻. 若视 a 为主元,则给解题带来转机.? 让我们先来回顾与掌握一次函数型.? 给定一次函数 y = f ( x) = ax + b ( a ≠ 0) ,若 y = f ( x) 在 [ m, n ] 内恒有 f ( x) > 0 ,则根 据函数的图象(图 2) (直线)可得上述结论等价于? ⅰ) ?

?a > 0 ?a < 0 ? f ( m) > 0 或ⅱ) ? 亦可合并定成 ? .? ? f ( m) > 0 ? f ( n) > 0 ? f ( n) > 0 ? f ( m) < 0 .? ? f ( n) < 0

同理,若在 [ m, n ] 内恒有 f ( x) < 0 ,则有 ?

实质上是利用了一次函数的单调行和函数的最值的结合.
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再回到例 7 的解题思路:? 解:? ? 设? g (a ) = ( x ? 2 )a + x 2 ? 4 x + 4 ,把它看成关于 a 为自变量的直线,? 由题意知,直线恒在横轴下方,所以 ? 引申:在不等式中出现 3 个字母: m 、 x 、 a ? 例 8: 已知函数 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的奇函数, f (1) = 1 , a, b ∈ [ ?1,1] ,a + b ≠ 0 ,? 且 若 有

? g ( ?1) ≥ 0 ? ? ? 解得: x < 1 或 x = 2 或 x ≥ 3 .? ? g (1) > 0 ?

f (a ) + f (b) > 0 ,? a+b

(1)证明 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的单调性;? (2)若 f ( x) ≤ m ? 2am + 1 对所有 a ∈ [ ?1,1] 恒成立,求 m 的取值范围.?
2

分析:第一问是利用定义来证明函数的单调性,第二问中出现了 3 个字母,最终求的是

m 的范围,所以根据上式将 m 当作变量, a 作为常量,而 x 则根据函数的单调性求出 f ( x)
的最大值即可.? (1) 简证:任取 x1 , x2 ∈ [ ?1,1] 且 x1 < x2 ,则 ? x2 ∈ [ ?1,1] .? 从而有

f ( x1 ) + f (? x2 ) > 0 ,? ? 于是 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) + f (? x2 ) ) > 0 .? ? ? ? x1 ? x2

又因为 f ( x) 是奇函数,所以? ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) > 0 .? ? 由 x1 < x2 得 x1 ? x2 < 0 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) .? 因此 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调递增. (2)解:由于 f ( x) ≤ m ? 2am + 1 对所有 x ∈ [ ?1,1] , a ∈ [ ?1,1] 恒成立,?
2

则可转化为 m ? 2am + 1 ≥ f max .?
2

由于 f max = f (1) = 1 ,从而 m ? 2am + 1 ≥ 1 , 即m ? 2am ≥ 0 .?
2 2

即 g ( a ) = ?2ma + m ≥ 0 在 a ∈ [ ?1,1] 上恒成立.?
2

1 ? a≤? ? ? g (?1) = 1 + 2a ≥ 0 ? 2 ? ,于是? ? 1 ≤ a ≤ 1 .? ,解得? ? 则? 2 2 ? g (1) = 1 ? 2a ≥ 0 ?a ≤ 1 ? ? 2
思维策略:运用“主参换位法”策略,把主元变量 x 和参数变量 a 进行“换位”思考,转化 为关于 a 的一次函数 g ( a ) = ka + b > ( k ≠ 0) 在 [α , β ] 恒成立的形式,则

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? g (α ) > 0 ,从而求得主元变量 x 的范围. ? ? g (β ) > 0
结语:? ? 数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化,参数问题形式多样,方法灵活多变,技 巧性较强.这就要求我们要以变应变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认真观察题 目中不等式的结构特征,从不同的角度,不同的方向,加以分析探讨,从而选择适当方法快 速而准确地解出.当然除了以上的方法外,还有许多其它的方法,值得一提的是,各种方法 之间并不是彼此孤立的.因此,系统地掌握参数恒成立问题的解题方法,无疑会对学生今后 学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助.? 参考文献: [1] 楼方红.2009 年高考恒成立问题解析[J]. 高中数学教与学,2009(10) :33— 36. [2] 姚晓忠.恒成立问题的求解途径[J]. 高中数学教与学,2009(11) :22—24. [3] 郑良.揭开正确答案后的“迷雾”[J].中学数学教学参考,2011(11 上) :31 —33.

从教学准备的角度谈高中数学有效教学的策略
广东省中山市东升镇高级中学 李晓利

高中数学教学准备是教师在教学工作开展之前,先和学生在生理、心理、物 质和精神等方面进行准备,以实现对教学的适合性。这里的适合性包括两方面的 含义,一是这些条件要保证教学行为的成功,二是要保证教学在时间和精力的消 耗上经济而合理。教学的终极目的是为了促进学生最大限度的发展。因此,高中 数学教师在课堂教学前必须作好教学准备。 以下我结合自身工作实践对此问题进 行探讨。 1.明确高中数学课的课型 (1)概念课:概念课是在教师指导下,调动学生认知结构中的已有感性经验和 知识,去感知理解材料,经过思维加工产生认识飞跃(包括概念转变),最后组织 成完整的概念图式的课。 (2)公式、定理课(命题课) :命题课是学生从已有知识或具体的例子出发, 通 过操作、实验、分析、推理、发现一般结论,然后通过例题和习题领会定理和公 式的适用范围、应用的基本规律和注意事项的课。
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(3)例、习题课(解题课) :解题课是一种独立的创造性的活动,是以培养学生 的观察、归纳、类比、直觉、抽象思维方法,达到准确、简要地解决问题,最终 形成数学基本技能的课。 (4)复习课:复习课是根据学生的认知特点和规律,在学习的某一阶段,以巩 固、疏理已学知识、技能,促进知识系统化,提高学生运用所学知识解决问题的 能力为主要任务的一种课型,是以学生进行“内化学习”为主的课。 (5)讲评课:讲评课作为对上述几类“学习”的一种补充,强化学习反馈信息, 培养学生对自己的五类“学习”及时调控,以利于及时矫正和巩固知识,为转入 下一个环节学习作准备。 2.了解学生的准备状态 奥苏伯尔在《教育心理学》的扉页上就曾写到:“如果我不得不把全部教育 心理学还原为一条原理的话,我将会说,影响学习的最重要因素是学生已经知道 了什么,根据学生原有的知识状况进行教学。 ”教学的主体是学生,学生的实际 情况是教学的出发点,教师不了解学生的已有水平和准备情况,其教学必然是盲 目的、无效的。 了解学生的准备情况,首先要确定学生的知识准备和认知发展准备,而不是 学生在新的学习之前对所要学习的材料进行的预习情况。另外,还要掌握学生的 学习态度、学习习惯、学习方法以及学生的思想品德等。为了了解学生的准备状 态, 我通常采用抽样调查和诊断性测试两种方式。 例如: 我在讲授椭圆的定义时, 因为学生没有这方面的经验, 我就先展示行星绕太阳旋转的图像, 通过讨论学习, 对不同学习能力的学生调查了解椭圆与圆的区别与联系, 在圆的基础上开展椭圆 的教学。而在学习等比数列时,为了避免学生进行有针对性的复习而影响测试结 果,我课前在没有告诉学生的情况下,通过两道检查题了解学生对等差数列定义 和性质的掌握真实情况,然后开展等比数列的教学。 3.根据课型进行合理的课堂教学设计 教学是一种有目的、有计划的活动,在教学之前进行科学的教学设计可以减 少教师教学的不确定性, 找到一种方向感、 自信心和安全感, 从而提高教学效率。 所谓教学设计就是依据现代教育教学理论,应用系统科学理论的观点和方法,调 查、分析教学中的问题和需求,确定目标,建立解决问题的策略、步骤,从而使

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教学效果达到最优化的一种可操作的过程。一般来说,教师在进行教学设计时, 重点要解决的问题包括:教学目标的确定、教学材料和教学媒介的处理、教学行 为的选择以及最终形成教案等几个方面。 针对不同的课型, 教学设计应有所不同, 下面就五种基本课型谈谈如何进行合理的教学设计。 (1)数学概念课的教学设计 数学概念课教学重点是把主要的力量, 最佳的教学时间用在揭示和概括研究 对象本质属性的过程上,让学生了解研究对象,多采用语言、教具、情境、电化 等直观的教学手段,引导学生从具体到抽象,经概括和整理之后形成新的概念, 或从旧概念的发展中形成新概念。概念课的教学设计应注意以下几个问题:①对 每一个数学概念,都应该准确地给它下定义。对一些基本(原始)概念,不宜定 义的(比如集合)也应给予清晰准确的“描述” 。通过给概念下定义的教学,让 学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。 并注 意对同一概念的下定义的不同方案,从而深化对概念的理解。②对概念(定义) 的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例,变式等,反复地让学 生进行分析、比较、鉴别、归纳,使之与邻近概念不至混淆,并要解决好新旧概 念的相互干扰。比如“异面直线”的概念,学生容易把“不在同一平面内”理解 成为图像上能看得到的平面,忽略了看不见的平面。③概念教学还必须认真解决 “语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题,为以后在数、式运算中应 用数学概念指导运算打下基础。 使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直 接挂钩。④克服学生普遍存在的“学数学只管计算,何必花时间学概念”之类的 错误认识。我听过一节“函数的积分”的课,老师从等分法详细介绍了函数积分 的定义和求法, 课后我听到一位同学说了一句: 何必那么麻烦, “ 后面都有公式” 。 因此,作为数学老师,应该重视概念课教学的启发性和艺术性,重视创设情境, 激发学习兴趣, 引导学生对概念学习的高度重视, 同时应采用多种形式的训练 (如 选择答案、填空、变式等) ,从多个侧面去加深对概念的理解与应用。 (2)数学公式、定理课(命题课)的教学设计 命题课要达到的教学目的是:揭示公式、定理的来龙去脉,揭示其推导、论 证中所用的有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧;交待清楚公 式、定理适应的范围及成立的特定条件,理解由某一条件下所得出的必然结论。

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公式、定理课的教学设计应注意以下几个问题:①培养学生从实际事物中发现和 提出数学问题,或从已有的数学知识中提出新的数学问题的创造性思维能力,逐 步提高学生从实际(或旧知识)中“类比猜想”“归纳概括”以及“推理论证” 、 , 最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能力。②克服“只重视结论及结论 的套用,不重视推导过程”的命题学习心理,以及克服“只强调死记结论,不重 视知识形成过程” 的急功近利的 “结论式” 的命题教学心理。 ③要解决好对公式、 定理的记忆方法问题。 可在理解记忆、 口诀记忆、 形象 (图形) 记忆、 表格记忆、 类比记忆、逻辑记忆、分类记忆这些记忆方法中,引导学生选取自己适用的记忆 方法。④解决好命题、定理、公式、法则等数学原理在文字语言和符号语言之间 的互译。 (3)数学例、习题课(解题课)的教学设计 例、习题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程,注意对解题策略、思 维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价. 解题课的教学设计应注意以下几个 问题:①对教材中的例、习题必须引导学生认真审题,对实际碰到的数学问题, 要解决好“抽象成数学模型”这个问题。学会审题,是解决问题的第一步。审题 包括读题、 识题和剖析。 先要读懂题, 然后把题目的文字叙述准确地转译为图式、 数学符号,进而剖析题目的已知条件(尤其要注意隐含的已知条件)和求解问题 的实质。在选修 2-2《几何概型》中有一道“求父亲在出门前拿到报纸的概率” 的经典例题, 在我市高二期末考试中出现, 学生的得分率只有百分之二十。 所以, 剖析数学建模的过程也是一个思考问题、解决问题的过程,可借助图形、数量关 系、表格等形式来进行剖析。同时,要让学生掌握“分析法”“综合法”“数形 、 、 结合法”“反证法”等思维方法,自己开动脑筋,独立解决问题。即使是例题, 、 也不宜由教师一讲到底,包办代替。②例、习题课应力求“举一反三” ,切忌“题 海战术” 并注意归纳、 , 分类整理有关的解题规律与解题思路。 恰当运用 “题组” 有序地进行训练,扎扎实实地提高学生的解题能力。③认真抓好学生解题书写的 规范化。老师的板演首先要规范化、格式化,对学生的练习要严格要求,并持之 以恒。④注意引导学生学会自我评价,优化自己的解题思路和解题策略,鼓励创 新思维,培养创新意识。 (4)数学复习课的教学设计

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在设计复习课时应注意解决学生在“内化学习”中的几个问题:①教师设计 数学复习课的教学内容时应该把教材中的最基本和最重要的部分放在首位. 在学 生复习的基础上,引导学生采用条目、表格和结构框图对最基本和最重要的知识 进行梳理和整合,每个章节结束,我经常让学生对照课本目录进行,使各部分的 知识系统化。②对于基本题型的设计应注意以下几点:第一,覆盖课本中最重要 和最基本的知识。第二,有利于学生提炼数学思想方法。第三,有利于培养学生 的概括能力和应用能力等。③教师应为学生主动参与和探索数学知识提供空间。 但从目前教学现状看,学生做试卷,教师讲试卷成了复习课的常见形式。有效的 数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学 生学习数学的重要方式。 (5)试卷讲评课的有效教学策略 试卷讲评是否有效、高效,要看通过教师的讲评之后,学生有没有获得的具 体进步或发展。因此,试卷讲评的策略应始终把学生放在第一位来考虑,关键要 摸清学生的需要,因为并不是所有的问题都需要老师讲,对学生的错误进行纠正 要采取灵活的方式,避免教师一讲到底、满堂灌的费力而低效的做法;设法调动 学生自我纠错、合作学习的主动性,提高学生的主体参与程度,进行有针对性的 讲评。 另外, 对于必要的问题要给予一定量的变式练习进行深层补救和重新检测。

参考文献 [1] 林 德 全 . 有 效 教 学 研 究 透 视 [J]. 广 西 师 范 大 学 学 报 ( 哲 学 社 会 科 学 版).2008(S2). [2] 王 曦 . 有 效 教 学 与 低 效 教 学 的 课 堂 行 为 差 异 研 究 [J]. 教 育 理 论 与 实 践.2010(9).

数学教学改革之“将错就错”
中山市桂山中学 庞怡婷

摘要:数学教学改革呼唤着教学模式的重建, “将错就错”教学法将成为提 高教学质量的全新教学方式。 “失败是成果之母”这句话说明过程往往比结果更

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珍贵,即使是个错误的过程,也会给人留下深刻的印象,在课堂中有意识地利用 “错误”来进行正确的引导,不仅能激发学生兴趣,还能提高学生对错误的免疫 力,帮助学生养成严谨细心的好习惯,取得事半功倍的效果,主要措施有:制造 错误、将错就错、故意出错、反例引错、作业找错、建立错题反思录、以错结尾 等等。 关键词:错误 将错就错 反思

数学是极其严谨的一门学科,在学习过程会有很多“错误”出现,很多教师 总是希望能狠狠地堵上这些“错误”,将“错误”扼杀在摇篮当中,他们认为, 一堂“好课”,师生之间的互动应该是对答如流、环环相扣、天衣无缝的,不应 有任何错误出现,于是乎,课堂渐渐变成了教师与学生之间的一出“木偶戏”, 为了顺利完成这堂“好课”,教师不断地给出提示,不断地帮学生填平可能遇到 的“沟沟堑堑” ,或者在特定的时候布几道“沟” ,再安排好“填沟”的学生,使 课堂按着自己的预设进行, 不让后进生回答问题, 不让差生板演, 担心他们出错, 担心打乱教学的秩序,顺利完成了一堂“华而不实”的“好课” 。 怀特黑德有句名言:“畏惧错误就是在毁灭进步”。教师不能把所有的路都 给学生设好了,不断地堵住“错误” ,准确无误地把所有的知识告诉学生,只会 让学生越来越感到没有挑战, 没有刺激, 平淡无味, 结局只会是 “错误” 堵不住, 春风吹又生,教学效果也会却来越差。 新一轮的数学教学改革呼唤着教学方式的重建, 传统的 “满堂灌” 填鸭式” 、 “ 教学方式应该被颠覆,在新时代背景下,我认为数学教学应该反其道而行之—— “将错就错” 。所谓“将错就错” ,就是在教学中留一些“岔路口” ,让学生自己 去选择, 或者故意引他们走上 “歧途” 让他们 , “上当受骗” 让他们 , “摔摔跟头” , 俗话说“吃一堑,长一智” ,学生只有吃“堑”吃多了,才会长更多的“智”“将 。 错就错”教学法,可以从以下几个方面来开展:

一、制造错误,妙引新知

总是正面地传授新知, 永远一本正经地按流程授课, 会让学生感到乏味无比, 如果平静的湖面上能激起一些浪花,对教学将有锦上添花的作用,比如可以制造

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一些“错误” ,有错误就直接摆出错误,没有错误也要制造错误,错误可以激发 学生极大的好奇心, 集中学生精神, 提高学习兴趣, 让学生 “错” 后再点出课题, 已经是顺理成章的事情了。
例 1:学生用惯了“实数” ,往往不接受新“虚数”的出现,所以我先设计

出一个错误的方程让他们解:已知 a +
a2 +

1 1 = 1 ,求 a 2 + 2 的值。学生会算出 a a

1 1 = (a + ) 2 ? 2 = ?1 ,他们一开始觉得简单,后来逐渐疑惑,为什么两个 2 a a

平方数求和的结果会是负数呢?难道算错了?于是很多人再重复算, 发现还是负 数,才提出疑问,难道还有一些非实数的数存在吗?这时我再引入虚数,学生已 经是毫无异议了。 制造错误,让学生内心的“不平衡”在疑惑和争议中找到了“平衡” ,激发 了学生极大的学习兴趣。

二、期待出错,将错就错

学习是从“出错”开始的,没有“错”,就没有“对”,学生出错,教师才 会去引导和点拨,疑惑才能解决,教育才会有效果,相反,如果处处回避错误, 师生的手脚会被束缚,教学的不足也会被掩盖,所以,我们应该期待学生出错。 当学生出现错误时,不必急于指正,可以将错就错,让学生自己去探讨,自己悟 出错误原因,从分析错误中学会反思,这样才能深化学生对知识的理解和掌握。 当然,教师的积累很重要,只有我们对学生可能出错的地方心中有数,才能够很 好的应付学生突发的错误,防患于未然。
例 2:判断函数 f ( x) = ( x ? 1) 1 + x 的奇偶性。这是一个有陷阱的题目,但我不
1? x

会提醒学生, 我等着他们掉进陷阱, 果然, 不出意外地, 很多学生都直接用定义:
f (? x) = ?( x + 1) 1? x 1? x (1 + x)(1 ? x) 2 = ? (1 + x) 2 ? = ? (1 + x)(1 ? x) = ? 1+ x 1+ x 1? x

= ?(1 ? x)

1+ x 1+ x = ( x ? 1) = f ( x) ,从而得出 f (x) 是偶函数。此时我再浇他们一 1? x 1? x

盆冷水,告诉他们答案错误,一开始学生会惊讶和不服气,有些还坚持自己的解 法没错,学生的这种质疑、反对的精神,使自己的思维总是处在活跃状态,这正

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是我想要的效果。接下来我让学生自己找错误原因,带着不服的情绪,学生们认 真的思考、讨论,才发现原来是忽略了一个重要的条件——定义域,函数
f ( x) = ( x ? 1) 1 + x 的定义域是 {x ? 1 ≤ x < 1} ,定义域不对称,所以它是一个非奇非 1? x

偶函数。 将错就错,让学生自己找错误,他们更能发现自己的不严谨和不细心,就更 能警示自己: “不要定势思维,要缜密思考,注意隐含条件,不要再犯类似的错 误了! ”这比老师苦口婆心地反复提醒要好得多。

三、故意出错,学生找错

一些学生常犯的错误,如果直接提醒,往往不能引起学生的重视,这时我会 故意给出一个错误的演算,通过貌似正确的推理得出似乎合理的“结论” 。这时 一些细心的同学会发现错误,发现了老师的错误,他们当然会非常有成就感,上 课也会更专注了。如此故意展示错误,让学生意外发现错误,引发讨论探究,学 生会为自己这种意外的发现感到惊喜,主动去寻找正确的做法,教学效果立竿见 影。
1 1 例 3:已知: a > 0, b > 0 , a + b = 1 ,求 (a + ) 2 + (b + ) 2 的最小值。 a b

我先故意板演错误的求解过程:
1 1 1 1 2 1 (a + ) 2 + (b + ) 2 = a 2 + b 2 + 2 + 2 + 4 ≥ 2ab + + 4 ≥ 4 ab ? +4=8 a b ab ab a b

1 1 ∴ (a + ) 2 + (b + ) 2 的最小值是 8 a b

一开始学生理所当然地觉得应该就这样做,但渐渐地出现了异议,有些学生 指出解法有问题,我假装糊涂: “不会吧,有什么问题呢?”然后让大家一起找 找,学生很是激动: “老师也会出错吗?”平静的课堂渐渐热闹了,在学生们互 相交流中终于发现了错误的原因: 忽略了取等的条件。 两次用了两次基本不等式, 第一次取等的条件是 a = b =
1 1 ,第二次取等的条件是 ab= ,显然这两个条件不 2 ab

能同时成立,因此解法错误。学生找到老师的“错误” ,很开心很有成就感,急 迫地想要知道正确的解法,经过大家的努力,终于把问题解决了,正解为:
1 1 1 1 原式= (a + ) 2 + (b + ) 2 = a 2 + b 2 + 2 + 2 + 4 a b a b
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a+b 2 2 1 1 2 = [(a + b) 2 ? 2ab] + [( + ) 2 ? ] + 4 = (1 ? 2ab) + [( ) ? ]+ 4 a b ab ab ab 1 2 2 1 = (1 ? 2ab) + [( ) ? ] + 4 = (1 ? 2ab) + 2 2 (1 ? 2ab) + 4 ab ab a b 1 = (1 ? 2ab)(1 + 2 2 ) + 4 a b 1 a+b 2 1 1 由 ab ≤ ( ) = 得出: 1 ? 2ab ≥ 且1 + 2 2 ≥ 17 2 4 2 a b 1 25 1 ∴原式 ≥ × 17 + 4 = ,当且仅当 a = b = 时取到等号 2 2 2 25 1 2 1 2 ∴ (a + ) + (b + ) 的最小值是 。 a b 2

教师故意出错,相当于给学生打了一次“预防针” ,学生找到错误,无形中 提高了自己对“错误”的免疫力,大大减少了以后犯错的几率。

四、反例引错,错出智慧

在数学中, 要说明一个命题成立,必须在所给条件下,严格地用逻辑推理的 方法来推出,但是要说明一个命题错误,只要举个反例就行了,反例是极具有说 服力而又简明直观的辨析错误的方法。由于定势思维的原因,学生会经常遇到一 些难以判断其错误性的命题,任凭教师如何正面解释都是百思不得其解,此时一 个反例常常会让学生会茅塞顿开, “反例”起到了“点石成金”的功效。
例 4:学生对“ a // b // c ? a // c 不成立 ”不理解,教师若正面解释,学生

难以理解,用个反例就不一样了,学生会觉得很清晰,如当 b = o 时,这个式子 就不成立,因为零向量的方向是任意的,不能和 c 平行。
例 5:两角和与差的正余弦公式里,学生容易以为

cos(α ? β ) = cos α ? cos β ,这时只要用个特例,令 α = 60o , β = 30o ,即可
验证是错误的。 不用多费口舌,一个简单的反例就可以解释很多正面难以解释的问题,节省 不少宝贵的教学时间。

五、作业找错,相互批错

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作业是反馈教学效果最及时的环节,有效地解决作业中的“错误”有利于教 师及时调节教学方式,传统的教师“全批全改”方式占用大量的时间,形式单一 且反馈信息量小,只有“蜻蜓点水”的效果,所以除了全批全改外,我还会针对 不同的情况选择以下方式灵活批改: (1)随堂改:对于“概念型”或“答案型”的简单题目,可以在课堂上让 学生自己改,自己分析出错的原因;
(2)交换改:比较典型的周测题,我会让学生相互交换来改,让他们也当

一回教师,这样交换角色的做法,可以提高学生的责任感,还可以吸取别人的好 的解题经验,有取长补短的作用;
(3) “示范”改:选一些有代表性的好的“解法” ,用多媒体展示出来,或

者让学生在黑板上写出来,作为“示范解法” ,其他学生以此为标准来修改自己 的作业。被选作“示范”的学生会有自豪感和成就感,如果教师能恰如其分地运 用到每一个学生身上,让每一位学生都有做“示范”的可能,将会极大地激发学 生的积极性,特别是差生的积极性。
(4) “变形”改:此法效仿湖南卫视的“变形计”节目,来个师生互换,教 师来做作业, 学生来改作业。 由教师出一份 “变形作业” 精选一些易错题组成, ,

教师“有心机”去做这份作业,在易错之处故意做错,将学生常见的错误在作业 中展示出来,做完后,将“变形作业”印发给学生,由学生来评改。长期被老师 评价,终于有机会去评价老师了,学生们会非常认真和积极地去评改老师做的作 业,他们会努力地寻找老师的错误,也效仿老师修改这些错误,这样的过程更有 利于学生严谨思维的养成,且大大提高了他们的辨错能力和解题能力。
(5)反复改:对于常错的公式,学生要在错题旁边默写 10 遍以上;对于常

犯的错误,当天要用红笔在错题旁边修改,再交给我,如果第二天还修改不好, 第三天接着修改,直到做好为止,通过“修改→检查→再改→再查”的方式慢慢 地让学生养成精益求精的好习惯。 (6)评语改:传统的“√”或“×”会让学生乏味无比,适当地加点“蜜 糖” 会让学生备受鼓舞, 比如写些鼓励语 “很棒” 、 “你准行” 、 “能想到这种做法, 太厉害了” “不经历风雨,怎能见彩虹”等等;如果还能在学生出错的关键地 、

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方提示一下, 会有事半功倍的效果, 比如可用圈出错误点, 或者标明 “公式用错” 、 “解法不全”、“格式错误”等等。 以上改作业的方式,改变了教师唱独角戏的现象,让教师更轻松地教,学生 更深刻地学,提高了教与学双方的积极性。

六、建立《错题反思录》 ,杜绝一错再错

林州市第一中学高三(18)班应届毕业生于成亮今年在文科高考中取得了 673 分的高分。说起自己考取高分的“法宝”,他归因于三个方面:注重用错题 本纠错、平日善于总结反思、考试时保持平稳心态[1]。 事实上,很多学生都制作过错题本,但很多都没有用好错题本,他们只是机 械性地抄写错题和答案,缺少对题目的反思和总结,甚至日后也不会再翻阅曾做 过的错题,导致错误一犯再犯,这也是错题本“错”不出效果的原因,因此,我 要求学生建立不只是错题本,而是《错题反思录》。 《错题反思录》主要记三类题: (1)不会做的题。这些题说明自己存在学习 漏洞, 需要去补全; 会做但是做错了的题。 (2) 这些题反应了自己的不细心之处, 必须要找出问题所在,不能一错再错; (3)模棱两可的题。这说明在自己对题目 的理解还不够透彻,需要再进行强化。重点是,学生要在每个错题后面做好四个 反思:(1)属于哪个知识点?(2)我为什么做错?(3)应该如何做? (4)有 没有其他方法做? 除此之外,我还定期给学生上“错题反思课” ,让学生专门整理错题,将已 经会了的题从中删去,使《错题反思录》的厚度由薄到厚,再由厚到薄。我还指 导学生利用艾宾浩斯记忆原理,将经典错题在第 1 天、第 2 天、第 7 天、第 30 天进行反复温习,这样可以达到最大的记忆效果。 《错题反思录》让学生从被动地“要我学”变成主动地“我要学” ,很好地避 免了一错再错。

七、以错结尾,耐人寻味

既然课上用了这么多 “错误” 去教导学生, 那么结尾也应以“错误”而终, 借错激发学生悬念,为下一次课埋下伏笔:
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例 6 : 已 知 ( x + 2) 2 +

y2 = 1 ,求 x2 + y2 的取值范围。学生的错解为: 4

8 28 y 2 = ?4 x 2 ? 16 x ? 12 , 所 以 x 2 + y 2 = ?3 x 2 ? 16 x ? 12 = ?3( x + ) 2 + ,因此当 3 3

28 28 8 ,即 x 2 + y 2 的取值范围是(-∞, ).我告之 x = ? 时, x 2 + y 2 有最大值 3 3 3 错误,学生很激动,很想知道错在哪,这时我再说: “欲知后事如何,且听下回 分解” 这样妙趣夺人的设计, 。 抓住了学生的心理, 让学生意犹未尽, 回味无穷, 激发学生对下次课的期待,为下次课做好了铺垫。 贝恩布里奇说过:“差错人皆有之,作为教师不利用是不能原谅的。”只有 让学生在易错之处“摔跤”、“碰钉子”,充分暴露自己的不足,才能在以后的 学习中反败为胜,乘胜追击。“将错就错”教学法是数学教学改革的有效资源, 如果教师能结合自己的教学机智,好好利用,随机应变,将能把数学教学推向一 个新的高潮,教学效果的提高也将会水到渠成!

参考文献:

[1] 大河网-大河报,高考达人于成亮文科 673 分 错题本 20 厘米厚, http://henan.sina.com.cn/news/z/2012-06-25/0721-6560.html,2012-6-25。 [2] 贾亚国, 谈中学数学课堂错误资源, 《教坛聚焦》 ,2010 年第 24 期 [3] 丁海科,错误也是很好的教育资源,《中学生数理化(教与学)》,2011 年 03 期

新课标下数学问题情境的创设
广东中山古镇高级中学 赵素辉 摘要: “问题”是数学教学的心脏,是激活和呼唤学生思维的刺激因素。一 个好的问题情境的呈现,能有效集中学生的注意力,激发学生的认知内驱力和 非智力因素,调动他们学习的主动性和积极性。因此,在教学过程中精心设计 问题, 给学生创设可望、 可及且有利于学生建构的问题情境, 是实现高效课堂、 提高教学效率的有效途径。 关键词: 新课标 问题情境 创设
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《普通高中数学课程标准》明确指出:“数学教学是数学活动的教师要紧密 联系学生的生活环境,从学生的经验和已有的知识出发,创设生动的数学问题情 境……”。所谓问题情境,是一种能激起学生情感体验的心理场,在这样的心理 场中,创设的问题引起学生认知上的冲突、语言上的交流、情感上的共鸣,从而 激起学生浓厚的学习兴趣,产生火热的数学思考。笔者结合多年的教学经验,就 如何创设数学问题情境,提出自己的一些看法。 一、创设问题情境应遵循的原则 数学课堂教学中创设问题情境必须符合数学的学科特点和学生的认知规律。 根据广大同行的经验成果,结合本人的实践感受,我认为创设问题情境必须遵循 以下原则: ①问题要具体明确 这是问题情境设计最基本的原则。 提出的问题必须目的 明确,紧紧围绕教学目标,而且要非常具体,这样学生才能理解问题的含义,才 有可能来探索、思考和解决这些问题; ②问题要有新意 为了激发学生的求知欲望, 提高学生学习的兴趣, 在设置 教师在深入分析教学内容和学生情况的基础上, 根据教 考虑到学生的知识水平和智力要求, 问题的深度、 广度 问题情境时,必须选择新颖的问题; ③问题要有挑战性 ④问题要有适应性 学目标设计使学生的原有认知结构和新知识产生矛盾的富有挑战性的问题; 要适当,既在学生力所能及的范围之内,又能激发学生的认知冲突; ⑤问题要少而精,做到教者提问少而精,学生质疑多且深; ⑥设计问题时要注意时机 破口。 二、创设问题情境的主要形式 1.创设“趣味性问题情境”,激发学生的学习兴趣 在“二分法”一节的教学引入时,我创设如下问题情境: 著名节目主持人李泳主持的 “非常6+1” 栏目中有一个节目叫 “竞猜价格” , 你知道如何才能最快速度猜出价格吗? “一石激起千层浪”,学生立即激烈讨论;接着我又设计了一个小游戏:两 位同学相互竞猜生日,以最小次数猜出对方生日者为赢。通过创设这些情境,增 强了学生的有意注意,调动学生学习的主动性和积极性,激发了学生学习的求知 欲和学习数学的兴趣。 又如:“等比数列”一节的教学时,我创设如下有趣的问题情境引入等比 数列的概念: 小白免和乌龟赛跑,乌龟在前方1里处,白免的速度是乌龟的10倍;当它追 1 1 1 到1里处时,乌龟前进了 里;当它追到 里时,乌龟前进了 里;当它 10 10 100
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情境的设置时间要恰当, 寻求学生思维的最佳突

追到

1 1 里时,乌龟又前进了 里;……。 100 1000

①分别写出相同的各段时间里小白免和乌龟各自所行的路程; ②小白免能否追上乌龟? 在讲解过程中我引导学生观察这两个数列的特点, 进而引出等比数列的定义, 学生兴趣很高,注意力非常集中,很快就能进入主动学习的状态。 2.创设“直观性问题情境”,引导学生深刻理解数学概念 在“椭圆及其标准方程”一节的教学中,设置这样的问题:2003年10月15 日,中国“神州5号”飞船试验成功,实现了中国人的千年飞天梦。请问:“神 州5号”飞船绕什么旋转?(地球),运行轨迹是什么?(椭圆),然后让学生 拿出课前准备好的一块纸板、一段细绳、两枚图钉,2人一组按课本上的要求画 椭圆,然后概括出椭圆的定义。 引导学生一起实验、探索分析现象,让椭圆生动、灵活地呈现在学生面前, 更有助于学生理解椭圆的内涵和外延。 3、创设“应用性问题情境”,引导学生自己发现数学命题 在“均值不等式”一节的教学中,可设计如下实际应用问题,引导学生从中 发现关于均值不等式的定理及其推论: 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动, 拟分两次降价。 有三种降价方案: 甲方案是第一次打 p 折销售,第二次打 q 折销售;乙方案是第一次打 q 折销售, 第二次打 p 折销售;丙方案是两次都打 多? 学生通过审题、分析、讨论,对于问题,大都能归结为比较 pq 与 ( 小的问题,进而用特值法猜测出 pq ≤ (
p+q 2 ) ,即可得 p 2 + q 2 ≥ 2 pq 。 2 p+q 2 ) 大 2 p+q 折销售。请问:哪一种方案降价较 2

4、创设“实验性问题情境”,引导学生发现规律 在教材 “不等式” 一章中有这样一道题: 已知 a 、 、 均大于 0, b m 并且 a < b , a+m a 求证: > 。如果直接去证,学生会感到索然无味,而且这个结论容易记 b+m b 错。这时不妨这样设计问题情景: 学生先做一个简单的实验: (糖、杯和水) a 克糖放到水中得到 b 克糖水, a a+m ,在糖水中再增加 m 克糖,此时浓度又是多少?( ) , 浓度是多少?( ) b b+m 糖水变甜了还是变淡了?学生异口同声地说“变甜了” ,从而得到不等式 a+m a > 。这样,学生证明这个不等式时会很有兴趣并能自然地引出不等式的 b+m b 证明这一课题。

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又如:在讲“数学归纳法”时,由于数学归纳法比较抽象,许多学生对“一 个与自然数有关的命题经过数学归纳法的步骤证明后是正确的”不太理解, 特别 是对它为什么要有第二步不理解,因此可通过设置试验情境:“多米诺”骨牌游 戏:几十个骨牌一个紧挨着一个放在桌上,排列成弯弯曲曲的蛇形队列,用一只 手指推倒第 1 个骨牌,紧接着第 2 个骨牌、第 3 个骨牌……依次都倒下。可以清 楚地看到,要使每一个骨牌都倒下,除了第 1 个骨牌必须倒下以外,还必须有: 如果前面一个骨牌倒下,那么后面一个骨牌就紧接着倒下。也就是必须要有当
n = k 成立时, n = k + 1 才成立。

5、创设“开放和发散性问题情境”,增强学生的创新意识 在“立体几何”中有这样的习题:已知 α 、 β 是两个不同的平面, m 、 n 是 平面 α 及 β 之外的两条不同的直线, 给出四个论断: m ⊥ n , α ⊥ β , n ⊥ β , ① ② ③ ④ m ⊥ α ,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,可以构造出几个 命题?其中真命题有几个? 这种题型条件和结论都不是固定的,是可变的,解答该题需要学生去思考、 分析、尝试、猜想、论证,即具有探索性。 6、创设“新异悬念问题情境” ,引导学生自主探究 在“抛物线及其标准方程”一节的教学中,引出抛物线定义“平面上与一个 定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后,设置这样的问题情 境:初中已学过的一元二次函数的图象也是抛物线,而今定义的抛物线与初中已 学的抛物线从字面上看不一致,它们之间一定有某种内在联系,你能找出这种内 在联系吗? 此问题设计得新奇,问题的结论应该是肯定的,而课本中又无解释,这自 然会引起学生探索其中奥秘的欲望。 三、创设问题情境中存在的误区 1、只关注趣味性,少了目标; 2、虚构的美丽,欺骗学生; 3、脱离生活圈,生搬硬套; 4、多了生活味,少了科学性; 5、每一节课都要有问题情境。 总之,问题情境的创设,其目的是培养学生学习的积极性,激发学习动机、 情感、意志、性格等非智力因素,把智力因素和非智力因素有机地结合起来,充 分调动学生的感知、认识、心理的和行为的等方面因素,使学生自主学习达到很 好的效果。在设计情境时,教师要根据教学任务、教学对象、教学设施及教师本 人的素质,精心设计问题,在课堂教学中,师生要充分交流、互相讨论、互相尊

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重、感情融合,形成一个民主、平等、和谐的学习氛围,促进学生全面发展。 资料索引: 1、 《中学数学教学参考》 陕西师范大学中学教学参考杂志社出版 版 2、 《高中数学教与学》 主办单位:江苏省教育厅 年版 江苏省一级期刊 2011 2010 年

让学生的思维“活”起来?
‐‐‐‐‐‐‐“用正弦定理解三角形”案例与反思 广东省中山市东升高级中学 周 洁?

?

传统的课堂教学中,以教师讲授为主,学生很少真正参与其中.? 教师注重的 “应试教育” 往往是教材知识, 考题考点, 而忽略了对学生数学思维的培养.? 这种 下的课堂教学往往容易导致“高分低能” ,从而影响学生的可持续发展.? ? 新的数学课程标准的核心理念是“以人为本” ,强调学生是学习的主人,教 师是学生的引导者、帮助者和合作者.? 那么,如何在现实课堂中贯彻这一理念, 真正让学生在课堂上“活”起来,本文将就“用正弦定理解三角形”这一课例来 谈谈自己的几点认识.? ?
一、案例描述:? 师:正弦定理可以解两类三角形,一类是解已知两角及一边的三角形,一类

是解已知两边及一对角的三角形.? 由于第二类三角形的解可能不唯一,学生往往 容易漏解或错解.? 下面我们就结合具体的例题来谈谈它的解的情况.? ?
引例: ?ABC 中,已知 ∠A = 900 , b = 8, a = 6 ,解三角形.? ? (题目还没有写完,就有学生抢着回答)?

生:老师,这样的三角形不存在.? ? 师:为什么呢?? 生: ∠A = 900 ,但 a < b ,不符合三角形中大角对大边的原理.? 师:对,若将 ∠A = 900 换成 ∠A = 1200 呢?? 生:这样的三角形还是不存在.? ? 师:那如果将 a 与 b 的长度换一下呢?(通过层层设问,逐步启发学生的思
维)?

(学生思考、画图、计算)? 生:这样的三角形是唯一存在的.? ? 师:通过上面这个例题,大家可以得到什么样的结论呢?? 生:在解三角形时,若 ∠A ≥ 900 ,则当 a ≤ b 时,这样的三角形不存在;?
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当 a > b 时,存在唯一的三角形.? ? 师:好,我们再来看下面这个例题:?
?ABC 中,已知 ∠A = 300 , b = 6, a = 2 ,解三角形.? 若 a = 3, 2 3,8 呢??

生:画草图,拿着计算器一个个进行计算就可以了。?
(老师没有表扬学生,反而问道)?

师:能不能将其解的情况总结归纳一下呢??
(学生一片哗然后陷入沉思,片刻,一生起来回答)?

生:我觉得要看其解的情况,关键是看 sin B 的值,而 sin B = 故当 0 < a < 3 时, sin B > 1 ,这样的三角形不存在;? 当 a = 3 时, sin B = 1 ,这样的三角形是唯一的;? 当 a > 3 时, 0 < sin B < 1 ,这样的三角形有两个.? ?
(另一个学生起来反对)?

b 3 sin A = ,? a a

生:不对,当 a > 3 时, 0 < sin B < 1 ,它的解的情况还要根据三角形的三边 关系来判断,有可能是一个,也有可能是两个.? ? 师:那到底什么情况下是一个,什么情况下是两个,能说得清楚吗??
(学生的情绪高涨,下面议论纷纷)?

生:老师,我想到用作图的方法,可以直接判断其解的情况.? ?
(学生主动要求上台板书)?

? a < b sin A ? ? 解不存在?

a = b sin A
解唯一 ?

b sin A < a < b
两个解?

a≥b?
一 个

(老师规范学生作图,并用几何画板再次演示上述结论,让学生清晰地看到 了变化过程,对结论有了更深刻的认识)

师:在解三角形时,若 ∠A < 900 ,则当 a < b sin A 时,这样的三角形不存在;? 则当 a = b sin A 时,这样的三角形唯一存 在;? 则当 b sin A < a < b 时, 这样的三角形有两 个;? 则当 a ≥ b 时,这样的三角形有一个.? ?
(正当学生沉浸在成功的喜悦中时,一生突然站起来)?

生:老师,我还有一种方法,我想用余弦定理来试试.? ?
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(老师微笑示意,鼓励学生大胆思维)?

生:由余弦定理 c 2 + b 2 ? 2bc cos A = a 2 ,得 c 2 ? 2b cos A c + b 2 ? a 2 = 0 ,? 将它看成一个关于 c 的一元二次方程,故?
? = (2b cos A) 2 ? 4 1 (b 2 ? a 2 ) = 4b 2 cos 2 A ? 4b 2 + 4a 2 = 4a 2 ? 4b 2 sin 2 A ,?

要探讨其解的情况,只需讨论 ? 的取值情况就行了.? ? 师:很好,该生想到了用代数的方法来解决几何问题,将一个解三角形的问 题化归为讨论一元二次方程的解的问题, 这种方法在我们今后的学习中还会经常 碰到,而此题后面的工作希望大家下去补充完整.? (下课铃响)下课!? 生:谢谢老师!?
二、教学反思:? 1、问题的合理设置,使学生“动”起来.?

新的《数学课程标准》倡导积极主动、勇于探索的学习方式,注重提高学生 的数学思维能力,发展学生的数学应用意识.? 本节课摒弃了传统的“教师讲、学 生听”的教学模式,通过层层设问、步步诱导的方式,使学生真正参与到课堂中 来.? ? 从开始的一问一答式到后来的问 → 思考 → 答 → 再问 → 再思考 → 再答,体现 了教者在问题设置上的有序性、渐近性.? 同时,在看似平淡的问答式教学中,学 生由开始单一的脑动,到后来的脑动、手动、心动,三位一体,全方位地调动了 学生的积极性,使学生在课堂上“动”起来、 “活”起来.?
2、多媒体合理运用,使课堂“亮”起来.?

本节课并没有整节课、 大篇幅地运用多媒体进行教学, 只是在学生作图后面, “没有交点” 到 , “一个交点” , 运用几何画板形象、 直观地演示了结论的成立.? 从 然后“两个交点” ,再到“一个交点” ,虽是短短几分钟,却内化了“用正弦定理 解三角形”中“无解、一解、两解”的条件,使学生的思维得到了升华,可称得 上是本节课的亮点.? ?
3、问题的圆满解决,使教学“整”起来.?

一堂完整的数学课,不光要提出问题,其最终目的都是为了解决问题.? 本节 课在讲授时,不失时机地总结出了本节课要解决的两个结论:一是“在解三角形 ;二是“在解三角形时,若 ∠A < 900 ,则…”. 既有学 时,若 ∠A ≥ 900 ,则…” 生自己总结, 也有教师总结, 突显了本节课的教学目的, 使本节课 “忙” “乱” 而不 、 “忙”而有“获”. 4、教师的精心准备,使思维“活”起来. “正当学生沉浸在成功的喜悦中时,一生突然站起来: ‘老师,我还有一种 ”看似快结束的课,一生突然提出了自己的想 方法,我想用余弦定理来试试.? ’ 法,教师并没有因为突来的变化而放弃让学生表现的机会.? 这不仅需要教师必须

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具备扎实的基本功,同时,更多地则是体现了新课标中“学生是学习的主人”这 一理念,真正让学生的思维在课堂上“活”起来. ?

做思维体操,促能力提高 ——《两角差的余弦公式》例说
中山市坦洲理工学校 康瑶 内容摘要:敏捷、严谨的思维能力和分析解决问题的能力是数学教学的首要 培养目标,本文以《两角差的余弦公式》教学为例,解说如何让学生进行思维训 练, 感受学习乐趣, 树立学习信心, 让思维训练融入整个课堂教学。 要精心设计, 通过一题多解、变式训练、反思、归纳等多种途径,运用发散思维、逆向思维、 顺承思维、聚合思维等多种思维方式来解决问题,并在训练中掌握解题方法和数 学思想,从而促进学生能力提高。 关键词:思维训练,两角差的余弦公式,激发兴趣,重过程,一题多解,变 式训练。

在大力提倡探究性学习的今天,由于高考指挥棒,很多老师的课堂教学涛声 依旧——仍然是罐输式的。记得一次评课活动中,不少老师说平时上课,干脆直 接给出定理或公式,既省时,又直接,让学生有足够的时间来练习,简单易行并 且有效。但是,学生少了多种思维训练的机会,如观察发现,探究归纳,少了许 多学数学乐趣,也少了数学思想方法获得的机会。数学是思维的工具,数学是思 维的体操,数学教学与思维训练有着不可分割的关系。数学知识会随时间的推移 而遗忘,而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。因此, 《普通高中数学课程标准(实验)》也着重指出:高中数学课程应注重进行数学思 维训练。教学中教师揭示数学知识的规律,通过对问题的思考、推理、论证、变 换等方法使学生不断地经历直观感知、观察发现,归纳类比、空间想象、抽象概 括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程从而发 展学生的思维,调动学生积极思维,提高教学效果,使数学思维训练与数学教学 和谐统一、相互促进。本文就《两角差的余弦公式》这一节课展示和论述如何进 行数学思维训练,促进学生能力提高。 一、铺垫到位,让思维训练得以延续 1.设置认知冲突,让学生陷入思维训练。 教师要精心设计,巧妙恰当地提出问题,创设良好的思维情境,使学生产生 认知冲突, 进入思维 “角色” 成为思维的主体。 , 这样能够迅速集中学生注意力, 激发学生的兴趣和求知欲。这是进行数学思维训练的第一环节。所以,在推导两 角差的余弦公式之前,我就设计了这样一个问题情景。 师:请同学们猜猜 cos(α-β)=? 生:我猜 cos(α-β)= cosα-cosβ。 师:这猜想可能是对的,也可能是错误的,怎么证明它? ° ° 生:用特例α=60 ,β=30 验证。 师:验证后,发现猜想错误,那到底如何用任意角α、β的正弦、余弦值来 表示 cos(α-β)呢? 此时,学生的心里就产生了认知冲突,激起学生思维的火花,他们急于想知 道 cos(α-β)=?。
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2.分散恼人难点,让学生乐于思维训练。 对学生在教学过程中的遇到的各种数学问题或教学内容, 应做好充分估计和 设想。对学生难于解决的问题,就要适当分解,减缓坡度,分散难点,创造条件 让学生自己能解决。只要学生跳一跳能摘到果子,当然会乐于思考。 在有限的时间内, 如果学生很难想到用向量夹角公式去探究两角差的余弦公 式,因此我先引导学生在直角坐标系和单位圆中画出角α、β,并分层设计了三 个问题: (1)结合图形和向量夹角公式,明确应选择哪两个向量,它们的坐标是 什么?(2)你利用向量夹角公式得到什么?(3)向量夹角的取值范围对你得到 的结论有限制吗? 这样,经过教师的适当引导和难点分解,让学生探究两角差的公式的推导就 水到渠成了。 3.给予真诚赏识,让学生在思维训练中获得成就感。 要鼓励创新,让学生独立思考。鼓励学生从不同的角度去观察问题,分析问 题,养成良好的思维习惯和品质;鼓励学生敢于发表不同的见解,各抒己见。如 请同学们证明猜想 cos(α-β)= cosα-cosβ是否正确时, 我鼓励学生积极参与, ° ° 学生的热情高涨,争先发表了自己的想法。有的说用α=60 ,β=30 验证,有 ° ° ° 的说用α=45 ,β=30 验证,也有的说用α=β=0 验证。学生能想到用特例验 证,是很棒了,我马上表扬他们好像百家争鸣,思维的火花绽放得绚丽多彩。上 课伊始,就收到老师真诚的表扬,学生学习积极性调动起来了,这为后续学习做 好了坚实的铺垫。一个鼓励的眼神,一个会心的微笑,一句真心的表扬,一阵会 心的掌声,就能让学生在思维训练中获得成就感。 二 融入过程,让思维训练遍地开花 1.公式的教学重过程。 教学中重视知识形成过程的教学, 让学生投入到对所学数学内容的分析和综 合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维过程中来,这样学生在掌握知 识的思维实践中,不仅获得了知识,更重要的是得到思维训练。课堂上认真地探 讨公式的由来和实质是非常重要的环节。 数学教学的过程,是学生在教师的指导下系统地学习前人知识的过程,而指 导学生进行知识的正迁移,推进旧知向新知转化的过程,正是学生继承前人经验 的一条捷径。这正如古人说的“温故而知新”。 因而使新旧知识之间有机地联 系着:挖掘这种因素,沟通其联系,指导学生将已知迁移到未知、将新知同化到 旧知,让学生用已获得的判断进行推理,再获得新的判断,从而扩展他们的认知 结构。为此,在教学新知时,要注意唤起已学过的有关旧知,为新知及早铺垫。 为了引导学生怎样去想使用什么旧知识推导两角差的余弦公式, 我先请学生仔细 审题,并问:这是关于什么知识的问题? 生:三角函数的问题。 师:在本学期学的第一章是怎样定义三角函数的呢? 生:设角α是一个任意角,它的顶点在原点,始边与 X 轴的正半轴重合,它 的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 y 叫做α的正弦,记作 sinα;x 叫做α的 余弦,记作 cosα。 (并画出与定义相配的图,让学生直观感知加深理解,也为 下面把角α、β画出来作好准备。 ) 通过这样的铺垫,学生很快把角α、β在直角坐标系和单位圆中画出来(如 图 1) 。这也充分发挥了数形结合法的作用。

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y P1

y p4

α
0

β

P2 x
0

α ?β
p3 x

图 1?

图 2?

师:根据三角函数的定义,你能写出角α的终边与单位圆的交点 P1 的坐标 是什么?角β的终边与单位圆的交点 P2 的坐标是什么? ,P 。 生:P1 的坐标是(cosα,sinα) 2 的坐标是(cosβ,sinβ) 师:此时,角α、β的正弦余弦都出现了。但并未出现 cos(α-β)。图 1 中哪个角是α-β? 生:∠P10P2=α-β 师:结合三角函数的定义思考,怎样才能使角α-β的终边与单位圆的交点 坐标出现 cos(α-β)? 生: (经过独立思考和讨论之后)把角α-β按顺时针方向转,转到始边 与 X 轴的正半轴重合为止。 为了更加形象、生动、具体、直观,教师用 flash 课件演示:把图 1 复制一 份放右边,然后把α-β按顺时针方向转,转到始边与 X 轴的正半轴重合为止。 最后显示角。 ,角α-β的终边与单位圆的交点 P4 α-β的始边与单位圆的交点 P3(1,0) (cos(α-β),sin(α-β)) (如图 2) 。 师:分别连接 P1P2、P3P4,线段 P1P2 与 P3P4 的长度有什么关系? 生:线段 P1P2 与 P3P4 的长度相等,即︱P1P2︱=︱P3P4︱ 下面的推导过程由学生独立完成,从而得到两角差的余弦公式。 这样,突出了建立公式过程的探索性,避免直接呈现公式。教学中既给学 生的探索活动作出了适当的引导,顺利完成教学任务,更重要的是,提出了能引 起学生思维的问题,给足了学生思考的时间,学生的思维得到了充分训练。 2.例题的教学重过程 数学的综合运用上,应顺应学生的思维去挖掘,而不是强加给学生以解题模 式,框架,束缚学生的思维,让他们自己去感受,去体会,去领悟,例题的讲解 追求的不仅解题过程写得详细规范,更重要的是解题的思维过程,这样学生才不 会单纯摹仿,不会缺乏独立分析问题的能力,遇到新问题不会束手无策。 。 例 1 利用差角余弦公式求 cos15 的值。 分析并推导: 师:大家仔细审题:差角余弦公式,顾名思义,是用于求两个角的差的余 弦,而 cos15。只是一个角的余弦,怎么办? 生:把 15。拆分成两个角的差。 学生拆角,并计算。教师巡视,并及时反馈。
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师:有的同学把 15。拆分成 45。-30。 ,有的同学把 15。拆分成 60。-45。 ,有的 ,哪种拆分比较好,为什么? 同学把 15。拆分成 115。-100。 生:第一、二种都是拆分成特殊角,方便计算,比较好,而第三种拆分须查 表或用计算器,不方便计算。 最后学生反思本题得出: (1)差角余弦公式适用于形式上不是差角的情况。 (2)把角拆分成特殊角便于计算。 (3)拆分的多样性。 整个过程做到让学生自己去独立思考,自己去寻找答案,自己去反思。此题 尽管不难,但只要能做到训练思维,总是可以超越的。 三、设计多样,让思维训练“峰回路转” 学生学习数学时,了解概念,认识原理,掌握方法,不仅要经历从个别到一 般的发展过程, 而且要从一般回到个别, 即把一般的规律运用于解决个别的问题, 这就是伴随思维过程而发生的知识具体化的过程。 因此,一 要提倡一题多解,促进学生“思维灵活”。二要加强变式练 习,使学生在不同的数学意境中实现知识的具体化,进而获得更一般更概括的理 解; 1.一题多解 在数学教学中,教师应注重启发学生多角度地思考问题,鼓励联想和一题 多解,使学生掌握 “换一个角度思考”等数学中经常要用到的思考方法。在解 题中这些方法常常会起到“柳暗花明”的效果。例如:在本节课中,两角差的余 弦公除了用三角函数的定义和两点间的距离公式推导, 也引导学生用向量的夹角 积公式进行推导,还可以用几何法推导(把这种方法作为课后思考,让学有余地 的学生进行) 。 2.变式训练 数学教学的变化性,为学生提供思维的广泛联想空间,使学生在面临问题时 能够从多种角度进行考虑, 并迅速地建立起自己的思路, 真正做到 “举一反三” 。 教学实践表明, 变式训练不仅对学生思维有很大作用, 而且能较好地让学生从 “题
4 5 π 海”中解放出来。如:对“例题 2 已知 sinα= ,α ∈ ( , π ), cos β = ? , β 5 2 13 4 是第三象限角,求 cos(α-β)的值。 ”可出示变式训练(1)已知 sinα= ,α 5

是第一象限角, β = ? cos

5 求 变式训练 (2) , β是第三象限角, cos(α-β)的值; 13

4 5 cos 求 变式训练 (3) 已知 sinα= , β = ? , β是第三象限角, cos(α-β)的值; 5 13 4 5 已知 sinα= , cos β = ? , 求 cos(α-β)的值;变式训练(4)已知 cos(α+ 5 13

β) =

4 12 ,sinα= ,α、β是第一象限角,求 cos β 的值。通过这一训练,学 5 13

生的发散思维、逆向思维、顺承思维,聚合思维等都得到了锻炼。
61

参考文献: 1、 《研究性学习的原理、方法与实践》 作者:叶平 出版社:湖北教育 出版日期:2003 年 01 月 01 日 2、 《普通高中课程标准实验教科书数学(1)教师教学用书》 3、 《中学数学教与学》2001.1 4、 《新课标高中数学解题思维方法》 作 者:康士凯 主编 出 版 社:上海 科学普及出版社 出版时间:2007-5-1

导学型课堂教学模式对提高高中生自主学习能力的实践研究
广东省中山市东升高级中学 杨安明
摘要:在新一轮课程改革的浪潮中,改变传统 “满堂灌”、“一刀切”等被

动接受式的教学方式, 探索一种既能充分发挥学生主体地位又能体现教师主导作 用的新型课堂教学模式是迫在眉睫的。 导学型课堂教学模式就是指学生在教师的 引导下,通过自主学习完成各项学习任务,在有效的引导过程中,激发学生学习 的兴趣和学习动机,从而掌握知识和提高能力,形成的一种课型。学生在课堂学 习过程中,不仅收获知识,同时提升了自主学习能力,为其终身学习和毕生发展 奠定重要的基础。
关键词:导学型 导学案 教学模式 自主学习能力

一、问题提出

著名教育家叶圣陶先生曾经说过: “教是为了不需要教。……就是说咱们当 教师的人要引导他们,使他们能够自己学,自己学一辈子,学到老。”。这就对 教师的教学提出了新的要求, 课堂教学不能再像传统那样侧重于知识内容的灌输 上,应该在传授知识的同时,加强对学生自主学习能力的培养,教会学生学习。 纵观我校课堂教学的现状,教师偏重于“教法” ,而忽视了“学法” ,课堂上偏重 于知识传授,而忽视了学习能力的培养,教师更多关注学生对知识的掌握程度, 没有关注到学生良好学习品质的培养。为改变这种现状,使得学生在学习知识同 时,自主学习能力也得到提高,我们构建了一种以“自主学习导学型”为主要特 征的课堂教学组织形式。
二、什么是导学型课堂教学模式

所谓“导学型”是指学生在教师的引导下,通过自主学习完成的各项学习任
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务,在有效的引导过程中,激发学生学习的兴趣和学习动机,从而掌握知识和提 高能力, 形成的一种课型。 在导学型课堂教学中, 教师的作用是分析学生的学情; 制定学习目标;引导目标;评价目标;分解学习内容编制学习任务。教师的课堂 教学重点突出对学生学习有效的“导”。 导学型教学模式中的“导学案”,是教师在充分了解学情、大纲、教材内容 的基础上,根据学生的实际情况和教材的特点,按照教学要求为学生设计的指导 学生进行自主学习而编写的学习方案,是一个“教、学并重”、“教、学一体” 的教案。
三、导学型课堂教学模式的实践

(一)、高中数学导学案的编写 高中数学导学案的编写应该遵循科学性、主体性、启发性、情境性等编写原 则。一份优秀的导学案最基本不能出现低级的语言错误,使用的素材都是有科学 依据的。编写过程要充分考虑到学生是课堂学习的主体地位,内容呈现方面要更 多体现学生的学,而不仅仅是教师的教。美国教育学杜威指出:思考的情境直接 来源于经验。导学案的内容应该体现情境性,由学生感兴趣的问题情境引入,引 导学生更好地进行自主学习。一份好的导学案还应该是学习目标明确、清晰,学 习内容的启发性强,学习过程的设计符合学生的实际情况,学习效果的评价具有 很好的检测性和反馈性。 以我校数学科组编写的导学案为例。导学案一般包括学习目标、学习过程、 学习评价、课后作业这四个部分。其中学习过程由课前准备、新课导学、总结提 升三个环节组成。学习目标是学生进行自主学习的导向目标,同时具有激励和调 控学生学习的功能,制定的目标还应该具有明确性和可测性。学习过程是导学案 的主要部分,它体现了导学型课堂教学模式要求的导学、导思、导练的功能。课 前准备是指导学生阅读教材的部分,以问题的形式引领学生思考,问题的设计遵 循学生的认知规律和学生原有的知识背景,同时注重培养学生自主学习能力。例 如: 《集合的含义与表示》 学习 一节时, 课前准备先是指导学生预习教材 P2~ P3, 然后提出问题,让学生讨论:军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一年级 在体育馆集合进行军训动员。 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学 生? 由于学生刚军训完,这个问题很好地激发了他们学习的兴趣,在解决问题的
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过程中学习集合的概念。新课导学这一环节是课堂学习的主体,由探索新知这种 形式引导学生阅读并思考,例如:学习《函数的概念》一节时,导学案首先给出 探究任务一:函数模型思想及函数概念,提出问题:研究下面三个实例: A. 一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面 高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h = 130t ? 5t .
2

B. 近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲 线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人 民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份 恩格尔系数% 1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 … …

讨论: 以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量 之间存在着这样的对应关系? 三个实例有什么共同点? 通过这类精心设计的问题, 让学生循序渐进地体会到解决问题的办法是要阅 读教材,从教材中寻求问题情境的答案,这个过程就是培养学生自主学习能力的 过程。在新课导学这一环节中还有很多“探究”、“试试”、“变式”等问题情 境,这些问题都很好地引领了学生进行自主学习。学习评价这部分包括学生对导 学案完成情况的自我评价和当堂检测两部分, 其中当堂检测让学生限时独立完成 测试题,通过批阅了解学生课堂学习的效果。例如:学习《集合的基本关系》一 节时,学习评价就是这样设置的。 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.? 下列结论正确的是(? ? ? ? ).? ? ? ? A.? ? A? ? ? ? ? ? ? B.? ? ∈ {0} ? ? ? ? C.? {1, 2} ? Z ? ? ? ? D.? {0} ∈ {0,1} ?

2.? 设 A = { x x > 1} , B = { x x > a} ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围为(? ? ? ? ).?
64

? ? A.? a < 1 ? ? ? ? ? ? ? B.? a ≤ 1 ? ? ? C.? a > 1 ? ? ? ? ? ? ? D.? a ≥ 1 ? 3.? 若 {1, 2} = {x | x 2 + bx + c = 0} ,则(? ? ? ? ).? ? ? ? A.? b = ?3, c = 2 ? ? ? ? B.? b = 3, c = ?2 ? ? ? ? C.? b = ?2, c = 3 ? ? ? ? D.? b = 2, c = ?3 ? 4.? 满足 {a, b} ? A ? {a, b, c, d } 的集合 A 有? ? ? 个.? 5.? 设 集 合 A = {四边形}, B = {平行四边形}, C = {矩形} , D = {正方形} , 则 它 们 之 间 的 关 系 是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,并用 Venn 图表示.?

课后作业这个部分主要是通过设计一些实践性、 研究性的思考题加深学生对 所学知识的理解和运用,保证课堂学习的内容得到延伸。例如:学习《函数最大 (小)值》一节时,就设置了这样两道课后作业题。
1.? 作出函数 y = x 2 ? 2 x + 3 的简图,研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最

大值与最小值.
??

(1) ?1 ≤ x ≤ 0 ;? (2) 0 ≤ x ≤ 3 ? ; 3) x ∈ (?∞, +∞) .? (
2. 如图,把截面半径为 10 cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为

x ,面积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才

能使得截面面积最大?
???

导学案编写的落脚点是学生的“学”,教师的“导”是在学生很好地完成导 学案的基础上。 (二)、导学型课堂教学模式下的教学实录 1、案例:函数的奇偶性 内容:人教版必修模块《数学 1》函数的奇偶性 师:首先我来反馈一下大家的预习完成情况,通过检查大家已经完成的导学 案,全班 75%的同学都能够通过自学教材,在小组合作的帮助下,初步达成学习 目标的要求。 师:上节课我们学习了什么内容? 生:函数的单调性与最大(小)值。 师:我们本节课在复习函数单调性的基础上,一起来研究函数的另一个重要

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性质——奇偶性。 师:请大家思考:在同一坐标系分别作出两组函数的图象:
1 、 f ( x) = x3 ;? x (2) f ( x) = x 2 、 f ( x) =| x | .?

(1) f ( x) = x 、 f ( x) =

观察各组图象有什么共同特征?函数解析式在函数值方面有什么特点? 生:分组合作学习,学生按学习小组(6 人一组),小组成员画图、讨论、 归纳出结论。教师一边巡视学生完成的情况,一边参与个别小组的讨论,3 分钟 后小组代表汇报结论。 生 1:第一组函数的图像关于原点对称。 生 2:第二组函数的图像关于 y 轴对称。 生 3:从这两组函数的图像可以看出,第一组函数的函数图像当自变量 x 取 一对相反数时,相应的两个函数值也是相反数。而第二组函数的图像当自变量 x 取一对相反数时,相应的两个函数值是相同的。 师:这三位同学所在小组的同学都研究得非常认真、仔细,回答非常好。奇 函数的图像是关于原点对称,偶函数的图像时关于 y 轴对称。那么我们先来研究 一下偶函数,怎么样給它下个准确的定义? 生 4:通过观察图像,如果对函数 f(x)如果都有 f(-x)=f(x),那么它就叫 偶函数。 生 5:不准确,不是所有满足 f(-x)=f(x)都叫偶函数,要强调对定义域内的 任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 才叫偶函数。 师:掌声送给这位同学,非常棒的回答。 师:函数 f ( x) = x 2 是偶函数,请观察图像, f ( x) = x 2 在当 x∈[-5,5]时是偶 函数吗?当 x∈[-5,5)时,此函数是给定区间上还是偶函数吗? 并说明你的理 由。你觉得判断一个函数是偶函数的前提条件是什么?其一般步骤是怎样?(完 成后小组内讨论、交流)。 教师一边巡视学生完成的情况,一边参与个别小组的讨论。经过 5 分钟的讨 论,由各小组派代表汇报结论。 生 6:通过观察函数 f ( x) = x 2 的图像,我们认为当 x∈[-5,5]时是偶函数。 生 7:当 x∈[-5,5)时,我们一致认为它的图像不关于 y 轴对称,所以,此
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函数当 x∈[-5,5)时不是偶函数。 生 8:判断一个函数是否是偶函数,首先要确定这个函数的定义域是否关于 原点对称, 如果不能满足这个前提条件, 它就不是偶函数。 如果满足了这个前提, 再验证 f(-x)=f(x)是否相等,若相等,这个函数一定是偶函数。 师:三位同学都回答得非常棒,把偶函数的定义表述得非常准确。 师:请同学们观察(1) f ( x) = x 、 f ( x) = 、 f ( x) = x3 ;这三个函数图像,仿 照偶函数的定义给出奇函数的定义。 然后阅读教材 p35 页,完成思考题,完成导学案的内容。
反思:

1 x

① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别? ② 奇函数、偶函数的定义域关于

对称,图象关于

对称.
试试:已知函数 f ( x) =

1 在 y 轴左边的图象如图所示,画出它右 x2

边的图象. 师:请同学们对导学案上错误的解答进行更正。 师:下面讲解典型例题
例 1 判别下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) = 3 x 4 ;

(2) f ( x) = 4 x3 ;
1 .? x3

(3) f ( x) = ?3x 4 + 5 x 2 ;? (4) f ( x) = 3 x +

师:板演规范的解题过程。 师:请归纳出判别函数的奇偶性的方法和步骤。 生 9:判别方法,先看定义域是否关于原点对称,再计算 f (? x) ,并与 f ( x) 进 行比较. 师:试试:判别下列函数的奇偶性:? ?
(1)f(x)=|x+1|+|x-1|; (2)f(x)=x+ (3)f(x)=
x ; 1 + x2 1 ; x

(4)f(x)=x 2 , x∈[-2,3].

生:板演解题过程。

67

师:总结提升 (1) 奇、偶函数图象分别有什么特点? 生 10:奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于 y 轴对称。 (2) 判别一个函数是奇函数还是偶函数的前提条件是什么?其一般步骤怎 样? 生 11:前提条件是这个函数的定义域是否关于原点对称。一般步骤是先看定 义域是否关于原点对称,再计算 f (? x) ,并与 f ( x) 进行比较.? (3) 通过本节课的学习,你学习到了什么? 生 12:本节课我学习到知识,归纳起来有以下三点: 1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征; 2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整 体性质. 3. 判断函数奇偶性的方法:图象法、定义法. 师:最后 5 分钟,请同学们完成当堂检测题。

2、教学反思 本节课的导学案是在上课前一天发到学生手中, 学生通过阅读教材完成其中 自己能力所及部分,对函数奇偶性有了初步的认识。导学案上保留着学生自学过 程中存在的疑难点, 笔者在批阅的过程中就发现了大部分学生对函数奇偶性判断 前提条件理解有困难,同时解题过程中的化简也是难点。在课堂导学的过程中, 笔者重点抓住学生这两个难点,让学生在课堂学习中进行充分的讨论和探究,给 学生及时有效的点拨,和学生一起突破了难点。整节课下来,学生在自主学习、 合作交流中获得知识,自主学习能力也得到相应的提升。从当堂检测的测试成绩 来看,本节课的教学目标达成了,教学效果也比较理想。

四、结束语

英国教育家斯宾塞指出, 教学的一个秘诀就是要 “知道怎样聪明地花费时间。 ” 每节课教师讲授时间一般不超过三分之一,师生共同活动时间约占三分之一,学 生独立活动时间不少于三分之一,课堂真正回归主题。导学型课堂教学模式就是

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以导学案作为载体,发挥学生的主观能动性,让学生参与到课堂学习中来,通过 自主合作学习,在愉悦的学习过程中感受成功,同时提升自己的自主学习能力, 为其终身学习和毕生发展奠定重要的基础。

浅谈初、高中数学教学衔接 小榄实验高中 朱玉兰
[摘 要]:从初中进入高中,学生普遍感觉高一数学内容多,难度大,课堂 上听明白了,但在课后又不会做题。为此,在高一初始阶段的数学教学中,如何 搞好初、高中数学教学的衔接,如何帮助学生尽快适应高中数学的学习,就成为 高一数学教师的首要任务。 [关键词] 初、高中衔接 教学方法 差异 数学思维

经过中考的奋力拼搏,很多学生以优异的成绩进入高中。对于一个全新的环 境,他们都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过 一段时间,他们普遍感觉到高中数学并非想象中那么简单易学,相当一部分学生 进入数学学习的“困难期” 少数学生对数学学习失去了信心,甚至害怕数学, , 讨厌数学,直至放弃数学。为此,在高一初始阶段的数学教学中,处理好初、高 中知识的衔接显得尤为重要。笔者结合自身的教学实践谈一些体会如下。

一、知识内容的衔接。
高中数学的学习是一个循序渐进的过程,高一的学习以初中为基础,哪一个 环节出现问题,都会影响以后的学习,所以教师在教学过程中要做好初、高中教 材知识内容的衔接。比如: 1、初中教材中的解一元二次方程是重点内容之一,而其方法主要有三种: 直接开方法,配方法以及求根公式法。而在高中的教材中,解一元二次方程往往 是解题过程中的一部分,应用非常广泛,由于解题技巧的需要,其常用的方法都 是“十字相乘” 法,而此方法在初中教材中只作为学生课后阅读材料,所以教 师在高一开始就有必要将“十字相乘” 法渗透在教学中,并进行拓展延伸的训 练。 2、初中在研究一次函数时,虽然也曾大量的研究随自变量 x 的变化,函数 值 y 的变化情况, 但因为这知识点恰与高中函数的一个重要内容——函数的单调 性有着密切的联系。所以在高中讲解函数单调性之前,还是有必要进一步分析、 澄清自变量 x,函数值 y 之间的关系及变化情况,使学生可以很自然地完成单调

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性的学习。 3、初中在研究函数尤其在研究二次函数时,曾提到过 y 的取值范围(或 y 的最值) ,但在高中教学中,则侧重于函数在给定区间上的值域或最值问题。所 以在进行函数值域的教学时,要在原有的基础上,倾向在给定区间求函数值域问 题的讲授。 “知己知彼,才能百战不殆。 ”我们在进行高一课程的教学前,了解初中课 程标准、教学侧重点,就能做到有的放矢,在原有知识的基础上,把初中研究中 的薄弱环节补充完整,使学生能更好更快的适应高中数学的学习,使教学能得到 事半功倍的的效果。

二、教学方法的衔接
(一)教学方法的差异 随着高中教材内容的增加,难度的提高,每周课时的减少,学生在单位时间 内接受的知识与初中相比增加了许多,但配套练习、消化知识的时间却减少了, 由此造成了初、高中教师教学方法上的巨大差异: 1、初中所要学习的内容少,涉及的题型比较简单,教师有充分的时间对重 难点的内容进行反复强调,多次训练,对各类习题的解法进行举例示范,直到学 生掌握。但到了高中,由于知识点的增加,教材内涵的丰富,课堂容量的增大, 促使了教学进度的加快,课堂上没有更多的时间来反复强调重难点的内容。与此 同时,课后安排的习题类型也很难做到与课堂上所讲的内容完全配套。 2、在初、高中的课堂教学中,初中教师重视直观、形象地教学,老师每讲 完一道例题后,都要布置相应的练习。由于初中教师课讲得细,类型归纳得全, 所以在考试时,学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型,一般都可以对号 入座从而取得好成绩。而高中教师在授课时强调的是数学思想和方法,注重举一 反三,在严格的论证推理及逻辑思维上下功夫。 3、由于知识内容、难度的变化,高中数学教学的关键更多的是在培养学生 的自主学习能力,思维能力,逻辑推理能力以及空间现象力,这就要求教师在教 学中不能再象初中那样一道题反复讲、反复练,而是要教会学生学习方法,要求 学生通过课堂学习,能由此及彼,举一反三。
如:在学习函数的单调性时,在定义域基础上可以从两个角度——即几何和 代数角度研究问题。 从几何角度看, 图象上升, 函数在该区间上是增函数; 反之,
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图象下降, 函数在该区间上是减函数。从代数角度看,在指定区间上,当 x1 <x2 , 若 f (x1 )<f (x2 ) ,则函数在该区间上是增函数;若 f (x1 )>f (x2 ) ,则函数在该区间上 是减函数。由此推广,在学习函数奇偶性问题时,可以用同样的方法,定义域关 于原点对称,图象关于 y 轴或原点对称, f (-x)= ± f (x) ,这就很容易理解并掌握 函数的奇偶性,并由此使学生知道以后所见函数都要研究此类性质,从而为今后 几种函数的学习打下基础。

(二)可采取的措施 由于初、高中教师在教学方法上的巨大差距,中间又缺乏一个有效的过渡过 程,所以使得很多高一新生适应不了高中教师的教学方法,他们普遍反映数学课 能听懂但作业不会做。针对这种情况,教师可以采取以下措施: 1、摸清学生的学习基础,并以此来规划自己的教学和落实教学要求,以提 高教学的针对性。在高中数学起始教学中,教师必须着重了解和掌握学生的基础 知识状况,尤其在讲解新知识时,要严格遵循学生认知发展的阶段性特点,照顾 到学生认知水平的个性差异,强调学生的主体意识,发展学生的主动精神,培养 学生良好的意志品质;同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师,学 生对数学学习有了兴趣,才能更积极主动地去学习数学。 2、 优化课堂教学环节, 立足于课标和教材, 尊重学生实际, 实行层次教学。 高一数学中有许多难理解和掌握的知识点,如集合、映射,函数的概念,函数符 号“ f ( x) ”的理解,空间直线的位置关系等,对高一新生来说确实困难很大。 因此,教师在教学中,应从高一学生实际出发,把起点降低、构建梯度,采用分 散难点,分层教学,阶梯递进的方法,将教学目标分解成若干递进层次,逐层落 实。在速度上,放慢起始进度,逐步加快的教学节奏。在知识导入上,可以由学 生熟识的实例进行引入。教师还可以帮助学生进一步明确学习的目的性,针对不 同学生的实际情况,因材施教,分别给他们提出新的更高的奋斗目标,使学生有 一种“跳一跳,就能摸到桃”的感觉,提高学生学好高中数学的信心。
例如:在学习函数时,一般我们都要复习一下二次函数的内容,而二次函数 中最大、最小值的求法,尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法普遍让学 生感到比较困难,为此我作了如下题型设计,对突破学生的这个难点问题有很大 的帮助,而且在整个操作过程中,学生普遍(包括基础差的学生)情绪亢奋,思

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维始终保持活跃。设计如下: (1)求出下列函数的最大值、最小值: ① y = x 2 ? 2 x ? 4, x ∈ [ ?2, 0] ② y = x 2 ? 2 x ? 4, x ∈ [ 2,3] ③ y = x 2 ? 2 x ? 4, x ∈ [ ?2,3] (2)求函数 y = x 2 ? 2ax + a 2 + 2, x ∈ [ 0,3] 的最小值。 (3)求函数 y = x 2 ? 2 x + 2, x ∈ [t , t + 1] 的最小值。

上述设计层层递进,每做完一题,适时地指出解决这类问题的要点,让学生 在实践中寻找规律,总结经验,从而有效地调动学生的学习积极性,提高课堂效 率。 3、 重视新旧知识的联系与区别, 建立知识网络。 如函数概念, 指数的运算, 平面几何与立体几何等相关知识。到了高中,它们有的加深了,有的研究范围扩 大了,有些在初中成立的结论到高中可能不成立。因此,在讲授新知识时,教师 应有意识地引导学生联系旧知识,复习和区别旧知识,特别要注重对那些易错易 混的知识加以分析、比较和区别,达到温故而知新的效果。比如在讲解函数的定 义时,教师可以先从初中函数的定义出发,结合在初中学习过的一些具体的函数 加以回顾,在此基础上运用映射的观念给这些函数以新的解释,重新给出函数定 义, 使新定义的出现能够水到渠成, 易于理解, 同时让学生对新旧定义进行比较, 发现原有定义的局限性,又使学生认识得以深化,新知得以掌握和巩固。

三、数学思维方法的衔接。
造成高一新生数学学习严重分化,影响初、高中衔接效果的一个重要原因是 高中数学思维方法与初中阶段大不相同。 高中数学在思维形式上产生了很大的变 化,数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 在初中,学生已形成了固定的学习方法和思维习惯,他们缺乏积极思维的能 力,遇到问题首先想到的不是自主分析解决,而是把希望寄托于老师的讲解,对 老师的依赖性很强。同时,由于升学的压力,在初中阶段,很多老师为学生将各 种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步,因式分解先看什么,再看什 么, 求方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根时如何应用求根公式, , b, c 分别是什么等。 a 因此,很多学生习惯于初中这种机械的,便于操作的定势方式。
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从学生的数学能力来看,初中的逻辑思维能力只限于平面几何的证明,知识 的逻辑关系联系得比较少, 所以在解决实际问题时学生的思维会受到很大的局限。 就几何来说,现实生活中我们接触的是三维空间,但学生在初中只学习了平面几 何,所以对于三维空间的知识学生很难进行严格的逻辑思维和判断,只能依靠要 求较低的零散的立几知识来呈现。 在高中数学教学中,我们不仅仅要传授数学知识,还要培养学生的数学思维 能力。高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理 解的基础上的,发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。
例如:在学习了“函数的奇偶性”后,很多学生在判断函数的奇偶性时常忽 视定义域的问题, 为此我们可设计如下问题: 判断函数 f ( x) = 3x ? 3? x 在区间 [ a, 6] 上的奇偶性。 不少学生由定义 f (? x) = ? f ( x) 立即得到 f ( x) 为奇函数。 针对这种情况, 教师可以设问: ①区间 [ a, 6] 有什么意义?② y = x 2 一定是偶 函数吗? 通过对这两个问题的思考,学生意识到函数 f ( x) = 3x ? 3? x 只有在 a = ?6 ,即 定义域关于原点对称时才是奇函数。

在教学中,教师应重视展示知识的形成过程和方法探索的过程,培养学生创 造的能力,还应鼓励学生进行求异思维活动,培养学生善于思考、独立思考的良 好习惯,不仅仅满足于用常规方法取得正确答案,而是多尝试探索用最简单、最 好的方法去解决问题。 总之,初高中数学的衔接,既是知识的衔接,又是教法、学习方法、学习习 惯和师生情感的衔接,只有综合考虑学生实情、课标和大纲、教材、教法等各方 面的因素,才能制定出较完善的措施。从而有效地实现初高中数学教学的衔接。

参考文献:
钱宁.为促进学生的理解而教[J].中学数学教学参考,2012(3) (上旬) :12-14.

图形计算器夯实必修一基础
中山市东升镇高级中学 刘华山

摘要:必修一在整个高中数学教学中占有很重耍地位,它既是初中内容的拓
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宽,又泛高中内容乃至于高等数学内容的基础,在整个高中数学数学中具有承上 启下作用。进入高中后不久,很多学生都感到不适应,面对许多学习障碍和挑战 不知所措,尤其是数学科表现得最为突出。 图形计算器作为一种专为学生学习数学、解决数学问题而设计的掌上电脑, 它不仅能够帮助学生学习数学知识、建立数学模型,并且使学生对数学概念及语 言的理解更加准确和深刻。 技术手段的运用也引起了数学结构和数学课程本身的 变化,更带来了教育观念上的深刻变化。图形计算器已经并将继续造成对传统教 学方式的挑战,这一挑战必将为数学的教与学注入新的活力。 ? ? ? ? 关键词:夯实基础 图形计算器 数形结合 必修一
? ? ? ? 数学是高考必考科目之一,其重要性不言而喻,学生对待数学的态度也比较

好.升入高中后,进入了一个新的学习阶段,很多学生都感到不适应,面对许多 学习障碍和挑战不知所措,尤其是数学科表现得最为突出,一学期下来,有的学 生对学习数学抱着一种“麻木”和“无所谓”的态度,甚至产生厌学情绪。 高一阶段是学习高中数学的关键时期。 对于高一新生而言, 在高一学好数学, 不仅能为高考打好基础,同时也有助于物理、化学等学科的学习。那么,面对着 全新的教材和学习环境,高一新生应如何学好数学呢?我想学好高一数学,同学 们应该转变观念,提高认识和改进学法。 传统的数学教育模式,是教师在前面讲授定义、公式和解题方法,学生在下 面听,记住老师所讲的基本解题技巧,背熟公式,并做大量的练习题,这种教学 模式的重要弊病就是忽视了对学生的创新能力、分析解决实际问题能力的培养。 同样传统的数学考试模式主要考察学生与解题相关的记忆能力、 计算能力和分析 能力等等,实际上很大程度上是在考察学生解数学题的能力,无法考察学生进入 社会参加工作所需的自己动手利用仪器解决问题的熟练程度的能力。 如今,教育者越来越清晰地认识到学生学习数学是一个不断地同化新知识、 构建新知识的过程,只有通过学生自身的操作活动和主动参与才是最有效的,也 只有通过学生自身的情感体验、 树立坚定的信心才可能是成功的。 随着现代科学、 信息技术的发展,计算器、计算机、多媒体技术在教育中的广泛应用为数学教育 创造了广阔的天地。特别是图形计算器进入数学课堂之后,更为学生主动去探索 数学,主动参与数学实验提供了良好的技术支持。本文利用 TI-Nspire CAS Student Software 图形计算器为例,介绍必修一函数和学习要点。 我们来看下函数的定义:设 A,B 是非空数集,如果按照某个确定的对应关 系 f ,使得对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一的数 f (x) 和它 对应,那么就称 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function),记作

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y = f ( x), x ∈ A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的

值对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ∈ A} 叫做函数的值域。 本身函数符号 y = f (x) 是学生难以理解的抽象符号之一, 加上函数的定义域 和值域是高考的热点,抽象,许多同学都搞不懂,老师说,分母不为 0,偶次根 式要大于等于,学生只是知道,但还是一头雾水。 在信息技术(TI)的环境下,将其形画出来,充分发挥图象直观的作用,使 函数在数与形方面结合得到更充分的表现, 使学生通过函数的学习更好地体会数 形结合这种重要的数学思想。从而降低难度

理解定义域、值域
第一类、分数式型的函数 1 我们以 f ( x) = 为例,其定义域为 {x | x ≠ 0},学生都知道,但究其原因便不 x 知道了,Ti 把函数的图作出来,定义域是 x 的取值范围,从图象看就一目了然 了。对于值域,在坐标系上寻找 y 的变化范围,也一清二楚。

图 1-1

图 1-2

再者以 f ( x) =

1 ,从图形是看定义域为 {x | x ≠ ?2},有了直观的图形,学生 x+2 们就去想原来分母是不能为 0 的,这样这类函数的定义域就清楚了,入脑了。两 个函数一对比学习, 值域没有发生变化, 图形进行了左右平移而已, 老师一点拨, 学生又多了一个收获。

第二类、根式型的函数 我们以 f ( x) = x , g ( x) = x + 2 为例

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图 1-3

图 1-4

图象显示 f ( x) = x 的定义域为 {x | x ≥ 0}, g ( x) = x + 2 的定义域为 {x | x ≥ ?2} , 有了直观的图形,学生们就去想原来分母是不能为 0 的,这样这类函数的定义域 就清楚了,入脑了。二次根式的定义域是要求根式里大于等于 0,这一类型的也 解决了。根据前门的学习方法,值域并不难。 再来一个双根式的巩固一下(课本 P19 页,练习 1 第 2 题) ,例如:函数
f ( x) = 1 ? x + x + 3 ? 1(见图像是 1-4,)显示定义域为 {x | ?3 ≤ x ≤ 1} 为什么是

这样呢?原来 x + 3 的定义域为 {x | x ≥ ?3}, 1 ? x 的定义域为 {x | x ≤ 1},两者 取交集 {x | x ≥ ?3 I x ≤ 1} = {x | ?3 ≤ x ≤ 1}。 最后把分式和根式的放在一起,例如 f ( x) =
1
x+2

,同学们经常会漏掉分

母不能为 0 的情况。有了 TI 图形(见图 1-5) ,演示或者让学生自己动手操作, 一放大可以看到是取不到 ? 2 的,学生们一下子就记住了。

图 1-5

图 1-6

理解绝对值 含绝对值的函数一个难点。学生比较不容易理解,常画不出正确的图形,我 们以课本例题 5 为例(见图 1-5) ,变式训练 f ( x) = x ? 2 (课本 P23 页第 3 题) 和 f ( x) = x + 1 ,这三个放在一起(见图 1-7) ,学生容易突围,也能理解图形变 换 f ( x)与f ( x ± a ) 左加右减,为以后三角函数打下基础。

76

图 1-7

图 1-8

基本初等函数
一、指数函数
?1? 课本以 y = ? ? 和y = 2 x 为例 (见图 1-8)来理解和概括指数函数的性质。 ?2? ?1? 我们再用 TI 图形计算器作出 y = ? ? 和y = 3 x , 四个函数图象放在一起学生归纳 ?3?
x x

出指数函数的性质: (1)所有的函数图象都过点(0,1) (2)所有的函数的定义域都是 (? ∞,+∞ ) ,值域都是 (0,+∞ ) (3)在图 1-9 中,当 0 < a < 1时 ,函数图像均呈下降趋势,即函数递减。当 a > 1 时函数图像均呈上升趋势,即函数递增。 我们利用游标技术作出图 1-10 和图 1-11,通过改变 a 的大小,认识指数函 数的变化规律,也能反映这个结论。学生顿时感觉豁然开朗。

图 1-9

图 1-10

图 1-11

77

二、对数函数 因为指数函数与对数函数是有相关联的,许多老师都是采用对比学习,我们 也让学生用同样的方法自己动手来研究对数函数的性质。

1 以 2 和 为底的对数 2
图 2-1 图 2-2

分别以 2,3 和 10 为底的对数为代表 1 < a (见图 2-3) 1 1 1 分别以 , 和 为底的对数为代表 0 < a < 1 (见图 2-4) 2 3 10

图 2-3

图 2-4

我们会发现: (1)底数互为倒数两对数的图象关于 x 轴对称; (2)当底数全大于 1 时,在 x = 1 的右侧,底数越大的图


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