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3.1.1随机事件的概率 教案(人教A版必修3)

3.1.1 随机事件的概率 ●三维目标 1.知识与技能 (1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念. (2)正确理解事件 A 出现的频率的意义和概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率与 概率的区别与联系. 2.过程与方法 通过经历试验、统计等活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力.通过获取试验数 据, 归纳总结试验结果,体会随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,使学生正确理 解事件 A 出现的频率的意义,真正做到在探索中学习,在探索中提高. 3.情感、态度与价值观 通过学生自己动手、 动脑和亲身试验来理解概率的含义, 体会数学知识与现实生活的联 系. ●重点难点 重点:理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性;正确理解概率的意义. 难点:理解随机事件发生的随机性,以及随机性中表现出的规律性. 给学生亲自动手操作的机会, 使学生在实践过程中形成对随机事件发生的随机性以及随 机性中表现出的规律性的直接感知,突破了难点. 按照探究式教学法的核心思想, 围绕概率定义产生的思维过程, 从定义产生的必要性和 合理性两方面不断设置问题,激发学生的探究欲望,让学生以研究者和探索者的身份,参与 随机事件发生频率的统计规律的抽象概括过程,参与概率定义的过程.从而强化了重点. ●教学建议 在本节课的教学中建议教师主要渗透以下几个方面的学法指导. (1)让学生亲自经历运用科学方法探索的过程. 主要是创设“掷硬币时‘正面向上’出 现的比例是多少”的问题情境,让学生在探索中体会科学知识. (2)培养学生学会通过自学、观察、试验等方法获取相关知识,使学生在探索研究过程 中提高分析、归纳、推理能力. (3)让学生通过试验,相互交流试验数据,体会相互合作提升办事效率. 结合本节课的教学内容以及学生的认知情况, 本节课主要突出运用了“探究式”教学方 法,在试验探究的过程中,培养学生探究问题的能力、语言表达能力;还穿插运用了“发现 式、讨论式”教学法. (4)学生探究的过程中,尽量为他们提供思维策略上的指导. ●教学流程

创设故事情境,引入新课:你购买本期福利彩票一定中奖吗?

?

引导学生对生活中的实例进行分析、探究,得出基本概念 ? 学生分组讨论各个概念的特 征,掌握各个概念? 通过例1及变式训练使学生掌握判断事件的基本方法 通 过 例 2 及 变 式 训 练 使 学 生 掌 握 试 验 结 果 的 分 析 方 法 ? ? ?

通过例3变式训练使学生明确概率与频率的关系 归纳整理课堂小结,整体把握本节知识 完成当堂双基达标,巩固本节知识并进行反馈矫正

课标 解读

1.了解事件的分类及随机事件发生的不确定性和其概率的稳定性.(难点) 2.理解频率与概率的联系与区别.(重点) 3.能初步举出重复试验的结果.

必然事件、不可能事件和随机事件 【问题导思】 1.考察下列事件:(1)导体通电时发热;(2)向上抛出的石头会下落.这两个事件就其发 生与否有什么共同特点? 【提示】 都是必然要发生的事件. 2.考察下列事件:(1)在没有水分的真空中种子发芽;(2)在常温常压下钢铁融化;(3) 服用一种药物使人永远年轻.这些事件就其发生与否有什么共同特点? 【提示】 都是不可能发生的事件. 3.考察下列事件:(1)某人射击一次命中目标;(2)山东地区一年里 7 月 15 日这一天最 热;(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点? 【提示】 都是可能发生也可能不发生的事件. 事件的概念及分类 事件错误!)

频率与概率 【问题导思】 做一个简单的实验:把一枚骰子掷多次,观察出现的结果,并记录各结果出现的频数. 1.在本实验中出现了几种结果? 【提示】 一共出现了 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点六种结果. 2.一次试验中的试验结果试验前能确定吗?

【提示】 不能. 3.若做大量地重复试验,你认为出现每种结果的次数有何关系? 【提示】 大致相等. 频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次 nA 试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A n 出现的频率. 概 【问题导思】 1.频率的取值范围是什么?概率的取值范围是什么? 【提示】 频率与概率的取值范围都是[0,1]. 2.概率为 1 的事件是否一定发生?概率为 0 的事件是否一定不发生?为什么? 【提示】 不一定,概率为 1 只是发生的可能性很大,而概率为 0 的事件也不是一定不 发生(即也可能发生). 1.概率:概率是度量随机事件发生的可能性大小的量. 2.概率与频率联系:对于给定的随机事件 A,事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的 增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 率

事件类型的判断 例 1 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件. (1)我国东南沿海某地明年将受到 3 次冷空气的侵袭. (2)若 a 为实数,则|a|≥0. (3)抛掷硬币 10 次,至少有一次正面向上. (4)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹,其中 50%的炮弹击中目标. (5)没有水分,种子发芽. 【思路探究】 解答本题可依据随机事件,必然事件和不可能事件的定义逐一验证. 【自主解答】 是随机事件. (2)对任意实数 a,|a|≥0 总成立,是必然事件. (3)抛掷硬币 10 次,也可能全是反面向上,也可能有正面向上,是随机事件. (4)同一门炮向同一目标发射,命中率可能是 50%,也可能不是 50%,是随机事件. (5)没有水分,种子不可能发芽,是不可能事件. (1)我国东南沿海某地明年可能受到 3 次冷空气侵袭, 也可能不是 3 次,

1.正确理解并掌握必然事件、不可能事件和随机事件的概念是解答本题的关键. 2.要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言 的. 第二步再看它是一定发生, 还是不一定发生, 还是一定不发生. 一定发生的是必然事件, 不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.

指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. (1)某体操运动员将在运动会上获得全能冠军; (2)一个三角形的大边所对的角小,小边所对的角大; (3)如果 a>b,那么 b<a; (4)某人购买福利彩票中奖; (5)某人的手机一天接到 20 个电话. 【解】 (1)(4)(5)是随机事件,(2)是不可能事件,(3)是必然事件. 试验结果分析 例 2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑 4 个球,分别写出以下随机试验的条件和结 果. (1)从中任取 1 球;(2)从中任取 2 球. 【思路探究】 明确条件和结果,据生活经验按一定顺序逐一列出全部结果. 【自主解答】 (1)条件为:从袋中任取 1 球,结果为:红、白、黄、黑 4 种.

(2)条件为从袋中任取 2 球,若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球,结果 为(红,白)、(红,黄)、(红,黑)、(白,黄)、(白,黑)、(黄,黑)6 种.

1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将事件的条件实现一次,如取出“红 球、白球”就实现了条件“任取 2 个小球”一次. 2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试 验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件发 生的条件. 根据日常生活经验, 按一定次序列举, 才能保证所列结果没有重复, 也没有遗漏.

指出下列试验的结果: (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各 1 个的袋子中任取 2 个小球; (2)从 1,3,6,10 四个数中任取两个数(不重复)作差. 【解】 (1)结果:红球,白球;红球,黑球;白球,黑球. (2)结果:

1-3=-2,3-1=2, 1-6=-5,6-1=5, 1-10=-9,10-1=9, 3-6=-3,6-3=3, 3-10=-7,10-3=7, 6-10=-4,10-6=4. 概率与频率的关系及求法 例 3 下面的表中列出 10 次抛掷硬币的试验结果, n 为抛掷硬币的次数, m 为硬币正面 向上的次数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考察它的概率.

“正面向 试验序号 抛掷的次数 n 正面向上的次数 m 上” 出现的 频率 4 5 6 7 8 9 10 500 500 500 500 500 500 500 253 251 246 244 258 262 247

nA 【思路探究】 先由公式 fn(A)= 分别求出各项试验对应的频率然后估计概率. n nA 【自主解答】 由 fn(A)= ,可分别得出这 10 次试验中“正面向上”这一事件出现的 n 频率依次为 0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494.这些数在 0.5 附 近摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为 0.5.

规律方法 1.频率与概率的关系:频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,是客观 存在的,与试验次数无关,概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越大时,频率向概率靠 近. 2.此类题目的解题方法是:先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据 概率的定义确定频率的稳定值即为概率. 变式训练 某质检员从一大批种子中抽取若干组种子, 在同一条件下进行发芽试验, 有关数据如下:

种子粒数 发芽粒数 发芽频率

25 24

70 60

130 116

700 639

2 000 1 806

3 000 2 713

(1)计算各组种子的发芽频率,填入上表; (2)根据频率的稳定值估计种子的发芽率. 【解】 (1)种子的发芽频率从左到右依次为:0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90. (2)由(1)知发芽频率逐渐稳定在 0.90,因此可以估计种子的发芽率为 0.90. 易错易误辨析 忽视试验结果导致解题错误 典例 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则: (1)一共可能出现多少种不同的结果? (2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有多少种? (3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少? 【错解】 (1)一共可能出现“两枚正面”,“两枚反面”,“一枚正面,一枚反面”

三种不同的结果. (2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有一种. 1 (3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率是 . 3 【错因分析】 将“一正,一反”与“一反,一正”两种情形错认为是一种情形,若在 题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题. 【防范措施】 1.把握随机试验的实质,明确一次试验的含义. 2.按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏. 【正解】 (1) 一共可能出现 “ 两枚正面 ”“ 两枚反面 ”“ 第一枚正面,第二枚反

面”“第一枚反面,第二枚正面”四种情况. (2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有 2 种. 1 (3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率为 . 2 课堂小结

1. 随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知 的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数 上(即事件 A 的概率),这个常数越接近于 1,事件 A 发

生的概率就越大, 也就是事件 A 发生的可能性就越大; 反之,常数越接近于 0,事件 A 发生的可能性就越小. 2.概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的 量,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值. 当堂双基达标 1.下列事件是随机事件的有( )

①掷一枚硬币,反面向上;②x 为实数,则 x2<0;③明年高考数学试题很容易. A.② B.①② C.①③ D.②③

【解析】 ①③为随机事件,②为不可能事件. 【答案】 C 2.下列说法正确的是( )

A.任何事件的概率总在(0,1)内 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.概率是随机的,在试验前不能确定 D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 【解析】 任何事件的概率总在[0,1]内, 频率与试验次数有关, C 中概率是客观存在的, 故 A、B、C 都不正确. 【答案】 D 3.北京去年 6 月份共有 7 天为阴雨天气,设阴雨天气为事件 A,则事件 A 出现的频数 为________,事件 A 出现的频率为________. 7 【解析】 由频数的意义知,事件 A 出现的频数为 7,频率为 . 30 【答案】 7 7 30

4.从甲、乙、丙、丁四名同学中选 2 名代表学校参加一项活动,可能的选法有哪些? 【解】 可能的选法为:(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁). 课后知能检测 一、选择题 1.给出关于满足 A B 的非空集合 A,B 的四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件; ②若任取 x?A,则 x∈B 是不可能事件; ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件; ④若任取 x?B,则 x?A 是必然事件. 其中正确命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】 由真子集的定义可知:①③④是正确命题,②假命题. 【答案】 C m 2.(2013· 德州高一检测)事件 A 的频率 满足( n m A. =0 n m C.0< <1 n m 【解析】 ∵0≤m≤n,∴0≤ ≤1. n 【答案】 D 3.在掷一枚硬币的试验中,共掷了 100 次,“正面向上”的频率为 0.49,则“正面向 下”的次数为( A.0.49 ) B.49 C.0.51 D.51 ) m B. =1 n m D.0≤ ≤1 n

【解析】 “正面向上”的次数为 100×0.49=49. 故“正面向下”的次数为 100-49=51. 【答案】 D 1 4.掷一枚硬币,反面向上的概率是 ,若连续抛掷同一枚硬币 10 次,则有( 2 A.一定有 5 次反面向上 B.一定有 6 次反面向上 C.一定有 4 次反面向上 D.可能有 5 次反面向上 1 【解析】 掷一枚硬币,“正面向上”和“反面向上”的概率为 ,连掷 10 次,并不一 2 定有 5 次反面向上,可能有 5 次反面向上. 【答案】 D 5.(2013· 广州高一检测)从存放号码分别为 1,2,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到的次数 1 10 2 11 3 8 ) B . 0.5 D.0.37 10+8+6+18+11 【解析】 取到号码为奇数的频率是 =0.53. 100 C . 0.47 4 8 5 6 6 10 7 18 8 9 9 11 10 9 )

则取到号码为奇数的频率是( A.0.53

【答案】 A 二、填空题 6.从 3 双鞋子中,任取 4 只,其中至少有两只鞋是一双,这个事件是________(填“必 然”,“不可能”或“随机”)事件. 【解析】 由题意知该事件为必然事件. 【答案】 必然 7.设某厂产品的次品率为 2%,则该厂 1 000 件产品中不合格品的件数约为________. 【解析】 1 000×2%=20. 【答案】 20 8.已知随机事件 A 发生的频率是 0.01,事件 A 出现了 10 次,则一共进行了________ 次试验. 10 【解析】 设共进行了 n 次试验,则 =0.01,∴n=1 000. n 【答案】 1 000 三、解答题 9.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件? (1)某地 1 月 1 日刮西北风; (2)当 x 是实数时,x2≥0; (3)手电筒的电池没电,灯泡发亮; (4)一个电影院某天的上座率超过 50%. 【解】 (1)(4)是随机事件;(2)是必然事件;(3)是不可能事件. 10.某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶, 试计算此人中靶的频率, 假设此人射击一次, 问中靶的概率约是多少? 【解】 设射击次数为 n,中靶次数为 m.射击 10 次,∴n=10,有 9 次中靶,∴m=9, m ∴中靶频率 =0.9. n 由频率估计概率,故假设此人射击一次,中靶概率约为 0.9. 11.某人做试验“从一个装有标号为 1,2,3,4 的小球的盒子中,无放回地取小球两次, 每次取一个,构成有序数对(x,y),x 为第一次取到的小球上的数字,y 为第二次取到的小球 上的数字”. (1)求这个试验结果的种数; (2)写出“第一次取出的小球上的数字是 2”这一事件. 【解】 (1)当 x=1 时,有(1,2),(1,3),(1,4)三种结果. 当 x=2 时,有(2,1),(2,3),(2,4)三种结果. 当 x=3 时,有 (3,1),(3,2),(3,4)三种结果.

当 x=4 时,有(4,1),(4,2),(4,3)三种结果. 故这个试验共有 3×4=12 种结果. (2) 记 “ 第 一 次 取 出 的 小 球 上 的 数 字 是 2” 为 事 件 A , 则 A = {(2,1) , (2,3) , (2,4)}.

某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管 1 000 支, 该公司对这些灯管的使用寿命(单 位:时)进行了统计,统计结果如下表所示: 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率. 【思路探究】 (1)频率=频数÷ 总数. [0,900) 48 [900,1 100) 121 [1 100,1 300) 208 [1 300,1 500) 223 [1 500,1 700) 193 [1700,1 900) 165 [1 900, +∞) 42

nA (2)先求出灯管使用寿命在[0,1 500)的频数,再应用公式 fn(A)= 求解. n 【自主解答】 (1)频率依次是 0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.

(2)样本中使用寿命不足 1 500 小时的频数是 48+121+208+223=600,所以样本中使 600 用寿命不足 1 500 小时的频率是 =0.6.即估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率为 0.6. 1 000

对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下: 调查件数 合格件数 50 47 100 92 200 192 300 285 450 429

根据上表所提供的数据, 若要从该厂生产的此种产品中抽到 950 件合格产品, 大约需要 抽取多少件产品? 【解】 5 次抽查的合格频率分别为 0.94,0.92,0.96, 0.95, 0.953, 则合格概率估计为 0.95. 设若想抽到 950 件合格品,大约抽 n 件产品,



950 =0.95,所以 n=1 000. n



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