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2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例 1 回归分析 可线性化的回归分析教案 北师大版选修2-3.doc

2019-2020 学年高中数学 第三章 统计案例 1 回归分析 可线性化 的回归分析教案 北师大版选修 2-3
一、教学目标:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。 二、教学重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了 解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。 教学难点:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对 不同的模型进行比较。 三、教学方法:讨论交流,探析归纳 四、教学过程: (一)、复习引入: 1、给出例题:一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于下表中, 试建立 y 与 x 之间的回归方程. 温度 x / C 产卵数 y / 个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325

(学生描述步骤,教师演示) 2、讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有 分布在某个带状区域内,即两个变量不呈线性相关 关系,所以不能直接用线性回归方程来建立两个变 量之间的关系. (二)、新课探究: 1. 探究非线性回归方程的确定: ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域, 可以选线性回归模型来建模; 如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域, 就需选择非线 性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y= C1eC2 x 的周围(其 中 c1 , c2 是待定的参数),故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数,得 ln y ? c2 x ? ln c1 ,再令 z ? ln y ,则 z ? c2 x ? ln c1 ,而 z 与 x 间的 关系如下:

X z

21 1.946

23 2.398

25 3.045

27 3.178

29 4.190

32 4.745

35 5.784

观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归 方程来拟合. ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843, b ? 0.272 , z 与 x 间的线性回归方程为 z ? 0.272 x ? 3.843 , 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 y ? e0.272 x ?3.843 . ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ? 建模 ? 确定方程”这三个步骤 进行. 其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结:(1)、用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. (2)、化归思想(转化思想)在实际问题中,有时两个变量之间的关系并不是线性关系, 这就需要我们根据专业知识或散点图,对某些特殊的非线性关系,选择适当的变量代换,把 非线性方程转化为线性回归方程,从而确定未知参数.下面列举出一些常见的曲线方程,并 给出相应的化为线性回归方程的换元公式. (1) y ? a ?
b

b 1 ,令 y ' ? y , x ' ? ,则有 y ' ? a ? bx ' . x x

(2) y ? ax ,令 y ' ? ln y , x ' ? ln x , a ' ? ln a ,则有 y ' ? a '? bx ' .
bx (3) y ? ae ,令 y ' ? ln y , x ' ? x , a ' ? ln a ,则有 y ' ? a '? bx ' .

(4) y ? ae x ,令 y ' ? ln y , x ' ?

b

1 , a ' ? ln a ,则有 y ' ? a '? bx ' . x

(5) y ? a ? b ln x ,令 y ' ? y , x ' ? ln x ,则有 y ' ? a ? bx ' . (三)、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;

(2)试求出预报变量对解释变量的回归方程。 (四)、作业:课本 P85 页习题 3-1 中 3、4



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