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复数复习


第 3 章复数
一,复数的概念 1.虚数单位 i :(1) i 2 ? ?1 ; (2)四则运算原有加、乘运算律仍然成立.

2 2. i 与-1 的关系: i 是-1 的一个平方根,即方程 x =-1 的一个根,另一个根是- i ! 4n+1 4n+2 3. i 的周期性: i =i, i =-1,

i 4n+3=-i,

i 4n=1

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4.复数的定义:形如 z ? a ? bi(a, b ? R) , a 为实部, b 为虚部,复数集用 C 表示 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6.复数相等:两复数实部和虚部分别相等,那么两个复数相等 即:a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d
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7.两个非实复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 8.复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即

? 复平面内的点 Z (a, b) 复数 z ? a ? bi ????
一一对应

例 1 实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 例 4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y. 1.设集合 C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集 S=C,则 ( A.A∪B=C
2

)

B. CS A=B
2

C.A∩ CS B= ?

D.B∪ CS B=C ) D.x≠1 且 x≠-2

2.复数(2x +5x+2)+(x +x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-

1 2

B.x=-2 或-
2

1 2

C.x≠-2
2

3.已知集合 M={1,2,(m -3m-1)+(m -5m-6)i},集合 P={-1,3}.M∩P={3}, 则实数 m 的值为( ) A.-1 B.-1 或 4
2 2

C.6

D.6 或-1

4.满足方程 x -2x-3+(9y -6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______. 6.设复数 z=log2(m -3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值. 7.若方程 x +(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值. 8.已知 m∈R,复数 z=
2 2

m ( m ? 2) 2 +(m +2m-3)i,当 m 为何值时, m ?1

(1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z=

1 +4i. 2

二,复数运算 复数的几何表示方法.
一一对应 一一对应 复平面内的点 Z (a, b) ???? ? z ? a ? bi ???? ? 复数平面向量 OZ

例 1.(2007 年辽宁卷)若 ? ? ? 在复平面内所对应的点在( A.第一象限 )

?3 5 ? π, π ? ,则复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos? )i ?4 4 ?
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

1.(2000 广东,全国文科、理科,江西、天津理科)在复平面内,把复数 3 ? 3i 对应的向量按顺时钟方向旋转 (A)2 3 (B) ? 2 3i

? ,所得向量对应的复数是:( B ) 3
(C) 3 ? 3i (D)3+ 3i

例 2.(2003 上海理科、文科)已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,求| z1·z2|的最 大值和最小值. 例 3.(2004 北京理科)满足 | z ? i| ?|3 ? 4i| 的复数 z 在复平面上对应点轨迹( A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 ) )

2. (1992 全国理科、文科)已知复数 z 的模为 2,则│z-i│的最大值为:( D (A)1 (B)2 (C) (D)3

3.(2003 北京理科)若 z ? C 且 | z ? 2 ? 2i |? 1, 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是( B ) A.2 B.3 C.4 D.5

4.(2007 年上海卷)若 a , b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①a ?

1 ?0 a

2 2 ② ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b 2

③若 a ? b ,则 a ? ?b

2 ④若 a ? ab ,则 a ? b 则对于任意非零复数 a , b ,上述命题仍然成立的序号是 _____ 。

4.②,④
2 5.(2005 上海文科)在复数范围内解方程 | z | ? ( z ? z )i ?

3?i ( i 为虚数单位)。 2?i

例 1 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 例 2 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z, z 在平面内所对应的点在第几象限?

例 4 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形 的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i

3.已知复平面上△AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i, 则以 OA、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 B.2 2 C.2 D.

5
4.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 形 5.一个实数与一个虚数的差( A.不可能是纯虚数 C.不可能是实数
2

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角

) B.可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数
2

9.已知复数 z1=a -3+(a+5)i,z2=a-1+(a +2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ1 、 OZ 2 (O 为原点),若向量 Z1 Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. 10.已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2)、B(-2,1)、C(-1,-2), 求它的第四个顶点 D 对应的复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 2 计算: (1)(3+4i) (3-4i) ; (2)(1+ i) . 3.共轭复数: z ? a ? bi z ? a ? bi 这两个复数互为共轭复数 通常记 z 的共轭复数为 z 。
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2

4. 复数除法: 于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2 (1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 3 ? 4i
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例 3 计算(1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

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(2)

例 5 已知 z 是虚数,且 z+

1 z ?1 是实数,求证: 是纯虚数. z z ?1

1.设 z=3+i,则

1 等于 z
B.3-i C.

A.3+i

3 1 i? 10 10

D.

3 1 ? i 10 10

2.

a ? bi a ? bi ? 的值是 b ? ai b ? ai
B.i C.-i D.1

A.0

3.已知 z1=2-i,z2=1+3i,则复数 A.1 4.设 高考题 1.(2007 年北京卷)

i z2 ? 的虚部为 z1 5
C.i D.-i

B.-1

x 3 y ? ? (x∈R,y∈R),则 x=___________,y=___________. 1? i 2 ? i 1? i

2 ? (1 ? i ) 2



2. (2007 年湖北卷)复数 z=a+bi,a,b∈R,且 b≠0,若 z 2 ? 4bz 是实数,则有序实数对 (a,b)可以是 .(写出一个有序实数对即可) 3.(2007 年福建卷)复数

1 等于( D ) (1 ? i) 2
1 2
C. i

A.

1 2

B. ?

1 2

D. ?

1 i 2

4.(2007 年广东卷)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 为实数),则 b= (A) -2 (B) 1 2

(C)

1 2

(D) 2
2

? 2i ? 5.(2007 年湖南卷)复数 ? ? 等于( C ) ? 1+i ?
A. 4i B. ? 4i C. 2i D. ? 2i

6.(2007 年江西卷)化简 A. 2 ? i D. ?2 ? i

2 ? 4i 的结果是( C ) (1 ? i ) 2
C. 2 ? i

B. ?2 ? i

7.(2007 年全国卷 I)设 a 是实数,且

a 1? i ? 是实数,则 a ? ( B ) 1? i 2

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2

8.(2007 年全国卷Ⅱ)设复数 z 满足 A. ?2 ? i B. ?2 ? i

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( C ) z
C. 2 ? i
1 对应的点位于(D) 2?i

D. 2 ? i

9.(2007 年陕西卷)在复平面内,复数 z= (A)第一象限 (B)第二象限

(C)第在象限 (D)第四象限 ) (D) i

10.(2007 年四川卷)复数 (A)0

1? i 3 ? i 的值是( 1? i
(C) ?1

(B)1

11.(2007 年天津卷) i 是虚数单位, A. 1 ? i B. ? 1 ? i

2i3 ?( C ) 1? i
C. 1 ? i D. ? 1 ? i

12.(2007 年浙江卷)已知复数 z1 ? 1 ? i , z1 z2 ? 1 ? i ,则复数 z2 ?

1



13.(2007 年上海卷)已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根, 则 p, q 的值为 (A) A、 p ? ?4, q ? 5 B、 p ? 4, q ? 5 C、 p ? 4, q ? ?5 D、 p ? ?4, q ? ?5

14.(2007 年重庆卷)复数

4 2i 的虚部为__ ____. 3 5 2?i

15.(2007 年安徽卷)若 a 为实数, (A) 2 (B)- 2

2 ? ai 1 ? 2i

=- 2 I,则 a 等于(B) (C)2 2 (D)-2 2

2 16.(2007 年山东卷)若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 虚数单位),则 z ? ?1 使的值可能是(D)

(A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

17.(2007 年宁夏) i 是虚数单位,

?5 ? 10i ? 3 ? 4i

.(用 a ? bi 形式表示, a,b ? R )



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