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2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1_图文

第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 学习 目标 1.了解圆锥曲线的统一定义. 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 圆锥曲线的统一定义 e 平面内到 一个定点F 和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数 _____ 的点的轨迹. 知识点一 0<e<1 时,它表示椭圆; e>1 时,它表示双曲线; e=1 时,它表示抛物线. 答案 知识点二 准线方程 x2 y2 x2 y2 对于椭圆a2+b2=1 (a>b>0)和双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)中,与 F(c,0) a2 x= c ,与 F′(-c,0)对应的准线方程是 l′: 对应的准线方程是 l:______ a2 a2 y=±c x=- c ___________ ;如果焦点在 y 轴上,则两条准线方程为___________. 答案 思考 1.椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少? 答案 1 e. 2.动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹 一定是圆锥曲线吗? 答案 当F?l时,动点M轨迹是圆锥曲线. 当F∈l时,动点M轨迹是过F且与l垂直的直线. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 统一定义的简单应用 x2 y2 例 1 椭圆25+ 9 =1 上有一点 P,它到左准线的距离等于 2.5,那么,P 8 到右焦点的距离为________. 解析 如图所示, c 4 PF1+PF2=2a=10,e=a=5, PF1 4 而 2.5 =e=5,∴PF1=2, ∴PF2=10-PF1=10-2=8. 反思与感悟 解析答案 2 2 x y 跟踪训练1 已知椭圆 2+ 2=1上一点P到右焦点F2的距离为 4b b b(b>1),求P到左准线的距离. 解析答案 题型二 应用统一定义转化求最值 2 2 x y 例2 已知椭圆 8 + 6 =1 内有一点P(1,-1),F是椭圆的右焦点,在 椭圆上求一点M,使MP+2MF之值为最小. 解 设d为M到右准线的距离. c 1 MF 1 c 1 MF 1 ∵e=a=2, d =2, ∵e= = , = , a 2 d 2 MF ∴ 1 =d,即 d=2MF(如图). 2 故MP+2MF=MP+d≥PM′. 显然,当P、M、M′三点共线时,所求的值为最小,从而求得点M的 2 坐标为 (3 15,-1). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 x2 y2 已知双曲线 9 -16=1 的右焦点为 F,点 A(9,2),试在双 3 曲线上求一点 M,使 MA+5MF 的值最小,并求这个最小值. 解析答案 题型三 圆锥曲线统一定义的综合应用 2 2 x y 例 3 已知 A、B 是椭圆a2+ 9 =1 上的点,F2 是右焦点,且 2 a 25 8 3 AF2+BF2=5a,AB 的中点 N 到左准线的距离等于2,求此椭圆方程. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 3 其左焦点. x2 y2 设 P(x0,y0)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点,F1 为 a2 解 对应于 F1 的准线方程为 x=- c , PF1 根据统一定义: 2=e, a x0+ c ∴PF1=a+ex0.又-a≤x0≤a, c ∴当 x0=-a 时, (PF1)min=a+a×(-a)=a-c; c 当 x0=a 时,(PF1)max=a+a· a=a+c. 解析答案 (1)求PF1的最小值和最大值; x2 y2 (2)在椭圆25+ 5 =1 上求一点 P,使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直. 4 2 2 2 2 解 ∵a =25,b =5,∴c =20,e =5. 2 2 2 2 2 ∵PF2 + PF = F F , ∴ ( a + ex ) + ( a - ex ) = 4 c . 1 2 1 2 0 0 4 2 5 3 将数据代入得 25+5x0=40.∴x0=± 2 . 代入椭圆方程得 P ? 5 3 ? , ?- 2 ? ?5 3 点的坐标为? , ? 2 ? ?5 3 ? 5? 5 ? ? ? , ,- ? ?, 2? 2 2 ? ? ? ? 5? 5 3 5? ? ? ? ,?- ,- 2 ?. 2? 2 ? ? ? 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在 x轴上的双曲线,则k的取 -1<k<1 值范围为________. 解析 ? ? ?1+k>0, ?k>-1, 由题意得? 解得? 即-1<k<1. ? ? ?1-k>0, ?k<1, 解析答案 1 2 3 4 5 2.已知点 F1 , F2 分别是椭圆 x2 + 2y2 = 2 的左,右焦点,点 P是该椭圆上 → → | PF + PF 2 的一个动点,那么的 1 2| 最小值是________. 解析 → =(-1-x ,-y ),PF → =(1-x ,-y ), 设 P(x0,y0),则PF 1 0 0 2 0 0 → +PF → =(-2x ,-2y ), ∴PF 1 2 0 0 → +PF → |= 4x2+4y2=2 ∴|PF 1 2 0 0 2 2-2y2 + y 0 0=2 -y2 0+2. ∵点 P 在椭圆上,∴0≤y2 0≤1, → +PF → |取最小值为 2. ∴当 y2 = 1 时, | PF 0 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 →· → =0 的点M总在椭圆内部, 3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足MF MF 1 2 则椭圆离心率的取值范围是________. 解析答案 1 2 3 4 5 x2 y


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