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河南省南阳一中2012届高三下学期第十一次周考(文数)


河南省南阳一中 2012 届高三下学期第十一次周考数学文试题

数 学 试 卷(文)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,其中第II卷第(22)-(24)题为选 考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 在每小题给出的四个选项中 有一项是符合题目要求的.) 有一项是符合题目要求的 ) 1、复数 z 满足

z + 3i = 1 + 4i ,则 z =( 1 ? 2i A. 9 + i B. 9 ? i C. 2 + i

) D. 2-i

2、全集 U = z, A = {?2, ?1,1, 2} , B = x | x 2 ? 3 x + 2 = 0 则 A ∩ C∪ B = ( A. 3.

{

}



{?1, ?2}

B. {1, 2}

C.

{?2,1}

D.

{?1, 2}

4.

已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数 字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙 “心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.

1 9

B.

2 9

C.

7 18

D.

4 9

5. 下列命题中错误的是( ) .. A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 6. 曲线 C: y = 1 + 是( A. ? )

4 ? x 2 与直线 l : y = k ( x ? 2) + 4 有两个交点时,实数 k 的取值范围

? 5 ? , ∞? + ? 12 ?

B. ?

? 5 3? , ? 12 4 ? ?

C. ? 0, ?

? 5? ? 12 ?

D. ? ,

?1 3? ? ?3 4?


7. 已知点 A(? 1,3), B(3,1), 点 C 在坐标轴上,若∠ACB=90°,这样的点 C 的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f (4 + x ) = f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数.那 么 f (0) < 0 是函数 f ( x ) 在区间[0,6]上有 3 个零点的( )

9.

A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则

棱锥 S-ABC 的体积为( ) B.2 3 C. 3 D.1 A.3 3 10 .已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题: 2π 2π p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ?; p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π? ? ? ? ? π? π ? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3?; p4:|a-b|>1?θ∈?3,π?. ? ? 其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 11.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040 12.设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=

? ? 1 ? x x ? < 2, i为虚数单位,x ∈ R ? i ? ? 则 M∩N 为(
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

)

第Ⅱ卷?
本卷包括必考题和选考题两部分, 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题 ) 第 ) 为必考题,每个试题考生都必须做答, 为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)题~第(24)题 ) 第 ) 为选考题, 为选考题,考生根据要求做答。 根据要求做答。 小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 填空题: 13.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1=1,a11=9,则 S6 = 14.在 ?ABC 中, 、 、 分别是角 A、 C 的对边, a b c B、 已知 Sin(2 A +

π
6

)=

1 3 , b=1, ?ABC = , S 2 2



b+c 的值 sin B + sin C x2 y2 + = 1 的两个焦点, P 是椭圆上的动点(不能重合于长轴的两端 25 16 PI 5 = ID 3

15.设 F1 , F2 是椭圆

点) I 是 ?PF1 F2 的内心,直线 PI 交 x 轴于点 D ,则 ,

→ → → → → → 16. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD·BE=________. 小题, 须写出必要的解答过程) 三、解答题(共 6 小题,70 分,须写出必要的解答过程) 解答题(

π 17.. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4cosxsin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; 18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1 ⊥ 底 面 ABC , AC = BC = 2 , AA1 = 4 , π π (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

AB = 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(1)求证: CN ⊥ 平面 ABB1 A1 ; (2)求证: CN // 平面 AMB1 ; (3)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积. A

C

M C

B

A B N 19..(本小题满分 12 分) 第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行,当地某学 校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者,将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位: cm):

若身高在 180cm 以上(包括 180cm)定义为“高个子”。 身高在 180cm 以下 (不包括 180cm) 定义为“非高个子”. (1)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位数; (2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶 点均为原点 O ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2
0

4

2
2 2

?2 3

?4

(1)求 C1 , C2 的标准方程; (2)请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F ;②与 C1 交于不同两点 M , N ,且

满足 OM ⊥ ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21、 本小题满分 12 分)设函数 f ( x) = m ? e (

? nx

(m, n ∈ R)

(1)若 f ( x ) 在点 x=0 处的切线方程为 y=x,求 m,n 的值。 (2)在(1)条件下,设 x ≥ 0且

x x 有意义时,恒有f ( x ) ≥ 成立, 求 a 的取值范围. x+a x+a

请考生在第( )(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 请考生在第(22)( )( )三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 、 、 记分。 记分。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. ( ;几何证明选讲. 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的 延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上.
F A

EC 1 ED 1 DC (Ⅰ)若 的值; = , = ,求 EB 3 EA 2 AB
(Ⅱ)若 EF = FA ? FB ,证明: EF // CD
2

D

B

E

C

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: , ( θ 为参数, 0 ≤ θ ≤ π )上的点,点 A 的坐标为(1,0)

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

π


3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5,不等式选讲 已知 a 2 + b 2 + c 2 = 1, 若a + b + 2c ≤| x + 1| 对任意实数 a、b、c 恒成立,求实数 x 的取值范围。

南阳市一中 2012 年春期高三年级第十一次周考 数 学 试 卷(文)答案

π 17. 【解答】 (1)因为 f(x)=4cosxsin?x+6?-1 ? ? =4cosx? 3 1 ?-1 ? 2 sinx+2cosx?

= 3sin2x+2cos2x-1 = 3sin2x+cos2x π =2sin?2x+6?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 6 2 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 18. (Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥ 底面 ABC 又因为 CN ? 平面 ABC , 所以 AA1 ⊥ CN . 因为 AC = BC = 2 , N 是 AB 中点, 所以 CN ⊥ AB . 因为 AA1 I AB = A , 所以 CN ⊥ 平面 ABB1 A1 . C1 (Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , 因为 N , G 分别是棱 AB , AB1 中点, 所以 NG // BB1 , NG = A1 M C G B1

1 BB1 . 2 1 又因为 CM // BB1 , CM = BB1 , 2 所以 CM // NG , CM = NG . 所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN // MG .

A

N

B

因为 CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 ,

所以 CN// 平面 AMB1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 GM ⊥ 平面 AB1 N . 所以 VB1 ? AMN = VM ? AB1N =

1 1 2 4 × × × 4× 2 = . 3 2 2 3

从 这五个人 A,B,C,D,E 中选出两个人共有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B, , , , , C)(B, D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)十种不同方法,至少有一人是“高个 , , , , , 子”(A,B)(A,C)(A, D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E) , , , , , , ,七种不同方法, 所以至少有一个高个子的概率是 0.7………………………………………12 分 20. 解:1) ( 设抛物线 C2 : 2 = 2 px ( p ≠ 0) , y 则有

y2 = 2p , 据此验证 4 个点知 3,?2 3 , x

(

)

(4,?4) 在抛物线上,易求 C2 : y 2 = 4 x .
设 C1 :

? x2 y 2 2? ? 代入得 + 2 = 1 ,把点 (? 2,0 ), ? 2 , 2 ? 2 ? a b ? ?

4 ? ? a2 = 1 ?a 2 = 4 x2 ,解得, ? 2 ,∴ C1 的方程为: + y2 = 1. ?2 1 4 b =1 ? ? 2 + 2 =1 2b ?a
综上, C1 的方程为:

x2 + y 2 = 1 , C2 的方程为: y 2 = 4 x 。 4

(2) 假设存在这样的直线 l , 设其方程为 x ? 1 = my , 两交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,

? x ? 1 = my ? 消去 x ,得 m 2 + 4 y 2 + 2my ? 3 = 0 , 由 ?x2 + y2 = 1 ?4 ?

(

)

∴ y1 + y 2 =

? 2m ?3 , y1 y 2 = 2 ,① 2 m +4 m +4

x1 x 2 = (1 + my1 )(1 + my 2 ) = 1 + m( y1 + y 2 ) + m 2 y1 y 2 = 1+ m ? ? 2m ?3 4 ? 4m 2 + m2 ? 2 = 2 ,② m2 + 4 m +4 m +4

Q OM ⊥ ON ,∴ OM ? ON = 0,∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0, ③

4 ? 4m 2 ?3 1 将①②代入③得, 2 + 2 = 0, 解得 m = ± 2 m +4 m +4
所以假设成立,即存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为 y = 2 x ? 2 或 y = ?2 x + 2 . 21 。解: (1)由 f ′(0) = 1, f (0) = 0, 得m = n = 1
?x (2)由(1)得 f ( x) = 1 ? e

1) 当a = 0时,f ( x) = 1 ? e ? x < 1与已知矛盾

x a 可变形为e ? x ≤ x+a x+a a 若 x ∈ ( ? a, +∞), 0 < e ? x < 1, <0 x+a a a 此时 e? x > 与e ? x ≤ 矛盾 x+a x+a x 3) 当a > 0时, 不等式等价转化为e x ? ? 1 ≥ 0恒成立 a x 令 h( x) = e x ? ? 1 a 1 h′( x) = e x ? a 1 ①若 0 < ≤ 1即a ≥ 1时,h′( x) ≥ 0 h(x)单调递增 a x x ∴ h( x) ≥ h(0) = 0即e x ? ? 1 ≥ 0即f ( x) ≥ 恒成立 a x+a 1 1 ② 若 > 1即0 < a < 1时, 令h′( x) = 0得x0 = ln a a
2) 当a < 0时,f ( x) ≥

1 x ∈ (0, ln )时,h′( x) < 0, h( x)单调递减,此时 a x h( x) < h(0) = 0即e x ? ? 1 < 0与已知矛盾 a 综上所述,a的取值范围为{a | a ≥ 1} .

22. 证明: )Q A, B , C , D 四点共圆, 证明: (1) 四点共圆, (

∴ ∠EDC = ∠EBF ,
又Q ∠CED = ∠AEB ,

∴ ?CED ∽ ?AEB ,


Q

EC ED DC = = , EA EB AB EC 1 ED 1 = , = , EB 3 EA 2



DC 6 = . AB 6
2

(2)Q EF = FA ? FB , )



EF FB = , FA FE
∴ ?FAE ∽ ?FEB ,

又Q ∠EFA = ∠BFE ,

∴ ∠FEA = ∠EBF ,
四点共圆, 又Q A, B , C , D 四点共圆,

∴ ∠EDC = ∠EBF , ∴ ∠FEA = ∠EDC ,
∴ EF // CD .

24 解: 由柯西不等式得 ( a + b + 2c ) 2 ≤ (1 + 1 + 2)( a 2 + b 2 + c 2 ) = 4 即: a + b + 2c ≤ 2 …………5 分[来源:

…………4 分[来源:

a + b + 2c ≤ x + 1 对任意实数a, b, c恒成立 。 ∴ x + 1 ≥ (a + b + 2c) max
…………8 分[来源:

即 x +1 ≥ 2 解之得: x ≥ 1或x ≤ ?3

…………9 分[来源: …………10 分[来源:


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