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基本不等式题型与技巧分析


基本不等式应用 一.基本不等式

1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab
a?b 2. (1)若 a, b ? R ,则 ? ab 2
*

2 2 (2)若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 “=” )

2

(2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )
*

a ?b? * (3)若 a, b ? R ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 , 则x?

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 1 “=” ) ;若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “=” ) ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x 3.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最大值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 (2)y=x+ x

解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离

例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

技巧四:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ? t ? (t ? 2) 的值域。

a 的单调性。 x

1 t

已知条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是
a b

.

变式:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧五:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

高考真题
一、选择题 1.(2009 天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 A. 8 B.4 C. 1 D.

1 1 ? 的最小值为 a b

1 4


2.(2009 重庆卷文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2 C .4

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
D.5

1 a (2006 陕西)已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y A.2 二、填空题 3.(2009 湖南卷文)若 x ? 0 ,则 x ? B.4 C.6 D.8

)

2 的最小值为 x

.

(2007 上海)已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

?

三、解答题 4.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
2



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