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1.3.2函数的奇偶性


1.3.2 函数的奇偶性

观察下图,思考并讨论以下问题:
(1)这两个函数图象有什么共同特征? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征?

x

-3

-2 4

-1 0 1 0 1 1

1 1 2 2

2 4

3 9 3 3

f ( x) ? x 2 9
f ( x) ?| x | 3

x

-3 -2 -1 0 2 1 0

观察到这两个函数的图象都关于y 轴对 称.那么,如何利用函数解析式描述函数图 象的这个特征?

偶函数的概念
一般地,如果对于函数f ( x) 的定义域内任意一个 有

x ,都

f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做偶函数.
2

2 函数 f ( x) ? x ? 1,f ( x) ? 2 都是偶函数,它们的 x ? 11 图象分别如下图所示:

观察

两个函数值对应表,你能发现这两个函数有什么共同特征吗?

1 观察函数 f ( x) ? x 和 f ( x) ? 的图象,并完成下面的 x

x f(x)=x

-3 -2 -1 0

1

2 2

3 3

x -3 -2 -1 0 1 f(x)=1/x /

奇函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.

思考
(1)判断 f ( x) ? x
3

? x函数的奇偶性.
3

(2)如果下图是函数 f ( x) ? x ? x 图象的一部分,你能根据 f ( x) 的奇偶性 画出它在 y 轴左边的图象吗?

例 判断下列函数的奇偶性:

f (1)

( x) ? x ;
4
5

(2) f ( x) ? x ;

1 (3) f ( x) ? x ? ; 1 x

f ( x) ? (4)

x

2



(6) f ( x) ? x

4 解: (1)对于函数 f ( x) ? x ,其定义域为(-∞,+∞).

因为对定义域内的每一个x,都有

f (?x) ? (?x) ? x ? f ( x) 4 所以,函数 f ( x) ? x 为偶函数.
4 4

(2)对于函数

f ( x) ? x5 ,其定义域为(-∞,+∞).
5 5

因为对于定义域内的每一个x ,都有

f (?x) ? (?x) ? ?x ? ? f ( x)
所以,函数

f ( x) ? x 为奇函数.
5

1 (3)对于函数f ( x) ? x ? ,其定义域为 ?x | x ? 0?. x
因为对于定义域内的每一个x ,都有

1 1 f ( ? x) ? ? x ? ? ?( x ? ) ? ? f ( x) ?x 1 x 所以,函数 f ( x) ? x ? 为奇函数. 1 x (4)对于函数 f ( x) ? 2,其定义域为?x | x ? 0?.
因为对于定义域内的每一个,都有

x

1 1 f ( ? x) ? ? 2 ? f ( x) 2 (? x) x 1 所以,函数 f ( x) ? 2 为偶函数. x

用定义判断函数奇偶性的步骤:

(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

课堂练习:
1、判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=2x4+3x2 (2) f(x)=x3-2x

2、已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整。
y y

x2 ?1 (3) f ( x) ? x

(4) f ( x) ? x 2 ? 1

o

x

o

x

3.判断下列函数的奇偶性:

1 (1) f ( x) ? x ? x (3) f ( x) ? 5 (5) f ( x) ? x ? 1

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

(4) f ( x) ? 0 (6) f ( x) ? x , x ? [?1,3]
2

思考题:
函数y=5是奇函数还是偶函数 ? 偶函数 函数y=0是奇函数还是偶函数 ? 是偶函数也是奇函数
Y Y=5


Y

Y=0


x



x

知识探究(一)
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数? 若存在,这样的函数有何特征?

f(x)=0
思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形?

思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数,那么 的值如何?

f(0)

f(0)=0

b 例3.已知f ( x) ? ax ? ? 1,且 x f (1) ? 3, 则f (?1) ? _
3

例4:已知函数f ( x)是偶函数, 且x ? 0时,f ( x) ? ? x ? x, 求x ? 0
2

时f ( x)的解析式。

练习:已知函数f ( x)是奇函数, 1 3 且x ? 0时,f ( x) ? 3x ? , 求 x 函数f ( x)的解析式。

3 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任 意实数x都有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 0 ,若当 x ? [?3, ?2] 1 时, f ( x) ? 2 x ,求 f ( ) 的值. 2
1 f( )?5 2


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