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华东师大二附中2012届高三年级数学周练试卷(三)


华东师大二附中 2012 届高三年级数学周练试卷(三)
一. 填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1、方程组 ?

? 2x + y = 1 对应的增广矩阵为 ?3 x ? 2 y = 0

.

2、函数 y = sin x cos x + 3 的最小正周期为 3、已知 U = R ,集合 M = ? x |

. . . . .

? ?

2x ? 3 ? > 0 ? ,则 CR M = x+2 ?

4、若 y = sin(2 x + α ) + cos(2 x + α ) 为奇函数,则最小正数 α 的值为

5、设集合 A = x | x 4 ? 1 = 0, x ∈ C , z = 2 ? 3i ,若 x ∈ A ,则 x ? z 的最大值是 6、[文科]非负实数 x 、 y 满足 ?

{

}

?2 x + y ? 4 ≤ 0 ,则 x + 3 y 的最大值为 ?x + y ? 3 ≤ 0
.

[理科]在极坐标系中,圆 ρ=4 cos θ + 3 sin θ 的半径长是
n →∞

2 4 2n 7、若二项式 ( x + a ) 7 展开式中, x 5 项的系数是 7,则 lim(a + a + L + a ) =

.

8、若函数 f ( x ) = lg( x 2 ? ax ? 1) 在区间 (1,+∞) 上是增函数,则 a 的取值范围是__________. 9、已知 x 是 1,2,3, x ,5,6,7 这七个数据的中位数,且 1,3, x 2 , ? y 这四个数据 的平均数为 1,则 y ?

1 的最小值为 x



10、已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图 如右图所示,则该凸多面体的体积 V = .

11、已知抛物线 x 2 = 3 y 上的两点 A、B 的横坐标恰是方程

x 2 + px + q = 0 ( p, q 是实数)的两个实根,则直线 AB 的方程是
12.已知 A(1, 2 ),

__________.

B ( 3, 4 ) ,直线 l1 : x = 0, l2 : y = 0 和 l3 : x + 3 y ?1 = 0 . 设 Pi 是


li ( i = 1, 2, 3) 上与 A、 两点距离平方和最小的点, B 则△ P P2 P3 的面积是 1
13、设数列 {an } 是公差不为零的等差数列,前 n 项和为 Sn ,满足
2 2 2 2 a2 + a3 = a4 + a5 , S7 = 7 ,则使得

am ? am +1 为数列 {an } 中的项的所有正整数 m 的值 am + 2





1

14、已知 O 是 ?ABC 的外心, AB = 2 , AC = 3 , x + 2 y = 1 ,若 AO = x ? AB + y ? AC , ( xy ≠ 0) ,则 cos ∠BAC = .
二.选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

uuur

uuu r

uuur

15、 “直线 l 垂直于 ?ABC 的边 AB ,AC ” “直线 l 垂直于 ?ABC 的边 BC ” ( 是 的 (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 16、下列类比推理命题(其中 Q 为有理数集, R 为实数集, C 为复数集):

) .

①“若 a, b ∈ R ,则 a ? b = 0 ? a = b ”类比推出“若 a, b ∈ C ,则 a ? b = 0 ? a = b ”; ② “若 a, b, c, d ∈ R , 则复数 a + bi = c + di ? a = c, b = d ” 类比推出 “若 a, b, c, d ∈ Q , 则 a + b 2 = c + d 2 ? a = c, b = d ”; ③“若 a, b ∈ R ,则 a ? b > 0 ? a > b ”类比推出“若 a, b ∈ C ,则 a ? b > 0 ? a > b ”. 其中类比结论正确的个数是( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

1 0 1
17、以下向量中,能成为以行列式形式表示的直线方程 x (

2 1 = 0 的一个法向量的是 y 1 1 r r r r )(A) n = (1, ?2 ) (B) n = ( ?1, ?2 ) (C) n = ( 2,1) (D) n = ( ?2,1)
a + x2 ,(a > 0) ,x ∈ (0, b) , 则下列判断正确的是 ( x
) .

18、 [文科] 已知函数 f (x) =

(A)当 b > a 时, f (x) 的最小值为 2 a ; (B)当 0 < b ≤ a 时, f (x) 的最小值为 2 a ; (C)当 0 < b ≤ a 时, f (x) 的最小值为

a + b2 ; b

(D)对任意的 b > 0 , f (x) 的最小值均为 2 a .
[理科] 设函数 f ( x) =
2x ( x ∈ R) , 区间 M = [a, b] ,( a < b) , 集合 N = { y | y = f ( x), x ∈ M } , 1+ | x |

则使 M = N 成立的实数对 ( a , b ) 有( (A)3 对; (B)5 对;

).

(C)1 对;

D1
(D)无数对.

C1

三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各 题必须写出必要步骤. 19、(本题满分 12 分)
2

A1 P D

B1

C A B

[文科]已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面为菱形的直四棱柱,P 是棱 DD1 的中点,

∠BAD = 600 ,底面边长为 2,四棱柱的体积为 8 3 ,求异面直线 AD1 与 PB 所成的角
大小.(结果用反三角函数值表示) [理科]已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面为菱形的直四棱柱,

P 是棱 DD1 的中点, ∠BAD = 600 ,底面边长为 2,
若 PB 与平面 ADD1 A1 成 450 角,求点 A1 到平面 ACP 的距离. 第 19 题[文、理科]

20、(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分. 把水放在温度为 θ0 ℃的空气中冷却,若水原来的温度是 θ1 ℃ (θ1 > θ 0 ) , t 分钟后物 体温度 θ ℃可由公式 θ = θ 0 + (θ1 ? θ 0 )e ? kt 求得,其中, k 是由不同盛水的容器所确定的 正常量. (1)若室温为 20℃,往某容器中倒入 98℃的热水,一小时后测得水温为 71.2℃,求 k 的值;(精确到 0.001) (2)若一保温杯的 k = 0.01 ,往该保温杯中倒入 100℃的开水,经过 2.5 小时测得水温 为 40℃,求此时的室内温度(假设室内恒温,精确到 0.1℃). 21、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. ( [文科]已知平面向量 a = (sin(π ? x),1) , b = ( 3, cos x) ,函数 f ( x) = a ? b . (1)写出函数 f (x ) 的单调递减区间; (2)设 g ( x ) = f ( x ? 交点坐标. [理科] 已知平面向量 a = (sin(π ? 2 x),1) , b = ( 3, cos 2x) ,函数 f ( x) = a ? b . (1)写出函数 f (x ) 的单调递减区间;

π
6

) + 1 ,求直线 y = 2 与 y = g (x) 在闭区间 [0, π ] 上的图像的所有
ur

r

πn (2)设 g(x) = lim n , (0 < x < 2π) ,求函数 y = f ( x) 与 y = g (x) 图像的所有交 n →+∞ π + x n
点坐标. 22、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我 们将该弦称之为曲线的垂轴弦。 已知点 P ( x0 , y0 ) 、M ( m, n) 是圆锥曲线 C 上不与顶点重 y
3

M P O N F E x

合的任意两点, MN 是垂直于 x 轴的一条垂轴弦,直线 MP、NP 分别交 x 轴于点 E ( xE , 0) 和点 F ( xF , 0) 。 (1)试用 x0 , y0 , m, n 的代数式分别表示 xE 和 xF ; (2)若 C 的方程为 无关的定值; (3)请选定一条除椭圆外的圆锥曲线 C,试探究 xE 和 xF 经过某种四则运算(加、减、 乘、除),其结果是否是与 MN 和点 P 位置无关的定值,写出你的研究结论并证明。 (说明:对于第 3 题,将根据研究结论所体现的思维层次,给予两种不同层次的评分) 23、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 8 分. 定义:如果数列 { an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 { an } 为

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) (如图)求证: xE ? xF 是与 MN 和点 P 位置 a2 b2

“三角形”数列.对于“三角形”数列 { an } ,如果函数 y = f ( x) 使得 bn = f (an ) 仍为 一个“三角形”数列,则称 y = f ( x) 是数列 { an } 的“保三角形函数”, (n ∈ N*) .

(1)已知 {an } 是首项为 2, 公差为 1 的等差数列, f ( x) = k x , (k > 1) 是数列 { an } 的 若 “保 三角形函数”,求 k 的取值范围; 证明 {c n } 是“三角形”数列; (2)已知数列 {c n } 的首项为 2010, n 是数列 {c n } 的前 n 项和, S 且满足 4 Sn +1 ? 3Sn = 8040 ,

(3) [文科] 若 g ( x) = lg x 是(2)中数列 {c n } 的“保三角形函数”,问数列 {c n } 最多有多少 项. [理科] 根据“保三角形函数”的定义,对函数 h( x ) = ? x 2 + 2 x , x ∈ [1, A] ,和数列 1, 1+ d , 1 + 2d ,( d > 0 )提出一个正确的命题,并说明理由.

4


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