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高考导数问aa题常见题型总结


高考有关导数问题解题方法总结
一、考试内容 利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析 题型一:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线 y ? 4 x ? x 在点
3

? ?1, ?3? 处的切线方程是

y ? x?2
(1,0)

4 2.若曲线 f ( x) ? x ? x 在 P 点处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则 P 点的坐标为

3.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 4 x ? y ? 3 ? 0
4

4.求下列直线的方程:
3 2 (1)曲线 y ? x ? x ? 1 在 P(-1,1)处的切线; 2 (2)曲线 y ? x 过点 P(3,5)的切线;

题型二:利用导数研究函数的极值、最值。

??1,1? 上的最大值是 2 1. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间
3 2
2 2.已知函数 y ? f ( x) ? x( x ? c) 在x ? 2 处有极大值,则常数 c=

6



3.函数 y ? 1 ? 3x ? x 有极小值 -1

3

,极大值

3

题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
3 2 2.已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、 n 应满足 的条件.

3.设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) .
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(1)若 f ( x ) 的图象与直线 5x ? y ? 8 ? 0 相切,切点横坐标为2,且 f ( x ) 在 x ? 1 处取极值, 求实数 a , b 的值; (2)当 b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 f ( x ) 总有两个不同的极值点.

题型四:利用导数研究函数的图象
/ 1.如右图:是 f(x)的导函数, f ( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( D )

(A) 2.函数
y?

(B)
1 3 x ? 4 x ? 1的图像为 3 ( A

(C) )

(D)

6 4 2 -4 -2

y

o 2 4 -2 -4

x

6 4 2 -4 -2

y

6 4 2 x -4

y

6 4 2 x

y

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

3 2 3.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

( B D、3

)

A、0

B、1

C、2

已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围 题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围

第 2 页 共 7 页

1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 1.设函数
(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值.

? (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.

题型六:利用导数研究方程的根

1.已知平面向量 a =( 3 ,-1).

1 3 b =( 2 , 2 ).

(1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x = a +(t2-3) b , y =-k a +t b , x ⊥ y , 试求函数关系式 k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况.

题型七:导数与不等式的综合 1.设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.
3

(1)求实数 a 的取值范围; (2)设

x0 ≥1, f ( x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

2 2 ? ? ? 解: (1) y ? f ( x) ? 3x ? a, 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递减函数, 则须 y ? 0,即a ? 3x , 这

样的实数 a 不存在.故 f ( x) 在 ?1,??? 上不可能是单调递减函数.
2 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3 x ,

1,???, 故3x ? 3 .从而 0<a≤3. 由于 x ? ?
2

( 2 ) 方 法 1 、 可 知 f ( x) 在 ?1,??? 上 只 能 为 单 调 增 函 数 .

若 1≤

x0 ? f ( x0 ) , 则

f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾, 若 1≤ f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ),即x0 ? f ( x0 ) 矛盾,故
只有

f ( x0 ) ? x0 成立.
2 : 设
3 f ( x0 ) ? u, 则f (u) ? x0 , ? x0 ? ax0 ? u, u 3 ? au ? x0 , 两 式 相 减 得

方 法

3 2 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u) ? u ? x0 ? ( x0 ? u)(x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a) ? 0,? x0 ≥1,u≥1,

第 3 页 共 7 页

2 2 ? x0 ? x0u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ,? x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a ? 0

3 f ( x) ? ( x 2 ? )( x ? a) 2 2.已知 a 为实数,函数
(1)若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围 (2)若 f '( ?1) ? 0 , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间

x 、x2 ? (?1,0) ,不等式 (Ⅱ)证明对任意的 1
f ( x) ? x 3 ? ax 2 ?
解:

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

5 16 恒成立

3 3 3 x ? a ? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 2 , 2

函数 f ( x ) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解

?? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ?

9 3 3 3 ? 0 a2 ? ( ? ?, ? 2] [ 2, ? ?) 2 ,所以 a 的取值范围是 2 2 2 ,

9 3 9 3 1 ? 3 ? 2a ? ? 0 a ? ? f '( x) ? 3x 2 ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) f '(?1) ? 0 , 4, 2 2 2 2 ,
由 f '( x) ? 0, x ? ?1 或

x??

1 1 f '( x) ? 0, ?1 ? x ? ? 2 ;由 2

1 1 ( ?1, ? ) (??, ?1), (? , ??) ? f ( x) 的单调递增区间是 2 2 ;单调减区间为

易知 f ( x ) 的最大值为

f (?1) ?

25 1 49 27 f (? ) ? f (0) ? f ( x ) 8 , 2 16 ,又 8 的极小值为
27 49 m? 8 ,最小值 16

? f ( x) 在 [?1, 0] 上的最大值

M ?

? 对任意 x1 , x2 ? (?1,0) ,恒有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ?

27 49 5 ? ? 8 16 16

题型八:导数在实际中的应用 1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六 棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大?
第 4 页 共 7 页

解:设 OO1 为 x m ,则 1 ? x ? 4 由题设可得正六棱锥底面边长为:

3 2 ? ( x ? 1) 2 ? 8 ? 2 x ? x 2

, (单位: m )

6?
故底面正六边形的面积为:

3 3 3 ?( ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 2 2 2 8 ? 2 x ? x ) 4 = 2 , (单位: m )

帐篷的体积为:

V(x) ?

1 3 3 3 (16 ? 12x ? x 3 ) (8 ? 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) ? 1] ? 3 3 2 2 (单位: m )

V' (x) ?
求导得

3 (12 ? 3x 2 ) 2 。

(x) ? 0 ,解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) 令 V' ,x ? 2, (x) ? 0 , V ( x) 当 1 ? x ? 2 时, V' 为增函数; (x) ? 0 , V ( x) 当 2 ? x ? 4 时, V' 为减函数。
∴当 x ? 2 时, V(x) 最大。
3 答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 。

2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

y (升)关于行驶速度 x (千米/

y?
小时)的函数解析式可以表示为:

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

100 ? 2.5 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 小时, 1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 80 要耗没 128000 (升) 。
100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h( x) 升,

1 3 100 1 2 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 依题意得

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h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

题型九:导数与向量的结合

a?(
1.设平面向量

3 1 1 3 , ? ), b ? ( , ). 2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使

x ? a ? (t 2 ? k )b, y ? ?sa ? tb,且x ? y,
(1)求函数关系式 S ? f (t ) ;

, ? ? ? 上是单调函数,求 k 的取值范围。 (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1
a?(
解: (1)

3 1 1 3 ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1, a ?b ? 0 2 2 2 2

又 x ? y, x ? y ? 0,得
2 ?a ? b? ? 0, ? (t ? k)( ? ? sa ? tb)

即 ? sa ?( t t 2 ? k) b -(t ? st 2 ? sk) a ? b ? 0。 ?? s ? (t 2 ? k)t ? 0,故s ? ( f t) ? t 3 ? kt。
(2)

2

2

f? (t) ? 3t 2 ? k且f(t)在?1 , ? ??上是单调函数,

? ? ?0 则在 ?1,??? 上有 f (t ) ? 0或f (t)

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t ? k ? (3t ) min ? k ? 3 ;
2 2 2

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。
2 2

第 6 页 共 7 页

因为在 t∈ ?1,??? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,??? 上恒成立。故 k 的取值范
2 2

围是 k ? 3 。

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