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2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习:第1章 3 反证法 活页作业3 Word版含解析

活页作业(三) 反证法 1.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:“至多有一个”的否定是“至少有两个”,故选 B. 答案:B ) 2. 设 a,b,c 是正数, P=a+b-c, Q=b+c-a, R=c+a-b,则“P· Q· R>0”是“P, Q,R 同时大于零”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:必要性显然成立.充分性:若 P· Q· R>0,则 P,Q,R 同时大于零或其中两个负 的一个正的,不妨设 P<0,Q<0,R>0. 因为 P<0,Q<0,即 a+b<c,b+c<a, 所以 a+b+b+c<c+a. 所以 b<0,这与 a,b,c 都是正数矛盾. 故 P,Q,R 同时大于零. 答案:C 1 1 1 3.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+ ,b+ ,c+ ( b c a A.都不大于-2 B.都不小于- 2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 解析:对于 C,可用反证法证明如下: 1? ? 1? ? 1? 1 1 1 假设 a+ >-2,b+ >-2,c+ >-2 同时成立,则? ?a+b?+?b+c?+?c+a?>-6, b c a ) ) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 这与? ?a+b?+?b+c?+?c+a?=?a+a?+?b+b?+?c+c?≤-6 矛盾. 答案:C xn?x2 n+3? 4.已知:x1>0,x1≠1,且 xn+1= 2 (n=1,2,3,…).试证:数列{xn}或者对任 3xn+1 意正整数 n 都满足 xn<xn+1,或者对任意的正整数 n 都满足 xn>xn+1.当此题用反证法否定结 论时,应为( ) A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn-1 且 xn≥xn+1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 解析:证明结论的含义是数列{an}为单调数列,因此对它的否定是数列{an}不为单调数 列, 即为常数数列或存在不具备单调的项,故选 D. 答案:D 5.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是( ) A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x3+ax+b=0 没有 实根”. 答案:A 6.对于定义在实数集 R 上的函数 f(x),如果存在实数 x0,使 f(x0)=x0,那么 x0 叫作函 数 f(x)的一个好点.已知函数 f(x)=x2+2ax+1 不存在好点,那么 a 的取值范围是________. 解析:假设函数 f(x)存在好点 x, 即 x2+2ax+1=x, 即 x2+(2a-1)x+1=0. 所以 Δ=(2a-1)2-4≥0, 1 3 解得 a≤- 或 a≥ . 2 2 1 3? 因此 f(x)不存在好点时,a∈? ?-2,2?. 1 3 - , ? 答案:? ? 2 2? 7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90° +90° +∠C>180° ,这与三角形内角和为 180° 矛盾,故假设错 误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A=90° ,∠B=90° . 上述步骤的正确顺序为________. 解析:由反证法的一般步骤可知,正确的顺序应为③①②. 答案:③①② 8.在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠ CAP.用反证法证明时,假设应分________和________两类. 解析: ∠BAP<∠CAP 的否定为∠BAP≥∠CAP, 因此假设应分两类: ∠BAP=∠CAP 和∠BAP >∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP 9.用反证法证明:已知 a,b 均为有理数,且 a和 b都是无理数,求证: a+ b是无 理数. 证明:假设 a+ b为有理数,则( a+ b)( a- b)=a-b. 由 a>0,b>0,得 a+ b>0. ∴ a- b= a-b a+ b . ∵a,b 为有理数,且 a+ b为有理数. ∴ a-b 为有理数,即 a- b为有理数. a+ b ∴( a+ b)+( a- b)为有理数,即 2 a为有理数. ∴ a应为有理数,这与已知 a为无理数矛盾. ∴ a+ b一定为无理数. 10.已知 x>0,y>0,且 x+y>2. 1+x 1+y 求证: , 中至少有一个小于 2. y x 1+x 1+y 证明:假设 , 都不小于 2, y x 即 1+x 1+y ≥2, ≥2. y x ∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x. ∴2+x+y≥2(x+y). 即 x+y≤2,与已知 x+y>2 矛盾, 故假设错误,原命题正确. 1+x 1+y ∴ , 中至少有一个小于 2. y x 11.用反证法证明命题“a,b∈N,如果 ab 能被 5 整除,那么 a,b 至少有一个能被 5 整除”,则假设的内容是( A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a 不能被 5 整除 D.a,b 有一个不能被 5 整除 解析:至少有一个的反面是一个也没有,故选 B. 答案:B 12.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,至少有 一个方程有实根,则实数 a 的取值范围为________


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