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高中数学总结


1.设集合 A={x|x2﹣2x≤0},B={x|﹣4≤x≤0},则 A∩?RB=( A.R B.{x∈R|X≠0} C.{x|0<x≤2} D.? 2.求 z= A.﹣i B.i C. 的值为( D. )



3.如图,大正方形靶盘的边长为 5,四个全等的直角三角形围成一个小正方形,即阴影部 分.较短的直角边长为 3,现向大正方形靶盘投掷飞镖,则飞镖落在阴影区域的概率为 ( )

A.

B.

C.

D. ) D.3(1+3﹣10)

4.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B. C.3(1﹣3﹣10)

5.函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2﹣4x+5 的图象的交点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 表面积为( )

A.96 B. C. D. 7.已知双曲线的一个顶点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 双曲线的方程为( ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D.5x2﹣ =1 )

,则该

8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则(

1

A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7 9.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥平面 BCD,△ BCD 是边长为 3 的 等边三角形.若 AB=2,则球 O 的表面积为( ) A.4π B.12π C.16π D.32π 10.已知 sinφ= ,且 φ∈( 对称轴之间的距离等于 A.﹣ 11.设双曲线 B.﹣ ,π) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的相邻两条 )的值为( D. 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线 )

,则 f( C.

的离心率等于( ) A. B.2 C. D. 12.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x) ,且当 x≠2 时其导函数 f′ (x)满足 xf′(x)>2f′(x) ,若 2<a<4 则( ) A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3) 13.在△ ABC 中,| + = . |=| ﹣ |,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则 ?

14.若实数 x,y 满足不等式组

,则 z=2y﹣|x|的最小值是



15.若(4

+ )n 的展开式中各项系数之和为 125,则展开式的常数项为 ,bn=| |,n∈N*,则数列{bn}的通项公式 bn= , ,

. .

16.设 a1=2,an+1=

17.如图,在平面四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB=1, .

2

(Ⅰ)求 sin∠BAC; (Ⅱ)求 DC 的长.

18.人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度 的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近 10 表示满意度越高.为了解某 地区居民的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调查数据如表 所示: [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 幸福感指数 10 20 220 125 125 男居民人数 10 10 180 175 125 女居民人数 根据表格,解答下面的问题: (Ⅰ)在图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值; (Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度, 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都 感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率) .

19.如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP=2,D 是 AP 的中点, E,G 分别为 PC,CB 的中点,将三角形 PCD 沿 CD 折起,使得 PD 垂直平面 ABCD. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:AP∥平面 EFG; (Ⅱ)当二面角 G﹣EF﹣D 的大小为 时,求 FG 与平面 PBC 所成角的余弦值.

20.已知椭圆 M 的中心为坐标原点,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点,M 的离心率 B 两点. (1)求椭圆 M 的标准方程;
3

,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l,交 M 于 A,

(2)设点 N(t,0)是一个动点,且 21.设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

,求实数 t 的取值范围.

(Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大 整数 M; (Ⅲ)如果对任意的 s,t ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,在△ ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,△ ACD 的外接圆交 BC 于点 E, AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C( (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若 α∈[0, ) ,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,直线 l 交圆 C 于 A、 , ) ,半径 r= .

B 两点,求弦长|AB|的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|+2|x+1|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)>4. (2)若不等式 f(x)<3x+4 的解集是{x|x>2},求 a 的值. 1.若动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,且 lg y , lg | x | , lg 为图中的

y?x 成等差数列,则动点 P 的轨迹应 2
( )?

4

2.动圆 C 与两定圆 C1 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1及 C2 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 分别相切,且一个内 切,一个外切,则动圆 C 的圆心 C 的轨迹是 A.两个椭圆 C.两个双曲线的各一支 B.一个椭圆及一个双曲线的一支 D.一个双曲线的两支 ( )

3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的顶点 O 的两条 OA、OB 互相垂直,则 AB 中点 M 的轨迹方程为 ( ) A. y 2 ? 2 x B. y 2 ? 2 x ? 4 C. y 2 ? 2 x ? 4 D. y 2 ? 2 x ? 8

4.不共线向量 OA, OB 且 2OP ? xOA ? yOB ,若 PA ? ? AB ,则点 ( x, y ) 的轨迹方程 为 。 。

5.以坐标原点为焦点,以直线 x+y-1=0 为准线的抛物线方程是

6.已知 B(-3,0),C(3,0),⊿ABC 中 BC 边上的高的长为 3,则⊿ABC 的垂心 H 的轨迹方程是 .

7.经过原点作圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的割线,交圆于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是 。

8.已知⊙C1: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,⊙C2: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 60 ? 0 ,动圆 M 和定圆 C1 外切 和定圆 C2 内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 。

9.已知⊿ ABC 的顶点 B 、 C 的坐标分别为( -1 , -3 )、( 3 , 5 ),若点 A 在抛物线

y ? x 2 ? 4 上移动,则⊿ABC 的重心 P 的轨迹方程是
2



10.过抛物线 y =2px(p>o)的原点 O 作两条互相垂直的弦 OA、OB,则三角形 AOB 重心 的轨迹方程是
2


2

11.点 A 是圆 x ? y ? 1 上的任意一点,AB⊥x 轴且交 x 轴于 B,以 A 为圆心,|AB|为 半径的圆交已知圆 C、D,CD 与 AB 交于 P,当点 A 在已知圆上运动时,则点 P 的轨迹方 程是 。

12.曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2kx ? (4k ? 10) y ? 10k ? 20 ? 0(k ? 0) 。当 k 取不同的值时, 曲线 C 表示不同的圆,这些圆的圆心共线,则这条直线的方程是 13. ? ABC 中,A 为动点,B( ? 点 A 的轨迹方程是 。

1 1 1 , 0) 、C( , 0) 且满足 sin C ? sin B ? sin A ,则动 2 2 2

2

14. 长为2的线段 AB 在抛物线 y ? x 上滑动,求 AB 中点的轨迹方程 15.已知圆 x ? y ? 1 和点 A(2,0),过 A 作圆的割线,交圆于 B、C 两点,M 是弦
2 2

5

BC 的中点,求点 M 的轨迹方程。 16.P、Q 分别为∠AOB 两边上的两个动点,若∠AOB= 点 M 的轨迹方程 17.已知以 C(2,0)为圆心的圆 C 和两条射线 y ? ? x( x ? 0) 都相切,设动直线 L 和 圆 C 相切,并交两射线于 A、B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。 18.若一个动点 P(x,y)到两个定点 A(-1,0)、A'(1,0)的距离差的绝对值为定值 a,求 点 P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状。 1.已知平面向量| |=2,| |= A.4﹣ B. , =3,则|2 ﹣ |=( C. ) D.7 )

? ,⊿POQ 面积为定值 8,求 PQ 中 3

2.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|log2(x+1)>0},则 A∩B=( A.{﹣1,0} B.{1,2} C.{0,2} )

D.{﹣1,1,2}

3.设 p:( )x>1,q:﹣2<x<﹣1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.根据样本数据得到回归直线方程 = x+ ,其中 =9.1,则 =(



x y A.9.4

4 49 B.9.5

2 26 C.9.6

3 39 D.9.7

5 54

5.已知函数 f(x)=sin(2ωx﹣

)(ω>0)的最小正周期为 4π,则(



A.函数 f(x)的图象关于点( B.函数 f(x)的图象关于直线 x= C.函数 f(x)的图象在( D.函数 f(x)的图象在(

,0)对称 对称

,π)上单调递减 ,π)上单调递增

6.已知定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x≤0 时,f(x)= ,则 f(f(3))=(



6

A.﹣9 7.若函数 f(x)= ( )

B.﹣1

C .1

D.9

在区间(﹣∞,2)上为单调递增函数,则实数 a 的取值范围是

A.[0,+∞)

B.(0,e]

C.(﹣∞,﹣1]

D.(﹣∞,﹣e)

8.(5 分)(2011 太和县校级模拟)已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是两条不同的直 线,则下列命题中正确的是( A.若 m∥n,m?α 则 n∥α C.若 m⊥α,m⊥β 则 α∥β ) B.若 m∥α,a∩β=n,则 m∥n D.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α

9.设函数 y=f(x)满足 f(﹣x)+f(x)=0 且 f(x+1)=f(x﹣1),若 x∈(0,1)时,f (x)=log2 ,则 y=f(x)在(1,2)内是( )

A.单调增函数,且 f(x)<0 C.单调增函数,且 f(x)>0

B.单调减函数,且 f(x)<0 D.单调增函数,且 f(x)>0

10.已知 k∈R,直线 l1:kx+y=0 过定点 P,直线 l2:kx﹣y﹣2k+2=0 过定点 Q,若动点 M 在以 PQ 为直径的圆上,则|MP|+|MQ|的最大值是( A.2 B.4 C .4 ) D.8

11.已知双曲线 e= .



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为

x+y=0,则其离心率

12.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为



13.已知第一象限内的点(a,b)在直线 x+4y﹣2=0 上运动,则 + 的最小值 为 .

7

14.若 x,y 满足约束条件

,且目标函数 z=3x+y 取得最大值为 11,则

k=



15.若函数 y=f(x)满足:对 y=f(x)图象上任意点 P(x1,f(x1)),总存在点 P′(x2, f(x2))也在 y=f(x)图象上,使得 x1x2+f(x1)f(x2)=0 成立,称函数 y=f(x)是“特 殊对点函数”,给出下列五个函数: ①y=x﹣1; ②y=log2x; ③y=sinx+1; ④y=ex﹣2; ⑤y= . (写出所有正确的序号)

其中是“特殊对点函数”的序号是

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.(12 分)(2015 秋潍坊校级期末)某教育网站举行智力竞猜活动,某班 N 名学生参 加了这项活动,竞猜成绩分成六组:第一组[1.5,5.5),第二组:[5.5,9.5),第三组[9.5, 13.5),第四组[13.5,17.5),第五组[17.5,21.5),第六组[21.5,25.5].得到的频率分 布直方图如图所示. (Ⅰ)若成绩在[1.5,5.5)内的频数为 2,求 N,a 的值; (Ⅱ)现从成绩在第四、五、六组的同学中用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随 机抽取 2 人进行座谈,求恰有一人在第五组的概率.

17.(12 分)(2015 秋潍坊校级期末)已知函数 f(x)=

sinxcosx+cos2x,x∈R.

(Ⅰ)把函数 f(x)的图象向右平移 ]上的最大值;

个单位,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)在[0,

8

(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的三边分别为 a,b,c,b= S△ ABC=3 ,求 a 和 c 的值.

,f( )=1,

18.(12 分)(2015 秋潍坊校级期末)如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 是等边三角形,侧面 BB1C1C 是菱形,∠B1BC=60°. (Ⅰ)求证:BC⊥AB1; (Ⅱ)若 AB=a,AB1= a,求三棱锥 C﹣ABB1 的体积.

19.(12 分)(2015 秋潍坊校级期末)公差不为零的等差数列{an}中,a1,a2,a5 成等比 数列,且该数列的前 10 项和为 100,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=a ,n∈N*.

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记得数列{ }的前 n 项和为 Tn.

20.(13 分)(2015 秋潍坊校级期末)已知函数 f(x)=lnx+ (a>0).

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值; (Ⅲ)证明:?a∈(0,1),f( )> .

21.(14 分)(2015 秋潍坊校级期末)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的上、下焦

点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上,DF2⊥F1F2,△ F1F2D 的面积为 2 抛物线 C:x2=2py(p>0)的准线 l 经过 D 点. (Ⅰ)求椭圆 E 与抛物线 C 的方程;

,离心率 e=



(Ⅱ)过直线 l 上的动点 P 作抛物线的两条切线,切点为 A,B,直线 AB 交椭圆于 M, N 两点,当坐标原点 O 落在以 MN 为直径的圆外时,求点 P 的横坐标 t 的取值范围. 1.已知集合 S ? ?1, 2, a? , T ? ?2,3, 4, b? ,若 S ? T ? ?1, 2,3? ,则 a ? b ? ( )
9

A.2

B .1

C.-1

D.-2

2. 已知 i 为虚数单位,则复数

1? i ?( i



A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. 1 ?

i 2

D. 1 ?

i 2

3. 已知平面向量 a ? ? x,1? , b ? ? 2, ?3? ,如果 a / / b ,那么 x ? ( )

?

?

?

?

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

2 3

D. ?

2 3

4 函数 y ? sin 2 x ? 2sin 2 x ? 1的最大值为( ) A.2 B. 2 C.3 D. 3

5. 若运行如图所示程序框图,则输出结果 S 的值为( ) A.94 B.86 C.73 D.56

6. 下图是底面半径为 1,高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩下的 几何体的三视图(注:正视图也称主视图,俯视图也称左视 图),则被削掉的那部分的体积为( )

A.

? ?2
3
5? -2 3

B.

5? ? 2 3
2 3


C.

D. 2? ?

7、直线 y ? 2 x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y =0 的位置关系为( A、相交且经过圆心 C、相切 B、相交但不经过圆心 D、相离

10

8. 为得到 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,只需要将 y ? sin 2 x 的图象( ) 3?
B.向左平移

A.向左平移

? 个单位 3
? 个单位 3

? 个单位 6
? 个单位 6
)

C.向右平移

D.向右平移

9. 在数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 , a2 ? , an an ? 2 ? 1 ,则 a2016 ? a2017 ? ( 2 3

A.

5 6

B.

5 2

C.

7 2

D.5

10. 在长为 3 m 的线段 AB 上任取一点 P ,则点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1 m 的概率等于( )

A.

1 2

B.

1 4

C.

2 3

D.

1 3

???? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在 C 上,且 PF1 ? PF2 ? 0 , 9 m ???? ???? ? 若抛物线 y 2 ? 16 x 的准线经过双曲线 C 的一个焦点,则|PF | ? |PF2|的值等于( ) 1
11. 设 F1 , F2 是双曲线 C : A. 2 2 B.6 C.14 D.16

12. 已知函数 f ? x ? 的定义域为实数集 R , ?x ? R, f ? x ? 90? ? ?

?lg x, x ? 0 ,则 ? ? x, x ? 0

f ?10? ? f ? ?100? 的值为( )
A.-8 B.-16 C.55 D.101 .

13.曲线 f ? x ? ? 2 ? xex 在点(0,2)处的切线方程为

11

?x ? 0 ? 14. 若 x, y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 z ? 3x ? y+2 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?

.

15. 已知三棱锥 P ? ABC 的顶点 P、A、B、C 在球 O 的表面上, ?ABC 是边长为 3 的等边三角形,如果球 O 的表面积为 36 ? ,那么 P 到平面 ABC 距离的最大值 为 .

16. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,如果 ?ABC 的面积等于 8,

4 a?b?c a ? 5 , tan B ? ? ,那么 = 3 sin A ? sin B ? sin C

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? a2 ? a3 ? 26, S6 ? 728 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证: Sn?12 ? Sn Sn? 2 ? 4 ? 3n . 18. (本小题满分 12 分)某校高二年级共有 1600 名学生,其中男生 960 名, 640 名, 该校组织了一次满分为 100 分的数学学业水平模拟考试,根据研究,在正式的学业水 平考试中,本次成绩在[80,100]的学生可取得 A 等(优秀),在[60,80)的学生可取得

B 等(良好),在[40,60)的学生可取得 C 等(合格),在不到 40 分的学生只能取得 D 等(不合格),为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关,现按性别采用分层抽样
的方法抽取 100 名学生,将他们的成绩按从低到高分成[30,40)、[40,50)、[50,60)、 [60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]七组加以统计,绘制成频率分布直方图,下图 是该频率分布直方图.

12

(Ⅰ)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中,成绩不合格的人数; (Ⅱ) 请你根据已知条件将下列 2X2 列联表补充完整,并判断是否有 90%的把握认为 “该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”? 数学成绩优秀 男生 女生 合计 数学成绩不优秀 合计

a ? 12
c?

b?
d ? 34 n ? 100

附: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.15

n ? ad ? bc ?

2

.

P ? k 2 ? k0 ?

0.10

0.05

k0

2.072

2.706

3.841

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, CD ? BD, AB ? AD, E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AE ? BD ;

13

(Ⅱ)设平面 ABD ? 平面 BCD, AD ? CD ? 2, BC ? 4 ,求三棱锥 D ? ABC 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O ,离心率等于

3 , 2

以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5 ,直线 l : y ? kx ? m 与 y 轴交 于点 P ,与椭圆 E 交于 A、B 两个相异点,且 AP ? ? PB . (Ⅰ) 求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若 AP ? 3PB ,求 m 2 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知 a ? 0, f ? x ? ? a ln x ? 2x . (Ⅰ)当 a ? ?4 时,求 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)当 f ? x ? 的最小值不小于 ?a 时,求实数 a 的取值范围.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, BC 是⊙ O 的直径, EC 与⊙ O 相切于 C, AB 是⊙ O 的弦, D 是 AC 弧的中点,

BD 的延长线与 CE 交于 E .
(Ⅰ)求证: BC ? CD ? BD ? CE ;

(Ⅱ)若 CE ? 3, DE ?

9 ,求 AB . 5

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与 参数方程

14

在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 ,( t 为参数),在以原点 O 为极 ?y ? t ? 2
3 1 ? 2 cos 2 ?
.

点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

(Ⅰ)直接写出直线 l 、曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上的点到与直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 M ? x | x 2 ? 1 , N ? ?? 2 , 0 , 1?,则 M ? N ? A. ?? 2 , 0 , 1? B. ?0 , 1? C. ?? 2 , 0? D. ?

?

?

2.设数列 ?an ? 满足 an ? i n , i 是虚数单位, n ? N * ,则数列 ?an ? 的前 2015 项和为 A. i 3、必修 5 P69 B. ? i C. 1 D. ?1

A 300

B 350

C 400

D 450

4.一个几何体的三视图如图所示,其中,俯视图是半径为 2 、 圆心角为

3
2 正视
图 俯视 图

? 的扇形。该几何体的表面积是 2

侧视

2

15



A. 3? ? 12

B. 5?

C. 5? ? 12

D. 8? ? 12

?2 x ? y ? 10 ? 5.实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 | x | ? | y | 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
A. 6 B. 8 C. 10 D. 14

6.执行如下图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是

开始

a ? 1, b ? 2

c ? a?b
b ? c2

c ? 2016 ?



输出 a

结束

a?b



A. 9

B. 121

C. 130

D.17021

7.已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x , ? ? 0 是常数, x ? R ,且图象上相邻两个最高 点的距离为 ? ,则下列说法正确的是 A. ? ? 1 C.曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? B.曲线 y ? f ( x) 关于点 (? , 0) 对称

?
2

对称

D.函数 f ( x) 在区间 (0 ,

?
3

) 单调递增

8.若 a , b 都是不等于 1 的正数,则“ loga 2 ? logb 2 ”是“ 2 a ? 2 b ”的 A.充分非必要条件 C.充要条件 9.已知 f ( x) ? ax 2 ? B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

b ( a ? 0 , b ? 0 ),曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线经 x 3 1 1 1 过点 ( , ) ,则 ? 有 2 2 a b
B.最大值 9 C.最小值 4 D.最大值 4

A.最小值 9

10 .已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, P 是抛物线上一点,延长 PF 交抛物线于点 Q , 若 | PF |? 5 ,则 | QF |?
16

A.

9 8

B.

5 4

C.

3 2

D. 2

11.某商店经营一批进价为每千克 3.5 元的商品,调查发现,此商品的销售单价 x (元 /千克)与日销量 y (千克)之间有如下关系:

x
y

5 20

6 17

7 15

8

12

若 x 与 y 具有线性相关关系 y ? b x ? a ,且 b ? ?2.6 ,为使日销售利润 最大,则销 ..... 售单价应定为(结果保留一位小数) A. 7.5 B. 7 . 8 C. 8.1 D. 8 . 4

?

?

?

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数,满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数 列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,且前 n 项和 S n 满足 A. 3 B. ? 3 C. 0

Sn a ? 2 ? n ? 1 ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? n n
D. 6

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.从 2 , 0 , 1 , 6 四个数中随机取两个数组成一个两位数,并要求所取得较大的数 为十位数字,较小的数为个位数字,则所组成的两位数是奇数的概率

P?
14.若双曲线



x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线与圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 相切, 2 2 a b


且圆 C 的圆心是双曲线的其中一个焦点,则双曲线的实轴长为 15.已知四面体 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB ? 平面 ABC ,

AB ? AC ,且 AB ? 1 , PB ? AC ? 2 ,则球 O 的表面积 S ?



17

16.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 和 Sn ? .

1 a n?1

?

1 ? n ? 1 ( n ? N * ),则数列 ?an ? 的前 n 项 an

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

18. (本小题满分 12 分)

如图,在直三棱柱 ABA 2a , DD1 ? DA ? DC ? a ,点 E 、 1 ? DCD 1 中, D1C ?

F 分别是 BC 、 DC 的中点.
(Ⅰ)证明: AF ? ED1 ; (Ⅱ)求点 E 到平面 AFD 1 的距离.

D1

A1 D A
F O

C B E

18

四、选作题

19

附加题 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 2 S n ? 3an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 1 ? 2log 3 2 an ,求证:

1 , n? N* . 2

1 1 1 1 ? ??? ? b1b2 b2b3 bnbn?1 2

第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只
y

有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则
2

A

Cu M

(

)

O B

x

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 0或x ? 1}
第 2 题图 20

??? ? ??? ? 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 z1 ? z2 所对应的点

位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、俯视图 为正三角形,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A.

2 3 3

B.

3 3 C. 3 D. 2 3 2
第 3 题图

4.下列命题正确的个数有( ) (1)命题“

p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的必要不充分条件

(2)命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ?x ? R , 均 有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” ( 3)经过两个不同的点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的直线都可以用方程

( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 来表示
( 4 ) 在 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 1 , S n 是 其 前 n 项 和 , 且 满 足

S n ?1 ?

1 S n ? 2 ,则 ?a n ?是等比数列 2 ( 5 )若 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 - bx ? a 2 在 x ? 1 处 有极值 10 ,则
第 5 题图

a ? 4,b ? 11
A.1 个 D.4 个 5.如图,执行程序框图后,输出的结果为 ( ) 6.已知 ?an ? 是等差数列, S n 为其前 n 项和,若 S13 ? S2000 ,则 S 2013 ? ( ) A. -2014 B. 2014 C. 1007 D. 0 A.8 B.10 C.12 D.32 B.2 个 C.3 个

7.已知向量 a ? (?2,?1), b ? (? ,1), ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是( ) A. ( ?

1 ,2) ? (2,?? ) 2

B. ? 2, ?? ? C. ? ?

1? ? 1 ? ? , ?? ? D. ? ??, ? ? 2? ? 2 ? ?

8.把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把所得图象上所 6

有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的函数表达式为( )

?? ?? ? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? , x ? R ?, x ? R 3? 3? ? ? ?? ?? ?1 ?1 C. y ? sin ? x ? ? , x ? R D. y ? sin ? x ? ? , x ? R 6? 6? ?2 ?2 ?y ? 0 ?x ? y ? 1 ? 9.若不等式 ? ( m, n ? Z )所表示的平面区域是面积为 1 的直角三角形, ?x ? 2 y ? 4 ? ? x ? my ? n ? 0 则实数 n 的一个值为 ( )
A. y ? sin ? 2 x ? A.2 B.-1 C.-2 D.1
21

10.已知 a 、 b 、 c 是三条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,下列条件中,能推导 出 a ⊥ ? 的是 ( ) A. a ? b, a ? c 其中 b ? ? , c ? ? B. a ? b, b ∥ ? C. ? ? ? , a ∥ ?
2 2

D. a ∥ b , b ? ?

11.已知双曲线

x y 2 2 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 作圆 x ? y ? a 的切线分 2 a b


别交双曲线的左、右两支于点 B 、 C ,且 | BC | ?| CF 2 | ,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?3 x B. y ? ?2 2 x

C. y ? ?( 3 ? 1) x D. y ? ?( 3 ? 1) x

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? ?

g ( x) ?
A.-7

2x ? 5 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?5,1] 上的所有实根之和为( x?2
B.-8 C.-6 D.-5

? x2 ? 2, x ?[0,1) ,且 f ( x ? 2) ? f ( x) , 2 2 ? x , x ? [ ? 1,0) ?


第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.必修 5 P69

x 14 . 设 a ? R , 函 数 f ( x ) ? e ?

a ' ' 的 导 函 数 是 f ( x) , 且 f ( x) 是 奇 函 数 。 若 曲 线 x e
.

y ? f ( x) 的一条切线的斜率是

3 ,则切点的横坐标为 2

) 在 ( , ) 上单调递减,则 ? ? _______. 6 3 4 16. 定义函数 y ? f ( x), x ? I ,若存在常数 M ,对于任意 x1 ? I ,存在唯一的 x2 ? I ,使
15. 已知 ? ? N ? ,函数 f ( x) ? sin(?x ? 得

?

? ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? M , 则 称 函 数 f ( x) 在 I 上 的 “ 均 值 ” 为 M , 已 知 2

f ( x) ? log2 x, x ? [1,2 2014 ] ,则函数 f ( x) ? log2 x 在 [1,2 2014 ] 上的“均值 ”为_______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ? 满足: an?1 ? an (n ? N* ) , a1 ? 1 ,该数列的前三项分别加上 1,1, 3 后成等比数列, an ? 2log 2 bn ? ?1. (Ⅰ)分别求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .
22

18.如图所示,凸多面体 ABCED 中,DA⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC,AC=AD=AB=1, BC= ,CE=2,F 为 BC 的中点.

(1)求证:AF∥面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BCE; (3)求 VB﹣ACED.

19.欣欣服装厂在 2010 年第一季度共生产 A、B、C 三种品牌的男女休闲服装 2000 件,

如下表所示

现从这些服装中随机抽取一件进行检验,已知抽到品牌 B 女服装的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在生产的这些服装中随机抽取 48 件进行检验,问应在品牌 C 中 抽取多少件? (3)已知 y≥245,z≥245,求品牌 C 中生产的女服装比男服装多的概率

20.已知动点 M 到点 F(1,0)的距离,等于它到直线 x=﹣1 的距离. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1,l2,分别交曲线 C 于点 A,B 和 M,N.设 线段 AB,MN 的中点分别为 P,Q,求证:直线 PQ 恒过一个定点; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△ FPQ 面积的最小值.

23

21.已知函数 f(x)=(x3﹣6x2+3x+t)ex,t∈R. (Ⅰ)若函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 4x﹣y+1=0,则求 t 的值 (Ⅱ)若函数 y=f(x)有三个不同的极值点,求 t 的值; (Ⅲ)若存在实数 t∈[0,2],使对任意的 x∈[1,m],不等式 f(x)≤x 恒成立,求正整数 m 的最大值.

请考生在( 22 ) . ( 23 ) . ( 24 )三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC中,AB ?

AC, D为?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A 、 C 重合) ,延

长 BD 至 E , 延长 AD 交 BC 的延长线于 F . (1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

第 22 题图

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?

( ? 为参数),以直角坐标系原点为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. (2)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ?

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? m, m ? 0, f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? . (1)求 m 的值;
2 (2)若 ?x ? R , f ( x) ? 2 x ? 1 ? t ?

3 t ? 1 成立,求实数 t 的取值范围. 2
24

附加题 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos 2 x ? sin 2 2 x ?

1 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及对称中心; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 B 为钝角,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

B 2 ,且 sin C ? 2 sin A , S ?ABC ? 4 ,求 c 的值. f( )? 4 2

25.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55 , a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 满足等式: an ? 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

b b1 b2 b3 ? 2 ? 3 ?…? n ( n ? N * ),求 2 2 2 2n

25

26

27

28

29

30


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