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高中数学几何变换与矩阵2.4.1逆矩阵的概念学案苏教版选修4_2

2.4.1 逆矩阵的概念 1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB) =B A 等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出 AB 的逆矩阵. -1 -1 -1 [基础·初探] 1.逆变换 二阶矩阵 A 对应着平面上的一个几何变换,它把点(x,y)变换到点(x′,y′).反过来, 如果已知变换后的结果(x′,y′),有的变换能“找到回家的路”,让它变回到原来的(x, y),我们称它为原变换的逆变换. 2.逆矩阵 对于二阶矩阵 A,B,若 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵,记作:A =B. 3.逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,则逆矩阵是惟一的. (2)若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) =B A . (3)已知 A,B,C 为二阶矩阵,且 AB=AC,若矩阵 A 存在逆矩阵,则 B=C. 4.逆矩阵的求法 一般地,对于二阶矩阵 A=? -1 -1 -1 -1 ?a b? ?,当 ad-bc≠0,矩阵 A 可逆,且它的逆矩阵 ?c d? A -1 d ?ad- ? bc = ? -c ?ad-bc ? ?. a ? ad-bc? -b ad-bc [思考·探究] 1.2.2 节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换?哪几个不存在?为什么? 【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换,而投影变换不存在;因为 只有一一映射的变换才存在逆变换,而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投 影变换不是一一映射. 1 2.是否每个二阶矩阵都可逆? 【提示】 不是,只有当? -0×0=0, 找不到二阶矩阵 B,使得 BA=AB=E 成立, 故 A=? ?a b? ?1 0? ?中 ad-bc≠0 时,才可逆,如当 A=? ?,因为 1×0 ?c d? ?0 0? ?1 0? ?不可逆. ?0 0? -1? 3.若二阶矩阵 A,B,C 都是可逆矩阵,如何求(ACB) 【提示】 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得: (ACB) =[(AC)B] -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 =B (AC) =B C A . [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: 利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵 从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若 不存在,请说明理由. ?1 0? ?1 -2? (1)A=? 1 ?;(2)B=? ?; ?0 ? ?0 1 ? 2 ? ? ?1 ?2 (3)C= ?1 ?2 ? 0 ?;(4)D=? ? 1? ?1 2? 1 2 -1? ?. 0 ? 【导学号:30650035】 【精彩点拨】 矩阵 → 对应的几何变换 → 2 判断是否存在逆变换 → 若存在写出逆变换 → 逆矩阵 【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换,它将平面内点的横坐标保持不变,纵坐 1 标沿 y 轴方向压缩为原来的 ,因此,它存在逆变换:将平面内的点的横坐标保持不变,纵 2 坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍,所对应的变换矩阵记为 A-1=? ?1 0? ?. ?0 2? (2)矩阵 B 对应的是切变变换,它将平面内点的纵坐标保持不变,横坐标依纵坐标的比 例减少,且(x,y)→(x-2y,y).它存在逆变换:将平面内点的纵坐标保持不变,横坐标依 纵坐标的比例增加,且(x,y)→(x+2y,y),所对应的变换矩阵记为 B-1=? ?1 2? ?. ?0 1? (3)矩阵 C 对应的是投影变换, 它将平面内的点垂直投影到直线 y=x 上, 它不是一一映 射,在这个变换下,直线 y=x 上的点有无穷多个原象,而平面上除直线 y=x 外其他点没有 原象,它的逆变换不存在,因此矩阵 C 不存在逆矩阵. (4)矩阵 D 对应的是绕原点逆时针方向旋转 90°的旋转变换,因此它存在逆变换:绕原 点顺时针旋转 90°的旋转变换,所对应的变换矩阵记为 D-1=? ? 0 1? ?. ?-1 0 ? 用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题,一般思路是:(1)弄清矩阵所 对应的几何变换;(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换;(3)若有逆变换,找到 逆变换;(4)将逆变换写成逆矩阵. 若将本例中矩阵变为下列矩阵,情况如何? ? 23 ? (1)A= ?1 ?2 (2)B=? (3)C=? 1 - 2 ? ?; 3 ? 2 ? ?1 0? ?; ?0 0? ?1 1? ?; ?0 1? 3 (4)D=? ?1 0? ?. ?0 2? ?cos 30° -sin 30°? ?,它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针 ?sin 30° cos 30° ? - 【解】 (1)A=? 旋转 30°的旋转变换,其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转 30°的旋转变换,故 A 1 ? 23 ? = ?-1 ? 2 1 2 3 2 ? ?. ? ? (2)矩阵 B 表示的是将平面内所有点垂直投影到 x 轴上的投影变换,它不是一一对应的 变换,所以不存在逆变换,故不存在逆矩阵. (3)矩阵 C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变,横坐标依纵坐标比例增加,且? ? →? ?x? ?y? ?x+y? ?的切变变换,其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变,横坐标依纵坐标比例 ? y ? ?x? ?x-y? ?1 -1? -1 ?的切变变换,故 C =? ?. ?y? ? y ? ?0 1 ? 减少,且? ?→? (4)矩阵 D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变,纵坐标沿垂直于 x 轴方向拉伸为原 来 2 倍的伸压变换, 其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变, 纵坐标沿垂直于 x 轴方向


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