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成都七中2012-2013学年度下期2015级半期考试数学试题 2


成都七中 2012-2013 学年度下期 2015 级半期考试数学试题
命题人:康 华 审题人:郑勇军

考试时间:120 分钟 总分 150 分 (特别提醒:请在答题卡上作答! )
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)请将选项填涂在答题卡上 1.数列 2, 5, 2 , 1 1, ? 的一个通项公式是( 2 (A) a n ?
3n ? 3


3n ? 1

( B) a n ?

3n ? 1

(C) a n ?

(D) a n ? )

3n ? 3

2.若等差数列 ? a n ? 中, a1 ? 4, a 3 ? 3 ,则此数列的第一个负数项是( (A) a 9 ( B) a 1 0 ( C) a 1 1 (D) a 1 2

3.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,已知 a= 5 2 ,c=10,A=30o,则 B 等于 (D ) (A)105o ( B) 60o ( C)15o (D) 105o 或 15o 4.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为 30o 和 60o,则塔高为 ( (A)
400 3 m

)

( B)

400 3

3

m

( C)

200 3

3

m

(D)

200 3

m

5.某工厂年产量第一年增长率为 a , 第二年增长率为 b , 则这两年平均增长率 x 满足 ( (A) x ?
a?b 2



( B) x ?

a?b 2

( C) x ?

a?b 2

(D) x ?

a?b 2 c a d b

6.已知 a、b、c、d 均为实数,有下列命题①若 a b ? 0 , b c ? a d ? 0 ,则 a<b<0,c<d<0,则 ac>bd ;③若 b c ? a d ? 0 ,bd>0 则 a ? b
b ? c?d d



>0;②若

.其中真命题的个

数是( (A) 0

) ( B) 1 ( C)2
2 2

(D) 3
1 a ? 1 c

1 7.若 3 个不同的实数 a 、 、 c 成等差数列, a 、 、 c 成等比数列, 且 则 1

的值为 (



(A)-2

( B) 0

( C) 2
1 2

(D) 2 或-2 (
1 2

8.等比数列 ? a n ? 中, a 3 ? 7 ,前三项和 S 3 ? 2 1 ,则公比 q 的值为 (A) ?
1 2 1 2



( B) 1

( C)1 或 ?

(D) ? 1 或

9. ? ABC 中三个角的对边分别记为 a、 b、 c ,其面积记为 S,有以下命题: ①S ?
a
2

s in B s in C s in A



第1页

②若 2 co s B sin A ? sin C ,则 ? ABC 是等腰直角三角形; ③ sin C ? sin A ? sin B ? 2 sin A sin B co s C ;
2 2 2

④ ( a + b ) sin ( A ? B ) ? ( a ? b ) sin ( A ? B ) 则 ? ABC 是等腰或直角三角形.
2 2 2 2

其中正确的命题是( ) (A)①②③ ( B)①②④ 10. 在平面直角坐标系中,定义 ?

( C)②③④
? x n ?1 ? y n ? x n ? y n ?1 ? y n ? x n (n ? N )
*

(D)①③④ 为点 Pn ( x n, y n ) 到点 Pn ? 1 ( x n ? 1, y n ? 1 ) 的

一个变换——“七中变换”. 已知 P1 (0,1), P2 ( x 2, y 2 ),? , Pn ( x n, y n ), Pn ? 1 ( x n ? 1, y n ? 1 ) 是经过“七 中变换”得到的一列点,设 a n (A) 3 1(
2 ? 1)
? | Pn Pn ? 1 |

,数列{an}的前 n 项和为 Sn,那么 S10 的值为( ( C) 3 1( 2 ?
2)



( B)

3 1( 2 ?

2)

(D)

3 1( 2 ? 1)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上 11. 等 差 数 列 ? a n ? 中 通 项 a n ? 2 n ? 1 9 , 那 么 这 个 数 列 的 前 n 项 和 S n 的 最 小 值 为 ▲ ; ▲ ;
b a?c ? c a?b ?

12. 不等式 |x+2|-|x-1| ≤ a 解集不空, 则 a 的取值范围是

13. 在 ? ABC 中 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b、 c , ? A ? 6 0 ? , 则 ▲ ;

14. 将 正 偶 数 排 列 如 下 表 , 其 中 第 i 行 第 j 个 数 表 示 a ij
a ij ? 2 0 1 2

(i ? N , j ? N )
* *

. 例 如 a 32

? 10

,若

,则 i ? j ?





15.给出下列命题: ①y= 2 ? 3 x ?
4 x

的最大值为 2-4 3 ;

② 对 函 数 y?

x ? c ?1
2

, 当 0 ? c ? 1 时 , y 的 最 小 值 为2 ; 当 c ? 1 时 , y

x ?c
2

第2页

的最小值为

c ?1 c

c ;

③若 a ? b ? 1, c ? d ? 4 ,则 a c ? b d 的最大值为
2 2 2 2

5 2



④若 x>0,则 x ?

1 x

?

x?

1 x

?1 ? 2 ?

3;

⑤若 a>o,b>0,a+b=1, ? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 , 则 ( ? 1 a ? ? 2 b ) ?

? a ? ?1

?

2 b ? ( ?1 ? ? 2 ) ? . ? ?2 ? 4 ?1 ? 2

其中所有正确命题的序号是



.

三、解答题(16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分)请在答题卡对应位 置规范答题. 16.(12 分)解下列关于 x 的不等式(组):
?4 ? x 2 ? 0 ? (I) ? ; 2 ? 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 ?

(II)

1 x?2

? a (a ? R )

17.(12 分)已知:等差数列{ a n }中, a 4 =14,前 10 项和 S 10 ? 185 . (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)将{ a n }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列{ b n },求数列 { b n }的前 n 项和 G n .
n

18. (12 分) 在?ABC 中, 已知内角 A、 C 的对边分别是 a、 b 、 c 且满足 2 a s in ( B ? B、 (I)求角 A 的大小; (II)当?ABC 为锐角三角形时,求 sinBsinC的取值范围.

?
4

)? c

第3页

19.(12 分)某商场经过市场调查分析后得知:预计 2013 年从开始的前 n 个月内对某种商 品需求的累计数 f ( n ) ?
1 90 n ? n ? 2 ? ? 1 8 ? n ? , n ? 1, 2 , 3 .....,1 2 (单位:万件).

(I)问在这一年内,哪几个月需求量将超过 1. 3 万件? (II) 若在全年销售中, 将该产品都在每月初等量投放市场, 为了保证该商品全年不脱销 (即 供大于求) ,每月初至少要投放多少件商品(精确到件).

20. 13 分) ( 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足:S n ? a ( S n ? a n ? 1) ( a 为常数,a ? 0, a ? 1 ) (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 b n ? a n ? S n ? a n ,若数列 { b n } 为等比数列,求 a 的值;

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,令 c n =

3n + 2 bn

,求数列 { c n } 的前 n 项和为 T n .

21.(14 分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏, 其玩法如下:如图,设有 n( n ? N * )个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在 A 柱上,现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许 将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子 A、B、C 可供使用.

第4页

现用 an 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上至少所需要移动的次数,回答下列问题: (I)求 a1,a2,a3,并写出 an 的一个递推关系; (II)记 b n
? a n ? 1 ,求和 S n ?

?
1? i ? j ? n

bi b j

( i, j ?
2 2

; N *)
2 2

(提示: S n

? 1 7

?
1? i ? j ? n

bi b j ? S1 S2 ?

1 2

[( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n )] ?? ? S 1 ?S 3 ? S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ? S 2 n ? 4 21



(III)证明: C

?

S 1 ?S 3 S 2 ?S 4

(n ? N *) .

成都七中 2012-2013 学年度下期 2015 级半期考试数学试题
命题人:康华 审题人:郑勇军 考试时间:120 分钟 总分 150 分 (特别提醒:请在答题卡上作答! )
B )
3n ? 1

一、选择题(每题 5 分,共 50 分)请将选项填涂在答题卡上
2 1.数列 2, 5, 2 , 1 1, ? 的一个通项公式是(

(A) a n ?

3n ? 3

( B) a n ?

3n ? 1

(C) a n ?

(D) a n ? B )

3n ? 3

2.若等差数列中, a1 ? 4, a 3 ? 3 ,则此数列的第一个负数项是( (A) a 9 ( B) a 1 0 ( C) a 1 1

(D) a 1 2

3.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,已知 a= 5 2 ,c=10,A=30o,则 B 等于 (D ) (A)105o ( B) 60o ( C)15o (D) 105o 或 15o 4.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为 30o 和 60o,则塔高为 ( A ) (A)
400 3 m

( B)

400 3

3

m

( C)

200 3

3

m

(D)

200 3

m

5.某工厂年产量第一年增长率为 a , 第二年增长率为 b , 则这两年平均增长率 x 满足 B ) (

第5页

(A) x ?

a?b 2

( B) x ?

a?b 2

( C) x ?

a?b 2

(D) x ?

a?b 2 c a d b

6.已知 a、b、c、d 均为实数,有下列命题①若 a b ? 0 , b c ? a d ? 0 ,则 a<b<0,c<d<0,则 ac>bd ;③若 b c ? a d ? 0 ,bd>0 则 a ? b
b ? c?d d



>0;②若

.其中真命题的个

数是(D ) (A) 0

( B) 1

( C)2
2 2

(D) 3
1 a ? 1 c

1、 7.若 3 个不同的实数 a、1、c 成等差数列,且 a 、 c 成等比数列,则

的值为( A )

(A)-2

( B) 0

( C) 2
1 2

(D) 2 或-2 ( C )
1 2

8.等比数列 ? a n ? 中, a 3 ? 7 ,前三项和 S 3 ? 2 1 ,则公比 q 的值为 (A) ?
1 2 1 2 s in B s in C s in A

( B) 1

( C)1 或 ?

(D) ? 1 或

9. ? ABC 中三个角的对边分别记为 a、 b、 c ,其面积记为 S,有以下命题: ①S ?
a
2



②若 2 co s B sin A ? sin C ,则 ? ABC 是等腰直角三角形; ③ sin C ? sin A ? sin B ? 2 sin A sin B co s C ;
2 2 2

④ ( a + b ) sin ( A ? B ) ? ( a ? b ) sin ( A ? B ) 则 ? ABC 是等腰或直角三角形.
2 2 2 2

其中正确的命题是( D ) (A)①②③ ( B)①②④ 10. 在平面直角坐标系中, 定义 ?

( C)②③④
(n ? N )

(D)①③④

? x n ?1 ? y n ? x n ? y n ?1 ? y n ? x n

为点 Pn ( x n, y n ) 到点 Pn ? 1 ( x n ? 1, y n ? 1 ) 的一

个变换——“七中变换”. 已知 P1 (0,1), P2 ( x 2, y 2 ),? , Pn ( x n, y n ), Pn ? 1 ( x n ? 1, y n ? 1 ) 是经过“七中

变换”得到的一列点,设 a n
(A) 3 1(
2 ? 1)

? | Pn Pn ? 1 |

,数列{an}的前 n 项和为 Sn,那么 S10 的值为( A )
2)

( B)

3 1( 2 ?

( C) 3 1( 2 ?

2)

(D)

3 1( 2 ? 1)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上 11.已知等差数列 ? a n ? , a n ? 2 n ? 1 9 ,那么这个数列的前 n 项和 S n 的最小值为 -81 ;

12. 不等式 |x+2|-|x-1| ≤ a 解集不空, 则 a 的取值范围是

[ ? 3, ? ? )



第6页

13. 在 ? ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c , ? A ? 6 0 ? , 则

b a?c

?

c a?b

?

1

14. 将 正 偶 数 排 列 如 下 表 其 中 第 i 行 第 j 个 数 表 示 a ij
a ij ? 2 0 1 2

(i ? N , j ? N )
* *

, 例 如 a 32

? 10

,若

,则 i ? j ?

61



15.给出下列命题: ①y= 2 ? 3 x ?
4 x

的最大值为 2-4 3 ;

② 对 函 数 y?

x ? c ?1
2

, 当 0 ? c ? 1 时 , y 的 最 小 值 为2 ; 当 c ? 1 时 , y

x ?c
2

的最小值为

c ?1 c

c ;

③若 a ? b ? 1, c ? d ? 4 ,则 a c ? b d 的最大值为
2 2 2 2

5 2



④若 x>0,则 x ?

1 x

?

x?

1 x

?1 ? 2 ?

3;

⑤若 a>o,b>0,a+b=1, ? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 , 则 ( ? 1 a ? ? 2 b ) ?

? a ? ?1

?

2 b ? ( ?1 ? ? 2 ) ? . ? ?2 ? 4 ?1 ? 2

其中所有正确命题的序号是

②④⑤

.

三、解答题(16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分)请在答题卡对应位 置规范答题. 16.(12 分)解下列关于x的不等式(组):
?4 ? x 2 ? 0 1 ? ? a ( a ? R ). (I) ? 2 ; (II)解关于 x 的不等式 x?2 ? 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 ?

第7页

解 : 4 ? x ? 0 ? x ? ? 2或 x ? 2 (I)
2

? ? 2分 ? ? 4分 ? ? 6分

2 x ? 7 x ? 15 ? 0 ? ?
2

3 2

? x?5

综 上 , 不 等 式 解 集 为 { x | 2 ? x ? 5}
1 1 ? a( x ? 2) ( II ) ? a ? ? 0 x?2 x?2 ? ( x ? 2 )( ? a x ? 2 a ? 1) ? 0 ① a ? 0时 , x ? 2 ? ② a ? 0时 , ( x - 2 )( x ? 2 ? ? ③ a ? 0 时 ?( x ? 2 )( x ? 2 ? 1 a 1 a

? ? 2分

)? 0 ? 2 ? x ? 2 ? )? 0 ? x ? 2 ? 1 a

1 a

或 x ? 2 ? ? 5分 1 a };

综 上 : a ? 0时 , 解 集 为 { x x ? 2} ; a ? 0 时 解 集 为 { x 2 ? x ? 2 ? a ? 0 时 解 集 为{ x x ? 2 ? 1 a 或 x ? 2}

? ? 6分

17.(12 分)已知:等差数列{ a n }中, a 4 =14,前 10 项和 S 10 ? 185 . (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)将{ a n }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列{ b n },求数列 { b n }的前 n 项和 G n .
?a4 ? 14 解: (Ⅰ)由 ? ∴ ? S10 ? 1 8 5
n

? a1 ? 3 d ? 1 4 , ? ? 1 d ?1 0a 1 ? ? 1 ?0 ? 9 ? ? 2

? a1 ? 5 ……3 分 ? 1 8 5 , ? 3 ?d

由 a n ? 5 ? ( n ? 1) ? 3 ? a n ? 3 n ? 2 (Ⅱ)由已知, b n ? 3 ? 2 ? 2
n 1 2 3

……………………………6 分

………………… 9 分
n n

? G n ? 3 ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2 n ? 6 ( 2 ? 1) ? 2 n . ? Gn ? 3?2
n ?1

? 2 n ? 6 , ( n ? N *) ……………………………………12 分

18. (12 分) 在?ABC 中, 已知内角 A、 C 的对边分别是 a、 b 、 c 且满足 2 a s in ( B ? B、 (I)求角 A 的大小; (II)当?ABC 为锐角三角形时,求 sinBsinC的取值范围.

?
4

)? c

第8页

解 : (1) 由

2 a s in ( B ?

?
4

)? c?

2 s in A s in ( B ? 2 s in A s in ( B ?

?
4

) ? s in C

在 ? A B C中 , C ? ? ? ( A ? B ) ?

?
4

) ? s in ( A ? B ) ? ? 3 分

? s in A s in B ? s in A c o s B ? s in A c o s B ? c o s A s in B ? s in B (s in A ? c o s A ) ? 0 ? s in A ? c o s A ? A ?

?
4

? ? 6分

( 2 ) s in B s in C ? s in B s in ( ? ? 1 2 2 4 s in ( 2 B ? s in 2 B ? 2 4

3? 4

? B) ? 2 4

2 2

s in B c o s B ?

2 2

s in B

2

cos 2 B ? 2 4

?
4

)?

? ? 9分

因 为 ?ABC为 锐 角 三 角 形

? ? 0? B ? ? ? ? ? ? 3? ? 2 所以 ? ? ? B ? 即 : ? 2B ? ? 4 2 4 4 4 ? 0 ? 3? ? B ? ? ? ? 4 2
? s in B s in C 的 取 值 范 围 是 ( 2+ 2 , ] 2 4 2 ? ? 12分

19.(12 分)某商场经过市场调查分析后得知:预计 2013 年从开始的前 n 个月内对某种商 品需求的累计数 f ( n ) ?
1 90 n ? n ? 2 ? ? 1 8 ? n ? , n ? 1, 2 , 3 .....,1 2 (单位:万件).

(I)问在这一年内,哪几个月需求量将超过 1.3 万件? (II) 若在全年销售中, 将该产品都在每月初等量投放市场, 为了保证该商品全年不脱销 (即 供大于求) ,每月初至少要投放多少件商品(精确到件)
解 : (1) 设 第 n 个 月 的 月 需 求 量 为 a n 则 : a n ? { 因 为 f (n) ? 1 90 所 以 a 1 ? f (1) ? 17 30 ? 1 .3 ? ? 3分 n ( n ? 2 )(1 8 ? n ), f (1) ( n ? 1) f ( n ) ? f ( n ? 1)( 2 ? n ? 1 2 )

第9页

当 n ? 2时 , a n ? ( n ) - f ( n - 1 ) = f 令 a n ? 1 .3, 即 ? 3n 2

1 90

(? 3n

2

? 3 5 n ? 1 9 ),

14 ? 35n ? 19 ? 117, 解 得 : ? n ? 7, 3 ? ? 6分

因 为 n ? N , 所 以 n ? 5, 6 即 这 一 年 的 5、 两 个 月 的 需 求 量 超 过 1 .3 万 件 6

( 2) 设 每 月 初 等 量 投 放 商 品 a 万 件 , 要 使 商 品 不 脱 销 , 对 于 第 n 个 月 来 说 , 不 仅 有 本 月 投 放 市 场 的 a万 件 商 品 , 还 有 前 几 个 月 未 销 售 完 的 商 品 .
所 以 , 需 且 只 需 : n a ? f ( n ) ? 0 对 n ? 1, 2 ? 1 2 恒 成 立 , 则 a ? 又因为 f (n) n ? ( n ? 2 )(1 8 ? n ) 90 ? ( n ? 2 ) ? (1 8 ? n ) 2 ] 90 2 1 [ ? ? 11分 , ? ? 9分

( n ? 2 )(1 8 ? n ) 90

所以 a ?

10 9



即 每 月 初 至 少 要 投 放 1 1 1 1 2 件 商 品 , 才 能 保 证 全 年 不 脱 销 .? ? 1 2 分

20.(13 分)已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? a ( S n ? a n ? 1) ( a 为常数,a ? 0, a ? 1 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 b n ? a n ? S n ? a n ,若数列 { b n } 为等比数列,求 a 的值;

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,令 c n ? 解: (Ⅰ) S 1 ? a ( S 1 ? a 1 ? 1) ∴ a 1 ? a , 当n
? 2

3n ? 2

bn

,求数列 { c n } 的前 n 项和为 T n .

……….1 分

时, S n ? a ( S n ? a n ? 1)
an a n ?1

S n ? 1 ? a ( S n ? 1 ? a n ? 1 ? 1)

两式相减得: a n ? a ? a n ? 1 ,
n ?1 n ∴ a n ? a ? a ? a ;…4 分

? a (a≠0,n≥2)即 { a n } 是等比数列.

第 10 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a≠1

bn ? (a ) ?
n 2

a (a

n

? 1)

a ?1

a ,bn ?
n

( 2 a ? 1) a

2n

? aa

n

a ?1
3



2 若 { b n } 为等比数列,则有 b 2 ? b1 b 3 ,

而 b1 ? 2 a

2

, b 2 ? a ( 2 a ? 1)

b 3 ? a ( 2 a ? a ? 1) ……6 分
4 2

故 [ a ( 2 a ? 1)] ? 2 a ? a ( 2 a ? a ? 1) ,解得 a ?
3 2
2 4 2

1 2



……………………7 分

再将 a ?

1 2

代入得 b n ? ( ) 成立,所以 a ?
n

1

1 2



…………8 分

2

(III)由(Ⅱ)知 b n ? ( ) ,
n

1

2

所以 c n ? (3 n ? 2 ) ? 2
Tn ? 5 ? 2 ? 8 ? 2
2T n ? 5 ? 2
2

n

? 11 ? 2 ? 8 ? 2
3

3

? ? ? (3 n ? 2) ? 2 ? ? ? (3 n ? 1) ? 2
n

n

2

? (3 n ? 2) ? 2

n ?1

[

T n ? (3 n ? 1) ? 2

n ?1

? 2 来源:星火佰]………13 分[来源:.

21.(14 分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏, 其玩法如下:如图,设有 n( n ? N * )个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在 A 柱上,现要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许 将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子 A、B、C 可供使用.

现用 an 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题: (I)求 a1,a2,a3,并写出 an 的一个递推关系; (II)记 b n
? a n ? 1 ,求和 S n ?

?
1? i ? j ? n

bi b j

( i, j ?
2 2

N *) ;
2 2

(提示: S n

?

?
1? i ? j ? n

bi b j ?

1 2

[( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n )]



第 11 页

(III)证明: C 解:(1)

1 7

?

S1 S2

?

S 1 ?S 3 S 2 ?S 4

?? ?

S 1 ?S 3 ? S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ? S 2 n

?

4 21

(n ? N *) .

a1 ? 1, a 2 ? 3, a 3 ? 7

………2 分

事实上, 要将 n 个圆盘全部转移到 C 柱上, 只需先将上面 n ? 1 个圆盘转移到 B 柱上, 需要 a n ? 1 次转移,然后将最大的那个圆盘转移到 C 柱上,需要一次转移,再将 B 柱上的 n ? 1 个圆盘 转移到 C 柱上,需要 a n ? 1 次转移,所以有 a n
? 2 a n ?1 ? 1

………4 分

(II)由(1)得: a n ? 1 ? 2 ( a n ? 1 ? 1) ? a n ? 1 ? 2 n , 所以 a n ? 2 n ? 1
Sn ?

bn ? a n ? 1 ? 2
1 2
2

n

…………6 分
2 2 2

?
1? i ? j ? n

bi b j ?

[( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n )]

?

1 2

[ ( 2 ?
n ?1

2

2? ? ? 4 3
? 4 3

n

2 ?)
2

2

? 2 ? 2 ? ?2 ? (
4 6 n2 ? n?

n

2

2

) ]

?

1 2

[ ( 2 ?

2? )
2

n

(? 4

5 ? 1 )? ] 3
? 1)

?2
1

? 2
2

4 …………9 分 3

(III) (II)得: S n 令 cn
?

( 2 ? 1)( 2
n

n ?1

S 1 ?S 3 ?? ?S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ?? ?S 2 n
1

,则当 n ? 2 时
2

cn ?

S 1 ?S 3 ? S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ? S 2 n
1

?

( 2 ? 1)( 2 ? 1)
2 3

( 2 ? 1)( 2 ? 1) ( 2 ? 1)( 2 ? 1)
4 5

?

( 2 ? 1)( 2 ? 1)
3 4

?? ?

(2 (2

2 n ?1 2n

? 1)( 2

2n

? 1) ? 1)

? 1)( 2

2 n ?1

?

2 2

? 1 ? 1

2n ?1

?

1 2
2n ?1

? 1

?

1 4

? 2

1
2n ?1

?

1 4

?

1 4

?

1 2
2n ?1

? 1

?

1 4

c n ?1 ? ( )
4

1

n ?1

c1

又 c1
S1 S2 ?

?

1 2 ?1
3

?

1 7

?

4 21

,所以对一切 n ? N * 有:

S 1 ?S 3 S 2 ?S 4

?? ?

S 1 ?S 3 ?? ?S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ?? ?S 2 n

? c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n

第 12 页

? c1 ?

1 4

1 2 1 n ?1 c1 ? ( ) c1 ? ? ? ( ) c1 4 4

1 n 1? ( ) 4 ) ? 4 ? 4 ? ( 1 )n ? 4 ? c1 ( 1 21 21 4 21 1? 4

…………12 分

(方法二: c n ? 2 2 n ? 1 ? 1 ? 2 2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? ( 4 ) ,从第四项开始放缩求和) 另方面 c n ? 0 恒成立,所以对一切 n ? N * 有
n

1

1?1

1

S1 S2

?

S 1 ?S 3 S 2 ?S 4

?? ?

S 1 ?S 3 ?? ?S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ?? ?S 2 n 1 7
?? ? S 1 ?S 3 ?? ?S 2 n ? 1 S 2 ?S 4 ?? ?S 2 n ? 4 21 (n ? N *)

? c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n ? c 1 ?
1 7 S1 S2

综上所述有:

?

?

S 1 ?S 3 S 2 ?S 4

…………14 分

第 13 页



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