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人教A版高中数学必修四课件《1.2.1任意角的三角函数(一)》_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

1.2任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(一)

1.掌握任意角的三角函数的定义,树立映射观点; 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; 2.已知角α终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.掌握三角函数的定义域、值域.

任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念 之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究,始 于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天 文的测量,在相当长的时期里隶属于天文学。直到 1464年,德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角 形》,才独立于天文学之外对三角知识作了较系统 的阐说;14~16世纪,三角学曾一度成为欧洲数学 的主要内容,研究的方面包括三角函数值表的编制、 平面三角形和球面三角形的解法,三角恒等式的建 立和推导等等.1631年,三角学输入中国,三角学 在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。 “八线”是指在单位圆上的八种三角函数线:正弦 线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、 正矢线、余矢线。随着科学的发展,三角函数成为 研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学 工具,它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛 的应用.

在直角三角形ABC中,sinα ,cosα ,tanα 分别叫做角α 的正弦、余弦和正切,它们的值分别等于什么?

BC

AC B

sina =

cosa =

AB

AB

BC tana =
AC

C

α

A

当角α 不是锐角时,我们必须对sinα ,cosα ,tanα 的 值进行推广,以适应任意角的需要.如何定义任意角的三 角函数呢?

我们把锐角α 放到直角坐标系中,并使角α 的顶点与原 点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α 的终边上取 一点P(a,b),设点P与原点的距离为r,那么,sinα , cosα ,tanα 的值分别如何表示?

b
sin ? ?
r a
cos? ?
r
b
tan ? ?
a

y
r
α o

A P(a,b)
Bx

思考:对于确定的角α ,上述三个比值是否随 点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢? 为什么?
由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着点P在 角α的终边上的位置的改变而改变.

为了使sinα ,cosα 的表示式更简单,你认为点P的位置选 在何处最好?此时,sinα ,cosα 分别等于什么?

sin ? ? b cos? ? a

y
P(a,b) 1

b
tan ? ?
a

α

o

x

单位圆

在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的

圆称为单位圆.

对于角α 的终边上一点P,要使|OP|=1,只需点P为终边

与单位圆的交点.

y
α 的终边

P

O

x

设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),为

了不与当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾,你认为sinα ,

cosα ,tanα 对应的值应分别如何定义?

sin ? ? y

y
α 的终边

cos? ? x
y
tan ? ? ( x ? 0)
x

P(x,y)

Ox

对于一个任意给定的角α ,按照上述定义,对应的sinα , cosα ,tanα 的值是否存在?是否唯一?

角α的终边在y轴上 时,tanα的值无意义,除 此之外,其它的角的三角

α 的终边 P(x,y)

函数值都是唯一确定的.

y
Ox

一、三角函数的定义 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上
的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角 函数.

思考:正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么?
正、余弦函数的定义域为R, 正切函数的定义域是
? {? ? R | ? ? ? k?, k ? Z}.
2

例1求的5正? 弦、余弦和正切值.

3

解: 在直角坐标系中,作 ?AOB ? 5? .

3

1

3

易知 ?AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , ? ) .

22

y

5?

3

sin ? ? ,

3

2

5? 1
cos ? , 32

5?

3

x

O

5?
tan ? ? 3 . 3

1

3

P( , ? )

22

例2已知角的终边过点P0(-3,-4),求角的正弦、余

弦和正切值.

y

解:由已知得 OP ? (?3)2 ? (?4)2 ? 5 .
0

M0 M

x

O

设角 ? 的终边与单位圆交于点 P(x, y) ,

分别过点

P,

P 0



x

轴的垂线

MP,

M

P
00

,则

MP ? ? y, M P ? 4, OM ? ? x, OM ? 3

00

0

P(x,y) P0(-3,-4)

?OMP ∽ ?OM 0 P0 ,

于是,

y ? MP
sin ? ? y ? ?

?M P

?

00

4 ?? ;

1 OP

OP

5

0

x ? OM
cos? ? x ? ?

? ? OM 0

3 ?? ;

y

1 OP

OP0

5
M0 M

x

y sin ? 4

tan ? ? ?

?.

O

x cos? 3

P(x,y)

P0(-3,-4)

提升总结

若点P(x,y)为角α 终边上任意一点,则

sin? ?

y x2 ? y2

cos? ?

x x2 ? y2

y
tan ? ?
x

y

O

x

P(x,y)

1.若

?

?

? ??

0,π 6

? ??

,那么(

A. sin? ? cos? ? 1
tan?

C. sin? ? 1 ? cos?
tan?

).
B. cos? ? sin? ? 1
tan?
D. cos? ? 1 ? sin?
tan?

解析:设 P(x,y) 是角 ?

终边上任一点,因为 ?

?

? ?

π 0,

? ?

所以

0

?

y

?

x

?

r



? 6?

y ? x ? x ,即 sin ? ? cos? ? 1 .故应选A.

rry

tan ?

2.已知角α 的终边经过点 P(2,-3),求α 的三个三角函数值.

解析: 因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ? 22 ? (?3)2 ? 13 ,

于是

y ?3

3 13

sin ? ? ?

??



r 13

13

x 2 2 13

cos? ? ?

?



r 13 13

y3
tan ? ? ? ? .
x2

1.三角函数都是以角为自变量,在弧度制中,三角函 数的自变量与函数值都是在实数范围内取值. 2.三角函数的定义是三角函数的理论基础.

重要的不是知识的数量,而是知识的质量, 有些人知道很多很多,但却不知道最有用的 东西。——列夫?托尔斯泰



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