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平行的判定与性质(提高题,含详细解答)


平行的判定与性质
一.选择题(共 7 小题) 1. (2014?长春)如图,直线 a 与直线 b 交于点 A,与直线 c 交于点 B,∠ 1=120°,∠ 2=45°,若使直线 b 与直线 c 平 行,则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转( )

A 15° .

B 30° .

C 45° .

D 60° . )

2. (2013?永州)如图,下列条件中能判定直线 l1∥ l2 的是(

1=∠ 2 A ∠ .

1=∠ 5 B ∠ .

1+∠ 3=180° C ∠ .

3=∠ 5 D ∠ . )

3. (2013?抚顺)如图,直线 l1、l2 被直线 l3、l4 所截,下列条件中,不能判断直线 l1∥ l2 的是(

1=∠ 3 A ∠ .

5=∠ 4 B ∠ .

5+∠ 3=180° C ∠ .

4+∠ 2=180° D ∠ .

4. (2007?绍兴)学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张 半透明的纸得到的(如图(1)~(4) ) ,从图中可知,小敏画平行线的依据有( ) ① 两直线平行,同位角相等; ② 两直线平行,内错角相等; ③ 同位角相等,两直线平行; ④ 内错角相等,两直线平行.

② A ① .

③ B ② .

④ C ③ .

④ D ① . )

5. (2006?苏州)如图,给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法,其依据是(

A . C .

同位角相等, 两直线平行 同旁内角互 补,两直线平 行

B . D .

内错角相等, 两直线平行 两直线平行, 同位角相等

6. (2006?宜昌)如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段 AB、AC、AE、ED、 EC 中,相互平行的线段有( )

A 4组 .

B 3组 .

C 2组 .

D 1组 . )

7. (2003?河北)某人在广场上练习驾驶汽车, 两次拐弯后,行驶方向与原来相同, 这两次拐弯的角度可能是 ( A 第一次左拐 . 30°,第二次 右拐 30° B 第一次右拐 . 50°,第二次 左拐 130° C 第一次右拐 . 50°,第二次 右拐 130° D 第一次向左 . 拐 50°,第二 次向左拐 120° 二.填空题(共 2 小题)

8. (2010?大田县)如图所示,已知∠ C=100°,若增加一个条件,使得 AB∥ CD,试写出符合要求的一个条件 _________ .

9.如图,∠ 1=120°,∠ 2=60°,∠ 3=100°,则∠ 4= _________ 时,AB∥ EF.

三.解答题(共 21 小题) 10. (2013?邵阳)将一副三角板拼成如图所示的图形,过点 C 作 CF 平分∠ DCE 交 DE 于点 F. (1)求证:CF∥ AB; (2)求∠ DFC 的度数.

11.如图,是一个防盗窗棂的示意图,如果测得∠ 1=60°,∠ 2=60°,∠ 3=60°,能否断定 AB∥ CD,已知条件够不够?如 不够,需要再补充一个什么条件?

12.如图,已知∠ B=30°,∠ BCD=55°,∠ CDE=45°,∠ E=20°,求证:AB∥ CD.

13.如图,若∠ ABC+∠ CDE﹣∠ C=180°,试证明:AB∥ DE.

14.如图,四边形 ABCD 中,∠ A=∠ C=90°,BE 平分∠ ABC,DF 平分∠ ADC,则 BE 与 DF 有何位置关系?试说明理 由.

15.小明在学习三角形知识时,发现如下三个有趣的结论:在 Rt△ ABC 中,∠ A=90°,BD 平分∠ ABC,M 为直线 AC 上一点,ME⊥ BC,垂足为 E,∠ AME 的平分线交直线 AB 于点 F.

(1)如图① ,M 为边 AC 上一点,则 BD、MF 的位置关系是 _________ ; 如图② ,M 为边 AC 反向延长线上一点,则 BD、MF 的位置关系是 _________ ; 如图③ ,M 为边 AC 延长线上一点,则 BD、MF 的位置关系是 _________ ; (2)请就图① 、图② 、或图③ 中的一种情况,给出证明.我选图 _________ 来证明. 16.如图,已知∠ 1=∠ 2,∠ MAE=45°,∠ FEG=15°,∠ NCE=75°,EG 平分∠ AEC, 求证:AB∥ EF∥ CD.

17.四边形 ABCD 中,∠ B=∠ D=90°,∠ BAD 和∠ BCD 的内(或外)角平分线分别为 AE 和 CF. (1)当 AE,CF 都为内角平分线时,不难证明 AE∥ CF.过程如下: (如图 1) ∵ ∠ BAD+∠ BCD=∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°﹣(∠ B+∠ D) .而∠ B=∠ D=90°.∠ 1=∠ 2,3=∠ 4, ∴ 2(∠ 2+∠ 4)=360°﹣180°=180° 则∠ 2+∠ 4=90° 又∵ ∠ B=90°∴ ,2+∠ 5=90°,则∠ 4=∠ 5.∴ AE∥ CF. (2)当 AE,CF 时都为角平分线时(如图 2) ,AE 与 CF 位置关系怎样?给出证明. (3)当 AE 是内角平分线,CF 是外角平分线时(如图 3) ,请你探索 AE 与 CF 的位置关系,并给出证明.

18.如图,直线 AB 和 CD 被直线 MN 所截. (1)如图① ,EG 平分∠ BEF,FH 平分∠ DFE(平分的是一对同旁内角) ,则∠ 1 与∠ 2 满足 _________ 时,AB∥ CD. (2)如图② ,EG 平分∠ MEB,FH 平分∠ DFE(平分的是一对同位角) ,则∠ 1 与∠ 2 满足 _________ 时,AB∥ CD. (3) 如图③ ,EG 平分∠ AEF,FH 平分∠ DFE(平分的是一对内错角) , 则∠ 1 与∠ 2 满足什么条件时, AB∥ CD.为什么?

19. (2012?犍为县模拟)如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠ A 是 105 度, 第二次拐的角∠ B 是 135 度,第三次拐的角是∠ C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠ C 应为多少 度?

20. (2007?福州)如图,直线 AC∥ BD,连接 AB,直线 AC、BD 及线段 AB 把平面分成① 、② 、③ 、④ 四个部分,规 定:线上各点不属于任何部分.当动点 P 落在某个部分时,连接 PA,PB,构成∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 三个角. (提 示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°角) (1)当动点 P 落在第① 部分时,求证:∠ APB=∠ PAC+∠ PBD; (2)当动点 P 落在第② 部分时,∠ APB=∠ PAC+∠ PBD 是否成立?(直接回答成立或不成立) (3)当动点 P 落在第③ 部分时,全面探究∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 之间的关系,并写出动点 P 的具体位置和相应的结 论.选择其中一种结论加以证明.

21.已知 AB∥ CD,探究下列几种情况:

(1)如图 1,若∠ EAF= ∠ EAB,∠ ECF= (2)如图 2,若∠ EAF= (3)若∠ AFC= 示,不证明) . EAB,∠ ECF=

ECD,求证:∠ AFC= ECD,求证:∠ AFC=

AEC; AEC;

EAB,∠ ECF=

ECD,则∠ AFC 与∠ AEC 的数量关系是 _________ (用含有 n 的代数式表

22.如图所示,AB∥ CD,在 AB 与 CD 之间有 P1、P2、P3 三点,顺次连接 B、P1、P2、P3、D. (1)分别写出图甲、图乙中的∠ B、P1、P2、P3、∠ D 之间的关系,这个关系与 B、D 之间的点的个数有关吗?如果 有,写出这个规律; (2)如果在图甲、图乙中,B、D 之间的点变为 P1、P2、P3、…、Pn,根据在(1)中的结论,直接写出图甲、图乙 中的∠ B、P1、P2、P3、∠ D 之间的关系.

23.如图,AB∥ CD,直线 a 交 AB、CD 分别于点 E、F,点 M 在 EF 上,p 是直线 CD 上的一个动点, (点 P 不与 F 重合)

(1)当点 P 在射线 FC 上移动时,如图(1) ,∠ FMP+∠ FPM=∠ AEF 成立吗?请说明理由. (2)当点 P 在射线 FD 上移动时,如图(2) ,∠ FMP+∠ FPM 与∠ AEF 有什么关系?说明你的理由. 24.将一条两边沿互相平行的纸带如图折叠. (1)若∠ 1=36°,则∠ 2= _________ ; (2)当∠ 1:∠ 2=2:3,求出∠ 2 的度数. (根据教科书八上,P21,12 题改编)

25.如图,已知 AB∥ CD,BE 平分∠ ABC,DE 平分∠ ADC,∠ BAD=80°,试求: (1)∠ EDC 的度数; (2)若∠ BCD=n°,试求∠ BED 的度数.

26.如图,已知 l1∥ l2,MN 分别和直线 l1、l2 交于点 A、B,ME 分别和直线 l1、l2 交于点 C、D,点 P 在 MN 上(P 点与 A、B、M 三点不重合) . (1)如果点 P 在 A、B 两点之间运动时,∠ α、∠ β、∠ γ 之间有何数量关系请说明理由; (2)如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时,∠ α、∠ β、∠ γ 有何数量关系(只须写出结论) .

27.已知一角的两边与另一个角的两边平行,分别结合下图,试探索这两个角之间的关系,并证明你的结论. (1)AB∥ EF,BC∥ DE.∠ 1 与∠ 2 的关系是: _________ .

(2)AB∥ EF,BC∥ DE.∠ 1 与∠ 2 的关系是: _________ .

(3)经过上述证明,我们可以得到一个真命题:如果 _________ ,那么 _________ . (4)若两个角的两边互相平行,且一个角比另一个角的 2 倍少 30°,则这两个角分别是多少度? 28.如图,已知∠ ABC=30°,∠ BAD=∠ EBC,AD 交 BE 于 F. (1)求∠ BFD 的度数; (2)若 EG∥ AD,EH⊥ BE,求∠ HEG 的度数.

29.如图,已知 DE⊥ AC 于点 E,BC⊥ AC 于点 C,FG⊥ AB 于点 G,∠ 1=∠ 2,求证:CD⊥ AB.

30.如图所示是甲、乙二人在△ ABC 中的行进路线,甲:B→D→F→E;乙:B→C→E→D.已知∠ 1+∠ 2=180°,∠ 3=∠ B. (1)试判断∠ AED 与∠ ACB 的大小关系,并说明理由; (2)有哪些路线是平行的?

平行的判定与性质
参考答案与试题解析
一.选择题(共 7 小题) 1. (2014?长春)如图,直线 a 与直线 b 交于点 A,与直线 c 交于点 B,∠ 1=120°,∠ 2=45°,若使直线 b 与直线 c 平 行,则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转( )

A 15° .

B 30° .

C 45° .

D 60° .

考点: 平行线的判定. 专题: 几何图形问题. 分析: 先根据邻补角的定义得到∠ 3=60°,根据平行线的判定当 b 与 a 的夹角为 45°时,b∥ c,由此得到直线 b 绕点 A 逆时针旋转 60°﹣45°=15°. 解答: 解:∵ ∠ 1=120°, ∴ ∠ 3=60°, ∵ ∠ 2=45°, ∴ 当∠ 3=∠ 2=45°时,b∥ c, ∴ 直线 b 绕点 A 逆时针旋转 60°﹣45°=15°. 故选:A.
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点评: 本题考查了平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补, 两直线平行;两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行. 2. (2013?永州)如图,下列条件中能判定直线 l1∥ l2 的是( )

1=∠ 2 A ∠ . 考点:

1=∠ 5 B ∠ . 平行线的判定.

1+∠ 3=180° C ∠ .

3=∠ 5 D ∠ .

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分析: 平行线的判定定理有:① 同位角相等,两直线平行;② 内错角相等,两直线平行;③ 同旁内角互补, 两直线平行. 根据以上内容判断即可. 解答: 解:A、根据∠ 1=∠ 2 不能推出 l1∥ l2,故 A 选项错误; B、∵ ∠ 5=∠ 3,∠ 1=∠ 5, ∴ ∠ 1=∠ 3, 即根据∠ 1=∠ 5 不能推出 l1∥ l2,故 B 选项错误; C、∵ ∠ 1+∠ 3=180°, ∴ l1∥ l2,故 C 选项正确; D、根据∠ 3=∠ 5 不能推出 l1∥ l2,故 D 选项错误; 故选:C. 点评: 本题考查了平行线的判定的应用,注意:平行线的判定定理有:① 同位角相等,两直线平行;② 内错 角相等,两直线平行;③ 同旁内角互补,两直线平行. 3. (2013?抚顺)如图,直线 l1、l2 被直线 l3、l4 所截,下列条件中,不能判断直线 l1∥ l2 的是( )

1=∠ 3 A ∠ .

5=∠ 4 B ∠ .

5+∠ 3=180° C ∠ .

4+∠ 2=180° D ∠ .

考点: 平行线的判定. 分析: 依据平行线的判定定理即可判断. 解答: 解:A、已知∠ 1=∠ 3,根据内错角相等,两直线平行可以判断,故命题正确; B、不能判断; C、同旁内角互补,两直线平行,可以判断,故命题正确; D、同旁内角互补,两直线平行,可以判断,故命题正确. 故选 B. 点评: 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系 的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.
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4. (2007?绍兴)学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张 半透明的纸得到的(如图(1)~(4) ) ,从图中可知,小敏画平行线的依据有( ) ① 两直线平行,同位角相等; ② 两直线平行,内错角相等; ③ 同位角相等,两直线平行; ④ 内错角相等,两直线平行.

② A ①

③ B ②

④ C ③

④ D ①









考点: 平行线的判定. 专题: 操作型. 分析: 解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,故过点 P 所折折痕与虚线垂直. 解答: 解:由作图过程可知,∠ 1=∠ 2,为内错角相等;∠ 1=∠ 4,为同位角相等; 可知小敏画平行线的依据有:③ 同位角相等,两直线平行;④ 内错角相等,两直线平行.
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故选:C. 点评: 此题主要考查了平行线的判定,用到的知识点为:平行线的判定定理等知识.理解折叠的过程是解 决问题的关键. 5. (2006?苏州)如图,给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法,其依据是( )

A . C .

同位角相等, 两直线平行 同旁内角互 补,两直线平 行

B . D .

内错角相等, 两直线平行 两直线平行, 同位角相等

考点: 平行线的判定. 专题: 作图题. 分析: 作图时保持∠ 1=∠ 2,则可判定两直线平行. 解答: 解:∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ a∥ b(同位角相等,两直线平行) . 故选 A. 点评: 本题主要考查了平行线的判定.平行线的判定方法有: (1)定理 1:同位角相等,两直线平行; (2)定理 2:内错角相等,两直线平行; (3)定理 3:同旁内角互补,两直线平行; (4)定理 4:两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行; (5)定理 5:在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
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6. (2006?宜昌)如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段 AB、AC、AE、ED、 EC 中,相互平行的线段有( )

A 4组 .

B 3组 .

C 2组 .

D 1组 .

考点: 平行线的判定. 分析: 在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内 角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线. 解答: 解:∠ B=∠ DCE,则 AB∥ EC(同位角相等,两直线平行) ; ∠ BCA=∠ CAE,则 AE∥ BC(内错角相等,两直线平行) ; 则 AE∥ CD, ∠ ACE=∠ DEC,则 AC∥ DE(内错角相等,两直线平行) . 则线段 AB、AC、AE、ED、EC 中,相互平行的线段有:AB∥ EC,AC∥ DE 共 2 组. 故选 C.
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点评: 本题是考查平行线的判定的基础题,比较容易.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推 出两被截直线平行. 7. (2003?河北)某人在广场上练习驾驶汽车, 两次拐弯后,行驶方向与原来相同, 这两次拐弯的角度可能是 ( A 第一次左拐 . 30°,第二次 右拐 30° B 第一次右拐 . 50°,第二次 左拐 130° C 第一次右拐 . 50°,第二次 右拐 130° D 第一次向左 . 拐 50°,第二 次向左拐 120° )

考点: 平行线的判定. 专题: 应用题. 分析: 两次拐弯后,行驶方向与原来相同,说明两次拐弯后的方向是平行的.对题中的四个选项提供的条 件,运用平行线的判定进行判断,能判定两直线平行者即为正确答案. 解答: 解:如图所示(实线为行驶路线) :
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A 符合“同位角相等,两直线平行”的判定,其余均不符合平行线的判定. 故选 A. 点评: 本题考查平行线的判定,熟记定理是解决问题的关键. 二.填空题(共 2 小题) 8. (2010?大田县) 如图所示, 已知∠ C=100°, 若增加一个条件, 使得 AB∥ CD, 试写出符合要求的一个条件 ∠ BEC=80° 等,答案不是唯一 .

考点: 平行线的判定. 专题: 开放型. 分析: 欲证 AB∥ CD,在图中发现 AB、CD 被一直线所截,且已知一同旁内角∠ C=100°,故可按同旁内角互 补两直线平行补充条件. 解答: 解:∵ ∠ 1=100°, 要使 AB∥ CD, 则要∠ BEC=180°﹣100°=80°(同旁内角互补两直线平行) . 点评: 解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.本题是一道探索性条 件开放性题目,能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力.
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9.如图,∠ 1=120°,∠ 2=60°,∠ 3=100°,则∠ 4= 100° 时,AB∥ EF.

考点: 平行线的判定与性质. 分析: 当∠ 4=100°时,AB∥ EF,首先证明 DC∥ EF,再证明 AB∥ CD,进而得到 AB∥ EF. 解答: 解:当∠ 4=100°时,AB∥ EF; 理由:∵ ∠ 3=100°,∠ 4=100°, ∴ DC∥ EF, ∵ ∠ 1=120°, ∴ ∠ 5=60°, ∵ ∠ 2=60°, ∴ AB∥ CD, ∴ AB∥ EF.
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点评: 此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位 置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系. 三.解答题(共 21 小题) 10. (2013?邵阳)将一副三角板拼成如图所示的图形,过点 C 作 CF 平分∠ DCE 交 DE 于点 F. (1)求证:CF∥ AB; (2)求∠ DFC 的度数.

考点: 平行线的判定;角平分线的定义;三角形内角和定理. 专题: 证明题. 分析: (1)首先根据角平分线的性质可得∠ 1=45°,再有∠ 3=45°,再根据内错角相等两直线平行可判定出 AB∥ CF; (2)利用三角形内角和定理进行计算即可. 解答: (1)证明:∵ CF 平分∠ DCE,
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∴ ∠ 1=∠ 2= ∠ DCE, ∵ ∠ DCE=90°, ∴ ∠ 1=45°, ∵ ∠ 3=45°, ∴ ∠ 1=∠ 3, ∴ AB∥ CF(内错角相等,两直线平行) ; (2)∵ ∠ D=30°,∠ 1=45°, ∴ ∠ DFC=180°﹣30°﹣45°=105°. 点评: 此题主要考查了平行线的判定,以及三角形内角和定理,关键是掌握内错角相等,两直线平行. 11.如图,是一个防盗窗棂的示意图,如果测得∠ 1=60°,∠ 2=60°,∠ 3=60°,能否断定 AB∥ CD,已知条件够不够?如 不够,需要再补充一个什么条件?

考点: 平行线的判定. 专题: 常规题型. 分析: 根据平行线的判定方法由∠ 1=60°,∠ 2=60°,∠ 3=60°不能断定 AB∥ CD,当补充 BA=BC 时,则 ∠ BAC=∠ 3=60°=∠ 2,于是可根据内错角相等,两直线平行得到 AB∥ CD. 解答: 解:不能判断 AB∥ CD,可以补充 BA=BC. ∵ BA=BC,
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∴ ∠ BAC=∠ 3=60°, 而∠ 2=60°, ∴ ∠ BAC=∠ 2, ∴ AB∥ CD. 点评: 本题考查了平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补, 两直线平行. 12.如图,已知∠ B=30°,∠ BCD=55°,∠ CDE=45°,∠ E=20°,求证:AB∥ CD.

考点: 平行线的判定. 专题: 证明题. 分析: 作 CM∥ AB, DN∥ EF, 根据平行线的性质得∠ 1=∠ B=30°, ∠ 4=∠ E=20°, 则∠ 2=∠ BCD﹣∠ 1=25°, ∠ 3=∠ CDE ﹣∠ 4=25°,即∠ 2=∠ 3,根据平行线的判定得到 CM∥ DN,然后利用平行线的传递性得到 AB∥ EF. 解答: 解:作 CM∥ AB,DN∥ EF,如图, ∴ ∠ 1=∠ B=30°,∠ 4=∠ E=20°, ∴ ∠ 2=∠ BCD﹣∠ 1=45°﹣25°=25°, ∠ 3=∠ CDE﹣∠ 4=30°﹣10°=25°, ∴ ∠ 2=∠ 3, ∴ CM∥ DN, ∴ AB∥ EF.
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点评: 关键.

本题考查了平行线的判定:内错角相等,两直线平行.也考查了平行线的性质,熟记定义是解题的

13.如图,若∠ ABC+∠ CDE﹣∠ C=180°,试证明:AB∥ DE.

考点: 专题:

平行线的判定. 证明题.

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分析: 延长 ED 交 BC 于 F, 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ CFD=∠ CDE﹣∠ C, 再根据邻补角的定义表示出∠ BFD,再根据内错角相等,两直线平行证明即可. 解答: 解:如图,延长 ED 交 BC 于 F, 由三角形的外角性质得,∠ CFD=∠ CDE﹣∠ C, 所以,∠ BFD=180°﹣∠ CFD=180°﹣(∠ CDE﹣∠ C) , ∵ ∠ ABC+∠ CDE﹣∠ C=180°, ∴ ∠ ABC=180°﹣(CDE﹣∠ C) , ∴ ∠ ABC=∠ BFD, ∴ AB∥ DE.

点评: 本题考查了平行线的判定,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,邻补角的定 义,熟记性质并作辅助线是解题的关键. 14.如图,四边形 ABCD 中,∠ A=∠ C=90°,BE 平分∠ ABC,DF 平分∠ ADC,则 BE 与 DF 有何位置关系?试说明理 由.

考点: 平行线的判定;角平分线的定义. 专题: 探究型. 分析: 根据四边形的内角和定理和∠ A=∠ C=90°,得∠ ABC+∠ ADC=180°;根据角平分线定义、等角的余角相 等易证明和 BE 与 DF 两条直线有关的一对同位角相等,从而证明两条直线平行. 解答: 解:BE∥ DF.理由如下: ∵ ∠ A=∠ C=90°(已知) , ∴ ∠ ABC+∠ ADC=180°(四边形的内角和等于 360°) . ∵ BE 平分∠ ABC,DF 平分∠ ADC,
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∴ ∠ 1=∠ 2= ∠ ABC,∠ 3=∠ 4= ∠ ADC(角平分线的定义) . ∴ ∠ 1+∠ 3= (∠ ABC+∠ ADC)= ×180°=90°(等式的性质) . 又∠ 1+∠ AEB=90°(三角形的内角和等于 180°) , ∴ ∠ 3=∠ AEB(等量代换) . ∴ BE∥ DF(同位角相等,两直线平行) . 点评: 此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定,难度中等. 15.小明在学习三角形知识时,发现如下三个有趣的结论:在 Rt△ ABC 中,∠ A=90°,BD 平分∠ ABC,M 为直线 AC 上一点,ME⊥ BC,垂足为 E,∠ AME 的平分线交直线 AB 于点 F.

(1)如图① ,M 为边 AC 上一点,则 BD、MF 的位置关系是 平行 ; 如图② ,M 为边 AC 反向延长线上一点,则 BD、MF 的位置关系是 垂直 ; 如图③ ,M 为边 AC 延长线上一点,则 BD、MF 的位置关系是 垂直 ; (2)请就图① 、图② 、或图③ 中的一种情况,给出证明.我选图 ① 来证明. 考点: 平行线的判定;垂线. 分析: (1)① 根据∠ A=90°,ME⊥ BC,得∠ CME=∠ ABC,则∠ ABC+∠ AME=180°,再由 BD 平分∠ ABC,MF 平分∠ AME,可得∠ AMF+∠ ABD=90°,∠ AFM=∠ ABD,则 BD∥ FM; ② 根据三角形全等可证明; ③ 根据三角形的内角和定理可得出垂直; (2)根据① ,利用同位角相等证明即可. 解答: 解: (1)① BD∥ FM; ② BD⊥ FM; ③ BD⊥ FM; (2)选择① 证明: ∵ ∠ A=90°,ME⊥ BC, ∴ ∠ A=∠ CEM, ∴ ∠ CME=∠ ABC, ∴ ∠ ABC+∠ AME=180°(三角形的内角和等于 180°) , ∵ BD 平分∠ ABC,MF 平分∠ AME, ∴ ∠ AMF+∠ ABD=90°, ∴ ∠ AFM=∠ ABD, ∴ BD∥ FM(同位角相等,两直线平行) . 点评: 本题考查了平行线的判定以及垂线的判定,是基础知识要熟练掌握.
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16.如图,已知∠ 1=∠ 2,∠ MAE=45°,∠ FEG=15°,∠ NCE=75°,EG 平分∠ AEC, 求证:AB∥ EF∥ CD.

考点: 平行线的判定. 专题: 证明题. 分析: 首先根据平行线的判定得出 AB∥ EF,进而利用已知角度之间的关系得出∠ FEC=∠ ECN,进而得出 EF∥ CD,即可得出答案. 解答: 证明:∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ AB∥ EF(同位角相等,两直线平行) ,
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∴ ∠ MAE=∠ AEF=45°, ∵ ∠ FEG=15°, ∴ ∠ AEG=60°, ∴ ∠ GEC=60°, ∴ ∠ FEC=∠ FEG+∠ GEC=75°, ∵ ∠ NCE=75°, ∴ ∠ FEC=∠ ECN, ∴ EF∥ CD, ∴ AB∥ EF∥ CD. 点评: 此题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质得出∠ FEC=∠ ECN 是解题关键. 17.四边形 ABCD 中,∠ B=∠ D=90°,∠ BAD 和∠ BCD 的内(或外)角平分线分别为 AE 和 CF. (1)当 AE,CF 都为内角平分线时,不难证明 AE∥ CF.过程如下: (如图 1) ∵ ∠ BAD+∠ BCD=∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°﹣(∠ B+∠ D) .而∠ B=∠ D=90°.∠ 1=∠ 2,3=∠ 4, ∴ 2(∠ 2+∠ 4)=360°﹣180°=180° 则∠ 2+∠ 4=90° 又∵ ∠ B=90°∴ ,2+∠ 5=90°,则∠ 4=∠ 5.∴ AE∥ CF. (2)当 AE,CF 时都为角平分线时(如图 2) ,AE 与 CF 位置关系怎样?给出证明. (3)当 AE 是内角平分线,CF 是外角平分线时(如图 3) ,请你探索 AE 与 CF 的位置关系,并给出证明.

考点: 专题: 分析:

平行线的判定;垂线. 探究型. (2)作 DP∥ AE,如图 2,根据四边形内角和为 360°得∠ BAD+∠ BCD=180°,则根据邻补角的定义得
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到∠ GAD+∠ BCH=180°,再根据角平分线先定义得∠ 1= ∠ GAD,∠ 4= ∠ BCH,所以∠ 1+∠ 4=90°,由 PD∥ AE 得到∠ 1=∠ 2, 而∠ 2+∠ 3=90°,则∠ 1+∠ 3=90°,理由等量代换得∠ 3=∠ 4,所以 PD∥ CF,于是得到 AE∥ CF; (3)如图 3,根据四边形内角和为 360°得∠ BAD+∠ BCD=180°,则∠ BAD=∠ BCE,再由 AE,CF 时都为角平分线得 ∠ 1= ∠ BAD,∠ 2= ∠ BCE,则∠ 1=∠ 2,根据三角形内角和定理得∠ 5=∠ B=90°,则 AE⊥ CF. 解答: 解: (2)AE∥ CF.理由如下: 作 DP∥ AE,如图 2, ∵ 四边形 ABCD 中,∠ B=∠ D=90°, ∴ ∠ BAD+∠ BCD=180°, ∴ ∠ GAD+∠ BCH=180°, ∵ AE,CF 时都为角平分线, ∴ ∠ 1= ∠ GAD,∠ 4= ∠ BCH, ∴ ∠ 1+∠ 4=90°, ∵ PD∥ AE, ∴ ∠ 1=∠ 2,

而∠ 2+∠ 3=90°, ∴ ∠ 1+∠ 3=90°, ∴ ∠ 3=∠ 4, ∴ PD∥ CF, ∴ AE∥ CF; (3)AE⊥ CF.理由如下: 如图 3, ∵ 四边形 ABCD 中,∠ B=∠ D=90°, ∴ ∠ BAD+∠ BCD=180°, ∴ ∠ BAD=∠ BCE, ∵ AE,CF 时都为角平分线, ∴ ∠ 1= ∠ BAD,∠ 2= ∠ BCE, ∴ ∠ 1=∠ 2, 而∠ 3=∠ 4, ∴ ∠ 5=∠ B=90°, ∴ AE⊥ CF.

点评: 本题考查了平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行.也考查了四边形 的内角和和垂线. 18.如图,直线 AB 和 CD 被直线 MN 所截. (1)如图① ,EG 平分∠ BEF,FH 平分∠ DFE(平分的是一对同旁内角) ,则∠ 1 与∠ 2 满足 ∠ 1+∠ 2=90° 时,AB∥ CD. (2)如图② ,EG 平分∠ MEB,FH 平分∠ DFE(平分的是一对同位角) ,则∠ 1 与∠ 2 满足 ∠ 1=∠ 2 时,AB∥ CD. (3) 如图③ ,EG 平分∠ AEF,FH 平分∠ DFE(平分的是一对内错角) , 则∠ 1 与∠ 2 满足什么条件时, AB∥ CD.为什么?

考点: 平行线的判定. 分析: (1)根据角平分线定义得出∠ BEF=2∠ 1,∠ DFE=2∠ 2,求出∠ BEF+∠ DFE=180°,根据平行线的判定推 出即可. (2)根据角平分线定义得出∠ BEM=2∠ 1,∠ DFE=2∠ 2,求出∠ BEM=∠ DFE,根据平行线的判定推出即可. (3)根据角平分线定义得出∠ AEF=2∠ 1,∠ DFE=2∠ 2,求出∠ AEF=∠ DFE,根据平行线的判定推出即可. 解答: 解: (1)∠ 1+∠ 2=90°时,AB∥ CD, 理由是:EG 平分∠ BEF,FH 平分∠ DFE, ∴ ∠ BEF=2∠ 1,∠ DFE=2∠ 2,
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∵ ∠ 1+∠ 2=90°, ∴ ∠ BEF+∠ DFE=180°, ∴ AB∥ CD, 故答案为:∠ 1+∠ 2=90°. (2)∠ 1=∠ 2, 理由是:EG 平分∠ BEM,FH 平分∠ DFE, ∴ ∠ BEM=2∠ 1,∠ DFE=2∠ 2, ∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ ∠ BEM=∠ DFE, ∴ AB∥ CD, 故答案为:∠ 1=∠ 2. (3)∠ 1=∠ 2, 理由是:EG 平分∠ AEF,FH 平分∠ DFE, ∴ ∠ AEF=2∠ 1,∠ DFE=2∠ 2, ∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ ∠ AEF=∠ DFE, ∴ AB∥ CD. 点评: 本题考查了平行线的判定,角平分线定义的应用,注意:平行线的判定是:① 同位角相等,两直线 平行,② 内错角相等,两直线平行,③ 同旁内角互补,两直线平行. 19. (2012?犍为县模拟)如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠ A 是 105 度, 第二次拐的角∠ B 是 135 度,第三次拐的角是∠ C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠ C 应为多少 度?

考点: 平行线的性质. 专题: 应用题. 分析: 过点 B 作直线 BE∥ CD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答. 解答: 解:过点 B 作直线 BE∥ CD. ∵ CD∥ AF, ∴ BE∥ CD∥ AF. ∴ ∠ A=∠ ABE=105°. ∴ ∠ CBE=∠ ABC﹣∠ ABE=30°. 又∵ BE∥ CD, ∴ ∠ CBE+∠ C=180°. ∴ ∠ C=150°.
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点评:

此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.

20. (2007?福州)如图,直线 AC∥ BD,连接 AB,直线 AC、BD 及线段 AB 把平面分成① 、② 、③ 、④ 四个部分,规 定:线上各点不属于任何部分.当动点 P 落在某个部分时,连接 PA,PB,构成∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 三个角. (提 示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°角) (1)当动点 P 落在第① 部分时,求证:∠ APB=∠ PAC+∠ PBD; (2)当动点 P 落在第② 部分时,∠ APB=∠ PAC+∠ PBD 是否成立?(直接回答成立或不成立) (3)当动点 P 落在第③ 部分时,全面探究∠ PAC,∠ APB,∠ PBD 之间的关系,并写出动点 P 的具体位置和相应的结 论.选择其中一种结论加以证明.

考点: 平行线的性质;角平分线的性质. 专题: 动点型;探究型. 分析: (1)如图 1,延长 BP 交直线 AC 于点 E,由 AC∥ BD,可知∠ PEA=∠ PBD.由∠ APB=∠ PAE+∠ PEA, 可知∠ APB=∠ PAC+∠ PBD; (2)过点 P 作 AC 的平行线,根据平行线的性质解答; (3)根据 P 的不同位置,分三种情况讨论. 解答: 解: (1)解法一:如图 1 延长 BP 交直线 AC 于点 E. ∵ AC∥ BD,∴ ∠ PEA=∠ PBD. ∵ ∠ APB=∠ PAE+∠ PEA, ∴ ∠ APB=∠ PAC+∠ PBD;
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解法二:如图 2 过点 P 作 FP∥ AC, ∴ ∠ PAC=∠ APF. ∵ AC∥ BD,∴ FP∥ BD. ∴ ∠ FPB=∠ PBD. ∴ ∠ APB=∠ APF+∠ FPB

=∠ PAC+∠ PBD; 解法三:如图 3, ∵ AC∥ BD, ∴ ∠ CAB+∠ ABD=180°, ∠ PAC+∠ PAB+∠ PBA+∠ PBD=180°. 又∠ APB+∠ PBA+∠ PAB=180°, ∴ ∠ APB=∠ PAC+∠ PBD. (2)不成立. (3) (a) 当动点 P 在射线 BA 的右侧时,结论是 ∠ PBD=∠ PAC+∠ APB. (b)当动点 P 在射线 BA 上, 结论是∠ PBD=∠ PAC+∠ APB. 或∠ PAC=∠ PBD+∠ APB 或∠ APB=0°, ∠ PAC=∠ PBD(任写一个即可) . (c)当动点 P 在射线 BA 的左侧时, 结论是∠ PAC=∠ APB+∠ PBD. 选择(a)证明: 如图 4,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 M. ∵ AC∥ BD, ∴ ∠ PMC=∠ PBD. 又∵ ∠ PMC=∠ PAM+∠ APM(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) , ∴ ∠ PBD=∠ PAC+∠ APB. 选择(b)证明:如图 5 ∵ 点 P 在射线 BA 上,∴ ∠ APB=0 度. ∵ AC∥ BD,∴ ∠ PBD=∠ PAC. ∴ ∠ PBD=∠ PAC+∠ APB 或∠ PAC=∠ PBD+∠ APB 或∠ APB=0°,∠ PAC=∠ PBD. 选择(c)证明: 如图 6,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 F ∵ AC∥ BD,∴ ∠ PFA=∠ PBD. ∵ ∠ PAC=∠ APF+∠ PFA, ∴ ∠ PAC=∠ APB+∠ PBD. 点评: 此题考查了角平分线的性质;是一道探索性问题,旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行 线及角平分线性质的掌握情况.认真做好(1) (2)小题,可以为(3)小题提供思路. 21.已知 AB∥ CD,探究下列几种情况:

(1)如图 1,若∠ EAF= ∠ EAB,∠ ECF= (2)如图 2,若∠ EAF= (3)若∠ AFC= EAB,∠ ECF=

ECD,求证:∠ AFC= ECD,求证:∠ AFC=

AEC; AEC; ∠ AEC (用含有 n 的代

EAB,∠ ECF=

ECD,则∠ AFC 与∠ AEC 的数量关系是 ∠ AFC=

数式表示,不证明) . 考点: 平行线的性质. 分析: (1)连接 AC,设∠ EAF=x°,∠ ECF=y°,∠ EAB=2x°,∠ ECD=2y°,根据平行线性质得出 ∠ BAC+∠ ACD=180°,求出∠ CAE+∠ ACE=180°﹣(2x°+2y°) ,求出∠ AEC=2(x°+y°) ,∠ AFC═ x°+y°,即可得出答案. (2)连接 AC,设∠ EAF=x°,∠ ECF=y°,∠ EAB=3x°,∠ ECD=3y°,根据平行线性质得出∠ BAC+∠ ACD=180°,求出 ∠ CAE+∠ ACE=180°﹣(3x°+3y°) ,求出∠ AEC=3(x°+y°) ,∠ AFC═ 2(x°+y°) ,即可得出答案.
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(3)由(1) (2)可知∠ AFC 与∠ AEC 的数量关系是:∠ AFC=

∠ AEC.

解答: 解: (1)如图 1,连接 AC,设∠ EAF=x°,∠ ECF=y°,∠ EAB=2x°,∠ ECD=2y°, ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ BAC+∠ ACD=180°, ∴ ∠ CAE+2x°+∠ ACE+2y°=180°, ∴ ∠ CAE+∠ ACE=180°﹣(2x°+2y°) ,∠ FAC+∠ FCA=180°﹣(x°+y°) ∴ ∠ AEC=180°﹣(∠ CAE+∠ ACE) =180°﹣[180°﹣(2x°+2y°)] =2x°+2y° =2(x°+y°) , ∠ AFC=180°﹣(∠ FAC+∠ FCA) =180°﹣[180°﹣(x°+y°)] =x°+y° ∴ ∠ AFC= ∠ AEC,

(2)如图 2,连接 AC,设∠ EAF=x°,∠ ECF=y°,∠ EAB=3x°,∠ ECD=3y°, ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ BAC+∠ ACD=180°, ∴ ∠ CAE+3x°+∠ ACE+3y°=180°, ∴ ∠ CAE+∠ ACE=180°﹣(3x°+3y°) ,∠ FAC+∠ FCA=180°﹣(2x°+2y°) ∴ ∠ AEC=180°﹣(∠ CAE+∠ ACE) =180°﹣[180°﹣(3x°+3y°)] =3x°+3y° =3(x°+y°) , ∠ AFC=180°﹣(∠ FAC+∠ FCA) =180°﹣[180°﹣(2x°+2y°)] =2x°+2y° =2(x°+y°) , ∴ ∠ AFC= ∠ AEC,

(3)若∠ AFC=

EAB,∠ ECF=

ECD,则∠ AFC 与∠ AEC 的数量关系是:∠ AFC=

∠ AEC;

点评:

本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用,注意:两直线平行,同旁内角互补.

22.如图所示,AB∥ CD,在 AB 与 CD 之间有 P1、P2、P3 三点,顺次连接 B、P1、P2、P3、D. (1)分别写出图甲、图乙中的∠ B、P1、P2、P3、∠ D 之间的关系,这个关系与 B、D 之间的点的个数有关吗?如果 有,写出这个规律; (2)如果在图甲、图乙中,B、D 之间的点变为 P1、P2、P3、…、Pn,根据在(1)中的结论,直接写出图甲、图乙 中的∠ B、P1、P2、P3、∠ D 之间的关系.

考点:

平行线的性质.

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分析: (1) 分别过 P1、 P2、 P3 作直线 AB 的平行线 P1E, P2F, P3G, 由平行线的传递性可知 AB∥ P1E∥ P2F∥ P3G, 在图甲中,由平行线的性质可得出∠ B+∠ 1=180°,∠ 2+∠ 3=180°,∠ 4+∠ 5=180°,∠ 6+∠ D=180°,再把各式相加即可;在图 乙中可知∠ 1=∠ B,∠ 2+∠ 3=180°,∠ 4+∠ 5=180°,∠ 6=∠ D,再把各式相加即可. (2)由(1)中的规律即可得出结论. 解答: 解: (1)有. 分别过 P1、P2、P3 作直线 AB 的平行线 P1E,P2F,P3G, ∵ AB∥ CD, ∴ AB∥ P1E∥ P2F∥ P3G. 在图甲中,由平行线的性质可得出∠ B+∠ 1=180°① ,∠ 2+∠ 3=180°② ,∠ 4+∠ 5=180°③ ,∠ 6+∠ D=180°④ , ① +② +③ +④ 得,∠ B+∠ BP1P2+∠ P1P2P3+∠ P2P3D=4×180°=720° ∴ ∠ B+∠ BP1P2+∠ P1P2P3+∠ P2P3P4+…+Pn﹣1PnD=(n+1)?180°; 在图乙中可知∠ 1=∠ B① ,∠ 2+∠ 3=180°② ,∠ 4+∠ 5=180°③ ,∠ 6=∠ D④ , ① +② +③ +④ 得,∠ BP1P2+∠ P1P2P3+∠ P2P3D=180°+180°+∠ B+∠ D=360°+∠ B+∠ D. ∴ ∠ BP1P2+∠ P1P2P3+∠ P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠ B﹣∠ D=(n﹣1)×180°. (2)由(1)可知,图甲、图乙中,B、D 之间的点变为 P1、P2、P3、…、Pn 时,∠ B+∠ BP1P2+∠ P1P2P3+∠ P2P3P4+…+Pn ; ﹣1PnD=(n+1)?180° 图乙中,B、D 之间的点变为 P1、P2、P3、…、Pn,∠ BP1P2+∠ P1P2P3+∠ P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠ B﹣∠ D=(n﹣1)×180°.

点评: 本题考查的是平行线的性质,根据题意作出辅助线,利用两直线平行,同旁内角互补,内错角相等 是解答此题的关键. 23.如图,AB∥ CD,直线 a 交 AB、CD 分别于点 E、F,点 M 在 EF 上,p 是直线 CD 上的一个动点, (点 P 不与 F 重合)

(1)当点 P 在射线 FC 上移动时,如图(1) ,∠ FMP+∠ FPM=∠ AEF 成立吗?请说明理由. (2)当点 P 在射线 FD 上移动时,如图(2) ,∠ FMP+∠ FPM 与∠ AEF 有什么关系?说明你的理由. 考点: 平行线的性质;三角形内角和定理. 分析: (1)由 AB∥ CD,利用两直线平行,同旁内角互补,可得∠ AEF 十∠ EFC=180°,又由三角形内角和定 理,即可得∠ FMP+∠ FPM+∠ EFC=180°,则可得∠ FMP+∠ FPM=∠ AEF; (2)由 AB∥ CD,利用两直线平行,内错角相等,即可证得∠ AEF=∠ EFD,又由三角形内角和定理,即可得 ∠ FMP+∠ FPM+∠ EFD=180°,则可得∠ FMP+∠ FPM+∠ AEF=180°. 解答: 解: (1)成立.…(2 分) 理由:∵ AB∥ CD, ∴ ∠ AEF 十∠ EFC=180°(两直线平行,同旁内角互补) , ∵ ∠ FMP+∠ FPM+∠ EFC=180°(三角形内角和定理) , ∴ ∠ FMP+∠ FPM=∠ AEF(等量代换) ; …(6 分)
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(2)∠ FMP+∠ FPM 与∠ AEF 互补(或∠ FMP+∠ FPM+∠ AEF=180°)…(8 分) 理由:∵ AB∥ CD, ∴ ∠ AEF=∠ EFD(两直线平行,内错角相等) , ∵ ∠ FMP+∠ FPM+∠ EFD=180°(三角形内角和定理) , ∴ ∠ FMP+∠ FPM+∠ AEF=180°(等量代换) . …l2 点评: 此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理.此题难度适中,注意掌握两直线平行,同旁内角互 补与两直线平行,内错角相等定理的应用,注意数形结合思想的应用. 24.将一条两边沿互相平行的纸带如图折叠. (1)若∠ 1=36°,则∠ 2= 72° ; (2)当∠ 1:∠ 2=2:3,求出∠ 2 的度数. (根据教科书八上,P21,12 题改编)

考点: 平行线的性质;翻折变换(折叠问题) . 专题: 计算题. 分析: (1)由于 AB∥ CD,∠ 2=∠ 4=∠ 5,故∠ 1=∠ 3,∠ 2+∠ 3+∠ 5=180°,所以∠ 2=72°. (2)设∠ 1=2x°,则∠ 2=3x°,根据平行线的性质可得∠ 2+∠ 3+∠ 5=180°,可求出∠ 2 的度数. 解答: 解: (1)∵ AB∥ CD, ∴ ∠ 1=∠ 3,∠ 2+∠ 3+∠ 5=180°, ∵ 由折叠的性质可得∠ 5=∠ 4=∠ 2, ∴ 2∠ 2=180°﹣∠ 3=180°﹣36°=144°, 故∠ 2=72°. (2 分) 故填 72°.
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(2)设∠ 1=2x°,则∠ 2=3x°, 由 AB∥ CD 可得∠ 2=∠ 4=∠ 5=3x°, 又∵ ∠ 3=∠ 1=2x°,得 2x+3x+3x=180°, ∴ x=22.5, ∴ ∠ 2=67.5°.

点评:

本题考查的是平行线及图形折叠的性质,解答此题的关键是熟知经过折叠后的图形与原图形全等.

25.如图,已知 AB∥ CD,BE 平分∠ ABC,DE 平分∠ ADC,∠ BAD=80°,试求: (1)∠ EDC 的度数; (2)若∠ BCD=n°,试求∠ BED 的度数.

考点: 平行线的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由 AB 与 CD 平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由 DE 为角平分线,即可 确定出∠ EDC 的度数;
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(2)过 E 作 EF∥ AB,则 EF∥ AB∥ CD,利用两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义求得∠ BEF 的度数,根据 平行线的性质求得∠ FED 的度数,则∠ BED 即可求解. 解答: 解: (1)∵ AB∥ CD, ∴ ∠ ADC=∠ BAD=80°, 又∵ DE 平分∠ ADC, ∴ ∠ EDC= ∠ ADC=40°;

(2)过 E 作 EF∥ AB,则 EF∥ AB∥ CD. ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ ABC=∠ BCD=n°, 又∵ BE 平分∠ ABC, ∴ ∠ ABE= n°, ∵ EF∥ AB, ∴ ∠ BEF=∠ ABE= n°, ∵ EF∥ CD, ∴ ∠ FED=∠ EDC=40°, ∴ ∠ BED= n°+40°.

点评: 键.

本题考查了平行线的性质,两直线平行,内错角相等,以及角平分线的性质,正确作出辅助线是关

26.如图,已知 l1∥ l2,MN 分别和直线 l1、l2 交于点 A、B,ME 分别和直线 l1、l2 交于点 C、D,点 P 在 MN 上(P 点与 A、B、M 三点不重合) . (1)如果点 P 在 A、B 两点之间运动时,∠ α、∠ β、∠ γ 之间有何数量关系请说明理由; (2)如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时,∠ α、∠ β、∠ γ 有何数量关系(只须写出结论) .

考点: 平行线的性质. 专题: 探究型. 分析: (1)根据平行线的性质可求出它们的关系,从点 P 作平行线,平行于 AC,根据两直线平行内错角 相等可得出. (2)分类讨论,① 点 P 在点 A 左边,② 点 P 在点 B 右边. 解答: 解: (1)如图,过点 P 做 AC 的平行线 PO,
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∵ AC∥ PO, ∴ ∠ β=∠ CPO, 又∵ AC∥ BD, ∴ PO∥ BD, ∴ ∠ α=∠ DPO, ∴ ∠ α+∠ β=∠ γ. (2)① P 在 A 点左边时,∠ α﹣∠ β=∠ γ; ② P 在 B 点右边时,∠ β﹣∠ α=∠ γ. (提示:两小题都过 P 作 AC 的平行线) .

点评:

本题主要考查了两直线平行,内错角相等,正确作出辅助线是解题的关键.

27.已知一角的两边与另一个角的两边平行,分别结合下图,试探索这两个角之间的关系,并证明你的结论. (1)AB∥ EF,BC∥ DE.∠ 1 与∠ 2 的关系是: ∠ 1=∠ 2 .

(2)AB∥ EF,BC∥ DE.∠ 1 与∠ 2 的关系是: ∠ 1+∠ 2=180° .

(3)经过上述证明,我们可以得到一个真命题:如果 一个角的两边与另一个角的两边分别平行 ,那么 这两 个角相等或互补 . (4)若两个角的两边互相平行,且一个角比另一个角的 2 倍少 30°,则这两个角分别是多少度? 考点: 平行线的性质. 专题: 开放型;探究型. 分析: (1)根据两直线平行,内错角相等,可求出∠ 1=∠ 2; (2)根据两直线平行,内错角相等,及同旁内角互补可求出∠ 1+∠ 2=180°; (3)由(1) (2)可列出方程,求出角的度数. 解答: 解: (1)AB∥ EF,BC∥ DE,∠ 1 与∠ 2 的关系是:∠ 1=∠ 2 证明:∵ AB∥ EF ∴ ∠ 1=∠ BGE ∵ BC∥ DE
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∴ ∠ 2=∠ BGE ∴ ∠ 1=∠ 2. (2)AB∥ EF,BC∥ DE.∠ 1 与∠ 2 的关系是:∠ 1+∠ 2=180°. 证明:∵ AB∥ EF ∴ ∠ 1=∠ BGE ∵ BC∥ DE ∴ ∠ 2+∠ BGE=180° ∴ ∠ 1+∠ 2=180°. (3)经过上述证明,我们可以得到一个真命题:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补. (4)若两个角的两边互相平行,且一个角比另一个角的 2 倍少 30°,则这两个角分别是多少度? 解:设其中一个角为 x°,列方程得 x=2x﹣30 或 x+2x﹣30=180, 故 x=30 或 x=70, 所以 2x﹣30=30 或 110, 答:这两个角分别是 30°,30°或 70°,110°. 点评: 本题考查的是平行线的性质,应用的知识点为:两直线平行内错角相等,两直线平行,同旁内角互 补. 28.如图,已知∠ ABC=30°,∠ BAD=∠ EBC,AD 交 BE 于 F. (1)求∠ BFD 的度数; (2)若 EG∥ AD,EH⊥ BE,求∠ HEG 的度数.

考点: 平行线的性质;三角形的外角性质. 专题: 计算题. 分析: (1)∠ BFD 的度数可以利用角的等效替换转化为∠ ABC 的大小, (2)在直角三角形中,有平行线,利用同位角即可求解. 解答: 解: (1)∠ BFD=∠ ABF+∠ BAD (三角形外角等于两内角之和) ∵ ∠ BAD=∠ EBC, ∴ ∠ BFD=∠ ABF+∠ EBC, ∴ ∠ BFD=∠ ABC=30°;
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(2)∵ EG∥ AD,∴ ∠ BFD=∠ BEG=30°(两直线平行,同位角相等) ∵ EH⊥ BE, ∴ ∠ HEB=90°, ∴ ∠ HEG=∠ HEB﹣∠ BEG=90°﹣30°=60°. 点评: 熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键. 29.如图,已知 DE⊥ AC 于点 E,BC⊥ AC 于点 C,FG⊥ AB 于点 G,∠ 1=∠ 2,求证:CD⊥ AB.

考点: 平行线的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: 根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得 DE∥ BC,再根据两直线平行,内错角相等可得∠ 2=∠ 3, 然后求出∠ 1=∠ 3,根据同位角相等两直线平行可得 GF∥ CD,再根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明. 解答: 证明:∵ DE⊥ AC,BC⊥ AC, ∴ DE∥ BC, ∴ ∠ 2=∠ 3, ∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ ∠ 1=∠ 3, ∴ GF∥ CD, ∵ FG⊥ AB, ∴ CD⊥ AB.
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点评:

本题考查了平行线的判定与性质,垂直于同一直线的两直线平行,熟记性质是解题的关键.

30.如图所示是甲、乙二人在△ ABC 中的行进路线,甲:B→D→F→E;乙:B→C→E→D.已知∠ 1+∠ 2=180°,∠ 3=∠ B. (1)试判断∠ AED 与∠ ACB 的大小关系,并说明理由; (2)有哪些路线是平行的?

考点: 平行线的判定与性质. 分析: (1)根据“同旁内角互补,两直线平行”推知 EF∥ AB,则“两直线平行,内错角相等”:∠ 3=∠ 5,所以 结合已知条件推知∠ 5=∠ B,故 DE∥ BC,所以∠ AED=∠ ACB; (2)由(1)的推理过程来写出图中的平行线.
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解答: 解: (1)∠ AED=∠ ACB.理由如下: 如图,∵ ∠ 1+∠ 2=180°,∠ 1+∠ 4=180°, ∴ ∠ 2=∠ 4, ∴ EF∥ AB, ∴ ∠ 3=∠ 5. 又∵ ∠ 3=∠ B, ∴ DE∥ BC, ∴ ∠ AED=∠ ACB; (2)由(1)知,BD 与 FE 平行,BC 与 ED 平行.

点评:

本题考查了平行线的判定与性质.解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.


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