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江西师大附、鹰潭一中2013届高三4月联考 数学理 Word版含答

江西师大附中、鹰潭一中 2013 届高三数学(理)联考试卷
命题人:师大附中(廖涂凡、杨娟娜、汪保民)鹰潭一中(程新忠) 审题人:张延良、闻家君 2013.4 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的. 1 1.已知集合 M ? { x | x 2 ? 1 ? 0} , N ? { x | ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z } ,则 M ? N ? ( ) 2 A. {?1,0} B. {1} C. {?1,0,1} D. ? 2. 在复平面内,复数 5 ? 4i, ?1 ? 2i 对应的点分别为 A,B. C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的 若 复数的模是( ) A. 13 B. 13 C. 2 13 3.下列函数中既是偶函数,又是区间 ( ?1,0) 上的减函数的是( A. y ? cos x B. y ? ? x ? 1 C. y ? ln D. 2 10 ) D. y ? e ? e
x ?x

2?x 2? x

? 2x , x ? 1 4.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f (log 2 7) =( ) ? f ( x ? 1), x ? 1 7 7 7 7 A. B. C. D. 16 8 4 2 5.一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边 三角形,则这个几何体的体积为 ..

(

) A. C.
(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 3

B.

(8 ? ? ) 3 6

D. (4 ? ? ) 3

? 0 ? x ? 8, 0 ? y ? 7, ? 0 ? x ? y ? 12, ? ? 6.已知实数 x, y 满足条件 ?10 x ? 6 y ? 72, 则使得目标函数 ? 0 ? 2 x ? y ? 19, ? ? x, y ? Z ? ) z ? 450 x ? 350 y 取得最大值的 x, y 的值分别为(

A.0,12

B.12,0

C.8,4

D.7,5

7. 函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是图象的最 高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,记 ?APB ? ? ,则 sin 2? 的值是( ) 16 63 16 16 A. B. C. ? D. ? 65 65 63 65 A

y

P x O B

2 2 8.下列命题中:①“ x ? y ”是“ x ? y ”的充要条件;

②已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, ? 2 ) , P ( X ? 6) ? 0.72 ,则 P ( X ? 0) ? 0.28 ; ③若 n 组数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ? ? ?, ( xn , yn ) 的散点图都在直线 y ? ?2 x ? 1 上,则这 n 组数据的相 关系数为 r ? ?1 ; 1 1 1 ④函数 f ( x ) ? ( ) x ? x 的所有零点存在区间是 ( , ) .其中正确的个数是( ) 3 2 3 A.1 B.2 C.3 D.4 9. 如右图所示, 单位圆中弧 AB 的长为 x , f ( x) 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 形(阴影部分)面积的 2 倍,则函数 y ? f ( x ) 的图象是( )

10.抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A, B 在此抛物线上,且 ?AFB ? 90? ,弦 AB 的中点 M 在该抛物线准线上的射影为 M ' ,则 A. 3 B.
3 2

| MM ' | | AB |

的最大值为( D.
2 2

)

C.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.下图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输 出的 y 值相等,则这样的 x 值有________个.

12.一个盒子里有 20 个大小形状相同的小球,其中 5 个红球,5 个黄球,10 个绿球,从盒子 中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是__________. ? 1 ? x 2 , ?1 ? x ? 0 1 5 ? 13.已知二项式 ( x ? 3 ) 展开式中的常数项为 p ,且函数 f ( x ) ? ? ,则 p 2 x ? 3x ? , 0 ? x ? 1 10 ?

?

1

?1

f ( x ) dx ? ___________.

14. 已知数列 {an } 为等差数列,若 am ? a , an ? b ( n ? m ? 1, m, n ? N * ) ,则 am ? n ?
bm ? n =____________.

.类比上 n?m 述结论,对于等比数列 {bn } (bn ? 0, n ? N * ) ,若 bm ? c, bn ? d ( n ? m ? 2, m, n ? N * ) ,则可以得到

nb ? ma

三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做,则按所做的第一题评阅计分, 本题共 5 分. 15.(1)(极坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线 l 与圆 ? ? 4 相交 于 A, B 两点,若 | AB |? 4 ,则直线 l 的极坐标方程为____________. (2)(不等式选做题)不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是____________. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) ? ? ? ? ? 1 已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x ) ? ( a ? b ) ? a ? 2. 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T 及单调减区间; (2)已知 a, c 分别为 ? ABC 内角 A, , 的对边, b, B C 其中 A 为锐角,a ? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 . 求 A,b 的长和 ? ABC 的面积.

? 17.(本小题满分 12 分) 小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进 入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值 分别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依 4 3 2 次为 , , ,且每个问题回答正确与否相互独立. 5 4 3 (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望.

18.(本小题满分 12 分)

各项均为正数的数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,且 4 S n ? a n ? 2 a n ? 1, n ? N ? .
2

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2) 已 知 公 比 为 q ( q ? N ? ) 的 等 比 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? a1 , 且 存 在 m ? N ? 满 足

bm ? a m , bm ?1 ? a m ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 2 AB , N 是 CC1 的中点, M 是线段 AB1 上的动 点(与端点不重合) ,且 AM ? ? AB1 . (1)若 ? ? ,求证: MN ? AA1 ; 2 (2)若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 ? ,求 sin ? 的最大值.

1

20.(本小题满分 13 分) x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a b (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M 、 N ,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成 等比数列,求△ OMN 面积的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? kx 2 ( k ? R ). (1)若函数 y ? f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 k 的值;
?x ? 0 (2) x ? [0, ?? ) 时,函数 y ? f ( x ) 图象上的点都在 ? 所表示的区域内,求 k 的取值范围; ?y ? x ? 0

(3)证明: ?
i ?1

n

2 2i ? 1

? ln( 2 n ? 1) ? 2 , n ? N ? .

江西师大附中、鹰潭一中 2013 届高三数学(理)联考
【参考答案】 一、选择题 1 2 A B 3 D 4 C 5 B 6 D 7 A 8 C 9 D 10 D

6.解析:易知 B,C 不在可行域,A,D 选项的 z 分别为 4200,4900,故选 D.
2 2 7.解析:①取 x ? ?2, y ? 1 时,有 x ? y 但得不到 x ? y ,故不必要,错误;

②的正态分布的对称轴是 x ? 3 , P ( X ? 0) ? P ( X ? 6) ? 1 ? P ( X ? 6) ? 0.28 ,正确; ③斜率为负数表明负相关,得 r ? 0 ,由于数据均在直线上,故相关程度最强,为 r ? ?1 ,正确;
1 1 1 1 1 1 1 1 ④ f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) 2 ? 0, f ( ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 0, 得 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,且 f ( x) 单调,故正确. 3 3 3 2 3 2 3 2 T 3T 1 3 8.解析:过 P 作 PQ ? x 轴于 Q,则 tan ?APQ ? 4 ? , tan ?BPQ ? 4 ? , 1 2 1 2 2 tan ? 16 tan ?APQ ? tan ?BPQ . tan ? ? tan(? APQ ? ?BPQ ) ? ? 8 .则 sin 2? ? ? 2 1 ? tan ?APQ tan ?BPQ 1 ? tan ? 65
1 1 1 1

? ,C、D 是负值根本不可能.则 2? ? ? ,故 sin 2? ? 0 ,故排除 B. 2 9.提示: f ( x) ? x ? sin x, f '( x) ? 1 ? cos x .
另解:由图可知, ? ? 10.解析: | MM ' |?
1 2 (| AF | ? | BF |) ? | AF |2 ? | BF |2 2 ? | AB |2 2 ? 2 2 | AB | ?

| MM ' | | AB |

?

2 2

.

二、填空题 2 ? 11.3 12. 13. 2 ? 3 4 14.bm+n= n-m dn nb-ma ..解析:观察{an}的性质:am+n= ,则联想 nb-ma 对应等比数列{bn} cm n-m

n-m dn dn 中的 m,而{an}中除以(n-m)对应等比数列中开(n-m)次方,故 bm+n= . c cm 三、选做题 15.(1) ? cos ? ? 2 3 . 解析:设极点为 O,由该圆的极坐标方程为 ρ=4,知该圆的半径为 4,又 直线 l 被该圆截得的弦长|AB|为 4,所以∠AOB=60° ,∴极点到直线 l 的距离为 d=4× cos30° = 2 3,所以该直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2 3 .

?-4?x<-3?, ? (2) a ? ?1 或 a ? 4 .解析:f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+2?-3≤x<1?, ?4?x>1?. ?

画出函数 f(x)的图象,

如图,可以看出函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a ? ?1 或 a ? 4 .

四、解答题 16.解析:(1) f ( x ) ? sin(2 x ?
) …………(2 分) 6 ? T ? ? , …………………………(4 分) ? 5? 单调递减区间是 [ k? ? , k? ? …………(6 分) ]( k ? Z ) 3 6

?

(2) f ( A) ? 1 ? A ?

?
3

; …………………………………………8 分)

sin C ? S ?ABC ?

c sin A a 1

?1 ? C ?

?
2

?B?

?
6

? b ? 2 …………(10 分)

? 2 ? 2 3 ? 2 3 . ………………………………(12 分) 2 17.解析:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1, 2 ?4? ?1+3×1?= 7 . 则 P1=?5? ?4 4 4? …………(4 分) 25 1 4 1 9 (2)X 的取值为 0,1000,3000, 6000,则 P(X=0)= + × = , 5 5 5 25 2 2 2 ?4? ?1+3×1?= 7 , P(X=3000)=?4? ?3? ?1-?2?2-C1?2?2×1?= 7 , P(X=1000)=?5? ?4 4 4? 2 3 ? ? 3? 75 ?5? ?4? ? ?3? 25

2 2 4 3 4 1 2 2 1 P(X=6000)=?5? ?4? ??3? +C2?3? × ?= , ? ? 3? 15 ? ? ? ? ?? ? ∴X 的概率分布列为 X P 0 9 25 1000 7 25 3000 7 75 6000 4 15

2

2

…………………(10 分)(错一列扣 2 分,扣完为止)

9 7 7 4 ∴X 的数学期望 EX=0×25+1000×25+3000×75+6000×15=2160. ……(12 分) 18.解析:(1)? 4 S n ? a n ? 2 a n ? 1 ,? 4 S n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1
2 2

两式相减得: 4 a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? 2 a n ?1 ? 2 a n ,…………………………………(2 分)
2 2

? ?a n ? 为首项为 1,公差为 2 的等差数列,故 a n ? 2 n ? 1 ………………………(6 分)
(2) bn ? q
n ?1

即 ( a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? a n ? 2) ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 ,………………………………(4 分)

,依题意得 ?

? q m ?1 ? 2 m ? 1 ? ?q m ? 2m ? 5 ?

,相除得 q ?

2m ? 5 2m ? 1

? 1?

6 2m ? 1

? N ? ……(8 分)

? 2m ? 1 ? 1或2m ? 1 ? 3 ,代入上式得 q=3 或 q=7,…………………………………(10 分) ? bn ? 7 n ?1 或 bn ? 3 n ?1 .…………………………………………………………………(12 分)
19.解析:如图,建立空间直角系,则
1 3 B1 (1, 0, 2), M ( ? , 0, 2? ), B (1, 0, 0), N ( , ,1), A1 (0, 0, 2) …(1 分) 2 2 ???? ???? ? 1 1 3 (1)当 ? ? 时, M ( ,0,1) ,此时 MN ? (0, , 0) , AA1 ? (0, 0, 2) ,…(3 分) 2 2 2 ???? ???? ? 因为 MN ? AA1 ? 0 ,所以 MN ? AA1 .………………(5 分)

(2)设平面 ABN 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,则 ?

? n ? AB ? 0 ? ? n ? AN ? 0 ?



?x ? 0 1 3 ? ,1 ? 2? ) ,………………(7 分) 即? 3 ,取 n ? (0,2, 3 ) 。而 MN ? ( ? ? , 2 2 y?z?0 ? ? 2

? sin ? ? cos? MN , n? ?

2 3? 7 ? 5? ? 5? ? 2
2

?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???
2

………………(9

分)

? 0 ? ? ? 1 ,?

1

?

? 1 ,故 sin ? ?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???
2

?

4 6 105

?

4 630 105

………(11 分)

当且仅当

1

?

?

5 4

,即 ? ?

4 5

时,等号成立. …………………………………………(12 分)

? 2 a ? 2 ? 2b ? ?a ? 2 x2 3 ? c 20.解析:(1)由已知得 ? ∴ C 方程: ? y 2 ? 1 ? (4 分) ?? ? 4 2 ?b ?1 ? a 2 2 2 ?c ? a ? b ? (2)由题意可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m ( k ? 0, m ? 0)
? y ? kx ? m ? 2 2 2 联立 ? x 2 消去 y 并整理,得: (1 ? 4 k ) x ? 8kmx ? 4( m ? 1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 2 2 2 则△ ? 64 k m ? 16(1 ? 4 k )( m ? 1) ? 16(4 k ? m ? 1) ? 0 ,

1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 2 于是 y1 y2 ? ( kx1 ? m )( kx2 ? m ) ? k x1 x2 ? km ( x1 ? x2 ) ? m ………………(7 分)
又直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成等比数列,

此时设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ∴ x1 ? x2 ? ?

8km

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1)

y1 y 2 k 2 x1 x1 ? km ( x1 ? x2 ) ? m 2 8k 2 m 2 ? ? ? k2 ? ? ? m2 ? 0 2 x1 x2 x1 x2 1 ? 4k 1 1 2 由 m ? 0 得: k ? ? k ? ? .又由△ ? 0 得: 0 ? m 2 ? 2 4 2 2 显然 m ? 1 (否则: x1 x2 ? 0 ,则 x1 , x 2 中至少有一个为 0,直线 OM 、 ON 中至少有一
∴ 个斜率不存在,矛盾! ) ……………………………(10 分) 设原点 O 到直线 l 的距离为 d ,则 m 1 1 1 2 2 S ? OMN ? MN d ? ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ( m ? 1) ? 1 2 2 2 1? k 2 故由 m 得取值范围可得△ OMN 面积的取值范围为 (0,1) …………(13 分) 21.解析:(1) f ( x ) ?
'

1

1? x 4 2 2 (2)依题意知,不等式 x ? ln( x ? 1) ? kx ? 0 在 x ? ?0,?? ? 恒成立.令 g ( x ) ? x ? ln( x ? 1) ? kx , 当 k≤0 时,取 x=1,有 g (1) ? 1 ? ln 2 ? k ? 0 ,故 k≤0 不合.…………………………(4 分)
x ? x[2 kx ? 1 ? 2 k ] -2kx= . x+1 x ?1 1-2k 令 g′(x)=0,得 x1=0,x2= >-1. ……………………………(5 分) 2k 1-2k 1 ①当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单调递减, 2 2k 1 从而对任意的 x∈[0,+∞),总有 g(x)≤g(0)=0,故 k≥ 符合题意.…………(6 分) 2 1-2k 1-2k? 1 ②当 0<k< 时, >0, 对于 x∈?0, ,g′(x)>0, 2 2k 2k ? ? 1-2k? 1-2k? 故 g(x)在?0, 内单调递增,因此当取 x0∈?0, 时,g(x0)>g(0)=0,不合. 2k ? 2k ? ? ? 当 k>0 时, g′(x)=

? 2 kx ,由 f ' (1) ? 0得 k ? ?

1

经检验符合题意……(3 分)

综上, k ?

1 2

. …………………………(8 分)
2

(3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.……………(9 分)

x 1 当 n≥2 时,在(2)中取 k= ,得 x ? ln( x ? 1) ? ……………(10 分) 2 2 2 2 2 2 2 取 x= 代入上式得: -ln(1+ )≤ < ………(12 分) 2i-1 2i-1 2i-1 ?2i-1?2 (2i ? 3)(2i ? 1)
n n 2 ?? 2 ? 2 ? ? ?2i-1-ln?1+2i-1??≤2-ln3+ ? ? i=1 ? i=2 (2i ? 3)(2i ? 1)

-ln(2n+1)≤2-ln3+1- <2. ? 2n-1 i=1 2i-1 综上, ?
i=1 n

n

2

1

2 -ln(2n+1)<2, n ? N ? 2i-1

……………………………… (14 分)



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