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河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试(理数)


河北省衡水中学 2017 届高三下学期第二次摸底考试 数学(理科)
考生注意: 1.本试卷分必考部分和选考部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。 3.本试卷主要考试内容:高中全部内容。

必考部分
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?k ? N | 10 ? k ? N? , B ? ?x | x ? 2n 或 x ? 3n, n ? N? ,则 A ? B ? ( A.?6,9? B.?3,6,9?
2



C.?1,6,9,10?

D.?6,9,10? )

2.若复数 z 满足 z ? ?1 ? 2i ? ? 1 ? 3i (i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面内对应的点位于(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n 人中, 抽取 90 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 36 ,那么高三被抽取的人数为( ) A. 20 B. 24 C. 30 D. 32

?1? 4.已知命题 p : ?x ? e, ? ? ? ln x ;命题 q : ?a ? 1, b ? 1,log a b ? 2log b a ? 2 2 ,则下列命题中 ?2?
为真命题的是 ( A.? ?p ? ? q ) B. p ? q C. p ? ? ?q ? D.p ? ? ?q ?

x

5.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何? ”其大意:“已 知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内 随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.

3? 10

B.

3? 20

C.1 ?

3? 10


D.1 ?

3? 20

?2 x ? y ? 1 ? 0 4x ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 z ? 的最大值为( 3 x ? 2 y ?x ? 2 ? 0 ?
A. 1 7.已知 a ? A. ? B.

64 15

C.
9

16 19

D.

1 2

? ??
1
2 ?2

?x a ? 4 ? x 2 ? sin x ? dx ,则二项式 ? ? 2 ? 的展开式中的常数项为( ?2 x ?
B. ?

) D. ? 1

15 8

21 2

C. ?

5 4

1

E是 8. 已知奇函数 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的导函数的部分图象如图所示,
最高点,且 ?MNE 是边长为 1 的正三角形,那么 f ? ? ? (

?1? ?3?



A. ? C.

3 2?

B. ? D. ?

1 2

3 4? 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积
为( ) B. 36 ? 4 3 ? 12 2 D. 44 ? 12 2 ) A. 28 ? 4 3 ? 12 2 C. 36 ? 4 2 ? 12 3

1 4

10.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值等于( A. ?

2 3 tan

?

? 21

9 25? tan ? 3 9 B. ? 22 ? tan 9 2 3 ? 22 C. ? ? tan 9 25? tan ? 3 9 D. ? 21

tan
11.椭圆 x ?
2 2

?

9

y ? 1? 0 ? b ? 1? 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,右顶点为 B ,若 ?FAB 的外接圆圆心 b2 P ? m, n ? 在直线 y ? ? x 的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为 ( )

? 2 ? ? 2? ?1 ? ? 1? B. ? ,1? C. ? 0, D. ? 0, ? ,1? ? ?2 ? ? 2? ? 2 ? ? 2 ? x 12.已知 f ' ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,且对任意的实数 x 都有 f ' ? x ? ? e ? 2x ? 3? ? f ? x ? (e 是自 然对数的底数) , f ? 0 ? ? 1,若不等式 f ? x ? ? k ? 0 的解集中恰有两个整数,则实数 k 的取值范
A. ? 围是( ) A. ? ? , 0 ?

? 1 ? e

? ?

B. ? ?

? 1 ? ,0 ? e2 ? ?

C. ? ?

? 1 ? ,0? 2 ? e ?

D. ? ?

? 1 ? ,0? ? e2 ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

2

13.已知 a ? 4, b ? 5, c ? ?a ? ?b(?, ? ? R) ,若 a ? b, c ? (b ? a) ,则 14.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, B ?

? ? ?



2? 2 2 ,若 a ? c ? 4ac ,则 3

sin ? A ? C ? ? sin A sin C



15.已知点 F1 , F2 分别是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1? b ? 0 ? 的左、右焦点, O 为坐标原点,点 P 在双曲 b2


线 C 的右支上, 且满足 F 则双曲线 C 的焦点的取值范围为 1F 2 ? 2 OP , tan ?PF 2F 1 ? 4, 16.点 M 为正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球 O 球面上的动点,点 N 为 B 1C1 上一点,

2NB1 ? NC1, DM ? BN ,若球 O 的体积为 9 2? ,则动点 M 的轨迹的长度为
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设以 2 为公比的等比数列 ?bn ? 满足 4log2 bn ? log2 bn?1 ? an ? 12n ? 11(n ? N ) ,求数列
?



an ? 3 ? 2, n ? N ? .

?bn ? log2 bn? 的前 n 项和 Sn .
18. (本小题满分 12 分) 如图是某市 2017 年 3 月 1 日至 16 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数 ? AQI ? 小于 100 表示空 气质量优良, 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染, 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 14 日中的某 一天到达该市.

(1)若该人到达后停留 2 天(到达当日算 1 天),求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率; (2)若该人到达后停留 3 天(到达当日算 1 天〉,设 X 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 X 的分布列与数学期望.

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为梯形,

AB / /CD, AB ? 2DC ? 2 3, AC ? BD ? F ,且 ?PAD 与 ?ABD 均为正三
角形, G 为 ?PAD 的重心. (1)求证: GF / / 平面 PDC ; (2)求平面 AGC 与平面 PAB 所成锐二面角的正切值. 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F , A 为 C 上位于第一象限的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D . (1)若 FA ? AD ,当点 A 的横坐标为 3 ? 2 2 时, ?ADF 为等腰直角三角形,求 C 的方程; (2)对于(1)中求出的抛物线 C ,若点 D ? x0 , 0 ? ? x0 ?

1? ? ,记点 B 关于 x 轴的对称点为 E, AE 交 2? x 轴于点 P ,且 AP ? BP ,求证:点 P 的坐标为 ? ?x0 ,0? ,并求点 P 到直线 AB 的距离 d 的取值

? ?

范围. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? e2 x , g ? x ? ? kx ? 1(k ? R ). (1)若直线 y ? g ? x ? 和函数 y ? f ? x ? 的图象相切,求 k 的值; (2)当 k ? 0 时,若存在正实数 m ,使对任意 x ? ? 0, m? 都有 f ? x ? ? g ? x ? ? 2x 恒成立,求 k 的 取值范围.

选考部分
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? a cos t (t 为参数,a ? 0 ). 以坐标原点为极点, ? y ? 2sin t ?? ? x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? ? ? ?2 2 . ? 4? (1)设 P 是曲线 C 上的一个动点,当 a ? 2 3 时,求点 P 到直线 l 的距离的最大值; (2)若曲线 C 上所有的点均在直线 l 的右下方,求 a 的取值范围.
在直角坐标系中 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
? 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? x ? 2m ? x , m ? N ,且 f ? x ? ? 4 恒成立.

(1)求实数 m 的值; (2)若 ? ? ? 0,1? , ? ? ?0,1?, f ?? ? ? f

? ? ? ? 3 ,求证:

4

?

?

1

?

? 18 .

4

数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12:AC

二、填空题
13.

25 16

14.

10 3 3

15. ? 2, ?

? ?

2 17 ? ? 3 ?

16.

3 30 ? 5

三、解答题
17. 解:(1) 由题知数列

?

an ? 3 是以 2 为首项, 2 为公差的等差数列,

?

an ? 3 ? 2 ? 2 ? n ? 1? ? 2n, an ? 4n2 ? 3 .
(2)设等比数列 ?bn ? 的首项为 b1 ,则 bn ? b1 ? 2n?1 ,依题有

4log2 bn ? log2 bn?1 ? 4log2 ?b1 ? 2n?1 ? ? log2 ?b1 ? 2n ? ? 4 ?log2 b1 ? n ?1??log2 b1 ? n?

? 4 ? log2 b1 ? ? 4log 2 b1 ? 4 ? ? 2log 2 b1 ?1? n ? 4n2 ? 4n2 ? 12n ? 8 ,即
2

? ?4 ? ? 2log 2 b1 ? 1? ? 12 ,解得 log2 b1 ? 2, b1 ? 4 ,故 ? 2 4 log b ? 4log b ? 8 ? ? ? 2 1 2 1 ?

bn ? 4 ? 2?1 ? 2n?1,?bn ? log2 bn ? 2n?1 ? ? n ?1? ,
? Sn ? 22 ?1 ? 2n ? n ? 2 ? n ? 1? n ? n ? 3? . ? ? 2n ? 2 ? 4 ? 2 2 2
1 ,且 14

18. 解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市” ? i ? 1, 2,...,14? .依题意知, P ? Ai ? ?

Ai ? Aj ? ? ?i ? j ? .
(1)设 B 为事件“此人停留 2 天空气质量都是重度污染” ,则 B ? A1 ? A2 ? A12 ? A 13 ? A 14 ,所以

P ? B ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? P ? A12 ? ? P ? A13 ? ? P ? A14 ? ?
染的概率为

5 ,即此人停留 2 天空气质量都是重度污 14

5 . 14

(2) 由题意可知, X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 ,且

P ? X ? 0 ? ? P ? A4 ? A8 ? A9 ? ? P ? A4 ? ? P ? A8 ? ? P ? A9 ? ?

3 , 14 3 P ? X ? 2 ? ? P ? A2 ? A11 ? A14 ? ? P ? A2 ? ? P ? A11 ? ? P ? A14 ? ? , 14

5

P ? X ? 3? ? P ? A1 ? A12 ? A13 ? ? P ? A1 ? ? P ? A12 ? ? P ? A13 ? ?

3 , 14 3 3 3 5 P ? X ? 1? ? 1 ? P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 3? ? 1 ? ? ? ? , 14 14 14 14 5 ), 14

(或 P ? X ? 1? ? P ? A3 ? A5 ? A6 ? A7 ? A10 ? ? P ? A3 ? ? P ? A5 ? ? P ? A6 ? ? P ? A7 ? ? P ? A10 ? ? 所以 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

3 14 3 5 3 3 10 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 故 X 的期望 E ? X ? ? 0 ? 14 14 14 14 7
19. 解:证明:(1)连接 AG 并延长交 PD 于 H ,连接 CH .由梯形 ABCD, AB / /CD 且 AB ? 2 DC , 知

3 14

5 14

3 14

AF 2 AG AF 2 ? ,又 G 为 ?PAD 的重心,? ? ? ,故 GF / / HC .又 HC ? 平面 PCD, GF ? FC 1 GH FC 1

平面 PCD,? GF / / 平面 PDC .

(2)? 平面 PAD ? 平面 ABCD, ?PAD 与 ?ABD 均为正三角形,延长 PG 交 AD 的中点 E ,连接

BE,? PE ? AD, BE ? AD,? PE ? 平面 ABCD ,以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

? AB ? 2DC ? 2 3,? A? 3,0,0? , P ?0,0,3? , B ?0,3,0 ? , D ? ? 3,0,0 ?, G ?0,0,1? , ???? ??? ? ??? ? ? AG ? ? ? 3,0,1? , AB ? ? ? 3,3,0? , AP ? ? ? 3,0,3? ,设
???? 1 ??? ? 1 C ? x0 , y0 , z0 ? ,? DC ? AB,? ? x0 ? 3, y0 , z0 ? ? ? ? 3,3, 0 ? ,可得 2 2

? ? 5 3 3 ? ? 3 3 3 ? ??? 3 3 3 , y0 ? , z0 ? 0,?C ? ? , ,0 ? ,? AC ? ? ? , ,0 ? ,设平面 PAB 的一个法向 2 2 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?? ??? ? ?? ? ?n1 ? AB ? ?? 3x1 ? 3 y1 ? 0 ? ? x ? 3 y1 ?? 1 量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,由 ? ?? ??? ,令 z1 ? 1,得 ??? n ? AP ? 3 x ? 3 z ? 0 x ? 3 z ? ? ? ? 1 ? 1 1 ? 1 1 ?? n1 ? ? 3,1,1? ,同理可得平面 AGC 的一个法向量 x0 ? ?

6

?? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n1 3?5?3 11 n2 ? ? 3,5,3? ,? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ,所以平面 AGC 与平面 PAB 所成锐 ? ? 5 ? 37 185 n1 n2
二面角的正切值为

8 . 11

20. 解:(1) 由题知 F ?

p 2p ?p ? ,则 ,0 ? , FA ? 3 ? 2 2 ? , FD ? 2 FA ? 3 2 ? 4 ? ?2 ? 2 2

?3 2 ? ?2 ? 2 ? p ? 2p p ? D?3 2 ? 4 ? ? ,0 ? , FD 的中点坐标为 ? ?2? ,0 ? ,则 ? 2 2 ? ? 2 4 ?

?2 ? 2 ? p 3 2 ?2? ? 3 ? 2 2 ,解得 p ? 2 ,故 C 的方程为 y 2 ? 4x . 2 4
(2) 依题可设直线 AB 的方程为 x ? my ? x0 ? m ? 0? , A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 E ? x2 , ? y2 ? ,由

? y2 ? 4x 1 2 2 消去 x ,得 y ? 4my ? 4 x0 ? 0,? x0 ? .?? ? 16m ? 16 x0 ? 0 , ? 2 ? x ? my ? x0

??? ? ??? ? y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4x0 ,设 P 的坐标为 ? xP ,0? ,则 PE ? ? x2 ? xP , ? y2 ?, PA ? ? x , y 1 ? xP 1 ? ,由
题知 PE / / PA ,所以 ? x2 ? xP ? y1 ? y2 ? x1 ? xP ? ? 0 ,即

??? ?

??? ?

x2 y1 ? y2 x1 ? ? y1 ? y2 ? xP ?
xP ?
也即

2 y2 y1 ? y12 y2 y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? ,显然 y1 ? y2 ? 4m ? 0 ,所以 4 4

y1 y2 y ? y2 ? ? x0 , 即证 xP ? ? x0 ,0? , 由题知 ?EPB 为等腰直角三角形, 所以 k AP ? 1 , 即 1 ? 1, 4 x1 ? x2

y1 ? y2 1 2 ? y1 ? y22 ? 4

? 1 ,所以 y1 ? y2 ? 4,?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 16 ,即
2

16m2 ?16x0 ? 16, m2 ? 1 ? x0 , x0 ? 1 ,又因为 x0 ?

1 ,所以 2

?x ? x 2 x0 2 x0 1 ,令 ? x0 ? 1, d ? 0 0 ? ? 2 2 ? x0 1 ? m2 1 ? m2
? ? 4 6? 2?2 ? t2 ? 4 6? 2 2 ? x0 ? t ? ? 1, , x ? 2 ? t , d ? ? ? 2 t ,易知 f ? t ? ? ? 2t 在 ? 1, ? 0 ? 2 ? 2 ? 上是减函 t t t ? ? ? ?
数,所以 d ? ?

? 6 ? ,2? ?. ? 3 ?

2x 2x 21. 解:(1)设切点的坐标为 ? t , e2t ? ,由 f ? x ? ? e 得 f ' ? x ? ? 2e ,所以切线方程为

7

y ? e2t ? 2e2t ? x ? t ? ,即 y ? e2t x ? ?1 ? 2t ? e2t ,由已知 y ? 2e2t x ? ?1 ? 2t ? e2t 和 y ? kx ? 1 为同一
条直线,? 2e2t ? k , ?1 ? 2t ? e2t ? 1 ,令 h ? x ? ? ?1 ? x ? e ,则 h ' ? x ? ? ? xe ,当 x ? ? ??,0? 时,
x x

h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递增,当 x ? ? 0, ??? 时, h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递减,? h ? x ? ? h ? 0? ? 1.当且
?t ? 0, k ? 2 (注明: 仅当 x ? 0 时等号成立, . 若由函数 f ? x ? ? e2 x 与 g ? x ? ? kx ? 1 相交于点 ? 0,1? ,
0 直线 g ? x ? ? kx ? 1 和函数 f ? x ? ? e2 x 的图象相切于 ? 0,1? ,得出 k ? 2e ? 2 ,得 3 分)

(2) ①当 k ? 2 时,由(1)结合函数的图象知,存在 x0 ? 0 ,使得对于任意的 x ? ? 0, x0 ? ,都有

f ? x ? ? g ? x ? ,则不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 2x 等价于 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 x ,即 ? k ? 2? x ? 1? e 2 x? 0 ,
设 t ? x ? ? ? k ? 2? x ? 1 ? e2 x , t ' ? x ? ? k ? x ? 2e2 x ,令 t ' ? x ? ? 0 得 x ?

1 k ?2 ln ,令 t ' ? x ? ? 0 得 2 2

x?

1 k ?2 1 k ?2 ?1 k ?2 ? ln ? 0,? ? 0, x0 ? ? ? ln , ?? ? ,? t ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递 .若 2 ? k ? 4 ln 2 2 2 2 ?2 2 ?

减,注意到 t ? 0 ? ? 0 ,所以对任意的 x ? ? 0, x0 ? ,都有 t ? x ? ? 0 ,与题设不符. 若

1 k ?2 1 k ?2? ? 1 k ?2? ? ? 1 k ?2? k ? 4, ln ? 0, ? 0, ln ? ? ? ??, ln ? ,? t ? x ? 在 ? 0, ln ? 上单调递增, 2 2 ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 1 k ?2? ? t ? 0 ? ? 0 ,所以对任意的 x ? ? 0, ln ? ,都有 t ? x ? ? 0 ,符合题设.此时取 ? 2 2 ?

? 1 k ? 2? 0 ? m ? min ? x0 , ln ? ,可得对任意 x ? ? 0, m? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? ? 2x . 2 ? ? 2
2x ②当 0 ? k ? 2 时,由(1)结合函数的图象知 e ? ? 2 x ? 1? ? 0 ? x ? 0? ,

? f ? x ? ? g ? x ? ? e2 x ? kx ?1 ? e2 x ? ? 2x ? 1? ? ? 2 ? k ? x ? ? 2 ? k ? x ? 0 ,对任意 x ? 0 都成立,

? f ? x ? ? g ? x ? ? 2x 等价于 e2 x ? ? k ? 2? x ? 1 ? 0 .设 ? ? x ? ? e2 x ? ? k ? 2? x ?1 ,则

? ' ? x ? ? 2e2 x ? ? k ? 2? ,由 ? ' ? x ? ? 0 ,得 x ? ln

1 2

k ?2 1 k ?2 ? 0, ? ' ? x ? ? 0 得 x ? ln ,?? ? x ? 在 2 2 2

? 1 k ?2? ? 1 k ?2? ? ,都有 ? ? x ? ? 0 , ? 0, ln ? 上单调递减,注意到 ? ? 0 ? ? 0 ,所以对任意的 x ? ? 0, ln ? 2 2 ? ? 2 2 ?
不符合题设.综上所述, k 的取值范围为 ? 4, ??? .

8

22. 解:(1)由 ? cos ? ? ?

? ?

??

2 ? ? cos ? ? ? sin ? ? ? ?2 2 ,化成直角坐标方程,得 ? ? ?2 2 ,得 4? 2

2 ? x ? y ? ? ?2 2 ,即直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,依题意,设 P ? 2 3 cos t, 2sin t ? ,则 P 到 2

2 3 cos t ? 2sin t ? 4 直线 l 的距离 d ? ? 2
t?

? ?? 4cos ? t ? ? ? 4 ? ?? ? 6? ? 2 2 ? 2 2 cos ? t ? ? ,当 ? 6? 2

?
6

? 2k? ,即 t ? 2k? ?

?
6

, k ? Z 时, d ?max ? 4 2 ,故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 4 2 . 2 )恒成立,? a2 ? 4 ? 4 ,又 a ? 0 ,解得 0 ? a ? 2 3 , a

(2)因为曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方,??t ? R , a cos t ? 2sin t ? 4 ? 0 恒成立,即

a 2 ? 4 cos ? t ? ? ? ? 4 (其中 tan ? ?
故 a 取值范围为 0, 2 3 .

?

?

23. 解: (1)? x ? 2m ? x ? x ? 2m ? x ? 2m ,要使 x ? 2m ? x ? 4 恒成立,则 m ? 2 ,解得

?2 ? m ? 2 .又?m? N ? ,? m ? 1 .
(2)?? ? ? 0,1? , ? ? ? 0,1? ,? f ?? ? ? f

? ? ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 2? ? 3 ,即

? ? ? ? ,?
4? ?

1 2

4

?

?

? 4? ? ? 4? ? ? ?4 1? ? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? 5 ? ? ? ? 2?5 ? 2 ? ? ? 18 ,当且仅当 ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? 1

?

1 1 ? 4 1 ,即 ? ? , ? ? 时取等号,故 ? ? 18 . 3 6 ? ? ?

9



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