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惠州市2013届高三第三次调研考试理科数学试题与答案


惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

1 ? 3i 的共轭复数是( .... i3

) C. 3 ? i ) D. 13 D. 3 ? i

A. ?3 ? i

B. ?3 ? i

2.已知向量 p ? ? 2 , 3? , q ? ? x ,? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为( ? 6 A. 5 B. 13 C. 5

3.已知集合 A ? ??1, , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集 1? 合为( A. ??1? D. ??1,, 0 1? 4.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( , ) B. ?1? C. ??1, 1?

?

?

1 2

2 ) ,则 log4 f (2) 的值为( 2
C.2



A.

1 4

B. -

1 4

D.-2 )

5. m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( “

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20 )

?x ? y ? 5 ? 0 ? ,则z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( y 7.已知 x , 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?
A. ?14 B. ?15 C. ?16 8.数列{ an } 中, an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则数列{ an }前 12 项和等于(

) D. ?17 )

1

A.76

B.78

C. 80

D.82 开 始 输入 n

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 , 则 n 的值为 .

10.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为________.

x2 y 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛线线 y2 ? 4 10x 的焦点 a b k=k+ 10 1 重合,且双曲线的离心率等于 ,则该双曲线的方程为 . 否 3
12.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题 ? ? 中正确的有 .

k ?0

n ? 3n ? 1

=3

n ? 150 ?
是 输 出 k ,n 结 束

n 则 ? 则 ① 若m‖? ,‖? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ;
m 则 n 则 ③ 若m‖? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, 13.已知函数 f ? x ? ? ? .若 f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 2 ?a x ? a ,x ? 1 ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 .
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

PA OB 14. 几何证明选讲选做题) ( 如图, 切 ? O 于点 A , 割线 PBC 经过圆心 O , ? PB ? 1 ,

OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD ,则 PD 的长为



15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A 、 B 的极坐标分别为 (3 , ) ,

?

(4 , ) ,则△ AOB (其中 O 为极点)的面积为 6

?

3



三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

0 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?(其中 x ? R , ? ? ? ? ) ,

? ?? ? 且函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 6 4? ?
(1)求 ? 的值; (2)若 f (? ?

2? 2 )? ,求 sin 2? 的值。 3 4

17. (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学 成绩(满分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: ? 40 , ? , ?50 , ? ,?, 50 60

2

100 ?90 , ? 后得到如下图的频率分布直方图.
(1)求图中实数 a 的值; (2) 若该校高一年级共有学生 640 人, 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数; (3)若从数学成绩在 ? 40 , ? 与 ?90 , ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求 50 100 这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。 a
0.025 0.020

频率 组距

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

18. (本小题满分14分)如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AD ? AA ? 1 , AB ? 2 , 1 1 点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明: D1E ? A D ; 1 (2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? ? 4
D1 C1

A1

B1

D A E B

C

x 19. (本小题满分 14 分)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,

1 3

等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c , 且前 n 项和 Sn 满足:

Sn - Sn?1 = S n + Sn?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

3

(2)若数列 {cn } 的通项 cn ? bn ? ( ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn ;
n

1 3

(3)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? 2009 bn bn?1

20.本小题满分14分) ( 设椭圆 M :

x2 y 2 直线 l : x ? ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 , a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若 OF ? 2F A (其中 O 为坐标原点) . 1 1 (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、
2

????

????

F 为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ? (1)若 x ? 2 为 f (x ) 的极值点,求实数 a 的值;

x3 ? x 2 ? 2ax ? a?R ? . 3

(2)若 y ? f (x) 在 ?3 , ?? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; ?

1 ?1 ? x ? + b 有实根,求实数 b 的最大值。 (3)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 3 x
3

4

参考答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D B C A C A B B 答案

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D. i3 2. 【解析】 2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 .故 ? 6) 3)
1. 【解析】 选 B. 3. 【解析】 a ? 0或1 或 ?1 .故选D.

1? 2 1 1 1 1 2 4. 【解析】由设 f ( x) ? x ,图象过点 ( , ) 得 ( ) ? ? ( )2 ? ? ? , 2 2 2 2 2 2 1 1 log 4 f (2) ? log 4 2 2 ? .故选 A. 4 x2 y 2 1 1 2 2 ? ? 1 , m ? n ? 0 ? 0 ? ? ,即 p ? q .故选 C. 5. 【解析】 mx ? ny ? 1 ? 1 1 m n m n
?

6. 【解析】甲中位数为 19,甲中位数为 13.故选 A. 7. 【解析】最优解为 (?2.5 , 2.5) ? zmin ? ?15 .故选 B. ? 8. 【解析】 an?2 ? an ? (?1)n (2n ?1) ? (2n ? 1) ,

5, 6 10 取 n ? 1, 9 及 n ? 2 , , ,
结果相加可得 S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78 .故选 B. 二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

x2 ? y2 ? 1 12.④ 13.?1,? 14. 7 15.3 2 9 1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 .答案: 7 . 9. 【解析】 Sn ? 127 ? 1? 2 k k k k 10. 【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3.
9.7 10.3 11. 11. 【解析】抛线线 y2 ? 4 10x 的焦点 ( 10 , ) ? a2 ? b2 ? 10 . 0

e?
m?

n n n 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;

x2 10 10 ? ? a ? 3 ? b ? 1.答案: ? y 2 ? 1. 9 a 3

? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.
2

13. 【解析】 1 ?

1 a ? 2 ? 0 ? a ? 2 , a x ? a 是增函数,所以 a ? 1 2 ? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 【解析】∵PA 切 ? O 于点 A,B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA, ∴ ?AOB ? 60 ,∴ ?POD ? 120 ,在△POD 中由余弦定理,
? ?

得: PD ? PO ? DO ? 2PO ? DO cos ?POD
2 2 2

= 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 .
5

1 2

解析 2:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E,∵ ?POD ? 120 ,
?

∴ ?DOB ? 60 ,
?

1 3 , DE ? ,在 Rt ?PED 中, 2 2 25 3 2 2 ∴ PD ? PE ? DE ? ? ? 7 .答案: 7 . 4 4
可得 OE ? 15. 【解析】 A 、 B 的极坐标分别为 (3 , ) , (4 , ) ,则 S? ABC ?

?

?

3 6 1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 (其中 O 为极点) .答案 3. 2 6

1 OA? OBsin?AOB ? 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,??????????????2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .??????????????3分

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,??????????????5分 4? 4 ? ? ? 又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? ( k ? Z ) ,????????????6分 2 ? ? 令 2 x ? ? ? ? k? ? , 4 2 ? ? 将 x ? 代入,得 ? ? k? ? (k ?Z ) . 6 12 11? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? .??????????????7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 (2)解: f (? ? )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ,?9 3 4 3 12 4 2
∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??



sin ? ? cos ? ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ???12分 2 4 4

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .??????????1 分 解得 a ? 0.03 .???????????????????????????2 分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 . ????????????????????3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数学成 绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.???????????????5 分 (3)解:成绩在 ? 40 , ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,?????? 50 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,
2

6分

????????????7 分 ??????? 9分

若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 C6 ? 15

如果两名学生的数学成绩都在 ? 40 , ? 分数段内或都在 ?90 , ? 分数段内, 那么这两名学 50 100 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40 , ? 分数段内, 另一个成绩 50

6

在 ?90 , ? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.???10 分 100
2 2 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 C2 ? C4 ? 7 ??11 分

所以所求概率为 P ? M ? ?

7 .?????????????????????13 分 15

18. (本小题满分14分) (1)证明:如图,连接 D1B ,依题意有:在长方形 A ADD1 中, AD ? AA ? 1 , 1 1

四边形A1 ADD1 ?

A1 D ? AD1 ? ? ? A1 D ? 平面AD1 B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E .??? 4 分 ? D1 E ? 平面AD1 B ? AD ? AB ? A?

(2)解: AC ?

AB2 ? BC 2 ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,

D
1

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 , A 1? 2 ? 5 2 B , cos ?AEC ? ?? 1 2 2 ?1? 2 1 2 . ? sin ?AEC ? 2 D 450 1 2 1 ∴ S?AEC ? ?1? 2 ? ? ,????? 6 分 F A 2 2 2 B E 1 1 1 2 2 2 2 VD1 ? AEC ? ?1? ? . AD1 ? AA1 ? DA ? 2 , D1C ? D1C1 ? CC1 ? 5 , 3 2 6 1 5? 1 3 10 3 2 ? 3 10 .∴ S ? sin ?D1 AC ? ? 2? 5? ? . ?A1DC ? 10 2 10 2 5 1 3 1 1 设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,∴ VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? . 3 2 6 3 1 ∴点 E 到平面 ACD1 的距离为 . ??????????????????? 8 分 3 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 D1F .由三垂线定理可知, ?DFD1 为二面 角 D1 ? EC ? D 的平面角. ? ? ∴ ?DFD1 ? , ?D1 DF ? , D1D ? 1 ? DF ? 1 . ????????? 10 分 4 2 DF 1 ? ? sin ?DCF ? ? ? ?DCF ? ,∴ ?BCF ? .???????? 12 分 DC 2 6 3 ? BE ? BE ? 3 , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 . ∴ tan ? 3 BC ? 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的平面角为 .??????????? 14 分 4
19. (本小题满分14分)

C
1

C

1 ?1? 解: (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3? 1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9
7

x

2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27

4 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 2 a3 ? 3 3 27 n ?1 n a2 1 2?1? ?1? n ? N * ;????????2 分 又公比 q ? ? ,所以 an ? ? ? ? ? ?2 ? ? a1 3 3? 3? 3? ?
2 2

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列
n

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2
????????? 5 分

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;又其满足 b1 ? c ? 1,

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );

(2)? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? ,所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn

?1? ? 3?

n

?1? ? 3?
3

n

?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4

1

2

3


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
①式减②式得:



n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ?? 7 分 3 3 ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? 2 n ?1 ?1? ? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? n ?1 n ? 3? ? ? 3? ? 2 1 ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? ? 2 ? 2(n ? 1) ? ? 1 ? ?9 分 化简: Rn ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 3 3 3 3 ?3? ? 3? 1? 3

n ?1 ???????????????? 10 分 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 (3) Tn ? ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
所以所求 Rn ? 1 ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?? 12 分

1? 1 ? n ;?? 13 分 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 n 1000 1000 1000 ? 由 Tn ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ???14 分 2n ? 1 2009 9 2009
20. (本小题满分14分)
8

解: (1)由题设知, A(

a2 a ?2
2
2

, , F1 0)

?

a2 ? 2 , ,????????????1 分 0

?

由 OF ? 2 AF ? 0 ,得 a ? 2 ? 2? 1 1 解得 a ? 6 .
2

????

????

? a2 ? ? a 2 ? 2 ? ,??????????3 分 ? 2 ? ? a ?2 ?

x2 y2 ? ? 1 .??????????????????4 分 6 2 2 (2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N ,
所以椭圆 M 的方程为 M : 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ??????????????????6 分

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP ????????????????7 分 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1 .????????????????????????8 分

?

?

??

??

?

?

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.??????????????9 分
2 2

2

因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x0 ,0 ? ,???????????????10 分 y

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .??????????????????11 分 6 2
因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .???????12 分
2 2 2 2

因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.???????13 分

2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.??????????????????????14 分 方法 2:设点 E( x1 ,1 ) , ( x2 ,2 ), P( x0 ,0 ) , y F y y 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ?????????????7 分

??? ??? ? ?

? x2 ? ? x1 , ???????????????6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .???????????????9 分 2 2 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .??????10 分
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .??????????11 分 6 2 ??? ??? ? ? 2 2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) ? 11.??????????????12 分 ??? ??? ? ? ? 11 .?????????14 分 因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

?

?

min

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,?????????6 分 由?

? y ? kx ? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

k 2 ?1 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,0 ? , y

,解得 x ? ?

1

.?????????????????7 分

9

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .?????????????????8 分 6 2 ? ??? ? 1 ? ? ? ??? ? 1 k k ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 所以 PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? 2 2 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ? ? k ?1 ?
?????????????9 分 所以 PE ? PF ? x0 ?
2

2

2

1 k 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11. k ?1 k ?1
2

2

??????????????10 分 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或

y ? 3.
不妨设, E ? 0 ,? , F ? 0 ,? . 3 1
2 2

????????????????12 分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,0 ? , y

x0 y 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ??? ? ??? ? 所以 PE ? ? ? x0 , ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,? y0 ? . 3 1 ??? ??? ? ? 所以 PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11.
所以 因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????13 分

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.????????????????14 分 21. (本小题满分 14 分)

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? 2a 2 ? .??1 分 ? x ? 2 x ? 2a ? ? 解: (1) f ?( x) ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2? ? 0 .?????????????2 分
2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . ????????????????3 分 4a ? 1 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. ?????4 分


?

?

(2)因为 f ? x ? 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ?

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立. ??5 分 2ax ? 1 ? ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增 函数,故 a ? 0 符合题意.????????????????6 分 ②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能
a ? 0, 2 2 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ?[3 , ?) 上恒成立. ????????7 分 ? 1 2 2 令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ? , ????8 分 4a

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ?

10

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, ? 4a 2 因为 g ? 3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,解得
因为 a ? 0 所以 1 ?

3 ? 13 3 ? 13 . ??????????????9 分 ?a? 4 4 3 ? 13 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 4 ? 3 ? 13 ? ?. 综上所述, a 的取值范围为 ?0 , 4 ???????????10 分 ? ? b 1 (1 ? x)3 b a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . (3)若 2 x 3 x 2 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0 , ? ? 上有解, ?
即求函数 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域. 以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法:
2 2 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ( x ? 0) ,

????????????11 分

?

?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? , ????????????12 分 x x 所以当 0 ? x ? 1 , h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数, 时 1) 当 x ?1 ??????13 分 时,?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, h 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. ???????????????14 分 2 2 方法 2:因为 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x ? ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x .
则 h?( x) ? 设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则 p?( x) ?
2

1 6 x2 ? 2 x ?1 . ? 2 ? 6x ? ? x x 1? 7 1? 7 当0 ? x ? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (0 , ) 上单调递增; 6 6 1? 7 1? 7 当x? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( , ?) 上单调递减; ? 6 6 ? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? p ?1? ? 0 ,故必有 p ? 6 ? ? 0 ,又 p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , 因为 ? ? e e e ? ? ?e ?
因此必存在实数 x0 ?(

1 1? 7 , )使得 g '( x0 ) ? 0 , e2 6 ? ) 0 ?当0 ? x ? x时,g ( x ? ,所以 g ( x)在? 0 ,0 ? 上单调递减; x 0
当 x0 ? x ? 1 时, ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增; g 当 x ?1 时, '( x) ? 0 , g( x)在?1, ?? 上单调递减; g 所以 ? 又因为 g ( x) ? x ln x ? x ? x ? x(ln x ? x ? x ) ? x(ln x ? ) ,
2 3 2

1 4

11

ln 当 x ? 0时 , x ?

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. ????????????????14 分

12


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