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福建省南安一中09-10学年高一上学期期末考试(数学)

福建省南安一中 09-10 学年高一上学期期末考试 数学试卷(2010.01.25)
姓名 班级 号数 成绩

一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.直线 3x ? y ? 2 ? 0 的倾斜角的大小是( A.30° B.60° C.120° )

D.150° )
O 2 45
o

y

2.如右图所示的直观图,其平面图形的面积为( A.3 B.6 C. 3 2 D.
3 2 2

3

x


3.已知直线 a(a ? 1) x ? y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值等于( A.

1 2

B.

3 2

C.0 或

1 2

D.0 或

3 2


4.圆柱的底面积为 S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为 ( A. ?S B.2 ?S C.3 ?S D.4 ?S

5.经过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 平行的直线方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 )

6. 已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面, 下面四个命题中正确的是 ( A.若 m ? ?, n ∥ ? , 则 m ∥ n B.若 m ? n, m ? ? ,则 n ∥ ? C.若 ? ? ? ? n, m ∥ n ,则 m ∥ ? 且 m ∥ ? D.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? 7.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线 A 1D 与 D 1C 所成的角为 ( A. 30
?


A1

D1 B1

C1

B. 45

?

C. 60?

D. 90

?

8.若直线
2

x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则 a b
2

D

C B

A.a ? b ? 1

B.a ? b ? 1
2 2

C.

1 1 ? 2 ?1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ?1 2 a b

A

9.已知点 A(2,?3) 、 B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的取 值 k 范围是 ( )

A. k?

3 或 k ? ?4 4

k? B.

3 1 或k ? ? 4 4

?4? k ? C.

3 4

D. ? k ? 4

3 4

10.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的 标准方程是(
2



A. ( x ? 3) ? ( y ? ) ? 1
2

7 3

B. ( x ? 2)

2

? ( y ? 1) 2 ? 1
2

C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1

D. ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 1
2

3 2

11.过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( A . 2x ? y ? 4 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0

) C. x ? 3 y ? 7 ? 0

12.侧棱长为 a 的正三棱锥 P-ABC 的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为 ( A. ) B. 2?a
2

2?a 2

C.

3?a 2

D. 3?a 2

二.填空题(每题 4 分。共 16 分) 13.已知 A( 1, -2,1 ) ,B( 2,2, 2) ,点 P 在 z 轴上,且 |PA|=|PB|,则点 P 的坐标 为
2


2 2 2

14.已知两圆 x ? y ? 10x ? 10y ? 0, x ? y ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 ,则它们的公共弦所在 直线的方程 15.已知如右图,正方形 ABCD 的边长为 1,AP⊥平面 ABCD, 且 AP= 2 ,则 PC 与平面 PAB 所成的角为 度
A D P

B

C

16. 已知平面上一点 M (5,0) , 若直线上存在点 P , 使 | PM |? 4 , 则称该直线为“点 M 相 关直线”, 下列直线中是“点 M 相关直线”的是 ① y ? x ?1 ② y?2 ③ 4x ? 3 y ? 0 ④ 2x ? y ?1 ? 0 .(只填序号)

三.解答题(共 76 分)

17.已知直线 l 经过点 P(-2,5) ,且斜率为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程

18.如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ABC=90°,M、N 分别为 BB1、A1C1 的中点。 (Ⅰ)求证:AB⊥CB1; (Ⅱ)求证:MN//平面 ABC1。

19.直线 l 经过点 P(5,5) ,且和圆 C: x2 ? y 2 ? 25 相交,截得弦长为 4 5 ,求 l 的方程。

20、一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 E、F 分别是 PB、AD 的中点).

(Ⅰ)求证:EF⊥平面 PBC; (Ⅱ)求三棱锥 B—AEF 的体积。

21、在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M , N 分别是 AB, BC 中点. (Ⅰ)求证:平面 B1MN ⊥平面 BB1D1D ; (Ⅱ)若在棱 DD1 上有一点 P ,使 BD1 // 平面 PMN ,求 DP 与 PD1 的比.
A A 1

D1 B1

C1

D M B N

C

22.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 和直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,直线 m , n 都经过圆 C 外 定点 A(1,0). (Ⅰ)若直线 m 与圆 C 相切,求直线 m 的方程; (Ⅱ)若直线 n 与圆 C 相交于 P,Q 两点,与 l 交于 N 点,且线段 PQ 的中点为 M, 求证: AM ? AN 为定值.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 姓名

福建省南安一中 09-10 学年高一上学期期末考试 数学答题卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.___________________________14._ _______________


15.__________________________16.______



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本小题满分 12 分)

线
座号

内 不 要
班级

答 题
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

18.(本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 12 分)

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\





线









22. (本小题满分 14 分)



福建省南安一中 09-10 学年高一上学期期末考试 数学参考答案
一.选择题(5’×12=60’) 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 D

二.填空题(4’×4=16) 13. (0,0,3) 14. 2 x ? y ? 5 ? 0 15. 30
0

16 .②③

三.解答题(74 分) 17.解: (1)由直线方程的点斜式,得

3 y ? 5 ? ? ( x ? 2), 4
整理,得所求直线方程为

3x ? 4 y ? 14 ? 0.
(2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为

??????4 分

3x ? 4 y ? c ? 0,
由点到直线的距离公式,得

??????6 分

| 3 ? (?2) ? 4 ? 5 ? c | 32 ? 4 2


?3

??????8 分

| 14 ? c | ? 3, 5
??????10 分 ??????12 分

解得 c=1 或 c=-29, 故所求直线方程 3x ? 4 y ? 1 ? 0或3x ? 4 y ? 29 ? 0. 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C⊥底面 ABC,且侧面 BB1C1C∩底面 ABC=BC, ∵∠ABC=90°,即 AB⊥BC, ∴AB⊥平面 BB1C1C ∵CB1 ? 平面 BB1C1C, ∴AB⊥CB1. (2)证法一 取 AA1 的中点 E,连 NE、ME,??????6 分 ∵在△AA1C1 中,N、E 是中点, ∴NE//AC

??????3 分 ??????5 分

又∵M、E 分别是 BB1、AA1 的中点, ∴ME//BA,??????8 分 又∵AB∩AC1=A, ∴平面 MNE//平面 ABC1,??????10 分 而 MN ? 平面 MNE, ∴MN//ABC1.??????12 分 证法二 取 AC1 的中点 F,连 BF、NF??????7 分 在△AA1C1 中,N、F 是中点,

1 AA1, 2 1 又∵BM // AA1, 2
∴NF // ∴EF // BM,??????8 分 故四边形 BMNF 是平行四边形, ∴MN//BF,??????10 分 而 EF ? 面 ABC1,MN ? 平面 ABC1,∴MN//面 ABC1.??????12 分 19.解:如图易知直线 l 的斜率 k 存在,设直线 l 的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 5) . 圆 C: x2 ? y 2 ? 25 的圆心为(0,0), 半径 r=5,圆心到直线 l 的距离 d ? 在 Rt ?AOC 中, d 2 ? AC 2 ? OA2 , (5 ? 5k ) 2 ? (2 5) 2 ? 25 . 1? k2

5 ? 5k 1? k2

.

P A O C

1 . 2 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 .
? 2k 2 ? 5k ? 2 ? 0 , ∴ k ? 2 或 k ?
20 解: (Ⅰ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG //
?

1 BC ,所以 GE // DF . ? 2

由(Ⅰ)知 FD⊥平面 PDC, DG ? 面 PDC,所以 FD⊥DG。 所以四边形 FEGD 为矩形,因为 G 为等腰 Rt△RPD 斜边 PC 的中点, 所以 DG⊥PC, 又 DG⊥GE,PC∩EG=E, 所以 DG⊥平面 PBC. 因为 DG//EF,所以 EF⊥平面 PBC。 (Ⅱ) VB ? AEF ? VE ? ABF ?

1 1 1 1 1 3 S ?ABF ? OE ? ? a 2 ? a ? a 3 3 4 2 24

21.证明: (Ⅰ)连 AC,则 AC⊥ BD , 又 M , N 分 别 是 A B, B C中 点 , ∴ 3分
A 1

MN // AC , ∴

MN ⊥ BD ,
D1 B1 C1

D A M B N

C

∵ ∵ ∵ ∵

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,∴
MN ? 平面 ABCD ,∴

BB1 ⊥平面 ABCD ,
5分

BB1 ⊥ MN ,

BD ? BB1 ? B ,∴

MN ⊥平面 BB1D1D ,
6分

MN ? 平面 MNB1 ,∴ 平面 B1MN ⊥平面 BB1D1D ;

(Ⅱ)设 MN 与 BD 的交点是 Q ,连 PQ , ∵ ∴

BD1 // 平面 PMN , BD1 ? 平面 BB1D1D ,平面 BB1D1D ? 平面 PMN =PQ, BD1 // PQ ,


DP ︰ PD1 = DQ ︰ QB =3︰1。

12 分

22. 解: (Ⅰ)①若直线 m 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意.?????1 分 ②若直线 m 斜率存在,设直线 m 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即:

3k ? 4 ? k k ?1
2

? 2 ,解之得

k?

3 .??????????5 分 4

所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .????????????? 6 分 (Ⅱ)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 3k ,? ) .?????????8 分 得 N( 2k ? 1 2k ? 1 ?kx ? y ? k ? 0
? y ? kx ? k
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4

再由 ?

得 (1 ? k ) x ? (2k ? 8k ? 6) x ? k ? 8k ? 21 ? 0 .
2 2 2 2



x1 ? x2 ?

2k 2 ? 8k ? 6 1? k 2

得M(

k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k , ) .????12 分 1? k 2 1? k 2



AM ? AN ? (

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1) ? ( ) ? ( ? 1)2 ? (? ) 2 2 1? k 1? k 2k ? 1 2k ? 1

2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k ? 1? k ? ? 6 为定值.?????14 分 1? k 2 | 2k ? 1|

解法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 3k ,? ). 得 N( 2k ? 1 2k ? 1 ?kx ? y ? k ? 0

????????8 分

又直线 CM 与 l1 垂直,

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? M ( , ) .??????10 分 由? 得 1 2 2 1 ? k 1 ? k y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?


AM ? AN ?| yM ? 0 | 1 ?
?|

1 1 k 2 ?1 ? | y ? 0 | 1 ? ? | y ? y | N M N k2 k2 k2

4k 2 ? 2k 3k k 2 ?1 ? ( ? ) | ? 6 ,为定值.????14 分 1? k 2 2k ? 1 k2
AM AC ? , AB AN

解法三:用几何法,如图所示,△AMC∽△ABN,则 可得 AM ? AN ? AC ? AB ? 2 5 ?

3 ? 6 ,是定值. 5



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