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2018-2019学年高一数学人教A版必修一教学课件:2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用_图文

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 用 第2课时 对数函数及其性质的应 ? 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不 等式.(重点、易错点) ? 2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域.(重点) ? 3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题.(难点) 1.比较下列各组值的大小. 3 4 (1)log5 与 log5 ; 4 3 (2)log23 与 log5 4. 解: (1)方法一: 对数函数 y=log5x 在(0, +∞)上是增函数, 3 4 3 4 而 < ,∴log5 <log5 . 4 3 4 3 3 4 3 4 方法二:∵log5 <0,log5 >0,∴log5 <log5 . 4 3 4 3 (2)取中间值 1, ∵log2 3>log2 2=1=log5 5>log5 4, ∴log2 3>log5 4. 1 2.已知 loga >1,则 a 的取值范围是____________. 2 1 1 解析:由 loga >1 得 loga >logaa. 2 2 1 ①当 a>1 时,有 0<a< ,此时无解. 2 1 1 ②当 0<a<1 时,有 0< <a,从而 <a<1. 2 2 ∴a ?1 ? ? 的取值范围是?2,1? ?. ? ? ?1 ? ? 答案:?2,1? ? ? ? 3.设 a>1,函数 f(x)=loga x 在区间[a,2a]上的最大值与最 1 小值之差为 ,则 a=________. 2 解析:∵a>1,∴f(x)=loga x 在[a,2a]上递增. 1 1 1 ∴loga(2a)-loga a= ,即 loga2= .∴a2 =2,a=4. 2 2 答案:4 利用对数函数的单调性比较大小 比较下列各组数的大小. 4 6 (1)log1 与log1 ; 25 27 (2)log1 3 与log1 3; 2 5 (3)loga2 与 loga3. 思路点拨:(1)中两数同底不同真,可利用对数函数的单调 性;(2)中同真不同底,可结合图象判断;(3)中底数含有字母, 需分类讨论. 4 6 解: (1)y=log1 x 在(0, +∞)上递减, 又因为 < , 所以log1 5 7 2 2 4 6 >log1 . 5 27 (2)因为在 x∈(1,+∞)上,y=log1 x 的图象在 y=log1 x 图 5 2 象的上方,所以log1 3<log1 3. 2 5 (3)当 a>1 时,y=logax 为增函数, 所以 loga2<loga3. 当 0<a<1 时,y=logax 为减函数, 所以 loga2>loga3. ? 对数值比较大小的常用方法: ? (1)如果同底,可直接利用单调性求解; ? (2)如果不同底,一种方法是化为同底的,另 一种方法是寻找中间量; ? (3)如果不同底但同真数,可利用图象的高低 与底数的大小关系来解决或利用换底公式化 为同底再进行比较; 1.比较下列各组数的大小: (1)loga2.7,loga2.8; (2)log34,log65; (3)log0.37,log97. 解:(1)当 a>1 时,由函数 y=loga x 的单调性可知 loga2.7 <loga2.8,当 0<a<1 时, 同理可得 loga2.7>loga2.8. (2)log34>log33=1, log65<log66=1, ∴log34>log65. (3)log0.37<log0.31=0, log97>log91=0, ∴log0.37<log97. 解简单的对数不等式 ? 解不等式:loga(x-4)>loga(x-2). 思路点拨:解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般 不等式(组)求解,注意分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论. ?x-4>x-2, ? 解:当 a>1 时,由?x-4>0, ?x-2>0, ? ?x-4<x-2, ? 当 0<a<1 时,由?x-4>0, ?x-2>0, ? 得无解. 得 x>4. ∴综上可知:当 a>1 时,不等式的解集为?; 当 0<a<1 时,不等式的解集为(4,+∞). ? 常见的对数不等式有三种类型: ? (1)形如loga x>loga b的不等式,借助y=loga x的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a >1与0<a<1两种情况讨论. ? (2)形如loga x>b的不等式,应将b化为以a为 底数的对数式的形式,再借助y=loga x的单 调性求解. ? (3)形如loga x>logb x的不等式,可利用图象 求解. 3 2.若-1<loga <1,求 a 的取值范围. 4 3 1 3 解:-1<loga <1?loga <loga <loga a. 4 a 4 1 3 4 当 a>1 时, < <a,∴a> . a 4 3 1 3 3 当 0<a<1 时, > >a,∴0<a< . a 4 4 ∴a ? ? ? 3? ? ? ?4 的取值范围是?0,4?∪?3,+∞? ?. ? ? ? ? 对数函数性质的综合应用 x+1 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). x-1 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性和单调性. x+1 思路点拨:此函数是由 y=loga u,u= 复合而成,求函 x-1 数的性质应先求出定义域, 再利用有关定义, 去讨论其他性质. ? ?x+1>0, 解:(1)要使此函数有意义,则有? ? ?x-1>0, ? ?x+1<0, 或? ? ?x-1<0, 解得 x>1 或 x<-1,故此函数的定义域为 (-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称. -x+1 x-1 x+1 (2)f(-x)=loga =loga =-loga =-f(x), -x-1 x+1


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