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江苏高考数学试卷的特点透视及命题趋势分析

2008-2013 江苏高考数学试卷的特点透视及 2014 年命题趋势分析
江苏省 08-13 年数学高考题知识点及难易分布表
必做题部分(160 分)
内 容
集合及其表示

要 求 A B C
√ √ √ √

2014 年 2013 年 2012 年 说明

2011 年

2010 年 2009 年 2008 年

1基

1基 11 中

1.集合 子集
交集、并集、补集 函数的概念

2基 4基 19 中 13 难 19 中 4基

4基

1基

1 基、14 难 中

1基

4基

2 基、11 11 基、20 19 中、 17 中、20 难 5 基、11 基、 14 难、 20 难 20 难 20 难 难 14 中、20 难

函数的基本性质



1基

2 基、19 难 2 基、12 难

指数与对数

√ √ √ √ √ √ √ √

2.函数概 念 与 基 本 指数函数的图象与性质 初等函数 Ⅰ 对数函数的图象与性质
幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 三角函数的概念 同角三角函数的基本关系式 正弦函数、余弦函数的诱导

5 基、10 中

12 难 2基 8中

10 中 11 中

20 难 17 中 13 难

5基

8 中、11 中 8 中、11 中、17 中 7中 14 难 15 基 13 难 15 基 15 基

17 中

15 基 9中

√ 3.基本初 公式 等函数Ⅱ 正弦函数、余弦函数、正切 (三角函 √ 函数的图象与性质 数) 、三角 恒等变换 函数的图象与性质 √ 两角和(差)的正弦、余弦 及正切 二倍角的正弦、余弦及正切 √ √

10 中

1基

15 中

9中 8 中、9 中

10 中 20 难 4基 15 基 15 基 1基 15 基

7 中、15 13 难、17 基 15 基 10 中、 17 中 7中 中

积化和差、和差化积及半角 √ 公式(去掉)

15 基 18 中 √ √ √ √ √ √ 7基 15 基 15 基 10 中 7基 15 基 18 中

11 中、 15 中 15 基 10 中 15 中 10 中 13 难 15 基 15 基 15 基 5基 13 中、17 中

4.解三角 正弦定理、余弦定理及其应 用 形
平面向量的概念 平面向量的加法、减法及数 乘运算

5. 平 面 向 量

平面向量的坐标表示 平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直

10 中 9中 9 中、15 中 20 难 10 中

15 基

2基

5基

平面向量的应用
数列的概念

√ √ √ √ √ 11 中 20 难 6基 14 难

8中 19 中 17 难 14 中 17 中、19 中 11 基 19 中 10 中、19 中 19 中 11 中 4 基、18 中

6.数列 等差数列
等比数列 基本不等式

19 难 14 难 19 难 14 难 11 中 20 难 6 基、20 难 17 中、20 难 13 中 14 难 2基 3基 3基

13 难、20 难 13 难 8中

7.不等式 一元二次不等式



13 难

13 难 18 中

19 难

20 难

线性规划 复数的概念

√ √ √ √ √ √ √ √ √ 19 难 17 中 9中 1基 1基

9中 1基

19 难 3基 3基 2基 2基 1基 1基 9基 12 难 12 难 8中 20 难 14 难、20 难 14 难 3基 17 中 8基 3基 3基

8.复数 复数的四则运算
复数的几何意义 导数的概念 导数的几何意义

9.导数及 导数的运算 其应用
利用导数研究函数的单调性 与极值 导数在实际问题中的应用

20 难 20 难

18 难

12 难、19 难 12 难

18 难

17 中

算法的含义

√ √ √ √ 3基 5基

18 难

4基

7基 7基

7基 7基

10 . 算 法 流程图 初步
基本算法语句 命题的四种形式

4基 4基

4基 20 难

充分条件、必要条件、充分 √ 11 . 常 用 必要条件 逻辑用语 简单的逻辑联结词 √
全称量词与存在量词 合情推理与演绎推理 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6基 7基 6基 6基 5基 5基 5基 3基 5基 2基 6基 5基 5基 6基 2基 6基 6基 4基 6基 7基 20 难 8基 10 中

12 . 推 理 分析法与综合法 与证明
反证法
抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计

变量的相关性 13.概率、 统计
古典概型 几何概型

随机事件与概率

互斥事件及其发生的概率

柱、锥、台、球及其简单组 √ 14 . 空 间 合体

几何体

柱、锥、台、球的表面积和 体积



8基

8基

7中

16 基

平面及其基本性质 √ 15 . 点 、 线 、 面 之 直线与平面平行、垂直的判 √ 间 的 位 置 定及性质 两平面平行、垂直的判定及 关系
性质 √ √

16 基 16 基

16 基 16 基

16 中 16 中

16 基 16 基 14 难、18 中

16 基

12 中、16 基 12 中、16 基

16 基 16 基

16 . 平 面 直线的斜率和倾斜角 解析几何

初步

直线方程 直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 两点间的距离、点到直线的 距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关 系 √ √ √ √ √



18 中 18 中

19 中 19 中

18 中 14 难、18 中

18 中 16 基 18 中

13 中、18 中

9基

13 中 18 中 18 中 18 中

12 中 18 中 √ 12 中

17 中

12 中、19 8 中、14 中 12 中 难、18 中 14 难 14 难

9基

17 中

12 中

9基

18 中

空间直角坐标系
中心在坐标原点椭圆的标准 方程与几何性质(直线与椭 圆的关系)



18 中

12 中

19 中

18 中

18 中

13 中

12 中

17 . 圆 锥 曲 线 与 方 中心在坐标原点双曲线的标 √ 准方程与几何性质 程
顶点在坐标原点抛物线的标 √ 准方程与几何性质

3基

8中

6基

第一部分

填空题(9-14)

【命题趋势分析】综观 08-13 的江苏新课标卷填空题前八小题(1-8)基本集中考察的知识点为集合概 念、复数简单运算、函数基本性质、三角与向量的基本概念、概率与统计、算法等,几乎为单一知识 点的考察,基本为容易题,一般考生没什么差距,所以高考后期复习无需太多关注。而 9-14 小题的考 查逐步体现了能力和知识的综合,往往都是至少两个知识点以上的考查,若细分,又可分为 9-12 四小 题,13-14 两个层次,这几个小题也就决定了考生客观题得分的差距。所以备考期间,研究考题,通过 比对,充分关注这六题的考查方向和命题方式,是提升复习效益的一大抓手。现将六年新课标卷的对 应题号位置的考题进行梳理比对,以期我们能探寻一些轨迹。

填空题第九题
【2008.9】如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0), C (c,0) , 点 P (0, p ) 在线段 AO 上的一点(异于端点) ,这里 a, b, c, p 均为非零 实数,设直线 BP, CP 分别与边 AC, AB 交于点 E , F ,某同学已正确 y F A P E x B O C

1 1? ? 1 1? 求得直线 OE 的方程为 ? , 请你完成直线 OF 的 ? ? ?x ? ? ? ? ? ?y ? 0 ?b c? ? p a?
方程:( ▲ )x?? ?

? 1 1? ? ? ?y ? 0 。 ? p a?

【考查情况】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想 填 1 ? 1 ,当然,由截距式可得直线 AB 与 CP 方程,两式相减得新方程,显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满
c b

足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的方程.注重思维方法,避免野蛮计算。 【2009.9】在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲 线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 ▲ . 【考查情况】本小题考查导数运算和几何意义,求导,解方程,判断即得。 【2010.9】在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实 数 c 的取值范围是______▲_____. 【考查情况】本小题考查数形结合转化为圆心到直线的距离小于 1 即可。 【2011. 9】 函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数,A ? 0, w ? 0) 的 部分图象如图所示,则 f(0)= ______▲_____ 【考查情况】本小题考查正弦类函数的图像与性质及读图、识图能力。 【2012.9】如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ . 【考查情况】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三 角函数定义。 [2013.9]抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角 形内部和边界).若点 P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 ▲
2

.

解析:易知切线方程为: y ? 2 x ? 1 所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 A ? 0,0? B ? 0.5,0? C ? 0, ?1? 易知过 C 点时有最小值 ?2 ,过 B 点时有最大值 0.5

填空题第十题
1 【2008.10】将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 【考查情况】本小题考查分析、归纳推理和等差数列求和公式. 2 ▲ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ?????? 5 ? 1 x 【2009. 10】 已知 a ? , 函数 f ( x) ? a , 若实数 m, n 满足 f (m) ? f (n) , 则 m, n 的大小关系为 ▲ .

2

【考查情况】考查指数函数的单调性。 a ? 5 ? 1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n)
2

得:m<n ? 【2010.10】定义在区间(0, )上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 2 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____ 【考查情况】由题意知线段 P1P2 长即为垂线 PP1 与 y=sinx 图像交点的纵坐标。
? 2 2 ?y=6cosx x?(0, ) 由? ?6cosx=5tanx?6cos2x=5sinx?6sin2x+5sinx-6=0 ?2 sinx= ? P1P2= ?y=5tanx 3 3

【2011.10】已知 e1 , e 2 是夹角为

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 3

的值为 . 【考查情况】向量的数量积概念及基本运算。 1] 上, 【2012.10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ▲ . 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ?2? ?2? ? ? x ?1 【 考 查 情 况 】 周 期 函 数 的 性 质 、 分 段 函 数 的 理 解 。 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ,
1 ?1? ?3? ?3? ? 1? ∴ f ? ?1? ? f ?1? , f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , f ? ? ? f ? ? ,联立方程组即得 2 ?2? ?2? ?2? ? 2?
【 2013 . 10 】 设 D, E 分 别 是 ?A B C 的 边 AB, BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为
解析:易知 DE ?



.

? 2 ??? ? 1 ??? ? 2 ???? ??? ? ? 2 ???? 1 1 ??? 1 ??? AB ? BC ? AB ? AC ? AB ? ? AB ? AC 所以 ?1 ? ?2 ? 2 2 3 2 3 6 3 ,

?

?

填空题第十一题
【2008.11】设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小值是 xz



【考查情况】本小题考查二元基本不等式的运用,减元思想.

x ? 3z y2 x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3, 由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ? ,代入 得 2 xz 4 xz 4 xz
【 2009 . 11 】已知集合

A ? ? x | log2 x ? 2 ? , B ? (??, a) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是
.

(c, ??) ,其中 c ?
由A?



【考查情况】本小题考查简单对数不等式与集合的运算。由 log 2

x ? 2 得 0 ? x ? 4 , A ? (0,4] ;

B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。

?x2+1,x?0 【2010.11】已知函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是____▲____ ?1 ,x<0

【考查情况】本小题考查分段函数单调性的理解与应用,分类讨论与转化. 【2011.11】已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为▲ ?? x ? 2a, x ? 1

【考查情况】本小题考查分段函数性质, 分类讨论。

? ?? 4 ? 【2012.11】设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【考查情况】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数的运用。 【2013.11】已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的
2

解集用区间表示为



.

2 解析:因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 4 x

解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5,0? ? ? 5, ?? ?

填空题第十二题
【2008.12】在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 半径作圆 M ,若过 P ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c,以 O 为圆心, a 为 a2 b2

? a2 ? ▲ , 0 ? 作圆 M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 ? c ? 【考查情况】本小题考查椭圆的基本概念,画出草图,求离心率即建立 a , b , c 的等式关系。
【2009.12】设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题 的序号 ▲ (写出所有真命题的序号). ... 【考查情况】本小题主要考查立体几何线面位置关系,小题考查立几并不常见。 x2 x3 【2010.12】设实数 x,y 满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值是_____▲____ y y 【考查情况】本小题主要考查不等式的基本性质,判定符号,不等式变形与运算,也可以换元,线性 规划的思路解决。 【2011.12】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t, 则 t 的最大值是______▲_______ 【考查情况】本小题考查导数几何意义,直线方程基本知识,及基本不等式求最值的方法。
x

【2012.12】在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 【 考 查 情 况 】 圆 与 圆 的 位 置 关 系 , 点 到 直 线 的 距 离 . 由 题 意 , 直线 y ? kx ? 2 上至少存在 一 点

A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点;∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,
即 ACmin ? 2 。∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离

4k ? 2
2

k ?1 x2 y2 【2013. 12】 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) , 右焦点为 F , a b 右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为 d 2 .若 d2 ? 6d1 ,
则椭圆的离心率为 解析:由题意知 d1 ? ▲ . 两边平方得到 a b ? 6c ,即
2 2 4

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 。 3

bc a2 b2 b2 bc , d2 ? ?c ? ? 6 所以有 a c c c a

3 1 a 4 ? a 2 c 2 ? 6 c 4,两边同除以 a 4 得到 1 ? e2 ? 6e4 ,解得 e2 ? ,即 e ? 3 3

填空题第十三题
【2008.13】满足条件 AB ? 2, AC ?

2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值



【考查情况】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设 BC= x ,则 AC= 2 x , 根据面积公式得 S?ABC =

128 ? ? x 2 ? 12 ? ? 4 ? x2 ? 得 S?ABC = x 1 ? ? 即得。 ? ? 16 ? 4x ?
2

1 4 ? x2 AB ?BC sin B ? x 1 ? cos 2 B ,根据余弦定理得 cos B ? ,代入上式 2 4x

y

【2009.13】如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A 为椭圆 1, A 2, B 1 , B2

T B2 M

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B1 与直线 B1F 相 a 2 b2 交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心

A1

O

A2

x

率为 ▲ . 【考查情况】本小题考查椭圆的基本概念及直线与椭圆的位置关系。用 a , b, c 表示交点 T,得出 M 坐 标,代入椭圆方程即可转化解得离心率. b a tanC tanC 【2010.13】在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, + =6cosC,则 + =__▲ a b tanA tanB 【考查情况】本小题考查正、余弦定理及同脚三角函数关系,充分体现运用定理灵活实现边角互化。 【2011.13】设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是____▲____ 【考查情况】本小题考查等差、等比数列的概念及不等式的基本性质的应用,分类讨论及推理能力。

1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ?1 ? a1q2 ? a2 ? 2 ? a1q3 ,?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2
q3 ? a2 ? 2 ? 3 ,而? a2 ? 1, a1 ? 1,? a2 , a2 ? 1, a2 ? 2 的最小值分别为 1,2,3;?qmin ? 3 3 。
? ?) ,若关于 x 的不等式 【2012.13】已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 [0 , f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ .
【考查情况】本小题考查二次函数的性质,不等式解集与方程根的关系。
2 a2 a? ? ? ?) ,当 x ? ax ? b =0 时有 V? a ? 4b ? 0 ,即 b ? 由值域为 [0 , , ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 2? 4 ?
2

2

a a a m ? 6) ,∴解得 c ? 9 。 ? c , ? c ? ? x ? c ? 。∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , 2 2 2 1 【2013. 13】 平面直角坐标系 xOy 中, 设定点 A(a, a ) , 若点 P, A P 是函数 y ? ( x ? 0) 图像上一动点, x ? c ? x?
之间最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 解析:由题意设 P ? x0 , ▲ .

? ?

1? ? , ? x0 ? 0 ? x0 ?
2

则有
2

?1 ? ? ? ? 1 1? 1? 1? PA ? ? x0 ? a ? ? ? ? a ? ? x0 2 ? 2 ? 2a ? x0 + ? +2a 2 = ? x0 + ? -2a ? x0 + ? ? 2a 2 ? 2 x0 x0 ? x0 ? x0 ? ? x0 ? ? ? ? 1 ? t ? t ? 2 ? 则 PA2 =f (t)=t 2 ? 2at ? 2a2 ? 2 ?t ? 2? ,对称轴 t ? a 令 x0 ? x0
2 2

1. a ? 2 时, 2. a ? 2 时,

PA2 min ? f (2) ? 2a 2 ? 4a ? 2

2

? 2a 2 ? 4a ? 2 ? 8
PA
2 min

a ? ?1 ,

a ? 3 (舍去)

? f (a) ? a ? 2


? a2 ? 2 ? 8

a ? 10 ,

a ? ? 10 (舍去)

综上 a ? ?1 或 a ? 10

填空题第十四题
【2008.14】设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1( x ? R) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1?都有 f ( x) ? 0 成立,则实 数 a 的值为 ▲ 【考查情况】本小题考查函数单调性的综合运用,变量分离,构造函数等技巧.若 x=0,则不论 a 取 何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x>0 即 x ???1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

3 1 ? , x 2 x3

构造函数求导得值域即可。 【2009.14】设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1,2,?) 若数列 ?bn ? 有连续四项 在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q ? _▲ .

【考查情况】本小题考查等价转化能力和分析推理问题的能力,等比数列的通项。 an ? bn ? 1

?an ? 有连续四项在集合 ??54, ?24,18,36,81? ,四项 ?24,36, ?54,81 成等比数列,公比为 q ? ? 2
【2010.14】将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S= 梯形的面积 ,则 S 的最小值是_______▲______ 【考查情况】本小题考查构建函数,求导得最值,要求学生具备综合运用知识处理 问题能力,运算能力强。如图,△ABC 是边长为 1 的正△,EF∥BC,四边形 BCFE 为梯形; 设 AE=x (0<x<1),则梯形 BCFE 周长=3-x,梯形 BCFE 面积=(1-x2) 所以据题意知:S= (3-x) 4(3-x) = (0<x<1) .求导的最值。 3 3(1-x2) (1-x2) 4
2 2
x E 1-x F

3

(梯形的周长)2

A

3 , 4

B

C

【2011.14】设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2 B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是______▲____

【考查情况】本小题考查集合,直线与圆等知识的综合运用,学会对变量 m 的分类,明确两个集合的 具体含义,通过数形结合分析推理,点到直线距离进行运算。

b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则 【2012.14】已知正数 a ,

b 的取值范围是 ▲ . a

【考查情况】本小题考查不等式性质、线性规划,换元,转化的综合能力。由条件

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c a b a b 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c 可化为: ? ,y 满足 ? ? ? 4 。设 c =x,y = c ,转化为:已知 x ?c c a ?b ? ? ec ?c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? ,求 的取值范围。 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
1.【2013. 14】 在正项等比数列 ?a n ?中,a5 ? 的最大正整数 n 的值为 解析: ▲ .

1 ,a6 ? a7 ? 3 .则满足 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1a2 a3 ...an 2

1 a5 ? , a6 ? a7 ? 3 2 ? a5 q ? a5 q 2 ? 3 q2 ? q ? 6 ? 0 ?q ? 0 ?q ? 2 an ? 2n ?6 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1a2 a3 ...an ?2 ?2
n ?5 n 2 ?11n 2

?2 ? 2 ?2
n 2 ?11n 2

?5

n ?5

? 2?5 ? 0

n 2 ? 11n 2 13 ? 129 13 ? 129 ? ?n? 2 2 ?n ? 5 ?

? n? N?
? ?1 ?n ?1 2 n , ?N

又 n ? 12 时符合题意,所以 n 的最大值为 12 【命题趋势分析】就以上 08-13 年高考的 9-14 题的比对分析,结合 2014 年考试说明和样题,我 们不难看出每年高考命题都是较好的遵照考试说明,后面几个填空几乎体现了对八个 C 级要求的全覆 盖,注重知识内在联系的考查,注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查. 要求能够运用所学 的数学知识、思想和方法,构造数学模型,转化的思维策略,并加以解决.而数学综合能力的考查,主 要体现为分析问题与解决问题能力的考查,要求能够综合地运用有关的知识与方法,解决较为困难的 或综合性的问题.所以后阶段,我们的着力点更应放在学生的数学思想方法和思维策略的操练上,加强 此类问题的挖掘和演变,探究其思维本质。

第二部分

解答题(15-20) 第 15 题
y A B O x

【2008.15】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐 角 ?,? ,它们的终边分别交单位圆于 A, B 两点.已知 A, B 两点的横

2 2 5 , . 5 10 (1)求 tan(? ? ? ) 的值;
坐标分别是

(2)求 ? ? 2 ? 的值. 【考查情况】本题主要考查三角函数定义,和角公式的应用。先由三角函数定义得

2 2 5 ,第(1)问求 tan(? ? ? ) 的值,运用正切的和角公式;第(2)问求 ? ? 2 ? ,cos ? ? 10 5 的值,先求出 tan(? ? 2 ? ) 的值,再根据范围确定角的值。 cos ? ?
【2009.15】设向量 a ? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? ,4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【考查情况】本题考查向量的概念及坐标运算,三角两角和与差的应用 【2010.15】在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 → → → 设实数 t 满足(AB-t·OC)·OC=0=0,求 t 的值 【考查情况】本题考查向量的概念及坐标运算。 【2011.15】在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b, c (1)若 sin( A ?

?

1 ) ? 2 cos A, 求 A 的值; (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 6 3

【考查情况】本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能 力。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【2012.15】在 ?ABC 中 ,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .

5 ,求 A 的值. 5 【考查情况】平面向量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ? 【2013.15】已知 a ? ? cos?,sin? ? , b ? ? cos?,sin? ? , 0 ? (1) 若 a ? b ?

?

?

? ?? ?? .

?

?

2 ,求证: a ? b ;

?

?

(2) 设 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解:(1) a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,0 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a ?b ? 2

? ?2 ? a ?b ? 2

?2 ?2 ?? ? a ? b ? 2ab ? 2
? ? 1 ? 1? 2 a ?b ? 2
? ? a ?b ? 0 ? ? ?a ? b

? ? ? ? ?c ? ?0 , 1 ,? b ? c ? a ?? c o s ? ? c o? s ,s ?i ?n

(2)

? in ?s ? ?

?

0,1

?c o s ?? co ?s? ①0 ?s i n ? ? s i?n? ②1
①2 +②2 得: 2+2cos ?? ? ? ? ? 1 cos ?? ? ? ? ? ?
,

1 2

?0 ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? 3

cos ? ? cos ? ? 0
又?? ? ? ? ?

?? ?

5? ? ,? ? 6 6

【命题趋势分析】第 15 题基本为三角和向量知识的考查,熟悉向量两种运算方式,掌握三角中的基本 公式和解三角形的常用方法,解决此题应该不是问题。所以 2014 年高考这个位置应该不会有太大的变 化。

第 16 题
【2008. 16】 如图, 在四面体 ABCD 中,CB ? CD,AD ? BD , 点 E,F 分别是 AB,BD 的中点. 求 证: B (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD . F 【考查情况】本题考查立体几何的线线或线面位置关系。 E 第 1 问根据线面平行关系的判定定理 ,在面 ACD 内找一条直线和直线 EF 平行 即可,第 2 问,需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推 D C A 出面面垂直。 【2009.16】如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E ,F 分别是 A 1B,AC 1 的中 点,点 D 在 B1C1 上, A1D ? B1C 求证: (1) EF ∥ 平面ABC (2) 平面A 1FD ? 平面BB 1C1C
E A B C A1 D F B1 C1

【考查情况】本题考查立体几何的线线或线面位置关系。同 08 一样,为线面平行 和面面垂直的考查,熟悉基本判定和性质定理,就不会太困难。

【2010.16】如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900 P (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 【考查情况】本题考查线线位置关系,第一问先证线面垂直即得。第二问求点面距离涉及 计算稍微要求高了一点,考后非议较多,所以随后两年又回归原来的基本设问方式。即 D 考查线面,面面的平行或垂直的证明,也是尊重考试说明的体现。
A
16题图

C

B

【2011.16】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD
P

【考查情况】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考察空间想象 能力和推理论证能力。

E D A F C B

E 分别是棱 BC , CC1 上的点(点 D 不 【2012.16】如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点.求证: 同于点 C ) ,且 AD ? DE , (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平 面 ADE .
【考查情况】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系。分别证明 AD ? 平面

BCC1 B1 及 A1 F ∥ AD 即得。

【2013.16】如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB . 过 A 作

AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点.
求证:(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC ? SA . 解:(1)? E , G 分别是侧棱 SA, SC 的中点 ? EG∥AC

? AC 在平面 ABC 中, EG 在平面外 ? EG∥平面 ABC

? AS ? AB, AF⊥SB

? F 为 SB 中点

? EF∥AB
? AB 在平面 ABC 中, EF 在平面外

?EF∥平面 ABC
? EF 与 EG 相交于 E
EF , EG 在平面 EFG 中

? 平面 EFG / / 平面 ABC
(2) ? 平面 SAB⊥ 平面 SBC , SB 为交线

? AF 在 SAB 中, AF⊥SB

? AF⊥平面 SBC
?AF ⊥ BC ?B C ⊥ AB

AF 与 AB 相交于 A , AF , AB 在平面 SAB 中
? BC⊥ 平面 SAB

?B C ⊥ SA
【命题趋势分析】立体几何考查基本稳定在直线与平面平行、垂直的判定及性质与两平面平行、垂直 的判定及性质这个层面,也仍然会以两证面孔出现,属容易拿分题。

第 17 题
【2008. 17】 如图, 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处. AB=20km, BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与 A,B 等距的一点 O 处, 建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为 ykm. (1)按下列要求建立函数关系式: P D C (i)设 ?BAO ? ? (rad) ,将 y 表示成 ? 的函数; (ii)设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数; O (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设 的污水管道的总长度最短。 A B 【考查情况】数学的应用意识的考查,要求能够运用所学的数学知识,思想和方法,构造数学模型, 将一些简单的实际应用问题转化为数学问题,并加以解决.这就要求能够综合,灵活运用所学的数学 知识和思想方法,创造性的解决问题.(1)问先建立两个函数关系式,第(2)问从(1)中选一个关 系式进行求函数最值,进行横向探究,既照顾到了考生的实际,也使问题变得比较平缓;应该算是不 可多得的命题方向,值得研究和关注。
2 2 2 2 【2009.17】设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得 am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2 【考查情况】本题考查等差等比数列的基本量运算与推理,与换元,转化,分类讨论等方法结合,增 加了难度。第一问仅仅为基本量运算,第二问综合度较高 am am?1 ? ( 2m ? 7 )( 2m ? 5 ) ,令 2m ? 3 ? t ,
am? 2 ( 2m ? 3 )

8 am am?1 ( t ? 4 )( t ? 2 ) ? t ? ? 6 抓住变量 t 分类讨论不难得出。 ? t am? 2 t

.w.w.k.s.5 .u.c.o.m

【2010. 17】 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m, 仰角∠ABE=α ,∠ADE=β E (1)该小组已经测得一组α 、β 的值,tanα =1.24,tanβ =1.20,,请据此算出 H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m) , 使α 与β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α -β 最大。
C ? h B ? d D A

【考查情况】本题作为应用题着重考察三角函数为背景建模,解三角形,基 式或导数的知识的综合考察。

17题图

本不等

【2011.17】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正 好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点, 设 AE=FB= x cm (1)某广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应 取何值? (2)某广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取 何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
3
2
D C

A

x

E

F x

B

【考查情况】本小题作为应用题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学建模能力、空间想 象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。 【2012.17】如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 20

与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试 问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 【考查情况】本题作为应用题重点考查函数、方程和基本不等式的应用,弱化了建模难度,重在审题。 尤其第二小问炮弹击中的实际意思和数学含义是学生丢分的重要原因。只要明确炮弹可以击中目标等 价于存在 k ? 0 ,使 ka ?

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根即可。 20

【2013.17】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ? 0,3? ,直线 l:y ? 2 x ? 4 .设圆的半径为 1,圆

心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解: (1)

y ? 2 x ? 4① y ? x ? 1②

①与②联立得到圆心坐标 C ? 3, 2 ?

? 圆方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

切线斜率不存在时,不合题意

? 设切线方程为 y ? kx ? 3

?

3k ? 2 ? 3 1? k 2

?1

解得 k ? 0 或 k ? ?

3 4

3 ? 切线方程为 y ? 3 或 y ? ? x ? 3 4
(2)设 C ? a,2a ? 4 ? 则圆方程为 ? x ? a ? ? ? y ? 2a ? 4 ? ? 1
2 2

设 M ( x0 , y0 )



由题意 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? 2a ? 4 ? ? 1
2 2 2

2 2 2 ? M A? 2 M O ,? x0 ? ? y0 ? 3? ? 4 x0 ? 4 y0 2 2



2 即 x0 ? ? y0 ? 1? ? 4 2 2

? M 存在,? 圆 ? x ? a ? ? ? y ? 2a ? 4 ? ? 1 与圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 有交点
即两圆相交或相切

? ? 2 ? 1? ? d 2 ? ? 2 ? 1?
2

2

,即 1 ? ? a ? 0 ? ? ? 2a ? 4 ? (?1) ? ? 9
2 2

?0 ? a ?

12 5

【命题趋势分析】应用题五年来作为必涉及题型常考常新,基本趋势:强调背景朴实公平,降低和建 模难度,重数学方法、思维、处理能力。除了 09 年此位置出现数列题,而应用题后置,被诟病较多外, 后回归正常次序考查。

第 18 题
【2008.18】在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? b ( x ? R )与两坐标轴有 三个交点.经过三个交点的圆记为 C . (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论. 【考查情况】本题作为解析几何是以直线和圆的位置关系为考查素材,遵循考试说明要求。难点在第 三问,假设圆 C 过定点 ( x0 , y 0 ) ,将该点的坐标代入圆 C 的方程,
2 2 并变形为 x0 ? y0 ? 2x0 ? y0 ? b(1? y 0 ) ? 0 与 b 无关即可。

y

. .

【2009. 18】 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的 方程;

1 O 1 x

(2) 设 P 为平面上的点, 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 l1和l2 , 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐 标. 【考查情况】本题以直线与圆为解几考查背景,第二问重在挖掘几何性质,核心为弦心距相等且与斜 率无关可获解。 x2 y2 【2010.18】在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 + =1 的左右顶点为 A,B,右焦点为 F,设 9 5 过 点 T(t,m) 的 直 线 TA,TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M(x1,y1) , N(x2,y2) , 其 中 m>0,y1>0,y2<0. ⑴设动点 P 满足 PF2-PB2=4,求点 P 的轨迹 1 ⑵设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标 3 ⑶设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 【考查情况】本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求 解能力和探究问题的能力。第三小问需要联立方程分别得出 M,N 点坐标(用 m 表示) ,进而写出直线 MN 方程,令 y=0 即可。此题思维难度不大,但对学生运算推理能力要求高。

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点 【2011.18】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 2
的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延 y 长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; P (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; B (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB C M 【考查情况】本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方 直线与椭圆的方程等基础知识。同 10 年一样,设置了三小问,第一第二问操作简单 第三小问坚持考查学生对较复杂式子的运算推理能力。 A N

x

【2012.18】若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , 【考查情况】2012 年一改前四年此位置考查解析几何的惯例,变为考查函数的概念和性质,导数的应 用。解几后移加大了难度,函数题降低了难度,算是一种变革或尝试。 【2013.18】如图,游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后,乙从 A 乘 缆车到 B ,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min, 山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ? (1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过 3 分钟, 乙 步行的速度应控制在什么范围内?

3 12 , cos C ? . 5 13

12 3 , cos C ? 13 5 解:(1) ? 0 ? A ? ? , 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? 5 4 ? sin A ? ,sin C ? 13 5 ? cos A ?
? A ? B +C =?

?s i n B = s ?i n A C ?+
?

=s Ai n C cos

5 3 12 4 + A coC s ? s i n =? 13 5 13 5

63 + 65

=

AC AB BC = = sin B sin C sin A sin C 4 65 ? A B= ? AC = ? ? 1 2 6 0 =1 0 4 0 m sin B 5 63 sin A ? AC =500 (2) BC = sin B
设乙出发 t ? t ? 8? 分钟后,甲到了 D 处,乙到了 E 处 则有 AD =50t+100
2

AE ? 130t
2 2

根据余弦定理 DE ? AE ? AD ? 2 AE ? AD ? cos A 即 DE ? 7400t ? 14000t ? 10000
2 2

?当 t ?

14000 35 2 ? 时, DE 有最小值 2 ? 7400 37

DE ?

250 74 37

(3)设甲所用时间为 t甲 ,乙所用时间为 t乙 ,乙步行速度为 V乙 由题意 t甲 =

1260 126 = min 50 5

t乙 =2+

1040 500 500 +1+ =11+ min 130 V乙 V乙

??3 ?

126 ? 500 ? ? ?11 ? ??3 5 ? V乙 ?

解不等式得

1250 625 ? V乙 ? 43 14

【命题趋势分析】 :解析几何的考查对照考试说明, “圆的标准方程与一般方程”为 C 级要求,“中心 在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质”为 B 级要求,基本为命题的主要素材,若直线与圆会强调 几何性质的应用, 若直线与椭圆会强调对复杂式子的推理运算。 2014 估计还会循着这个方向加以考查。

第 19 题
【2008.19】 (1)设 a1 , a2 ,?, an 是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将此 数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; d

(ii)求 n 的所有可能值. (2)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b1,b2, bn , ?, 其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列. 【考查情况】本题严格遵循等差等比数列的考查方向,作为把关题立意重在新数列的构造和研究,对 数列进行从特殊到一般的纵向探究,对学生数学思维(分类讨论,推理探究)的考查达到一定的高度。 19 题第(1)问(Ⅱ)先得出结论,三项成等比数列不能是等差数列的连续三项,用此结论再证明;第 (2)问用反证法让学生有点猝不及防,说明高考对数列的考查是基于等差等比数列背景,能力、思维 立意基本固定。 【2009.19】按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价 为 m 元,则他的满意度为 m ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 n .如果一个人
m?a n?a

对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2 . 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成本分 别为 3 元和 20 元, 设产品 A、 B 的单价分别为 m A 元和 mB 元, 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 , 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1) 求 h甲 和 h乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 m ? 3 m 时,求证: h甲 = h乙 ; A B

5

(2) 设 m ? 3 m ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为 A B

5

多少? (3) 记(2)中最大的综合满意度为 h0 , 试问能否适当选取 mA 、mB 的值, 使得 h甲 ? h0 和 h乙 ? h0 同时成立, 但等号不同时成立?试说明理由。 【考查情况】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能 力以及数学阅读能力,作为应用题不算一个成功的案例。故不做过多阐述。 【2010.19】设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2a2=a1+a3,数列{ Sn}是公差为 d 的等 差数列. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式(用 n , d 表示) ⑵设 c 为实数,对满足 m+n=3k 且 m?n 的任意正整数 m,n,k,不等式 Sm+Sn>cSk 都成立。 9 求证:c 的最大值为 2 【考查情况】本题主要考查等差数列的有关知识、恒成立问题。第一问为基本概念,基本运算,易得
2 2 分,第二问由条件得到 c ? m ? n ,因为任意,分离变量转化为恒成立问题,使用基本不等式即可求得

k2

最大值。可见数列问题把关,基本上与不等式,函数知识结合考查是必然。 【2011. 19】 已知 a,b 是实数,函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx,
3 2

f ?( x ) 和 g ?( x ) 是 f ( x), g ( x) 的

导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致 (1)设 a ? 0 ,若 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求 b 的取值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若 f ( x ) 和 g ( x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大

值 【考查情况】本题第一问考查函数单调性运用、导数运算及应用,含参不等式实施参变分离转化为恒 成立问题,是把关题基本考查方式;第二小问,考查分类讨论,线性规划,解二次不等式,恒成立问 题,导数及其应用,数学化归及数形结合等思想方法,承载内容较多,学生难以招架。但说明把关题 的考查热点在这些知识、思想、方法方面。 【2012.19】如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 0) , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , a 2 b2

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心 F2 (c , 0) .已知 (1 , ? 2 ? ? ? 率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.
6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ? 【考查情况】本题为新课标卷五年来首次将解几放在 19 题位置作为把关,此种尝试反映尚可,值得关 注。第一问基本问题求解,第二问难度陡然加大,一小题两问,运算量大,推理难度高。思路不难发 现,但往往学生没有信心计算下去,所以解析几何把关,鉴于考试说明 B 级要求的约束,加大计算推 理难度基本形成共识。 【2013.19】设 ?an ? 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ? d ? 0 ? , S n 是其前 n 项和. 记 bn ?

nSn , n2 ? c

n ? N * ,其中 c 为实数.
(1) 若 c ? 0 ,且 b1 , b2 , b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ? k,n ? N * ? ; (2) 若 ?bn ? 是等差数列,证明: c ? 0 . 解: (1) an ? a ? ? n ?1? d ? d ? 0?

n2 ? n S n ? na ? d 2
c ? 0 时, bn ?

Sn n

S1 ?a 1 S d b2 ? 2 ? a ? 2 2 S 3d b4 ? 4 ? a ? 4 2 b1 ?
成等比 ?b1 , b 2, b 4

?b1 b4 ? b2 2
3d ? ? d? ? ?a ?? a ? ? ? ? a ? ? 2 ? ? 2? ? 2 ? d ? 2ad ?d ? 0 ? d ? 2a ? Sn ? n 2 a Snk ? n 2 k 2 a n2 Sk ? n 2 k 2 a ? Snk ? n 2 Sk
(2) 由已知 bn ?
2

nSn 2n 2 a ? n 3 d ? n 2 d ? n2 ? c 2n 2 ? 2c

? bn 是等差数列

? 设 bn ? kn ? b (k,b 为常数) ? 有 ? 2k ? d ? n3 ? ? 2b ? d ? 2a ? n2 ? 2ckn ? 2bc ? 0 对任意 n ? N ? 恒成立

? 2k ? d ? 0 ?2b ? d ? 2a ? 0 ? ?? ?2ck ? 0 ? ?2bc ? 0
?d ? 0

?k ? 0 ?c ? 0

此时

d 2 2a ? d b? 2 k?

命题得证

试题分析与命题趋势:数列综合题始终围绕着等差数列大做文章,2012 年转到了等比数 列的特性上。2011 年的数列题是国外的竞赛题改编而成;2012 年的数列题是国外的高考 题改编而成。总体上都是考查等差数列与等比数列的整体性质。

第 20 题
【2008.20】已知函数 f1 ( x) ? 3
x ? p1

, f2 ( x) ? 2 ? 3

x ? p2

( x ? R, p1 , p2 为常数) .函数 f ( x) 定义为:

对每个给定的实数 x , f ( x) ? ?

? f1 ( x), 若f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f 2 ( x), 若f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件(用 p1 , p2 表示) ; (2)设 a , b 是两个实数,满足 a ? b ,且 p1 , p2 ? (a, b) .若 f (a) ? f (b) ,求证:函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为

b?a (闭区间 [ m, n ] 的长度定义为 n ? m ) 2

【考查情况】第 20 题是一道函数题,这道题目有一定难度,能考查学生的综合解题能力,也考查了孩 子数学学习的潜力。这道题绝大多数考生可能都做不出来,只有数学学习能力较强的考生能做出来。 这道题目的难度主要是题型比较新颖,题目中也包含不少字母,考生们可能看不懂题目。应该说,从 这道题也反映出,考生们对数学符号的理解能力有所欠缺。 【2009.20】设 a 为实数,函数 (1) 若 (2) (3)

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; 求 f ( x) 的最小值; 设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....

【考查情况】本题选材含参绝对值问题,是大多学生的死穴,对分类讨论,分段函数等难点作了充分 的演绎。特别第三小问需要学生具备很强的分类意识和较强的运算能力。 x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得
3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 , ? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2

当 a ? ? 6 或a ? 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ;
2 2
? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 )( x ? ) ? 0 ,再分小类即可。 当 ? 6 ? a ? 6 时, ? ? 0, 得 ?( x ? ? 3 3

2

2

?x ? a ?

【2010.20】设 f(x)使定义在区间(1,+?)上的函数,其导函数为 f ?(x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其 中 h(x)对任意的 x?(1,+?)都有 h(x)>0,使得 f ?(x)]=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 P(a). b+2 ⑴设函数 f(x)=lnx + (x>1),其中 b 为实数 x+1 ①求证:函数 f(x)具有性质 P(b) ②求函数 f(x)的单调区间 ⑵已知函数 g(x)具有性质 P(2),给定 x1,x2?(1,+?),x1<x2,设 m 为实数,?=mx1+(1-m)x2,?=(1- m)x1+mx2,且?>1,?>1,若|g(?)-g(?)|<|g(x1)-g(x2)|,求 m 的取值范围 【考查情况】本题考查函数导数和单调性,对学生审题能力要求很高。 【2011.20】设M部分为正整数组成的集合,数列 {an } 的首项a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意整 数 k ? M,当整数 n ? k时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立 (1)设 M ? {1}, a2 ? 2, 求a5 的值; (2)设 M ? {3,4}, 求数列 {an } 的通项公式 【考查情况】本题把数列和集合知识的考查作为压轴尚属首次,要求较高,出乎预料。 【2012.20】已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

( 1)设 bn ?1 (2)设 bn ?1 ?

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? a n ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【考查情况】本题同 10 年一样,数列把关,第一问属较为基础,第二问难度大,对学生综合能力要求 较高。 【2013.20】设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论. 解: (1)

f ( x)' ? x ?1 ? a g ( x)' ? e x ? a
由题意: f ( x)' ? 0 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立 即 a ? x 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立
?1

?a ?1

? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值
a ? 0 时, g ( x)' ? 0 恒成立, g ( x) 在 ?1, ?? ? 无最值 a ? 0 时,由题意 ln a ? 1

a?e
综上: a 的范围是: a ? e (2)? g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数

? g ( x)' ? 0 对 x ? ? ?1, ??? 恒成立
即 a ? e 对 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立
x

? a ? e?1
令 f ( x) ? 0 ,则 a ?

ln x x ln x 图像交点的个数 x

则有 f ( x) 的零点个数即为 y ? a 与 y ? 令 h( x) ?

ln x ? x ? 0? x

则 h( x ) ?
'

1 ? ln x x2

易知 h( x) 在 ? 0, e ? 上单调递增,在 ? e, ?? ? 上单调递减 在 x ? e 时取到最大值 h(e) ?

1 ?0 e

ln x ? ?? x ln x ?0 当 x ??? 时, h( x ) ? x
当 x ? 0 时, h( x ) ?

? h( x) 图像如下

所以由图可知: a ? 0 时, f ( x) 有 1 个零点

0?a?

1 时, f ( x) 有 2 个零点 e

1 a ? 时, f ( x) 有 1 个零点 e 1 综上所述: a ? 0 或 a ? 时, f ( x) 有 1 个零点 e 1 0 ? a ? 时, f ( x) 有 2 个零点 e
函数综合题从简约型(如 2000 年、2006 年)到竞赛题型(如 2007 年,2008 年) ,再到近二年的导数 问题改编型,这种变化完全在于命题人的趣向。2012 年的函数题与 2007 年的函数题同出一辙,命题 人的这种做法,我们要研究以前的高考题。

第三部分

试题分析与命题趋势:

基本初等函数与函数的性质 试题分析与命题趋势:函数是高考数学的重要内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数 学的全过程,通过对近三年新课标卷考题的研究发现,考点可总结为六类:一是分段函数的求值问题, 二是函数的性质及其应用,三是基本函数的图像和性质,四是函数图像的应用,五是方程根的问题, 六是函数的零点问题。涉及到得函数思想也是相当的丰富,如分段函数问题常与分类讨论思想相结合, 有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等等价转化思想,研究函数的图像问题和基本函数的 性质时常利用数形结合思想等。高考常命制两道小题,一道基础题目,出现在前 5 道题目中,常考查 基本函数的性质或零点问题,另一道常以压轴的小题出现,常与方程的根或复合函数为背景考查,有 一定的难度和灵活性。 1.以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目,常与指对数运算结合在一起,同时也考查学 生能否 灵活运用分类讨论思想的解题能力。 2.以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。研究函数的性质可充分利用函 数的各种性质所反映的函数特点,来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融,只 有仔细审题,充分挖掘,把题目隐含的条件一一挖掘出来,综合利用性质才能达到解决问题的目的. 3.与指数(对数)函数有关的综合问题的考查,以函数某个性质为核心,结合其他知识,把问题延伸, 主要考查知识的综合运用和能力发展为目的.[来源:www.shulihua.net] 4.函数图象的考查涉及的知识面广,形式灵活,经常以新面孔出现,在基本的初等函数图象熟练地掌 握基础上,加以变换考查新函数的图象、性质等 . 5.利用转化思想解决方程问题,利用函数与方程思想解决函数应用问题,利用数形结合思想研究方程 根的分布问题,是高考的热点和难点,常作为压轴的选择题的形式出现。 6.函数的零点,二分法是新增内容,在高考中以选择题、填空题的形式考查的可能性较大。对于用二 分法求方程的近似解应引起重视,由于步骤的可重复性,故可与程序框图相机合编写部分题目,这也 是算法思想的的具体体现。解决由函数零点 (方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是 利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解. 导数及其应用 试题分析与命题趋势:利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容,常以一道大题 的形式出现,并且有一定的难度,往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想, 如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题,等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不 等式证明问题,分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题,同时要求考生有较 强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观近三年全国新课标高考题,常见的考点可分为八个方面, 一是导数的几何意义的应用,二是导数运算和解不等式相联系,三是利用导数研究函数的单调性,四 是利用导数研究函数的极值,五是利用导数研究函数的最值,六是利用导数研究不等式的综合问题, 七是利用导数研究实际应用问题的最优化问题,八是微积分的应用。 1.求导公式和法则,以及导数的几何意义是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难 度中档左右,在考查导数的概念及其运算的基础上,又注重考查解析几何的相关知识. 预测 2014 年高 考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点.重点考查运算及数形 结合能力。 2.利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点,既有小题,也有解答题,小题主 要考查利用导数研究函数的单调性和极值,解答题主要考查导数与函数单调性,或方程、不等式的综 合应用(各套都从不同角度进行考查) 预测 2014 年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主 要考向. 3 利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点,试题大多有难度,考查时多与函数 的单调性、极值结合命题,考生学会做综合题的能力.预测 2014 年高考仍将以利用导数研究函数的单 调性、极值与最值结合题目为主要考向,同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题. 4.微积分基本定理是高中数学的新增内容.通过分析近三年的高考试题,可以看到对它考查的频率较

低,且均是以客观题的形式出现的,难度较小,着重于基础知识、基本方法的考查.

数列 试题分析与命题趋势:数列是新课程的必修内容,从课程定位上说,其考查难度不应该太大,数列 试题倾向考查基础是基本方向.从近三年全国新课标卷的高考试题看,试卷中的数列试题最多是一道 选择题或者填空题,一道解答题.前两年在 17 题的位置考查了数列问题,而且试题的难度不大,题型 主要以考查两个基本数列与求数列和的基本方法,但是在今年的考题中,解答题考查的三角问题,第 12 题和 14 题考查了数列, 其中第 12 题做为选择题的压轴题难倒了很多考生, 由此我们可以预测 2014 年的高考中,数列试题会以考查基本问题为主,在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函 数导数的综合等,但难度会得到控制. 1.等差数列作为最基本的数列模型之一,一直是高考重点考查的对象.难度属中低档的题目较多,但 也有难度偏大的题目.其中,选择题、填空题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前 n 项和公式为 载体,结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想,要注重通性、通法;解答题“大而全”, 注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.预测 2014 年高考仍将以等差数列的定义、通项 公式和前 n 项和公式为主要考点,重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力. 2.等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有 解答题,难度中等偏高.客观题突出“小而巧”,考查学生对基础知识的掌握程度;主观题考查较为全 面, 在考查基本运算、 基本概念的基础上, 又注重考查函数与方程、 等价转化、 分类讨论等思想方法. 预 测 2014 年高考,等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式仍将是考查的重点,特别是等比数 列的性质更要引起重视. 3、等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点,题型以解答题为主,难度 偏高,主要考查学生分析问题和解决问题的能力.预测 2014 年高考,等差数列与等比数列的交汇、数 列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点,同时注意与程序框图的交汇,重点考查运算能 力和逻辑推理能力.



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