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2016届高三数学一轮复习第2篇第12节定积分的概念及简单应用课时训练理

【导与练】 (新课标) 2016 届高三数学一轮复习 第 2 篇 第 12 节 定 积分的概念及简单应用课时训练 理 【选题明细表】 知识点、方法 求定积分 定积分求面积 定积分的物理应用 由定积分求参数 综合应用 基础过关 一、选择题 1.设函数 f(x)= 则定积分 f(x)dx 等于( C ) 题号 1、2、7 4、8、13、16 3、5、12 6、9 10、11、14、15 (A) (B)2 (C) (D) 解析: f(x)dx= x dx+ 2 1dx = x 3 +x = .故选 C. 2.(2014 厦门模拟)设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则 ( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:f′(x)=mx +a=2x+1,得 m=2,a=1, 所以 f(x)=x +x,所以 f(-x)=x -x, 2 2 m-1 m f(-x)dx 的值等于 1 所以 f(-x)dx= (x -x)dx=( x - x ) = .故选 A. 2 3 2 3.如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功为( A ) (A)0.18 J (B)0.26 J (C)0.12 J (D)0.28 J 解析:由物理知识 F=kx 知,1=0.01k, ∴k=100 N/m, 则 W= 100xdx=50x 2 =0.18(J).故选 A. x 4.(2014 合肥模拟) 如图,由函数 f(x)=e -e 的图象,直线 x=2 及 x 轴所围成的阴影部分的面 积等于( B ) (A)e -2e-1 (B)e -2e (C) (D)e -2e+1 解析:由已知得 S= f(x)dx= (e -e)dx=(e -ex) =(e -2e)-(e-e)=e -2e.故选 B. 2 x x 2 2 2 2 2 5.一质点运动时速度与时间的关系式为 v(t)=t -t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2] 内的位移为( (A) (B) A ) (C) (D) 解析:∵v(t)>0, ∴质点在[1,2]内的位移 s 即为 v(t)在[1,2]上的定积分, ∴s= v(t)dt 2 = (t -t+2)dt 2 = = . 故选 A. 6.(2014 中山模拟)已知 t>0,若 (A)2 解析: (B)3 (C)6 (D)8 1dx=x 2 (2x-1)dx=6,则 t 的值等于( B ) (2x-1)dx= 2xdx- -x =t -t=6 得 t=3 或 t=-2(舍去).故选 B. 2 二、填空题 7.(2014 昆明模拟) ( + ) dx= 2 . 解析: ( + ) dx= 2 (x+ +2)dx=( x +ln x+2x) = +ln . 2 答案: +ln 8.(2014 南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线 xy=1 和直线 y=x 以及直线 y=3 的图象如图所示, 曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为 . 解析:所求区域面积为 S= 答案:4-ln 3 (3- )dx+ (3-x)dx=4-ln 3. 9.已知曲线 y=x 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 ,则 k= 2 . 3 解析:由 2 得 或 则曲线 y=x 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 (kx-x )dx=( x - x ) 即 k =8, ∴k=2. 答案:2 10.(2014 成都模拟)函数 y= (sin t+cos tsin t)dt 的最大值是 . 3 2 2 3 = - k= , 3 解析:y= (sin t+cos tsin t)dt = (sin t+ sin 2t)dt =(-cos t- cos 2t) =-cos x- cos 2x+ =-cos x- (2cos x-1)+ 2 =- cos x-cos x+ 2 =- (cos x+1) +2≤2, 当 cos x=-1 时取等号. 答案:2 三、解答题 11.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2, 2 4 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f′(0)=0, 得 2 2 即 ∴f(x)=ax +2-a. 又 f(x)dx= (ax +2-a)dx 2 =[ ax +(2-a)x] =2- a=-2, ∴a=6,从而 f(x)=6x -4. (2)∵f(x)=6x -4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,[f(x)]min=-4; 当 x=±1 时,[f(x)]max=2. 12.做变速直线运动的质点的速度方程是 v(t)= (1)求该质点从 t=10 s 到 t=30 s 时所走过的路程; (2)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程. 解:(1)s1= v(t)dt= tdt+ 20dt=350(m). (单位:m/s). 2 2 3 (2)该质点从开始到结束需 100 s,走过的路程为 s2= v(t)dt = tdt+ 20dt+ (100-t)dt =1600(m). 能力提升 5 13.(2014 珠海模拟)由曲线 y=x 和直线 x=0,x=1,y=t (t 为常数且 t∈(0,1))所围成的图形 (阴影部分)的面积的最小值为( A ) (A) (B) (C) (D) 2 2 解析:由 得交点(t,t ). 2 故 S= (t -x )dx+ 2 2 (x -t )dx 2 2 =(t x- x ) +( x -


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