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2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例优化训练北师大版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第二章平面向量 2.7 向量应用举例优化训练 北师大版必修 4
5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 的值为( A. 2 B.2- 2 C. 2 -1 )

D. 2 +1 ,

解析:指由点到直线距离公式得

| a ? 2?3| 1 ? (?1)
2 2

?

| a ?1| 2



| a ?1| 2

? 1,

∴|a+1|= 2 . 又 a>0, ∴a= 2 -1. 答案:C 2.已知三个力 F1= (3, 4) , F2= (2, -5) , F3= (x,y) 的合力 F1+F2+F3=0, 则 F3 的坐标为 ( A.(5,-1) B.(-5,1) C.(-1,5) D.(1,-5) 解析:由题设 F1+F2+F3=0, 得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0) , 即? )

?3 ? 2 ? x ? 0, ? x ? ?5, ?? ?4 ? 5 ? y ? 0. ? y ? 1.

∴F3=(-5,1). 答案:B 3.已知两个力 F1 和 F2 的夹角是直角,如图 2-7-1 所示,且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60°,|F|=10 N,求 F1 和 F2 的大小.

图 2-7-1 解:|F1|=|F|cos60°=10×

1 =5 N, 2

|F2|=|F|sin60°=10×

3 =5 3 N, 2

∴F1 的大小为 5 N,F2 的大小为 5 3 N.

4.如图 2-7-2 所示, 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时 河水的流速为 2 km/h,求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).

图 2-7-2 解:设 AD 表示船垂直于对岸行驶的速度, AB 表示水流的速度,以 AD、AB 为邻边作平行 四边形 ABCD,则 AC 就是船的实际航行的速度. 在 Rt△ABC 中,| AB |=2,| BC |=2 3 , 所以| AC |= | AB | ? | BC | =4.
2 2

因为 tan∠CAB=

2 3 = 3 ? ∠CAB=60°. 2

所以,船的实际航行速度的大小为 4 km/h,方向与水流速间的夹角为 60°. 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.下列向量中,是直线 y=2 的法向量的是( ) A.n=(0,1) B.n=(-1,0) C.n=(1,1) D.n=(-1,-1) 解析:直线 y=2 的一个方向向量为(-1,0),故其法向量为与(-1,0)垂直的向量. 答案:A 2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起, 结果造成小孩胳膊受伤, 试用向 量知识加以解释. 解:设小孩的体重为 G,两胳膊受力分别为 F1、F2,且 F1=F2,两胳膊的夹角为 θ ,胳膊受 力分析如右图(不记其他因素产生的力),不难建立向量模型:

|F1|=

|G| 2 cos

?
2

,θ ∈[0,π ],

|G| 2? ? ? ;当 θ = 时,|F1|=|G|;又 ∈(0, )时,|F1|单调递增, 2 3 2 2 2? |G| 2? 故当 θ ∈(0, )时,F1∈( ,|G|),当 θ ∈( ,π )时,|F1|>|G|. 3 2 3
当 θ =0 时,|F1|= 此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.

3.某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来;而当速度为 2a 时, 感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向. 解:设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感到风速为-a, 设实际风速为 v,那么此时人感到的风速为 v-a.

设 OA =-a, OB =-2a. ∵ PO + OA = PA ,∴ PA =v-a. 这就是感到由正北方向吹来的风速. ∵ PO + OB = PB ,∴ PB =v-2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB . 由题意知 ∠PBO=45°,PA⊥BO, BA=AO,可知△POB 为等腰直角三角形, ∴PO=PB= 2 a,即|v|= 2 a. ∴实际风速是 2 a 的西北风. 4.已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0). 试求: (1)F1、F2 分别对质点所做的功; (2)F1 和 F2 的合力 F 对质点所做的功. 解: AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W1=F1· AB =(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳). W2=F2· AB =(6,-5) (-13,-15)=-3(焦耳). (2)W=F·AB=(F1+F2)· AB =[ (3,4)+(6,-5) ]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13, -15)=-102(焦耳). 5.如图 2-7-3 所示,有两条相交成 60°的直线 xx1、yy1 的交点为 O.甲、乙分别在 Ox、Oy1 上,起初甲位于离 O 点 3 km 的 A 处,乙位于离 O 点 1 km 的 B 处.后来两个人同时用每小时 4 km 的速度, 甲沿 xx1 的方向, 乙沿 yy1 的方向运动(如图 2-7-4 所示, 三角形中有如下结论: 2 2 2 b =a +c -2accosB).试求:

图 2-7-3 (1)起初两个人的距离是多少? (2)什么时候两人的距离最近?

图 2-7-4

解:(1)起初两人分别在 A、B 两点,则| OA |=3,| OB |=1. ∴| AB |=| OA | +| OB | -2| OA || OB |cos60°=9+1-2×3×1× ∴| AB |= 7 km,即起初两人相距 7 km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q,则| AP |=4t,|BQ|=4t, 又∵甲沿 xx1 的方向,乙沿 yy1 的方向运动, ∴当 0≤t≤
2 2 2

1 =7. 2

3 时, 4
2 2 2

| RQ | =(3-4t) +(1+4t) -2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t -24t+7;

3 2 2 2 2 时,| RQ | =(3-4t) +(1+4t) -2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t -24t+7(t>0), 4 1 2 2 2 综上,| RQ | =48t -24t+7=48(t ? ) +4,t∈[0,+∞). 4 1 ∴当 t= ,即在第 15 分钟末时,PQ 最短,两人最近,最近距离为 2 km. 4
当 t> 6.在静水中划船的速度是每分钟 40 米,水流的速度是每分钟 20 米.如果从岸边 O 点出发, 沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里? 解:用向量 OA 的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用 OB 表示船行进的方向,它的 长度表示船的速度.以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OACB,连结 OC. 依题意 OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40, ∴∠BOC=30°,船应向上游与河岸夹角为 30°的方向行进. 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.过点 A(2,3)且垂直于向量 a=(2,1)的直线方程为( A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 解析:∵法向量 a=(2,1),∴直线的斜率为 k= ? 2x+y-7=0. 答案:A 2.若 AB =3e, CD =5e,且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 C.等腰梯形 B.菱形 D.非等腰梯形 )

)

1 . 又直线过定点 A(2,3),∴直线方程为 2

解析:由 AB =3e, CD =5e,可知 AB 与 CD 平行.又| AB |≠| CD |,故四边形 ABCD 为梯

形.由| AD |=| BC |,可得四边形 ABCD 为等腰梯形.因为向量是既有大小,又有方向的量, 所以利用向量可判断平面中线段的数量关系,也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹 角等问题. 答案:C 3.某人用 50 N 的力(与水平方向成 30°角,斜向下)推动一质量为 8 kg 的木箱沿水平平 2 面运动了 20 m,若动摩擦因数 μ =0.02,g 取 10 m/s ,则摩擦力 f 所做的功为( ) A.42 J B.-42 J C.22 J D.-22 J 解析:f=(80+50×sin30°)×0.02 N=2.1 N,又 f 与位移所成的角为 180°, ∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×(-1)J=-42 J. 答案:B 4.某人向正东走 x km 后,又向右转 150°,然后朝新方向走 3 km.结果他离出发点恰好 3 km,那么 x 的值等于( A. 3 ) C. 3或2 3
2 2

B. 2 3

D.3

解析:由分析知|a+b|= 3 ,∴a +2a·b+b =3. ∴x +6x·cos150°+9-3=0,即 x -3 3 x+6=0.
2 2

解得 x= 3 或 2 3 . 答案:C 5.已知△ABC 满足 AB = AB · AC + BA · BC + CA · CB ,则△ABC 是(
2

)

A.等边三角形 C.直角三角形
2

B.锐角三角形 D.钝角三角形
2

解析: ∵ AB = AB · AC + BA · BC + CA · CB , ∴ AB = AB · ( AC - BC ) + CA · CB , 即 AB = AB ·( AC + CB )+ CA · CB .
2

∴ CA · CB =0,即 CA ⊥ CB .故△ABC 为直角三角形. 答案:C 6.已知一物体在共点力 F1=(lg2,lg2) ,F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移 s=(2lg5,1) , 则这两个共点力对物体做的功 W 为( ) A.lg2 B.lg5 C.1 D.2 解析:∵F1+F2=(1,2lg2) ,s=(2lg5,1) , ∴共点力对物体做的功 W=(F1+F2)·s=2lg5+2lg2=2. 答案:D 7.有两个向量 e1=(1,0) ,e2=(0,1) ,今有动点 P,从 P0(-1,2)开始沿着与向量 e1+e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点 Q,从 Q0(-2,-1)开始沿着与向量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设 P、Q 在时刻 t=0 秒时,分别在 P0、 Q0 处,则当 PQ ⊥ P0 Q0 时,t=______________.

解析:由题意知 P0 P =t(e1+e2)=(t,t) ,故 P 点坐标为(t-1,t+2). ,故 Q 点坐标为(3t-2,2t-1). Q0 Q =t(3e1+2e2)=(3t,2t) ∴ RQ =(2t-1,t-3) , P0 Q0 =(-1,-3).又 RQ ⊥ P0 Q0 ,即 RQ · P0 Q0 =0, ∴-2t+1-3t+9=0.解得 t=2. 答案:2 8.一艘船从 A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v2,船实际 航行的速度大小为 4 km/h,方向与水流间的夹角是 60°.求 v1 和 v2. 解:v1=v·sin60°=4×

3 km/h=2 3 km/h, 2

v2=v·cos60°=4×

1 km/h=2 km/h. 2

∴v1 的大小为 2 3 km/h,v2 的大小为 2 km/h. 9.在△ABC 内求一点 P,使 AP + BP + CP 的值最小.
2 2 2

解:如图,设 CA =a, CB =b, CP =x,

则 AP =x-a, BP =x-b, ∴ AP + BP + CP =(x-a) +(x-b) +x =3x -2(a+b)x+b =3[x2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 (a+b)] +a +b (a+b) . 3 3

根据向量运算的意义知,当 x=

1 (a+b)时, 3

AP 2+ BP 2+ CP 2 有最小值.
设 M 为 AB 的中点,易知 a+b=2 CM . 当 x=

1 2 (a+b)时, CP = CM ,也即 P 为△ABC 的重心时, 3 3 1 AP 2+ BP 2+ CP 2 的值最小,为 a2+b2- (a+b)2. 3



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