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2013年高考数学40个考点总动员 考点28 直线与圆(学生版) 新课标


2013 年新课标数学 40 个考点总动员 考点 28 直线与圆(学生版)
【高考再现】 热点一 直线的方程与位置关系

2.(2012 年高考浙江卷理科 3)设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a +1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

l2 平行,则有: ?

a 1

2 ,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件. a ?1

4 .(2012 年高考上海卷理科 4)若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示). 【答案】 arctan 2 【解析】设直线的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 2, ? ? arctan 2 .

-1-

热点二 圆的方程和性质

6.(2012 年高考新课标全国卷理科 20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 90 0 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【解析】(1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

S ?ABD ? 4 2 ?

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8 . (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2

2 2 x0 x0 p 2 )? p? ? ? ? x0 ? 3 p2 点 A, B 关于点 F 对称得: B (? x0 , p ? 2p 2p 2

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【方法总结】 1.利用圆的几何性质求方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. 2.利用待定系数法求圆的方程:(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,则设圆的标准方程,依 据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D, E,F 的方程 组,从而求出 D,E,F 的值. 热点三 直线与圆的位置关系

8. (2012 年高考天津卷理科 8)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆

(x ? 1) 2 +(y ? 1) 2 =1 相切,则 m+n 的取值范围是(
(A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] 【答案】D

)

(B) ( ? ?,1 ? 3] [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] [2+2 2,+?)

【解析】 ∵直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) 2 +(y ? 1) 2 =1 相切,∴圆心 (1,1) 到直线的距离为

d=

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1) +(n ? 1)
2 2

=1 ,所以 mn ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2 ) ,设 t =m ? n , 2

则 t 2 ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] [2+2 2,+?) .

1 4

-3-

10.(2012 年高考重庆卷理科 3)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 ( ) B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

A.相离

【答案】 C 【解析】直线 y ? kx ? 1 过圆内内一定点 (0,1) .

12. (2012 年高考天津卷文科 12)设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴 相交于 B,且 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值 为 。 【答案】3 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ), B (

1 n

1 ,0) ,直线与圆相交所得的弦长为 2,圆心到 m

直线的距离 d 满足 d 2 ? r 2 ? 12 ? 4 ? 1 ? 3 ,所以 d ? 3 ,即圆心到直线的距离

d?

1 1 1 1 1 ? 3 ,所以 m 2 ? n 2 ? 。三角形的面积为 S ? ? ? ,又 2 m n 2 mn 3 m ?n
2 2

?1

S?

1 1 1 ? 2 ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 时取等号,所以最小值为 3 。 2 2 mn m ? n 6

-4-

13. (2012 年高考江苏卷 12)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线
y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值





14.(2012 年高考浙江卷理科 16)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线

l 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x
的距离,则实数 a=______________.

【方法总结】 1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 >0?相交, 判别式 (1)代数法:― ― ― ― ― ― → =0?相切, Δ =b2-4ac <0?相离.

? ? ?

(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相 离.

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【考点剖析】 一.明确要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.会求两直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 4.掌握圆的标准方程和一般方程. 5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 6.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

三.规律总结 一条规律 与直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)平行、垂直的直线方程的设法: 一般地,平行的直线方程设为 Ax+By+m=0;垂直的直线方程设为 Bx-Ay+n=0. 两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根 据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑.
2 2

-6-

(3)直线关于直线的对称 ①若已知直线 l1 与对称轴 l 相交,则交点必在与 l1 对称的直线 l2 上,然后再求出 l1 上任一个已知 点 P1 关于对称轴 l 对称的点 P2,那么经过交点及点 P2 的直线就是 l2;②若已知直线 l1 与对称轴 l 平 行,则与 l1 对称的直线和 l1 分别到直线 l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出

l1 的对称直线.
一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方 程. (2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在 的情况. 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 一条规律

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过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切,其直线方程可用待定系数法,再利用圆心到切线的距离 等于半径列出关系式求出切线的斜率即可. 一个指导 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同 的方面和思路来判断的,“代数法”侧重于“数”,更多倾向于“坐标”与“方程”;而“几何 法”则侧重于“形”,利用了图形的性质.解题时应根据具体条件选取合适的方法.

【基础练习】 1.(人教 A 版教材习题改编)直线 ax+2y-1=0 与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 a 的值为( A.-3 4 B.- 3 C.2 D.3

).

2.(教材习题改编)圆心在 y 轴上,半径为 1 且过点(-1,2)的圆的方程为 ( ) 2 2 2 2 A.x +(y-3) =1 B.x +(y-2) =1 2 2 C.(x-2) +y =1 D.(x+2)2+y2=1 3.(人教 A 版教材习题改编)已知圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是 ( ). A.相切 C.相交过圆心
2 2

B.相交但直线不过圆心 D.相离 ).

4.(2012·东北三校联考)圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

5.(2012·沈阳月考)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 【名校模拟】 一.基础扎实

-8-

2.(山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试文)过点 A(2,3)且垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的 直线方程为 A. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 7 ? 0 ] D. x ? 2 y ? 5 ? 0

3. (湖北钟祥一中 2012 高三五月适应性考试理) 将直线 x+y+1=0 绕点 (—1,0) 逆时针旋转 90°后, 再沿 y 轴正方向向上平移 1 个单位,此时直线恰与圆 x +(y—1) =r 相切,则圆的半径 r 的值为 A、
2 2 2

2 . 2

B、

3 2. 2

C、 2

D、1.

5.(河南省郑州市 2012 届高三第二次质量预测文)直线 值为 A. 2 B. C. D.

与直线 _

平行,则 a 的

6.(山东省济南市 2012 届高三 3 月(二模)月考理)直线 l1 :kx+(1-k)y-3=0 和

l2 :(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则 k=
A. -3 或-1 C. -3 或1 B. 3 或1 D. -1 或 3

8.(七校联考 数学试卷文)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 70 ? 0 都相切的半径最小的 圆的标准方程为 . .

9. (七校联考 数学试卷文)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于 y 轴对称的直线方程为 10. (2012 上海第二学学期七校联考理)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 3 对称的直线方程 为 二.能力拔高
-9-

.

12.(成都市 2012 届高中毕业班第二次诊断性检测理)设直线 ,则 (A) 当 m 变化时,直线 L 恒过定点(-1,1) (B) 直线 L 与圆 C 有可能无公共点 (C) 若圆 C 上存在关于直线 L 对称的两点,则必有 m=0 (D) 若直线 l 与圆 C 有两个不同交点 M、N,则线段 MN 的长的最小值为

(m 为常数) ,圆

13. (山西省 2012 年高考考前适应性训练理)直线 x sin ? ? y cos ? ? 1 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 的公共点 的个数为( ) A.0,1 或 2 B.2 C.1 D.0

14.(北京 2011—2012 学年度第二学期高三综合练习(二)文)已知圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? my ? 0 上任意 一点 M 关于直线 x ? y ? 0 的对称点 N 也在圆上,则 m 的值为 A. ?1 B. 1 C. ?2 D. 2

18.(2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)如果直线 ax ? by ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截 得的弦长等于 8 ,那么

3 5 ? 2 的最小值等于 2 a b



19.(长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))圆心在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,且经过原点和点 (2,1)的圆的方程为_________;

- 10 -

三.提升自我 21.(2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理 )在平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ? ,AD=2AB, 若 P 是平面 ABCD 内一点,且满足 x AB ? y AD ? PA ? 0 ( x, y ? R ),则当点 P 在以 A 为圆心,

3 BD 为半径的圆上时,实数 x, y 应满足关系式为( 3
A. 4 x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 1 C. x 2 ? 4 y 2 ? 2 xy ? 1

)

B. 4 x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 1 D. x 2 ? 4 y 2 ? 2 xy ? 1

22.(2012 河南豫东豫北十所名校毕业班阶段性测试( 三 ) 文)圆 心 在 曲 线 y= 3/x(x>0) 上 , 且 与 直 线 3x+4y +3 = 0 相 切 的 面 积 最 小 的 圆 的 方 程 为 (A) (C) (B) (D)

25.(湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理)已知点P的坐标

?x ? y ? 4 ? ( x, y )满足 ? y ? x ?x ? 1 ?

2 2 ,过点P的直线l与圆 C : x ? y ? 14 相交于

A、B两点,则

AB

的最小值为



- 11 -

【原创预测】 1.设 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,M、N 分别是两圆 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1与( x ? 4) 2 ? y 2 =1 上的点,则 25 9
( C.8,12 D.10,12 )

|PM|+|PN|的最小值,最大值分别为 A.3,7 B.4,8

2. 已知定点 M (0, 2), N (- 2, 0) ,直线 l : kx - y - 2k + 2 = 0 ( k 为常数). 若点 M , N 到直线 l 的 距离相等,则实数 k 的值是 是 . ;对于 l 上任意一点 P , ?MPN 恒为锐角,则实数 k 的取值范围

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,则经过点 F 、 M (4,4) 且与抛物线的准线相切的圆的个数 为 .

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