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吉林省长春外国语学校2015-2016学年高二上学期期中试题 数学(理)


长春外国语学校 2015-2016 学年度高二上学期期中考 试 理科数学 学科试卷
出题人:康乐 审题人:尹璐 宋志刚
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡,共 5 页。满分 150 分,考试用时 110 分钟。考试结束后,请将答题卡卷交回,试题卷自己保存。 2.答题前,请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用 0.5毫米黑色签字 笔填写在答题卡上。 3.作答非选择题必须用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置,在 其它位置作答一律无效。 4.保持答题卷清洁、完整,严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知椭圆的方程为 A. ?0,?5?, ?0,5? C. ? 2 6, 0 , 2 6, 0
x2 y2 ? ? 1 ,则该椭圆的焦点坐标为( 49 25



B. ?0,?7? , ?0,7?

?

? ?

?

D. 0,?2 6 , 0,2 6

?

? ?

?

2.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职员 90 人,现 抽取 30 人进行分层抽样,则各职称人数分别为( A. 5,10,15 B. 3,9,18 C. 3,10,17 ) D. 5,9,16 )

? 3.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是(

1 3 A. (- , ,-1) 2 2 1 C. ( ,1,1) 3

B. (-1,-3,2) D. ( 2 ,-3,-2 2 ) )条件

4.设命题 p : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 q : ?5 ? x ? 1 则命题 p 成立是命题 q 成立的( A. 充分不必要 4. B. 必要不充分 C. 充要

D. 既不充分也不必要 )

5.已知向量 a ? (0,2,1), b ? (?1,1,?2) ,则 a 与 b 的夹角为( A.90° B.45° C.0° D.180°

? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 6.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ? x ≤ 3. ?
A. 5 B. ?38 C. 10 D. 38



7.为保证树苗的质量, 林业管理部门在每年 3 月 12 日植树节前都对树苗进行检测, 现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度(单位长度:cm) ,其茎叶图如 下图所示,则下列描述正确的是( )

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐 甲 9 95310 1237 1 2 3 4 (第 7 题) 乙 040 67 0 4667

8.下边程序执行后输出的结果是(



A.19

B.28

C.10

D.37

9.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品, 一件次品的概率是( ) 1 1 2 A.1 B. C. D. 3 2 3 10.椭圆 x 2 ? my2 ? 1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则 m 的值为 ( A. )

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

11. 在正三棱柱 ABC? A1B1C1 中,若 AB ? 2BB1 ,则 AB1 与 BC1 所成的角的大小 ( )

A.90°

B.60° C.105° D.75° 2 x ? y 2 ? 1 上, F1 、 F 2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? , 12.若点 P 在椭圆 2 则 ?F1 PF2 的面积是( A. 2 B. 1 ) C.

3 2

D.

1 2

Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分)
2 2 13.对于语句 (1)?x ? Z , x ? 3 ; (2)?x ? R, x ? 2 ; (3)?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(4) ?x ? R, x 上)

2

? x ? 5 ? 0 ;其中正确的命题序号是

; (全部填

14.到两个定点 ?0, ?8?,(0, 8)的距离之和等于 24 的点的轨迹方程为___________;
x2 y2 ? ? 1 的右顶点到它的左焦点的距离为 15.椭圆 144 80



16.向平面区域 ( x, y) x ? 1, y ? 1 内随机投入一点,则该点落在区域

?

?

{( x, y) | x 2 ? y 2 ≤ 1} 内的概率等于

.

三、解答题(本题共 6 题,共 70 分,解答就写出文字说明) 17.(本题满分 10 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?
3 ,短轴长为 6 , 2

求椭圆的标准方程. 18.(本题满分 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生, 将其数学成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频 率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率 分布直方图; (2)求在这 60 名学生中分数在 ?60, 90 ? 的 人数.

第 18 19.(本题满分 12 分)在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 分别为 DD1 F题

和 BB1 的中点. (1)求证:四边形 AEC1 F 为平行四边形; (2)求直线 AA1 与平面 AEC1 F 所成角的正弦值.
A1

D1


B1

C1

E F C B

D

20.(本题满分 12 分)某种产品的广告费用支出 x

A

(千元)与销

?? 售额 y (10 万元)之间有如下对应数据: (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

2 i

(1)在下面直角坐标中画出散点图; (2)根据上表数据,用最小二乘法求出销售额 y 关于费用支出 x 的线性回归方程;
(参考值: 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 138 , 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 ? 145)
2 2 2 2 2

(3)当广告费用支出 1 万元时,预测一下该商品的销售额为多少万元?

x

2

4

5

6

8

y

3

4

6

5

7

21.(本题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中,

C1 A1

B1

1 , AC ? BC ? AA1 , D 是 棱 AA1 的 中 点 , D C 1 ? BD 2 AC ? BC .
(1)证明: DC1 ? BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

D C A B

22.(本题满分 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A1 (0,? 2 ) ,焦点在 x 轴上.若右焦点 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 3 (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 M (1,1) 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,且 M 点为线段 AB 的中点,求直 线 AB 的方程及 AB 的值.

长春外国语学校 2015-2016 学年度高二上学期期中考 试 理科数学 学科试卷答案
一、选择题(本题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分)

1 C

2 B

3 A

4 A

5 A

6 D

7 D

8 B

9 C

10 A

11 A

12 B

二、填空题(本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分)
13. (2)(3) ; 14.
y2 x2 ? ?1 144 80



15.

20



16.

? 4



四、解答题(本题共 6 题,共 70 分,解答就写出文字说明) 17.(本题满分 10 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?
x2 y2 ? ?1 或 求椭圆的方程。答案: 36 9 x2 y2 ? ?1 9 36

2 ,短轴长为 8 5 , 3

18.(本题满分 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生, 将其数学成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频 率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全 这个频率分布直方图;
90 ? 的 (2)求在这 60 名学生中分数在 ?60,

人数.答: (1)0.3

(2) 60 ? 0.7 ? 42
第 18 题图

19.(本题满分 12 分) 19.(本题满分 12 分) 在棱长为 a 的 正方体 ABCD? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 和 BB1 的 中点. (1)求证:四边形 AEC1 F 为平行四边形; (2)求直线 AA1 与平面 AEC1 F 所成角的正弦值.
6 答案:(2) 3
D A1 E F C B D1 C1

B1

A

20. (本题满分 12 分) 某种产品的广告费用支出 x(千元) 与 销 售 额 y ( 10 万 元 ) 之 间 有 如 右 侧 对 应 数 据 :( 参 考 公 式 :

?? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

2 i

(1)在右面直角坐标中画出散点图; (2)根据上表数据,用最小二乘法求出销售额 y 关于费用支出 x 的线性回归方程;
(参考值: 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 138 , 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 ? 145)
2 2 2 2 2

(3)当广告费用支出 1 万元时,预测一下该商品的销售额为多少万元?

x

2

y

3

(2)

x ? y ?5 由公式: ? ? 138? 5 ? 5 ? 5 ? 0.65 b 145? 5 ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 5 ? 0.65 ? 1.75 a ? ? 0.65x ? 1.75 y

由单位换算可知, x ? 10, 代入( 2)中
(3) 有:y ? 0.65?10 ? 1.75 ? 8.25(10万元)

单位换算,得 82.(万元) 5
21.(本题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
C1 A1 B1

1 , AC ? BC ? AA1 , D 是 棱 AA1 的 中 点 , D C 1 ? BD 2 AC ? BC .
(1)证明: DC1 ? BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

D C A B

22.(本题满分 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A1 (0,? 2 ) ,焦点在 x 轴上.若右焦点 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 3 (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 M (1,1) 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,且 M 点为线段 AB 的中点,求直 线 AB 的方程及 AB 的值.

x2 y 答案: (1)依题意可设椭圆方程为 2 ? ? 1 ,则右焦点 F( a2 ? 2,0 )由题设 a 2
a2 ? 2 ? 2 2 2 ?3
解得 a ? 4
2

2

故所求椭圆的方程为

x2 y ? ?1. 4 2

2

(2)点差法或联立方程组法

AB:x + 2y -3 = 0

| AB | =

30 3


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