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第二讲基本初等函数的图象与性质


第二讲 基本初等函数的图象与性质

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要点串讲 1.求函数的定义域主要考虑以下几点 分母不能为 求函数的定义域主要考虑以下几点:分母不能为 求函数的定义域主要考虑以下几点 分母不能为0; 偶次根号下的式子不小于0;对数的真数大于 底 偶次根号下的式子不小于 对数的真数大于0,底 对数的真数大于 数大于0且不等于 不等于0;注意实际问题 数大于 且不等于1;a0中a不等于 注意实际问题 且不等于 不等于 中变量的范围等. 中变量的范围等 2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质 它的运 函数的单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运 函数的单调性是函数性质中最活跃的性质 用主要体现在不等式方面,如比较大小 解抽象函数 用主要体现在不等式方面 如比较大小,解抽象函数 如比较大小 不等式等. 不等式等

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判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性应 判断函数的单调性的主要方法 研究函数的单调性应 结合函数的单调区间,单调区间应是定义域的子 结合函数的单调区间 单调区间应是定义域的子 集): (1)定义法 即作差法 主要步骤为 取值——作差—— 定义法,即作差法 主要步骤为:取值——作差 定义法 即作差法(主要步骤为 取值——作差—— 变形——判符号——下结论);(2)图象法 图象法;(3)单调性 变形——判符号——下结论 ——判符号——下结论 图象法 单调性 的运算性质(实质上是不等式的性质 的运算性质 实质上是不等式的性质);(4)复合函数 实质上是不等式的性质 复合函数 的单调性判断法则;(5)导数法 导数法. 的单调性判断法则 导数法

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3.判断一个函数的奇偶性时 要注意函数的定义域是 判断一个函数的奇偶性时,要注意函数的定义域是 判断一个函数的奇偶性时 否关于原点对称.若定义域关于原点不对称 那么该 否关于原点对称 若定义域关于原点不对称,那么该 若定义域关于原点不对称 函数一定不具有奇偶性.若奇函数 函数一定不具有奇偶性 若奇函数y=f(x)在x=0处 若奇函数 在 处 有定义,则 有定义 则f(0)=0,灵活使用这一结论可以简化运算 灵活使用这一结论可以简化运算 过程.若函数 是偶函数,则 过程 若函数f(x)是偶函数 则f(x)=f(|x|),利用这个 若函数 是偶函数 利用这个 性质,可以避免一些分类讨论 有利于灵活利用函数 性质 可以避免一些分类讨论,有利于灵活利用函数 可以避免一些分类讨论 的单调性. 的单调性

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4.解决与分段函数有关的问题 最重要的就是掌握逻 解决与分段函数有关的问题,最重要的就是掌握逻 解决与分段函数有关的问题 辑划分思想,即将问题分段解决 还要熟练掌握研究 辑划分思想 即将问题分段解决,还要熟练掌握研究 即将问题分段解决 分段函数性质(奇偶性?单调性等 的一般方法 的一般方法;解决 分段函数性质 奇偶性?单调性等)的一般方法 解决 奇偶性 与抽象函数有关的问题时,最重要的是掌握赋值法 与抽象函数有关的问题时 最重要的是掌握赋值法, 最重要的是掌握赋值法 并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型,帮助 并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型 帮助 探求结论,找到解题的思路和方法 探求结论 找到解题的思路和方法. 找到解题的思路和方法

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5.函数的周期性的定义及常用结论 一般地, 对于函数f ( x ) , 如果对于定义域中的任意一个x的值, 若f ( x + a ) = f ( x + b )( a ≠ b ) , 则f ( x ) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期; 若f ( x + a ) = ?f ( x )( a ≠ 0 ) , 则f ( x ) 是周期函数, 2a是它的一个周期; 1 若f ( x + a ) = (a ≠ 0且f ( x ) ≠ 0), 则f ( x ) 是周期函数, f ( x) 2a是它的一个周期; 1 + f ( x) 若f ( x + a ) = (a ≠ 0且f ( x ) ≠ 1), 1 ? f ( x) 则f ( x ) 是周期函数, 4a是它的一个周期.
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若f ( x + T ) = f ( x )( T ≠ 0 ) , 则f ( x ) 是周期函数, T是它的一个周期;

6.有关对称性的几个重要结论 有关对称性的几个重要结论

一般地,对于函数 一般地 对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个 对于函数 如果对于定义域内的任意一个 x的值 的值, 的值 则函数f(x)的图象关于直线 = a + b 的图象关于直线x 若f(x+a)=f(b-x),则函数 则函数 的图象关于直线
2

对称.特别地 若 函数f(x)的图象关于直 对称 特别地,若f(a+x)=f(a-x),函数 特别地 函数 的图象关于直 对称; 线x=a对称 对称 则函数f(x)的图象关于点 ( a + b , 0) 若f(a+x)=-f(b-x),则函数 则函数 的图象关于点 中心对称.特别地 若 则函数f(x)的图 中心对称 特别地,若f(a+x)=-f(a-x),则函数 特别地 则函数 的图 象关于点(a,0)中心对称 中心对称. 象关于点 中心对称
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2

7.对称性与周期性之间的关系 对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系?紧密相关的 一般地 一般地, 周期性与对称性是相互联系?紧密相关的.一般地 的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)必 若f(x)的图象有两条对称轴 的图象有两条对称轴 和 则 必 为周期函数,且 是它的一个周期; 为周期函数 且2|b-a|是它的一个周期 是它的一个周期 的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则 若f(x)的图象有两个对称中心 的图象有两个对称中心 和 则 f(x)必为周期函数 且2|b-a|是它的一个周期 必为周期函数,且 是它的一个周期; 必为周期函数 是它的一个周期 的图象有一对称轴x=a和一个对称中心 若f(x)的图象有一对称轴 的图象有一对称轴 和一个对称中心 (b,0)(a≠b),则f(x)为周期函数 且4|b-a|是它的一个 则 为周期函数,且 为周期函数 是它的一个 周期. 周期
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高频考点 类型一 函数的图象与性质

e x + e? x 【例1】函数y = x ? x 的图象大致为 ( e ?e

)

[分析 先确定函数的定义域 分析] 先确定函数的定义域{x|x≠0},再确定函数的单调 分析 再确定函数的单调 以此利用排除法可得正确答案. 性,以此利用排除法可得正确答案 以此利用排除法可得正确答案
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[解析]由题意, 得e ? e
x x ?x

?x

≠ 0,

所以函数定义域为{x | x ≠ 0}. e +e e +1 2 = 1+ 2x , 又因为y = x ? x = 2 x e ?e e ?1 e ?1 所以当x > 0时函数为减函数.又函数y是奇函数,
2x

故选A.
[答案 A 答案] 答案

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[点评 本题的求解需要较强的解题技巧 首先 求解函数的定 点评] 本题的求解需要较强的解题技巧.首先 首先,求解函数的定 点评 函数为减函数进而得解.这里 函数的化简 图象的观察等等, 函数为减函数进而得解 这里,函数的化简?图象的观察等等 这里 函数的化简? 不仅需要扎实的基本功,而且还需要熟练的解题技巧 不仅需要扎实的基本功 而且还需要熟练的解题技巧. 而且还需要熟练的解题技巧
2 , 义域{x|x≠0};其次 将函数化简为 其次,将函数化简为 可得当x>0时 义域 其次 将函数化简为y=1 + 2 x 可得当 时 e ?1

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? x 2 + bx + c 【探究1】设函数f ( x) = ? 2 ? 若f ( ?4 ) = f ( 0 ) , f ( ?2 ) = ?2,

x≤0, x > 0,

求关于x的方程f ( x ) = x的解的个数.

分析:由两个已知条件可求出 、c,再利用图象或解方程求解 再利用图象或解方程求解. 分析 由两个已知条件可求出b、 再利用图象或解方程求解 由两个已知条件可求出

求未知参数→解方程或画出图象 下结论 求未知参数 解方程或画出图象→下结论 解方程或画出图象 下结论.

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解 : 解法一 :由f ( ?4 ) = f ( 0 ) , f ( ?2 ) = ?2, 可得b = 4, c = 2, ? x 2 + 4 x + 2 x≤0, ∴ f ( x) = ? x > 0, 2 ? x > 0, x≤0, ? ? ∴ 方程f ( x ) = x等价于 ? 或? 2 ? x = f ( x) = 2, ? x + 4 x + 2 = x. x≤0, ? 即x = 2, 或 ? 2 ? x + 3 x + 2 = 0. ∴ x = 2或x = ?1或x = ?2, 即f ( x ) = x有3个解.
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解法二 :由f ( ?4 ) = f ( 0 ) , f ( ?2 ) = ?2, 可得b = 4, c = 2. ? x 2 + 4 x + 2 x≤0, ∴f ( x) = ? 2 x > 0, ? 图象如图所示. 方程f ( x ) = x解的个数即y = f ( x ) 与y = x图象的交点个数. 由图知两图象有A?B?C三个交点, 故方程有3个解.

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点评:函数的图象从形式上很好地反映出了函数的性 点评 函数的图象从形式上很好地反映出了函数的性 所以在研究函数时,注意结合图象 质,所以在研究函数时 注意结合图象 在解方程和 所以在研究函数时 注意结合图象,在解方程和 不等式等问题时,借助图象能起到十分快捷的效果 不等式等问题时 借助图象能起到十分快捷的效果, 借助图象能起到十分快捷的效果 但要注意,利用图象求交点个数或解的个数问题时 但要注意 利用图象求交点个数或解的个数问题时, 利用图象求交点个数或解的个数问题时 作图要十分准确,否则容易解错 作图要十分准确 否则容易解错. 否则容易解错

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类型二 分段函数及其应用

【例2】定义在R上的函数f ( x ) 满足f ( x) x≤0, ? log 2 (4 ? x), =? 则f ( 3)的值为 ( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0, A. ? 1 B. ? 2 C.1 D.2

)

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[分析 先利用条件求出 分析] 先利用条件求出f(1),f(2)的值 再求得 的值,再求得 分析 的值 f(3)的值 的值. 的值 [解析 解析] 解析 由题意得,f(-1)=log25,f(0)=log24=2,f(1)=f(0)由题意得 f(-1)=2-log25,f(2)=f(1)-f(0)=-log25,所以 所以 f(3)=f(2)-f(1)=-log25-(2-log25)=-2.故选 故选B. 故选 [答案 B 答案] 答案
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x<0 ? sin(π x) 【探究2】已知函数f ( x) = ? , ? f ( x ? 1) ? 1 x > 0 11 如果当 ? 2 < m < 0时, 有f ( ) + f ( m ) = ?2, 6 则实数m等于 ( ) 1 7 1 11 A. ? 或 ? B. ? 或 ? 6 6 6 6 11 7 1 5 C. ? 或 ? D. ? 或 ? 6 6 6 6
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11 11 5 5 解析 :由于f ( ) = f ( ? 1) ? 1 = f ( ) ? 1 = f ( ? 1) ? 2 6 6 6 6 1 5 π = f (? ) ? 2 = sin(? ) ? 2 = ? , 6 6 2 11 5 ∴ f ( ) + f (m) = ? + sin(mπ ) = ?2, 6 2 1 7 11 ∴ sin(mπ ) = , 根据 ? 2 < m < 0可知, m = ? 或m = ? . 2 6 6

答案:C 答案

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点评:已知分段函数的函数值 或取值范围 点评 已知分段函数的函数值(或取值范围 求对应自 已知分段函数的函数值 或取值范围)求对应自 变量的值(或取值范围 时 通常运用方程思想或不 变量的值 或取值范围)时,通常运用方程思想或不 或取值范围 等式思想将问题转化为方程(组 或不等式 或不等式(组 进行 等式思想将问题转化为方程 组)或不等式 组)进行 求解,但应注意分段考虑 避免漏解 求解 但应注意分段考虑,避免漏解 但应注意分段考虑 避免漏解.

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函数的奇偶性? 类型三 函数的奇偶性?单调性及其应用

1 【例3】已知函数f ( x) = 2 + x 2 ? a (常数a ∈ R + ). x (1) 求函数f ( x )的定义域, 判断f ( x )的奇偶性并说明理由;

( 2 ) 若f (1) = 4, 试研究函数f ( x ) 在定义域内的单调性,

并利用单调性的定义给出证明.
[分析 本题考查函数的定义域?奇偶性?单调性 分析] 本题考查函数的定义域?奇偶性?单调性. 分析

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[解] (1) 定义域为 : ( ?∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ ) ; 1 1 2 2 + | (? x) ? a |= 2 + | x ? a |= f ( x ) , Q f (? x ) = 2 (? x) x ∴ f ( x ) 是偶函数.

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( 2 )由f (1) = 4得1 + 1 ? a

= 4, 解得a = 4(a = ?2舍去),

? 1 + x 2 ? 4( x≤ ? 2或x≥2) ? x2 1 ? 这时f ( x) = 2 + | x 2 ? 4 |, 故f (x = ? x ? 1 ? x 2 + 4(?2 < x < 2且x ≠ 0) ? x2 ? 1 ①当x ≤ ?2或x ≥ 2时, f ( x) = 2 + x 2 ? 4, x 1 1 1 2 2 2 2 设2 ≤ x1 < x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = 2 + x1 ? 2 ? x2 = ( x2 ? x1 )( 2 2 ? 1), x1 x2 x1 x2
2 由2≤x1 < x 2 ? x12 x2 > 16 ?

∴ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ,∴ f ( x ) 在 [ 2, +∞ ) 上是增函数;
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1 1 2 < , 又x2 ? x12 > 0, 2 x12 x2 16

又f ( x ) 是偶函数,∴ f ( x ) 在 ( ?∞, ?2] 上是减函数;

1 ②当 ? 2 < x < 2(x ≠ 0)时, f ( x) = 2 ? x 2 + 4, x 1 1 2 2 设0 < x1 < x 2 < 2, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = 2 ? x1 ? 2 + x2 x1 x2 1 = ( x ? x )( 2 2 + 1) > 0, x1 x2
2 2 2 1

∴ f ( x ) 在 ( 0, 2 ) 上是减函数, 又f ( x ) 是偶函数, 于是f ( x ) 在 ( ?2, 0 ) 上是增函数. 综上所述, 函数f ( x ) 在[2, +∞)和 ( ?2, 0 ) 上是增函数; 在 ( ?∞, ?2] 和 ( 0, 2 ) 上是减函数.

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[点评 证明函数的单调性务必回到定义 因为定义 点评] 证明函数的单调性务必回到定义,因为定义 点评 揭示了概念的本质,其关键是对 揭示了概念的本质 其关键是对f(x1)-f(x2)的表达式 其关键是对 的表达式 进行合理地变形,以有利于判断出其符号 常用的变 进行合理地变形 以有利于判断出其符号.常用的变 以有利于判断出其符号 形方法有:因式分解法?配方法?分子分母有理化等 形方法有 因式分解法?配方法?分子分母有理化等. 因式分解法

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?2 x + b 【探究3】已知定义域为R的函数f ( x ) = x +1 是奇函数. 2 +a (1) 求a, b的值; 求k的取值范围.

( 2 ) 若对任意的t ∈ R, 不等式f ( t 2 ? 2t ) + f ( 2t 2 ? k ) < 0恒成立,
分析:结合奇函数的定义或特值法求参数 、b的值 的值, 分析 结合奇函数的定义或特值法求参数a、 的值 结合奇函数的定义或特值法求参数 对于(2)要设法进行等价转化 对于 要设法进行等价转化. 要设法进行等价转化

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解 : (1) Q f ( x ) 是奇函数, ?1 + b ∴ f ( 0 ) = 0,即 = 0, 解得b = 1. 2+a ?2 x + 1 从而有f ( x ) = x +1 . 2 +a 1 ? +1 ?2 + 1 =? 2 又由f (1) = ?f ( ?1) , 知 4+a 1 + a, 解得a = 2. 故a = 2, b = 1.
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?2 + 1 1 1 ( 2 ) 解法一 :由(1) 知f ( x) = x +1 = ? + x . 2 +2 2 2 +1 由上式易知f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上为减函数.
x

又因f ( x ) 是奇函数, 从而不等式f ( t 2 ? 2t ) + f ( 2t 2 ? k ) < 0 等价于f ( t 2 ? 2t ) < ?f ( 2t 2 ? k ) = f ( ?2t 2 + k ) .

因为f ( x ) 是减函数,由上式推得t 2 ? 2t > ?2t 2 + k. 即对一切t ∈ R有3t 2 ? 2t ? k > 0. 从而判别式? = 4 + 12k < 0, 1 解得k < ? . 3
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?2 + 1 解法二 :由(1) 知f ( x ) = x +1 . 2 +2
x

又由题设条件得 即(2
2 t 2 ? k +1

?2 2

t 2 ? 2t

+1 +2

t 2 ? 2 t +1

+

?2 2

2t 2 ?k

+1 +2

2 t 2 ? k +1

< 0.
2t 2 ? k

+ 2)(?2

t 2 ?2t

+ 1) + (2

t 2 ? 2 t +1

+ 2)(?2

+ 1) < 0.

整理得2

3t 2 ? 2 t ? k

> 1.因底数2 > 1, 故3t 2 ? 2t ? k > 0.

上式对一切t ∈ R均成立, 从而判别式? = 4 + 12k < 0, 1 解得k < ? . 3
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点评:(1)已知函数的奇偶性?单调性和参数,注意利用 已知函数的奇偶性?单调性和参数 注意利用 点评 已知函数的奇偶性 下列关系:f(x)为奇 或偶 函数 则定义域关于原点 为奇(或偶 函数,则定义域关于原点 下列关系 为奇 或偶)函数 对称,且对定义域内任意的 恒有 对称 且对定义域内任意的x,恒有 且对定义域内任意的 恒有f(-x)=-f(x)(或f(或 x)=f(x))成立 成立.f(x)为单调增 或减 函数 则f(x)在定 为单调增(或减 函数,则 成立 为单调增 或减)函数 在定 义域内对任意的x1,x2,当x1<x2时,不等式 义域内对任意的 当 不等式 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))恒成立 恒成立; 或 恒成立

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(2)对本题中 可利用“f(x)是奇函数 则f(-x)=-f(x)恒成立” 对本题中(1)可利用 是奇函数,则 恒成立” 对本题中 可利用“ 是奇函数 恒成立 作转化,但较繁琐 作转化 但较繁琐; 但较繁琐 (3)对本题 涉及不等式恒成立问题 可用分离参数 与变量 对本题(2)涉及不等式恒成立问题 可用分离参数k与变量 对本题 涉及不等式恒成立问题,可用分离参数 与变量t 转化为求关于t的函数的最值 即 对一切t∈ 恒成 转化为求关于 的函数的最值,即k<3t2-2t对一切 ∈R恒成 的函数的最值 对一切 立,当t∈R,有(3t2-2t) 当∈ 有
min

1 =? , 3

1 ∴k < ? . 3

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类型四 函数的周期性及其应用

【例4】定义在R上的函数f ( x ) 满足f ( x) log 2 (1 ? x), x≤0, ? =? 则f ( 2009 )的值为 ( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0, A. ? 1 B.0 C.1 D.2
[分析 先由条件 通过计算找到规律 然后归纳确定函数的 分析] 先由条件,通过计算找到规律 通过计算找到规律,然后归纳确定函数的 分析 周期,最后求出函数值 周期 最后求出函数值. 最后求出函数值

)

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[解析 由已知 得f(-1)=log22=1,f(0)=0,故f(1)=f(0)解析] 由已知,得 解析 故 f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,…,故当 … 故当 故当x=1,2,3,4,…时,f(x) … 的取值依次是-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,…,即当 取 … 即当 即当x取 的取值依次是 整数时,数列 是以6为周期的周期数列 整数时 数列{f(x)}是以 为周期的周期数列 故 数列 是以 为周期的周期数列,故 f(2009)=f(5)=1.故选 故选C. 故选
[答案 C 答案] 答案
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[点评 本题会由于计算不到位 找不到函数取值的规 点评] 本题会由于计算不到位,找不到函数取值的规 点评 这样就不能通过归纳得出函数的周期.因此 律,这样就不能通过归纳得出函数的周期 因此 考 这样就不能通过归纳得出函数的周期 因此,考 场上要耐心计算?细心观察?不断归纳 对于解题来 场上要耐心计算?细心观察?不断归纳,对于解题来 说是非常重要的.这也是命题者要考查考生心理素 说是非常重要的 这也是命题者要考查考生心理素 质的一个方面. 质的一个方面

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1 + f ( x) 【探究4】已知函数f ( x ) 满足f ( x + 1) = , 1 ? f ( x) 若f ( 0 ) = 2004, 则f ( 2005 ) = ________ .

2005 答案 : ? 2003

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1 + f ( x) 解析 : f (x + 1) = Q , 1 ? f ( x) 1+ 1+ 1 + f ( x + 1) 1? ∴ f ( x + 2) = = 1 ? f ( x + 1) 1 ? 1 + 1? 又 Q f ( 0 ) = 2004, f ( x) 1 f ( x) =? , f ( x) f ( x) f ( x)

∴ f ( x + 4 ) = f ( x ) , 即函数的周期为4. 1 + f (0) 2005 ∴ f ( 2005 ) = f ( 2004 + 1) = f (1) = =? . 1 ? f (0) 2003
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点评:对于函数求值的考查一般都牵涉到函数的周期性? 点评 对于函数求值的考查一般都牵涉到函数的周期性?奇偶 对于函数求值的考查一般都牵涉到函数的周期性 性等性质.解决此类问题的一般思路是 先根据所给条件求 性等性质 解决此类问题的一般思路是:先根据所给条件求 解决此类问题的一般思路是 出函数的周期,把较大的自变量的值转化为较小的自变量 出函数的周期 把较大的自变量的值转化为较小的自变量 的值,达到“化繁为简”的目的 有时候还要根据函数的奇 的值 达到“化繁为简”的目的.有时候还要根据函数的奇 达到 偶性进行求值.常见函数的周期性问题的结论有 偶性进行求值 常见函数的周期性问题的结论有:f(x+c)=常见函数的周期性问题的结论有
1 f(x)?2c是f(x)的一个周期 的一个周期;f(x+c ) = ? ? 是 的一个周期 ?2c是f(x)的 是 的 f ( x)

1 + f ( x) 一个周期;f(x+c ) = 的一个周期等. 一个周期 ?4c是f(x)的一个周期等 是 的一个周期等 1 ? f ( x)

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类型五 抽象函数的相关性质及其应用 定义在实数集上,且对任意 【例5】 已知函数 】 已知函数y=f(x)定义在实数集上 且对任意 定义在实数集上 x,y∈R均有 ∈ 均有 均有f(x+y)=f(x)+f(y),又对任意的 又对任意的x>0,都有 又对任意的 都有 f(x)<0,f(3)=-3. (1)判断函数y=f(x)的奇偶性 (1)判断函数y=f(x)的奇偶性; 的奇偶性; 判断函数 (2)证明函数 证明函数y=f(x)在R上为单调递减函数 上为单调递减函数; 证明函数 在 上为单调递减函数 (3)试求函数 试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z,且mn<0)上的值 试求函数 在 ∈ 且 上的值 域.
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[解] (1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 令 得 ∴

再令y=-x,得f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), 得 再令 ∴f(x)+f(-x)=0, 于是函数y=f(x)为奇函数 为奇函数. 于是函数 为奇函数

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(2)对任意 ∈R, 对任意x,y∈ 对任意 ∵f(y)+f(x-y)=f[y+(x-y)]=f(x), ∴f(x)-f(y)=f(x-y)(类比 类比y=kx(k<0)的性质 的性质) 类比 的性质 现设

x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),显然 1显然x 且 则 显然 x2>0,而由题意可知 对任意的 而由题意可知,对任意的 都有f(x)<0, 而由题意可知 对任意的x>0,都有 都有 ∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0, ∴f(x1)<f(x2), 上为单调递减函数. ∴函数y=f(x)在R上为单调递减函数 函数 在 上为单调递减函数
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(3)由于函数 由于函数y=f(x)在R上为减函数 故y=f(x)在[m,n]上为减函 上为减函数,故 由于函数 在 上为减函数 在 上为减函 数. 上的最大值为f(m),最小值为 最小值为f(n). ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为 在 上的最大值为 最小值为 又由于f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=…=nf(1), … 又由于 同理,f(m)=mf(1). 同理 又f(3)=-3=3f(1),∴f(1)=-1, ∴ ∴f(m)=-m,f(n)=-n, 因此函数y=f(x)在[m,n]上的值域为 在 上的值域为[-n,-m]. 因此函数 上的值域为

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[点评 抽象函数的综合问题一般难度较大 常涉及多个知识 点评] 抽象函数的综合问题一般难度较大,常涉及多个知识 点评 抽象思想程度要求较高,解题时需把握好如下三点 点,抽象思想程度要求较高 解题时需把握好如下三点 一是 抽象思想程度要求较高 解题时需把握好如下三点:一是 注意函数的定义域的应用,二是利用函数的奇偶性去掉函 注意函数的定义域的应用 二是利用函数的奇偶性去掉函 数符号“ ”后的“负号” 三是利用函数的单调性去掉函 数符号“f”后的“负号”,三是利用函数的单调性去掉函 数符号“ ” 数符号“f”.

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上的函数f(x)满足 【探究5】 定义在 上的函数 探究 】 定义在R上的函数 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, ∈ 则f(-3)=________. 分析:先用特殊值法求一些关键的函数值 再利用函 分析 先用特殊值法求一些关键的函数值,再利用函 先用特殊值法求一些关键的函数值 数值的递推关系,逐步靠到f(-3)上去 上去. 数值的递推关系,逐步靠到f(-3)上去. 逐步靠到

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解析:令 解析 令x=y=0?f(0)=0, ? 令x=y=1?f(2)=2f(1)+2=6, ? 令x=2,y=1?f(3)=f(2)+f(1)+4=12, ? 再令x=3,y=-3?f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=0?f(? 再令 ? 3)=18-f(3)=6.

答案:6 答案

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点评:本题的难点在于抽象函数的性质是用两个变量表达的 点评 本题的难点在于抽象函数的性质是用两个变量表达的, 本题的难点在于抽象函数的性质是用两个变量表达的 这类问题的化解方法一般是根据所给抽象函数的性质,通 这类问题的化解方法一般是根据所给抽象函数的性质 通 过观察其特殊性先求出一个特殊值,这往往就是解题的突 过观察其特殊性先求出一个特殊值 这往往就是解题的突 破口.本题根据特殊值求出 破口 本题根据特殊值求出f(0)后,令y=-x就得到了一个关系 本题根据特殊值求出 后令 就得到了一个关系 只要能求出f(x)就能求出 就能求出f(-x),因此可 式f(0)=f(x)+f(-x)-2x2,只要能求出 只要能求出 就能求出 因此可 以把问题归结为求f(3)的值 而在函数性质中只要令 的值,而在函数性质中只要令 以把问题归结为求 的值 而在函数性质中只要令y=1就 就 得到了函数之间的关系式f(x+1)=f(x)+f(1)+2x,根据 根据f(1)的 得到了函数之间的关系式 根据 的 值不难求出f(3)的值 问题的难点就化解了 因此解决抽象函 的值,问题的难点就化解了 值不难求出 的值 问题的难点就化解了.因此解决抽象函 数问题利用特殊值是一个重要方法. 数问题利用特殊值是一个重要方法

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是定义在(0,+∞)上的单调增函数 满 上的单调增函数,满 【探究6】 f(x)是定义在 探究 】 是定义在 上的单调增函数 足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时x的取 当 时 的取 值范围是( 值范围是 A.(8,+∞) C.[8,9] ) B.(8,9] D.(0,8)

分析:将不等式中的 用函数值表示出来 分析 将不等式中的2用函数值表示出来 再根据函数 将不等式中的 用函数值表示出来,再根据函数 f(x)的单调性将其转化为一般的代数不等式解决 的单调性将其转化为一般的代数不等式解决. 的单调性将其转化为一般的代数不等式解决

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解析:2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得 由 可得f[x(x解析 可得 8)]≤f(9),因为 因为f(x)是定义在 是定义在(0,+∞)上的增函数 所以有 上的增函数,所以有 因为 是定义在 上的增函数 所以有x>0且 且 x-8>0且x(x-8)≤9,解得 且 解得8<x≤9.故选 故选B. 解得 故选 答案:B 答案 点评:本题的难点是必须把 中的函数记号去掉, 点评 本题的难点是必须把f(x)+f(x-8)≤2中的函数记号去掉 本题的难点是必须把 中的函数记号去掉 转化为一般的代数不等式.化解这个难点就要根据 转化为一般的代数不等式 化解这个难点就要根据 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1和函数的单调性进行转换 解决抽象 和函数的单调性进行转换.解决抽象 和函数的单调性进行转换 函数问题要善于类比,本题就可以类比对数函数的性质寻 函数问题要善于类比 本题就可以类比对数函数的性质寻 找解决问题的方法.实际上本题就是以对数函数为特征抽 找解决问题的方法 实际上本题就是以对数函数为特征抽 象出来的一个问题. 象出来的一个问题
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好方法好成绩 怎样利用周期法解题 有些数学问题,表面上看与周期毫无关系 但实际上 有些数学问题 表面上看与周期毫无关系,但实际上 表面上看与周期毫无关系 隐含着周期性,一旦提示了周期 问题便迎刃而解 隐含着周期性 一旦提示了周期,问题便迎刃而解 一旦提示了周期 问题便迎刃而解. 下面举例说明如下. 下面举例说明如下.

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上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 【例1】 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数 】 是 上的奇函数 等于( 当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于 时 则 等于 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 )

D.-1.5

解析:∵ 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 解析 ∵f(x+2)=-f(x),所以 所以 是以4为一个周期的函数 是奇函数,且 ∴f(x)是以 为一个周期的函数 由f(x)是奇函数 且 是以 为一个周期的函数.由 是奇函数 0≤x≤1时f(x)=x, 时 可得f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,故选 × 故选B. 可得 故选 答案:B 答案
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【例2】 设对任意整数 】 设对任意整数x,f(x)=f(x-1)+f(x+1),且 且 f(0)=19,f(4)=93,则f(59)=________. 则 解析:∵ 解析 ∵f(x)=f(x-1)+f(x+1). ∴f(x+1)=f(x)+f(x+2), 两式相加并整理得f(x-1)=-f(x+2), 两式相加并整理得 ∴f(x)=-f(x+3),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x). ∴ 从而f(x)是以 为周期的函数 是以6为周期的函数 从而 是以 为周期的函数. ∴f(59)=f(6×9+5)=f(5)=f(4)+f(6)=f(4)+f(0)=112. ×
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答案:112 答案

上有定义,且满足 【例3】 函数 】 函数f(x)在R上有定义 且满足 在 上有定义 (1)f(x)是偶函数 且f(0)=993; 是偶函数,且 是偶函数 (2)g(x)=f(x-1)是奇函数 试求f(1992)的值 是奇函数,试求 的值. 是奇函数 试求 的值

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是偶函数,所以 解:∵f(x)是偶函数 所以 ∵ 是偶函数 所以f(-x)=f(x),① ① 是奇函数, 又g(x)=f(x-1)是奇函数 是奇函数 ∴f(-x-1)=-f(x-1),即f(x)=-f(-x-2), 即 代入① 代入①得f(-x)=-f(-x-2), ∴f(x+2)=-f(x), 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 从而 是以4为一个周期的函数 ∴f(x)是以 为一个周期的函数 是以 为一个周期的函数, ∴f(1992)=f(4×498)=f(0)=993. ×
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高考陪练

0 < x≤10, ? | lgx |, ? 1.(2010 新课标全国卷)已知函数f ( x ) = ? 1 x > 10, ?? 2 x + 6, ? 若a, b, c互不相等, 且f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) , 则abc的取值范围是 ( A. (1,10 ) B. ( 5, 6 ) C. (10,12 ) D. ( 20, 24 )

)

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解析:本题考查了分段函数的图象和性质 根据分段函数的图 解析 本题考查了分段函数的图象和性质,根据分段函数的图 本题考查了分段函数的图象和性质 象寻找突破口,解题时首先寻找 的关系 题目属于中档题. 象寻找突破口 解题时首先寻找a,b的关系 题目属于中档题 解题时首先寻找 的关系,题目属于中档题 由题意可知,画出函数的图象 不妨设 由题意可知 画出函数的图象,不妨设 画出函数的图象 不妨设a<b<c,因为 因为 f(a)=f(b)=f(c),所以 所以ab=1,c的范围是 的范围是(10,12),所以 所以abc的范 所以 的范围是 所以 的范 围是(10,12). 围是

答案:C 答案

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的序号是 (

1 1 2.(2010 北京卷)给定函数①y = x ; ②y = log ( x + 1); 2 2 ③y = x ? 1 ; ④y = 2 x +1 , 其中在区间 ( 0,1) 上单调递减的函数

)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案:B 答案

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解析:本题考查了函数的单调性 要注意每类函数中决定单调 解析 本题考查了函数的单调性,要注意每类函数中决定单调 本题考查了函数的单调性 性的元素满足的条件. 性的元素满足的条件 其在(0,+∞)上为增函数 故此项不符合题意 ②中 上为增函数,故此项不符合题意 ①是幂函数,其在 是幂函数 其在 上为增函数 故此项不符合题意;② 的函数是由函数 y = log 1 x
2

向左平移1个单位而得到的 向左平移 个单位而得到的, 个单位而得到的

因原函数在(0,+∞)上为减函数 故此项符合题意 ③中的函 上为减函数,故此项符合题意 因原函数在 上为减函数 故此项符合题意;③ 数图象是函数y=x-1的图象保留 轴上方的部分 下方的图 的图象保留x轴上方的部分 数图象是函数 的图象保留 轴上方的部分,下方的图 象翻折到x轴上方而得到的 由其图象可知此项符合题意 象翻折到 轴上方而得到的,由其图象可知此项符合题意 轴上方而得到的 由其图象可知此项符合题意; 其底数大于1,故其在 上单调递增, ④中的函数为指数函数,其底数大于 故其在 上单调递增 中的函数为指数函数 其底数大于 故其在R上单调递增 不符合题意,综上可知选择 不符合题意 综上可知选择B. 综上可知选择

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3.(2010·安徽卷)设abc>0,二次函数 ·安徽卷 设 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象 二次函数 的图象 可能是( 可能是 )

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解析 : 本小题主要考查了二次函数的图象和性质.解题的 关键是正确认识a, b, c与二次函数f ( x )图象的关系. b 若a > 0, b < 0, c < 0, 则对称轴x = ? >0 2a , 函数f ( x )的图象与y轴的交点 ( 0, c ) 在x轴下方.故选D.
答案:D 答案

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b 4.(2010 × 湖南卷)函数y = ax + bx与y = log | | x(ab ≠ 0, a ≠ b ) a 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
2

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解析:本小题主要考查了抛物线和对数函数的图象 这时要对 解析 本小题主要考查了抛物线和对数函数的图象,这时要对 本小题主要考查了抛物线和对数函数的图象 参数进行讨论. 参数进行讨论 从对数的底数入手进行讨论,再结合各个选项的图象从抛物 从对数的底数入手进行讨论 再结合各个选项的图象从抛物 线对称轴的取值范围进行判断,故选 线对称轴的取值范围进行判断 故选D. 故选

答案:D 答案

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则x1 + x 2等于 (

5.(2009 辽宁卷)若x1满足 2x + 2 x = 5, x 2满足 2x + 2log 2 (x ? 1) = 5,

)

5 7 A. B.3 C. D.4 2 2

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5 解析 :由2x1 + 2 x1 = 5, 得x1 + 2 x1 ?1 = , 2 5 由2x 2 + 2log 2 ( x 2 ? 1) = 5, 得x 2 + log 2 ( x 2 ? 1) = . 2 5 令f (x ) = ? x, g ( x) = 2 x1 ?1 , m ( x ) = log 2 ( x 2 ? 1) , 2 易知g ( x ) 与m ( x ) 关于y = x ? 1对称, 5 则x1 , x 2的中点横坐标为y = x ? 1与y = ? x的交点横坐标. 2 ? y = x ? 1, 7 ? 由? 解得x = . 5 4 y = ? x, ? ? 2 7 ∴ x1 + x 2 = 2x = . 2

答案:C
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