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苏教版·数学选修4-4--1.3.2直线的极坐标方程


§1.3.2直线的极坐标方程

教学目标:
理解曲线的极坐标方程概念,掌握 直线的极坐标方程 重点:曲线的极坐标方程的概念,根 据条件求直线的极坐标方程

难点:直线的一般极坐标方程及其 反用.

新课引入: 思考:在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直 线方程为 x=3 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线 x=a 方程为_______ 特点:所有点的横坐标都是一样, 纵坐标可以取任意值。

怎样求曲线的极坐标方程? 答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射 ? 线上任一点的极 ﹚ 4 o ? /4 x 角都是 ,其 极径可以取任意的非负数。故所求

直线的极坐标方程为

? ?

?
4

(? ? 0)

思考:

1、求过极点,倾角为 坐标方程。
易得
? ?
5

5? 4

的射线的极

2、求过极点,倾角为 坐标方程。
? ? ?
4 或? ? 5 4

? (? ? 0) 4 ?
4

的直线的极

?

和前面的直角坐标系里直线方程的表 示形式比较起来,极坐标系里的直线 表示起来很不方便,要用两条射线组 合而成。原因在哪?

? ?0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 通径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
? ? ?
4 (? ? R)



? ?

5 4

? (? ? R)

例题2求过点A(a,0)(a>0),且垂直于 极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 R t ? M O A 中有
O M co s ? M O A ? O A

即 ? co s ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点;

3、连接MO;
4、根据几何条件建立关于 ? , ? 的方 程, 并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0 ) ,直 l 线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直l 线 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM, ? M O A 中有 在
?
sin ( ? ? ? ) ? a sin ( ? ? ? )



? sin (? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也 满足上方程。

例题3设点P的极坐标为( ? , ? ) ,直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线l 的极坐标方程。
1 1

?

M
P

?1

o

? ? ﹚ ﹚
1

x

解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 O M ? ? , ? xO M ? ? 由点P的极坐标知
OP ? ?1
? xO P ? ? 1

设直线L与极轴交于点A。则在? M OP
? O M P ? ? ? ? , ? O P M ? ? ? (? ? ? 1 )

由正弦定理 得

?

sin [ ? ? ( ? ? ? 1 )]

?

?1

sin ( ? ? ? )

? sin (? ? ? ) ? ? 1 sin (? ? ? 1 )

显然点P的坐标 也是它的解。

小结:直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点,且垂直于极轴 3、过某个定点,且与极轴成一定的 角度

作业:
P15 1(2)、2(1)(2)

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