2011年高考文科数学试题分类汇编 三角函数教师版

2011 年高考文科数学试题分类汇编—解三角形
一、填空题 1. （ 全 国 新 课 标 文 ） 15 ） （ ______
15 3 ___． 4
3? ）n ，a t 2
?ABC 中 ， B ? 1 2 0 , C ? 7 , B? ， 则 ?ABC 的 面 积 为 ? A A 5

2． （全国大纲文）14．已知 a∈ ? , （

?? 则 , o 2s c

?=

?

5 5

B C 3. （上海文） 在相距 2 千米的 A ． 两点处测量目标 C ， ?CAB ? 750 , ?CBA ? 600 ， A ． 8． 若 则

两点之间的距离是

6

千米。

4.（福建文）14．若△ABC 的面积为 3 ，BC=2，C= 60 ? ，则边 AB 的长度等于____2___． 5.（北京文） （9）在 ? ABC 中，若 b ? 5, ?B ? 【答案】

?

1 ,sin A ? ，则 a ? 4 3

.

5 2 3
a b ? 1 a 5 5 2 ? ,a ? 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所以 ? 1 ? sin A sin B 4 3 3 sin 3 4

【解析】 ：由正弦定理得

二、解答题 1.（安徽文） （16） （本小题满分 13 分）
1 在△ABC 中， b， 分别为内角 A， C 所对的边长， 3 ， a， c B， a= b= 2 ， ? 2cos( B ? C ) ? 0 ，

求边 BC 上的高. （16） （本小题满分 13 分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正 弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求和 能力. 解：由 1 ? 2 cos(B ? C) ? 0和B ? C ? ? ? A ，得

1 ? 2 cos A ? 0, cos A ?

1 3 , sin A ? . 2 2 b sin A 2 ? . a 2

再由正弦定理，得 sin B ?

由b ? a知B ? A, 所以B不是最大角 B ? ,

?
2

, 从而cos B ? 1 ? sin B ?

2 . 2

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由上述结果知 sin C ? sin( A ? B) ?

2 3 1 ( ? ). 2 2 2 3 ?1 . 2

设边 BC 上的高为 h，则有 h ? b sin C ? 2.（天津文）16． （本 小题满分 13 分）

在△ ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 B ? C, 2b ? 3a. （Ⅰ ）求 cos A 的值； ? （Ⅱ cos(2 A ? ) 的值． ） 4 （16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的 正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。 （Ⅰ ）解：由 B ? C , 2b ? 3a, 可得c ? b ?
3 a 2

3 2 3 2 a ? a ? a2 b2 ? c 2 ? a 2 4 1 4 所以 cos A ? ? ? . 2bc 3 3 3 2? a? a 2 2
1 2 2 （Ⅱ ）解：因为 cos A ? , A ? (0, ? ) ，所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 3 3

7 4 2 cos 2 A ? ?2cos 2 A ? 1 ? ? .故 sin 2 A ? 2sin A cos A ? . 9 9

?? ? ? ? 7? 2 4 2 2 8?7 2 ? 所以 cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? ? ? ? ? ? ? ?? . 4? 4 4 ? 9? 2 9 2 18 ?
3.（陕西文）18.（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理。 【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生 回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【解】叙述： 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦之积的两倍。或：在△ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ， b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ，

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
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??? ? 证明： （证法一） 如图， c 2 ? BC

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? AC? AB ? AC AB ?

?

??

?

??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? 2 ??? ??? ??? 2 ???? 2 ? ? ? ? ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2

即 同理可证

a 2 ? b2 ? c 2 ? b c o s A 2 c b2 ? c 2 ? a 2 ? c c o s ， 2 a B

c 2 ? a 2 ? b2 ? a c o s C 2 b

（证法二） 已知 ?ABC 中， A, B, C 所对边分别为 a, b, c, ，以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴 建立直角坐标系，则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ， ∴a2 ?| BC |2 ? (b cos A ? c)2 ? (b sin A)2 ? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A
? b2 ? c2 ? 2bc cos A ，

即 同理可证

a 2 ? b2 ? c 2 ? b c o s A 2 c b2 ? c 2 ? a 2 ? c c o s ， 2 a B

c 2 ? a 2 ? b2 ? a c o s C 2 b

4.（山东文）17.（本小题满分 12 分） 在 ? ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 （I） （II）
sin C 的值； sin A 1 若 cosB= ， ? ABC的周长为5，求b的长. 4 cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

求

【 解 析 】 (1) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B,

c ? 2R sin C, 所 以

c o s A - 2 c o2sin C ? sin A c - a s 2 = = ,即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B ,即有 c o s B b sin B sin C sin(A ? B ) ? 2 sin( ? C ) sin C ? 2sin A ,所以 B ,即 =2. sin A c sin C (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦定理得： a sin A 1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ，即 (5 ? 3a) 2 ? (2a) 2 ? a 2 ? 4a 2 ? ，解得 a=1，所以 b=2. 4 5.（湖北文）16． （本小题满分 12 分） 1 1 ,c s 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a? ,b?2 o C? 4
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（I） 求 ?ABC 的周长； （II）求 cos(A?C) 的值。 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。 （满 分 12 分） 1 解： ）? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? ? 4 （Ⅰ 4 ? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

1 1 15 （Ⅱ ? cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? ） . 4 4 4
15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ，故 A 为锐角，

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

6.（全国大纲文）18． （本小题满分 2 分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, （Ⅰ ）求 B； （Ⅱ ）若 A ? 750 , b ? 2, 求a与c 18．解： （I）由正弦定理得 a2 ? c2 ? 2ac ? b2 . 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B. 故 cos B ?
2 ,因此B ? 45?. 2

…………3 分

…………6 分

（II） sin A ? sin(30? ? 45?)
? s i n 3 0 c o ?s?4 5 ? ? 2? 6 . 4 ? o s 3? s i n 4 5 c 0

…………8 分

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故 a ? b?
c ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1 ? 3, sin B 2
…………12 分

sin C s i n? 6 0 ? 2? ? 6. sin B s i n? 4 5 7.（辽宁文） （17） （本小题满分 12 分）

△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A= 2 a． （I）求
b ； a

（II）若 c2=b2+ 3 a2，求 B． 17．解： （I）由正弦定理得， sin 2 A ? sin B cos2 A ? 2 sin A ，即

sin B(sin2 A ? cos2 A) ? 2 sin A
故 sin B ? 2 sin A, 所以
b ? 2. a

………………6 分
(1 ? 3)a . 2c

（II）由余弦定理和 c 2 ? b2 ? 3a 2 , 得 cos B ? 由（I）知 b2 ? 2a2 , 故 c2 ? (2 ? 3)a2 .

1 2 可得 cos 2 B ? , 又 cos B ? 0, 故 cos B ? , 所以B ? 45? 2 2

…………12 分

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