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2015高考数学题库(新)-附加题(二项式定理、计数原理)


? m? 1.设函数 f ( x, y ) ? ?1 ? ? (m ? 0, y ? 0) . y? ?
(1)当 m ? 3 时,求 f (6, y) 的展开式中二项式系数最大的项; (2)若 f (4, y ) ? a0 ?
4 a1 a2 a3 a4 ? 2 ? 3 ? 4 且 a3 ? 32 ,求 ? ai ; y y y y i ?0

x

(3)设 n 是正整数, t 为正实数,实数 t 满足 f (n,1) ? mn f (n, t ) ,求证:

f (2010,1000 t ) ? 7 f (?2010, t ) .
? 3 ? 540 解:(1)展开式中二项式系数最大的项是第 4 项= C ? ? ? 3 ; (2 分) y ? y?
3 6 3

(2) f (4, y ) ? a0 ?
4

a1 a2 a3 a4 m 3 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? (1 ? )4 , a3 ? C4 m ? 32 ? m ? 2 , y y y y y
(5 分)

?a
i ?0

i

2 ? (1 ? )4 ? 81; 1
n

m n m2 n ) ,即 (3)由 f (n,1) ? m f (n, t ) 可得 (1 ? m) ? m (1 ? ) ? (m ? t t
n n

1? m ? m ?

m2 m 1 2010 ? m ? t ? f (2010,1000 t ) ? (1 ? )2010 ? (1 ? ) . t 1000 1000 t
2 3 4

? 1? C

1 2010

1 4 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 3 4 ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? 7 1000 3 3 ? 1000 ? ? 1000 ? ? 1000 ?
m ?2010 1 ) ? (1 ? ) ?2010 ? 1,所以原不等式成立. t t
(10 分)

, t ) ? (1 ? 而 f (?2010

r 2. 从函数角度看,组合数 Cn 可看成是以 r 为自变量的函数 f (r ) ,其定义域是 r r ? N , r ? n .

?

?

(1)证明: f ( r ) ?

n ? r ?1 f (r ? 1) ; r
n

(2)利用(1)的结论,证明:当 n 为偶数时, (a ? b) 的展开式中最中间一项的二项式系数最大.

k ?1 23.(1)已知 k、n ? N * ,且 k≤n ,求证: kCk n ? nCn ?1 ;

(2)设数列 a 0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ? a1 , ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?).
n 1 n ?1 2 2 n n 证明:对任意的正整数 n, p( x) ? a0C0 ? a2Cn x (1 ? x)n?2 ? ??? ? an Cn x 是 n (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x)

关于 x 的一次式. (1)证明:左边 ? kCk n ?k? 右边 ? n ?
n! n! , ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

(n ? 1)! n! , ? (k ? 1)!( n ? k)! ( k ?1)!( n ? k)!

k ?1 所以 kCk n ? nCn ?1 ;(3 分)

(2)证明:由题意得数列 a 0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ? 0 .(5 分)
n 1 n ?1 2 2 n n 则 p( x) ? a0C0 ? a2Cn x (1 ? x)n?2 ? ??? ? an Cn x n (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x)

n 1 n?1 n n ? a0C0 ? ??? ? ?a0 + n(a1 ? a0 )? Cn x n (1 ? x) ? ? a0 + (a1 ? a0 )? Cn x(1 ? x)

0 n 1 n ?1 n n n ?1 2 2 n ?2 n n ? ? 1 ? ? a0 ? ?Cn (1 ? x) ? Cn x(1 ? x) ? ??? ? Cn x ? ? (a1 ? a0 ) ?Cn x(1 ? x) + 2Cn x (1 ? x) ? ??? ? nCn x ?
0 n ?1 1 n?2 n ?1 n ?1 ? ? a0 ? (1 ? x) ? x ? ? (a1 ? a0 )nx ? ?C n ?1 (1 ? x) + C n ?1 x(1 ? x) ? ? ? ? ? C n ?1 x ? n

? a0 ? (a1 ? a0 )nx ? x ? (1 ? x)?
? a0 ? (a1 ? a0 )nx ,

n?1

所以对任意的正整数 n, p( x) 是关于 x 的一次式.(10 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 1,
0 1 2 2 n?1 n?1 n n p( x) ? a1Cn (1? x)n ? a2Cn x(1? x)n?1 ? a3Cn x (1? x)n?2 ? ?? anCn x (1? x) ? an?1Cn x

(1)若数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列,求 p(?1) 的值; (2)若数列 ?an ? 是公比为 2 的等差数列,求证: p ( x) 是关于 x 的一次多项式.

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 设 b>0,函数 f ( x) ? 1 (ax ? 1)2 ? 1 x ? 1 ln bx ,记 F (x) ? f ?(x) ( f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数),且当 2ab b b x = 1 时, F ( x) 取得极小值 2. (1)求函数 F ( x) 的单调增区间; (2)证明 ? F ( x)? ? F ( x n ) ≥2n ? 2 ? n ? N* ? .
n

【解】(1)由题 F ( x) ? f ?( x) ? 1 ? 2(ax ? 1) ? a ? 1 ? 1 ? 1 ax ? 1 ,x ? 0,b ? 0 . 2ab b bx b x 于是 F' ( x) ? 1 a ? 12 ,若 a ? 0 ,则 F' ( x) ? 0 ,与 F ( x) 有极小值矛盾,所以 a ? 0 . b x 令 F' ( x) ? 0 ,并考虑到 x ? 0 ,知仅当 x ? 1 时, F ( x) 取得极小值. a

?

?

?

?

? 1 ? 1, ? 所以 ? a 解得 a ? b ? 1 .???????4 分 1 ? (a ? 1) ? 2, ?b
? ?) . 故 F ( x) ? x ? 1 ( x ? 0) ,由 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以 F ( x) 的单调增区间为 (1, x

(2)因为 x ? 0 ,所以记 g ( x) ? ? F ( x)? ? F ( xn ) ? ? F ( x)? ? F ( xn ) ? x ? 1 x
n n

? ? ? ? x ? x1 ?
n n n

n ?1 1 n?2 n ?3 ?1 1 ? C1 ? ? C2 ? 12 ? C3 ? 13 ? ?????? ?Cn nx nx nx n x ? n ?1 x x x x n?r 1 ?r r 1 因为 Cr ? ? Cn , 2, L ,n ? 1) , nx n x ? n ? r ≥2Cn (r ? 1 x x
n n * 2 3 n ?1 n 所以 2g ( x)≥2(C1 n ? Cn ? Cn ? ?????? ?Cn ) ? 2(2 ? 2) ,故 ? F ( x) ? ? F ( x ) ≥2 ? 2 ? n ? N ? . n

23.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? (2 ?
3

x ) n , 其中 n ? N * .

(1)若展开式中含 x 项的系数为 14, 求 n 的值; (2)当 x ? 3 时, 求证: f ( x) 必可表示成 s ? s ?1(s ? N * ) 的形式. 23.解: (1)因为 Tr ?1 ? C 2
r 8 8? r

x

r 2 ,所以

6 r ? 6 ,故 x 3 项的系数为 Cn ? 2 n?6 ? 14,解得 n ? 7 …5 分

0 n 2 (2)由二项式定理可知, (2 ? 3)n ? Cn

? 3?

0

1 n ?1 ? Cn 2

? 3? ? C 2 ? 3?
1 2 n n?2

2

n 0 ? ? ? Cn 2

? 3? ,
n

设 (2 ? 3)n ? x ? 3y ? x2 ? 3y2 ,而若有 (2 ? 3)n ? a ? b , a, b ? N ? , 则 (2 ? 3)n ? a ? b , a, b ? N ? ……………………7 分 ∵ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (2 ? 3)n ? (2 ? 3)n ? 1 , ∴令 a ? s, s ? N ? ,则必有 b ? s ? 1 ……………………………9 分 ∴ (2 ? 3)n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ? ………………10 分 注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数.

*27.已知(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+?+a2nx2n. (1)求 a1+a2+a3+?+a2n 的值;

1 1 1 1 1 1 (2)求 - + - +?+ - 的值. a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n 解 (1)令 x=0 得,a0=1;令 x=1 得,a0+a1+a2+a3+?+a2n=22n. 于是 a1+a2+a3+?+a2n=22n-1. (2)ak=C2kn,k=1,2,3,?,2n, 首先考虑 k!(2n+1-k)! (k+1)!(2n-k)! k!(2n-k)!(2n+1-k+k+1) 1 1 + k+1 = + = (2n+1)! (2n+1)! (2n+1)! C2nk +1 C2n+1 k!(2n-k)!(2n+2) 2n+2 = = , (2n+1)! (2n+1) C2kn 则 2n+1 1 1 1 = ( + k+1 ), C2kn 2n+2 C2nk +1 C2n+1 2n+1 1 1 1 1 ( k- k - k+1= +2 ). C2n C 2n 2n+2 C2n+1 C2kn +1

因此

1 1 1 1 1 1 2n+1 1 1 1 1 1 1 故 - + - +?+ - = ( 1 - 3 + 3 - 5 +?+ 2n-1- n+1) a1 a2 a3 a4 a a2n-1 2n 2n+2 C2n+1 C2n+1 C2n+1 C2n+1 C2n+1 C2 2n+1 2n+1 1 2n+1 1 1 n = ( - 2n+1)= ( -1)=- . 2n+2 C2n1 2 n + 2 2 n + 1 n + 1 +1 C2n+1 【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换.关于组合数的倒数问题一直没有涉及过,注意关注一 下.

23.(本小题满分 10 分) 函数 fn ?? ? ? sinn ? ? cosn ? , n ? N* ,且 f1 ?? ? ? a ,其中常数 a 为区间(0,1)内的有理数. (1)求 fn ?? ? 的表达式(用 a 和 n 表示); (2)求证:对任意的正整数 n , fn ?? ? 为有理数.
2 ? ?sin ? ? cos ? ? a, 23.解:(1)由 ? 2 得 sin ? cos? ? a ? 1 , 2 2 ? ?sin ? ? cos ? ? 1 2 a ? 2 ? a2 所以 sin ? 、 cos ? 可以看成方程 x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的两个根,则 x ? ,?3 分 2 2

?a? 2?a ∴ f n ?? ? ? ? ? 2 ?

2

? ?a? 2?a ? ?? ? ? 2 ? ?

n

2

? ? ? ? ?

n

?

a ? 2 ? a2

? ?
n

? a ? 2 ? a2
n

?

n

2

. ??4 分

(2) 2 ? 2 ? a2

?

? ? ?2 ?
n

2 ? a2

?

n

? 2 n ?2 ? 2 ? 2n ? Cn 2 ?

?

2 ? a2

? ?C 2 ?
2 4 n ?4 n

2 ? a2

? ? ????
4

m ∵a 为有理数, Cn 为整数,∴ fn ?? ? 为有理数.

10 分

23.设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满

足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an. 解:(1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}),({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k ?1 k ?1 , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

?? 3 分

?? 5 分

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,k 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

?? 7 分

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

?? 10 分

一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数,则称该集合为“好集”.记集合 {1,2,3,…, 3n}的子集中所有“好集”的个数为 f(n). (1)求 f(1),f(2)的值; (2)求 f(n)的表达式. 23.解:(1)易得 f(1)=3; -----------------------------------------1 分

当 n=2 时,集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有: 单元集:{3},{6}共 2 个,双元集{1,2},{1,5},{2,4},{4,5},{3,6}共 5 个,三元集有:{1,2,3}, {1,2,6},{1,3,5},{1,5,6},{4,2,3},{4,2,6},{4,3,5},{4,5,6}共 8 个,四元集有{3,4,5,6},{2,3,4,6}, {1,3,5,6},{1,2,3,6},{1,2,4 ,5}共五个,五元集{1,2,4,5,6},{1,2,3,4,5}共 2 个,还有一个全集. 故 f(2)=1+(2+5)× 2+8=23. (2)首先考虑 f(n+1)与 f(n)的关系. 集合{1,2,3,…,3n,3n+1,3n+2,3n+3}在集合{1,2,3,…,3n}中加入 3 个元素 3n+1,3n+2, 3n+3. 故 f(n+1)的组成有以下几部分: ①原还的 f(n)个集合; ②含有元素 3n+1 的“好集”是{1, 2, 3, …, 3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合,含有元素是 3n+2 的“好集”是{1,2,3,…,3n}中各元素之和 ----------------------------- 4 分

被 3 除余 1 的集合,含有元素是 3n+,3 的“好集”是{1,2,3,…,3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集 合,合计是 23n;③含有元素是 3n+1 与 3n+2 的“好集”是{1,2,3,…,3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合,含有元素是 3n+2 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,…,3n}中各元素之和被 3 除余 1 的集合, 含有元素是 3n+1 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,…,3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合,合计是 23n; ④含有元素是 3n+1, 3n+2, 3n+3 的“好集”是{1, 2, 3, …, 3n}中“好集”与它的并, 再加上{3n+1, 3n+2,3n+3}。 所以,f(n+1)=2 f(n)+2× 23n+1. -----------------------------------------7 分

f(n+1) f(n) 1 两边同除以 2n+1,得 n+1 - n =4n+ n+1, 2 2 2
n f(n) n-1 n-2 1 1 1 3 4 -1 1 所以 =4 +4 +…+4+ n+ n-1+…+ 2+ = +1- n, 2n 2 2 2 2 3 2

2n(4n-1) n 即 f(n)= +2 -1. 3 23.【必做题】

----------------------------------10 分.

有三种卡片分别写有数字 1,10 和 100.设 m 为正整数,从上述三种卡片中选取若干张, 使得这些卡片上的数字之和为 m.考虑不同的选法种数,例如当 m=11 时,有如下两种选法:“一张 卡片写有 1,另一张卡片写有 10”或“11 张写有 1 的卡片”,则选法种数为 2. (1)若 m=100,直接写出选法种数; (2)设 n 为正整数,记所选卡片的数字和为 100n 的选法种数为 an.当 n≥2 时,求数 列{an}的通项公式. 23.解析:(1)m=100,共有选法种数为 12. (2)若至少选一张写有 100 的卡片时,则除去 1 张写有 100 的卡片,其余数字之和为 100(n-1), 有 an-1 种选法; 若不选含有 100 的卡片,则有 10n+1 种选法. 所以,an=10n+1+an-1


从而,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+···+(a2 -a1)+a1 =10n+1+10(n-1)+1+···+10×2+1+a1 (n+2)(n-1) =10 +n-1+a1 2 =5n2+6n+1 所以,{an}的通项公式是 an=5n2+6n+1.

23.(1)当 k ? N 时,求证: (1 ? 3)k ? (1 ? 3)k 是正整数;
*

(2)试证明大于 (1 ? 3)2n 的最小整数能被 2

n ?1

整除( n ? N * )

23.(本小题满分 10 分) 设数列{an}共有 n( n ≥ 3 ,n ? N )项,且 a1 ? an ? 1,对每个 i (1≤i≤ n ? 1 ,i ? N),均有

ai ?1 ? 1, 1, 2 . ai 2
(1)当 n ? 3 时,写出满足条件的所有数列{an}(不必写出过程); (2)当 n ? 8 时,求满足条件的数列{an}的个数. 【解】(1)当 n ? 3 时, a1 ? a3 ? 1 . 因为

?

?

a a2 1, 2 , 1 ? 1, 1, 2 , ? 1, 1, 2 , 3 ? 1, 1, 2 ,即 a2 ? 1 , 2 a2 2 a1 2 a2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

所以 a2 ? 1 或 a2 ? 1 或 a2 ? 2 . 2
1 ; 1,1,1; 1,2,1. 故此时满足条件的数列{an}共有 3 个: 1 ,1 , 2

?? 3 分

ai+1 (2)令 bi= (1≤i≤7),则对每个符合条件的数列{an},满足条件: ai

?b ? ?
i ?1 i i ?1

7

7

ai ?1 a8 ? ? 1 ,且 bi∈ 1 , 1,2 ai a1 2

?

? (1≤i≤7).

反之,由符合上述条件的 7 项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的 8 项数列{an}.?7 分 记符合条件的数列{bn}的个数为 N. 显然,bi (1≤i≤7)中有 k 个 2;从而有 k 个 1 ,7-2k 个 1. 2
k k 当 k 给定时,{bn}的取法有 C7 C7 ?k 种,易得 k 的可能值只有 0,1,2,3,

1 2 2 3 3 故 N ? 1 ? C1 7 C6 ? C7 C5 ? C7 C4 ? 393 .

因此,符合条件的数列{an}的个数为 393.

??? 10 分

3 22.(1)计算: C2013 2014 ? A5 ;

0 2 1 3 2 (2)观察下面一组组合数等式: C1 n ? nCn ?1 ; 2Cn ? nCn ?1 ; 3Cn ? nCn ?1 ;?

由以上规律,请写出第 k(k∈N*)个等式并证明. 解:(1)原式=2074.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
* k ?1 (2)等式为: kCk · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 n ? nCn ?1 ,k∈N . ·

证明: kC k n=

kn ! n(n ? 1)! ?1 = = nCk · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 n ?1 .· k !( n ? k )! (k ? 1)!((n ? 1) ? (k ? 1))!

23.(本小题满分 10 分)

数列{an},{bn}满足 a1=b1,且对任意正整数 n,{an}中小于等于 n 的项数恰为 bn; {bn}中小于等于 n 的项数恰为 an. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且 an∈N,bn∈N. 若 a1=b1=0,故{an}中小于等于 1 的项至少有一项,从而 b1≥1,这与 b1=0 矛盾. 若 a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于 1 的项,从而 b1=0,这与 b1≥2 矛盾. 所以,a1=1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)假设当 n=k 时,ak=bk=k,k∈N*. 若 ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于 k+1 的项只有 k 项, 于是 bk+1=k,此时{bn}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(b1,b2,?,bk,bk+1), 从而 ak≥k+1,这与假设 ak=k 矛盾. 若 ak+1=k,则{an}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(a1,a2,?,ak,ak+1), 于是 bk≥k+1,这与假设 bk=k 矛盾. 所以,ak+1=k+1. 所以,当 n=k+1 时,猜想也成立. 综上,由(1),(2)可知,an=bn=n 对一切正整数 n 恒成立. 所以,an=n,即为所求的通项公式.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 23.本题以数列知识为背景,重点考查应用所学知识分析问题与解决问题的能力,属难题. 可继续探求下列问题: 若 a1=b1+2014,求数列{an}与{bn}的通项公式.
1 ? n ? 2013, ? 0, 其答案为:an=2013+n,bn= ? n ? 2014. ?n ? 2013,

23.(本小题满分 10 分) 设 n∈N+,(1+ 2)n= 2an+bn(an、bn ∈Z) . (1)求 a5+b5 的值; (2)是否存在正整数 n,使 bn=22013?若存在求出 n 的值,若不存在请说明理由. 23. 解:(1)当 n ? 5 时, 1 ? 2
? ?C50 ? C52 ? ?

?

?

5

1 ? C50 ? C5 2 ? C52
3 5

? 2?

2

5 ? ? ? C5

? 2?

5

? 2?

2

? C54

? ?C ? 2? ? ? ? ? ?
4

1 5

3 2 ? C5

? 41 ? 29 ? 2? ?C ? 2? ? ? ?
5 5

2,

故 a5 ? 29 , b5 ? 41,所以 a5 ? b5 ? 70 . (2)答数是否定的,事实上 bn 是奇数,而 bn=22013 是偶数,故不存在不存在正整数 n,使 bn=22013. 下面证明是对任意正整数 n,bn 是奇数. 证法一:(用数学归纳法证明) (i)当 n ? 1 时,易知 b1 ? 1 ,为奇数; (ii)假设当 n ? k 时, 1 ? 2 则当 n ? k ? 1 时,

?

?

k

? 2ak ? bk ,其中 bk 为奇数;

?1 ? 2 ?

k ?1

? 1? 2 ? 1? 2 ?

?

? ?
k

? ?

2ak ? bk ? 1 ? 2 ?

??

?

2 ? ak ? bk ? ? ? bk ? 2ak ? ,

所以 bk ?1 ? bk ? 2ak ,又 ak 、 bk ? Z ,所以 2ak 是偶数,法一 而由归纳假设知 bk 是奇数,故 bk ?1 也是奇数. 综上(i)、(ii)可知, bn 的值一定是奇数.
2 n 1 2 证法二:因为 ?1 ? 2 ?n ? Cn0 ? Cn 2 ? Cn ? 2 ? ??? Cnn ? 2 ?

当 n 为奇数时, bn ? Cn0 ? Cn2 ? 2 ? ? Cn4 ? 2 ? ? ? ? Cnn?1 ? 2 ?
2 4

n ?1

则当 n ? 1 时, b1 ? 1 是奇数;当 n ? 3 时,
2 因为其中 Cn

? 2?

2

4 ? Cn

? 2?
2

4

n ?1 ? ? ? Cn

? 2?

n ?1

中必能被 2 整除,所以为偶数,
n ?1

0 2 于是, bn ? Cn ? Cn

? 2?

4 ? Cn

? 2?

4

n ?1 ? ? ? Cn

? 2?
4

必为奇数;

0 2 当 n 为偶数时, bn ? Cn ? Cn
2 其中 Cn

? 2?

2

4 ? Cn
n

? 2?

n ? ? ? Cn

? 2?
n

n

? 2?

2

4 ? Cn

? 2?

4

n ? ? ? Cn

? 2 ? 均能被 2 整除,于是 b 必为奇数.

综上可知, ?bn ? 各项均为奇数. 23.设 P1,P2,?,Pj 为集合 P={1,2,?,i}的子集,其中 i,j 为正整数.记 aij 为满足 P1∩P2∩? ∩Pj=?的有序子集组(P1,P2,?,Pj)的个数. (1)求 a22 的值; (2)求 aij 的表达式. 解:(1)由题意得 P1,P2 为集合 P={1,2}的子集, 因为 P1∩P2=?, 所以集合 P={1,2}中的元素“1”共有如下 3 种情形:

1?P1,且 1? P2;1?P1,且 1? P2;1?P1,且 1?P2; 同理可得集合 P={1,2}中的元素“2”也有 3 种情形, 根据分步乘法原理得,a22=3×3=9; (2)考虑 P={1,2,?,i}中的元素“1”,有如下情形: 1 不属于 P1,P2,?,Pj 中的任何一个,共 C j 种; 1 只属于 P1,P2,?,Pj 中的某一个,共 C j 种; 1 只属于 P1,P2,?,Pj 中的某两个,共 C j 种; ?? 1 只属于 P1,P2,?,Pj 中的某(j-1)个,共 Cj j 1种,


????4 分

0

1

2

根据分类加法原理得,元素“1”共有 C j +C j +C j +?+Cj j 1=2j-1 种情形,


0

1

2

????8 分 同理可得,集合 P={1,2,?,i}中其它任一元素均有(2j-1)种情形, 根据分步乘法原理得,aij=(2j-1)i. ????10 分

23.在数列 {an } 和 {bn } 中, an ? a n , bn ? (a ? 1)n ? b , n ? 1, 2,3,? ,其中 a ? 2 且 a ? N ,
*

b ? R . 设 A ? {a1 , a2 , a3 ,?} , B ? {b1 , b2 , b3 ,?} , 试 问 在 区 间 [ 1 a , ] 上是否存在实数 b 使得

C ? A? B? ? .若存在,求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C ;若不存在,试说明理由.
23.解:设存在实数 b ?[1, a] ,使 C ? A ? B ? ? , 设 m0 ? C ,则 m0 ? A ,且 m0 ? B , 设 m0 ? at (t ? N* ) , m0 ? (a ? 1)s ? b(s ? N* ) , 则 at ? (a ? 1)s ? b ,所以 s ?

at ? b , a ?1
……4 分

因为 a, t , s ? N* ,且 a ? 2 ,所以 a t ? b 能被 a ? 1 整除. (1)当 t ? 1 时,因为 b ?[1, a] , a ? b ? [0, a ? 1] , 所以 s ?

a ?b ? N* ; a ?1

……5 分

(2)当 t ? 2n n ? N* 时,
1 a2n ? b ? [(a ? 1) ? 1]2n ? b ? (a ? 1)2n ? ? ? C2 n (a ? 1) ? 1 ? b ,

?

?

由于 b ? [1, a] ,所以 b ? 1? [0, a ? 1] , 0 ? b ? 1 ? a ? 1 , 所以,当且仅当 b ? 1 时, a t ? b 能被 a ? 1 整除. (3)当 t ? 2n ? 1 n ? N* 时, ……7 分

?

?

1 a2n?1 ? b ? [(a ? 1) ? 1]2n?1 ? b ? (a ? 1)2n?1 ? ? ? C2 n ?1 (a ? 1) ? 1 ? b ,

由于 b ?[1, a] ,所以 b ? 1? [2, a ? 1] , 所以,当且仅当 b ? 1 ? a ? 1 ,即 b ? a 时, a t ? b 能被 a ? 1 整除. .……9 分 综上,在区间 [1, a] 上存在实数 b ,使 C ? A ? B ? ? 成立, 当 b ? 1 时, C ? {y y ? a2n , n ? N*} ; 当 b ? a 时, C ? {y y ? a2n?1 , n ? N*} . ……10 分

23.(1)设 x ? ?1 ,试比较 ln(1 ? x) 与 x 的大小; (2)是否存在常数 a ? N ,使得 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 对任意大于1 的自然数 n 都成立?若存在,试求 ? n k ?1 k

出 a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 23. 解:(1)设 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 f '( x) ? 1 ?

1 x , ? 1? x x ?1

当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 故函数 f ( x) 有最小值 f (0) ? 0 ,则 ln(1 ? x) ? x 恒成立; (2)取 m ? 1, 2,3, 4 进行验算: 1 (1 ? )1 ? 2 , 1 1 9 (1 ? )2 ? ? 2.25 , 2 4 1 64 (1 ? )3 ? ? 2.37 , 3 27 1 625 (1 ? )4 ? ? 2.44 , 4 256 1 猜测:① 2 ? (1 ? )m ? 3 , m ? 2,3, 4,5,? , m 1 n 1 ②存在 a ? 2 ,使得 a ? ? (1 ? ) k ? a ? 1 恒成立. n k ?1 k 证明一:对 m ? N ,且 m ? 1 , 1 0 1 1 2 1 2 k 1 k m 1 m 有 (1 ? )m ? Cm ? Cm ( ) ? ?Cm ( ) ? ? ? Cm ( ) ? ? ? Cm ( ) m m m m m m ? m ? 1? 1 2 m ? m ? 1??? m ? k ? 1? 1 k m ? m ? 1?? 2 ? 1 1 m ?1?1? ? ( ) ??? ( ) ??? ( ) 2! m k! m m! m 1? 1? 1? 1 ?? 2 ? ? k ?1? 1 ? 1 ? ? m ?1? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ? 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ?? ? ?? 2! 3! k! m! 1 1 1 1 ?2? ? ??? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ? 1 ? 3? ? 3. m 1 k 1 k 又因 Cm ( ) ? 0 ? k ? 2,3,4,?, m? ,故 2 ? (1 ? )m ? 3 , m m n 1 k 1 n 1 从而有 2n ? ? (1 ? ) ? 3n 成立,即 a ? ? (1 ? ) k ? a ? 1 . k n k ?1 k k ?1
1 n 1 ? (1 ? k )k ? a ? 1 恒成立. n k ?1 证明二:由(1)知:当 x ? (0,1] 时, ln(1 ? x) ? x ,

所以存在 a ? 2 ,使得 a ?

1 , k ? 1, 2,3, 4,? , k 1 1 1 1 1 则 ln(1 ? ) ? ,所以 k ln(1 ? ) ? 1 , ln(1 ? )k ? 1 , (1 ? )k ? e ? 3 , k k k k k 当 k ? 2 时,再由二项式定理得: 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? )k ? Ck0 ? Ck ( ) ? Ck2 ( )2 ? ? ? Ckk ( )k ? Ck0 ? Ck ( )?2, k k k k k 1 k 即 2 ? (1 ? ) ? 3 对任意大于 1 的自然数 k 恒成立, k n 1 1 n 1 从而有 2n ? ? (1 ? )k ? 3n 成立,即 a ? ? (1 ? ) k ? a ? 1 . k n k k ?1 k ?1
设x? 所 以存在 a ? 2 ,使得 a ?
1 n 1 (1 ? ) k ? a ? 1 恒成立. ? n k ?1 k

2.(附加)已知集合 A ? ?1,2,3,?,2n? (n ? N * ) .对于 A 的一个子集 S,若存在不大于 n 的正整数 m,使得对 于 S 中的任意一对元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ? m ,则称 S 具有性质 P . (1)当 n ? 10 时,试判断集合 B ? ?x x ? A, x ? 9? 是否具有性质 P?并说明理由; (2)若集合 S 具有性质 P ,试判断集合 T ? ?t t ? (2n ? 1) ? x, x ? S? )是否一定具有性质 P ?并说明理由. 解:(1) n ? 10 时, A ? {1, 2,3,?20}, B ? {10,11,12,?20}, B 不具有性质 P ,理由如下:

?m ? 10 (m ? N* ), ?b1 ? 10 ? B, b2 ? 10 ? m ? B 使 b1 ? b2 ? m 成立,? B 不具有性质 P .
(2) T 具有性质 P .证明如下: ① ?t ? T , t ? 2n ? 1 ? x.

x?S ? ? ? x ? A ? 1 ? x ? 2n ? S ? A?

1 ? 2n ? 1 ? x ? 2n ? t ? A ? T ? A. ② ?t ?T , t ? 2n ? 1 ? x , x ? S (i ? 1,2), i i i i
? S 具有性质 P ?? 正整数 m ? n 使 x1 ? x2 ? m, 从而, t1 ? t2

? (2n ? 1 ? x1 ) ? (2n ? 1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? m, 由①,②, T 具有性质 P .

23. 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 , an? 2 ?

2 an ? an ?1 ? 1?

a ?1
2 n

(n≥ 1, n ? N ) .

*

(1)求 an ?1 与 a n 之间的递推关系式 an ?1 ? f (an ) ;
2 2 (2)求证:当 n≥2 时, 2 ? an ? an 3; ?1≤

(3)求 a2011 的整数部分. 【解析】 (1)易知,对一切 n≥1,an ? 0. 由 an? 2 ?
an ? 2 an ?1 an an ?1 ? 2 ,整理得 2 an an ? 1 ?1 ? 1
2 an ? an ?1 ? 1? 2 an ?1

可知:

an ? 2 an ?1 ? 1 an ?1

?

an ?1 . 1 an ? an

依次利用上述关系式,可得
an?1 an an ?1 a2 2 ? ? ??? ? ?1, 1 1 1 1 1 an ? an ?1 ? an ? 2 ? a1 ? 1? an an ?1 an ? 2 a1 1

从而 an ?1 ? an ?

1 . an 1 可知数列递增,则对一切 n≥1 ,有 an≥1 成立, an

(2)由 a1 ? 1 及 an ?1 ? an ? 从而 0 ?
1 ≤1 . an 2

? 1 ? 1 2 ? a 2 当 n≥2 时, an ? n ?1 ? a ? ? an ?1 ? a 2 ? 2 , n ?1 ? n ?1 ?
2 2 ? an 于是 an ?1 ?

2

1 ?2, 2 an ?1

所以

2 2 2 ? an ? an 3. ?1≤

2 2 ? an (3)当 n≥2 时, an ?1 ?

1 ?2, 2 an ?1

2 an ?

1 1 ? ? ? 2 ? 2(n ? 1) . 2 an a ?1 1

2 2 2 a12 ? 1 ,a2 ? 4,a3 ? 6 ,则当 n≥3 时,有 an ? 2n ,
2 a2011 ?

1 a
2 2010

???

1 ? 2(2011 ? 1) ? 4020 ? 3969 ? 632 , a12

2 a2011 ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2(2011 ? 1) ? 4020 ? 2 ? ? ? 2 2 a2010 a1 a1 a2010

1 1 1 1 ? 4021 ? 1 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 4020 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2010 1 4 6 2 ? 2010

?

?

?? ?? ? ? ? 4021 ? 1 ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ?? ? 2 ? 2? 2 40 40 200 200 ?
? 4021 ? 1 ?1 1 1 ? ? 38 ? ? 160 ? ? 1811? ? 2 ?2 40 200 ?

? 4021 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 2 3 ? 2? 39 40 199 200 2010 ?

? 4021 ?

1 ?19 ? 4 ? 10? ? 4038 ? 4096 ? 642 . 2

所以 63 ? a2011 ? 64 ,即 a2011 的整数部分为 63.

2 k 23. 已知 n 是不小于 3 的正整数, an ? ? kC k n , bn ? ? k C n . k ?1 k ?1

n

n

(1) 求 a n , bn ; (2) 设 cn ?
n an ,求证: ? ? ck ck ?1 ? ? 2 bn k ?1 n

k 2 n ? C1 【解析】(1) an ? ? kCn n ? 2C n ? ? ? nC n , k ?1

k ?1 因为 kCk n ? nCn ?1 ,所以

1 n ?1 0 1 n?1 n?1 .?3 分 an ? nC0 n ?1 ? nCn ?1 ? ? ? nCn ?1 ? n Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? n ? 2 k k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?2 k ?1 因为 k 2Ck n ? k ? kCn ? k ? nCn ?1 ,而 kCn ?1 ? ? k ? 1? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? n ? 1? Cn ? 2 ? Cn ?1 (k ≥ 2) ,
k k ?2 k ?1 k ?2 k ?1 ? n ? ?? 所以, bn ? ? k 2 Cn ? n ? n ? 1? Cn ? 2 ? nCn ?1 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? Cn ? 2 ? n? Cn ?1 k ?1 k ?2 k ?2 k ?2 n n n n

?

?

? n ? n ? 1? ? 2n?2 ? n ? 2n?1 ? n ? n ? 1? ? 2n?2 .
(2) cn ?
n

an n ? 2n ?1 2 ? ? , n?2 bn n(n ? 1) ? 2 n ?1
n

所以 ? ? ck ck ?1 ? ? 4?
k ?1 k ?1

1 ? 4 1 ? 1 ? 2. ? k 1? 1 ? k ? ?2 n ? 2? 2?
m n

23.设 m, n ? N , f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) , (1)当 m ? n ? 7 时, f ( x) ? a7 x7 ? a6 x6 ? ?? a1x ? a0 求 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ; (2)当 m ? n 时, f ( x ) 展开式中 x 的系数是 20,求 n 的值;
2

(3) f ( x ) 展开式中 x 的系数是 19,当 m , n 变化时,求 x 系数的最小值. 23.解:(1)赋值法:分别令 x ? 1 , x ? ?1 ,得 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 128 -----2 分 (2) T3 ? 2Cn x ? 20x ,? n ? 5 ------------------------6 分
2 2 2
2 (3) m ? n ? 19 , x 的系数为: Cm ? Cn ?
2 2

2

1 1 m(m ? 1) ? n(n ? 1) 2 2

1 19 323 ? [(m ? n) 2 ? 2mn ? (m ? n)] ? 171 ? mn ? 171 ? (19 ? n)n ? (n ? ) 2 ? 2 2 4 2 所以,当 n ? 10 或 n ? 9 时, f ( x ) 展开式中 x 的系数最小,为 81.----10 分
22. 已知 f ( x) ? ( x ? 2) 5 (1) 求 f ( x) 展开式中含 x 项的系数; (2) 若 f ( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 . 求① a n ;② a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 .
r 5?r 2.(1) Tr ?1 ? C5 x (?2)r ,…………………………………………………2 分

令 r ? 4 ,求得 f ( x ) 展开式中含 x 的系数为 80,…………………………4 分 (2)令 x ? 0, a0 ? ?32 ;……………………………7 分

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 243 .……………………………10 分

22. 已知 ( x ?

1 2 x

)n 展开式的第二项与第三项的系数相等.求:

(1) n 的值; (2)展开式中所有的有理项.

22. Tr ?1 ? C x
r n

n ?r

1 r n? 32r ( ) ? C ( ) x (r ? 0,1, 2, ???, n) 2 2 x 1
r r n
1

(1)由题意, Cn ( ) ? Cn ( ) ,解得 n ? 5 ;
1 2 2

1 2

1 2

(2) Tr ?1 ? C5 ( ) x
r r

1 2

5?

3r 2

(r ? 0,1, 2,3, 4,5) ,当 r ? 0, 2, 4 时为有理项,
1 2 5 2 1 5 x , T5 ? C54 ( ) 4 x ?1 ? . 2 2 16 x

即 T1 ? C5 ( ) x ? x , T3 ? C5 ( ) x ?
0 0 5 5 2 2 2

1 2

24.(本题满分 10 分) 观察下面一组组合数等式: 1? Cn ? n ? Cn?1 ;
1 0
2 1 2 ? Cn ? n ? Cn ?1 ; 3 2 3 ? Cn ? n ? Cn ?1 ;

…… …… (1)由以上规律,请写出第 k (k ? N ) 个等式并证明;
*

(2)若随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布,即 X ~ B(n, p) , ①求随机变量 X 的数学期望; ②当 n ? 2 时,求证 24.(1) k ? Cn ? n ? Cn?1 ;
k k ?1

?k C
2 k ?1

n

k n

p k ? np(1 ? np)(1 ? p)n?2 .

证明过程 (2)①由二项分布得: EX ? 1? Cn p(1 ? p)
1 n?1 2 n n ? 2 ? Cn p(1 ? p)n?2 ? ?? n ? Cn p

0 n?1 1 n ?2 n?1 n ? n ? Cn ? n ? Cn .... ? n ? Cn ?1 p(1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p 0 n?1 1 n ?2 n?1 n?1 ? np[Cn ? Cn .... ? Cn ] ?1 (1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p

? np(1 ? p ? p) n?1 ? np ;
②因为 k Cn ? k ? kCn ? k ? nCn?1 ,
2 k k k ?1

而 kCn?1

k ?1

?1 k ?1 k ?2 k ?1 ? ? k ? 1? Ck n ?1 ? Cn ?1 ? ? n ? 1? Cn ? 2 ? Cn ?1 (k ≥ 2) ,
2 k k k ?2 k ?1 k

所以, k Cn p ? [n(n ? 1)Cn ?2 ? nCn ?1 ] p
n

?2 k ?2 ?1 k ?1 ? np ? Ck ? k 2Ckn pk ? n ? n ? 1? p 2 ? Ckn? 2p n ?1 p
k ?1

n

n

k ?2

k ?1

? n ? n ? 1? p2 (1 ? p)n?2 ? np(1 ? p)n?1 ? np(1 ? np)(1 ? p)n?2 .
2. 已知 n 是不小于 3 的正整数, a n ?

? kCnk ,求 an
k ?1

n

k an ? ? kCn ? n ? 2 n?1 k ?1

n

20.解:(1)因为 ( x2 ? x ? 1)2 ? x4 ? 2 x3 ? 3 x2 ? 2 x ? 1 ,
0 1 2 3 4 所以 D2 ? 1, D2 ? 2, D2 ? 3, D2 ? 2, D2 ? 1.

?????????4 分

m?1 m ? N , n ? N ) ,三项式系数有如下性质: (2)类比二项式系数性质 Cm ? Cm n ?1 ? Cn n (1 ? m ? n ,

m?1 m?1 m m?1 Dn ? Dn ? Dn ,(1 ? m ? 2n ? 1). ?1 ? Dn

??????????6 分

因为 (1 ? x ? x2 )n?1 ? (1 ? x ? x2 ) ? (1 ? x ? x2 )n ,
0 1 2 2 r r 2 n ?1 2 n ?1 2 n 2n 所以 (1 ? x ? x2 )n?1 ? (1 ? x ? x2 ) ? (Dn ? Dn x ? Dn x ? ? ? Dn x ? ? ? Dn x ? Dn x ).

m ?1 上式左边 x m ?1 的系数为 Dn ?1 ,

m ?1 m m ?1 而上式右边 x m ?1 的系数为 Dn , ? Dn ? Dn

由 (1 ? x ? x2 )n?1 ? (1 ? x ? x2 ) ? (1 ? x ? x2 )n 为恒等式,得
m?1 m?1 m m?1 Dn ? Dn ? Dn ,(1 ? m ? 2n ? 1). ?1 ? Dn

???????????10 分

(3) (1 ? x ? x2 )2014 ? ( x ? 1)2014
0 1 2 r 4027 4027 4028 4028 ? ( D2014 ? D2014 x ? D2014 x2 ? ? ? D2014 xr ? ? ? D2014 x ? D2014 x )? 2014 2013 2 2011 r 2013 2014 (C0 ? C1 ? C2014 x2012 ? C3 ? ? ? (?1)r C2014 x2014 ? r ? ? ? C2014 x ? C2014 ), 2014 x 2014 x 2014 x

?????????????12 分
0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 其中 x2014 系数为 D2014 C0 2014 ? D2014 C2014 ? D2014 C2014 ? D2014 C2014 ? ? ? D2014 C2014 ,

又 (1 ? x ? x2 )2014 ? ( x ? 1)2014 ? ( x3 ? 1)2014 ,
3 2014 ? r 而二项式 ( x3 ? 1)2014 的通项 Tr ?1 ? Cr , 2014 ( x )

????????????14 分

因为 2014 不是 3 的倍数,所以 ( x3 ? 1)2014 的展开式中没有 x2014 项, 由代数式恒成立,得
0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 D2014 C0 ????16 分 2014 ? D2014 C2014 ? D2014 C2014 ? D2014 C2014 ? ? ? D2014 C2014 =0.

23. 假设位于正四面体 ABCD 顶点处的一只小虫,沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行,记小虫沿棱从 一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行,小虫第一次爬行由 A 等可能地爬向 B、C、D 中的任意一点,每二 次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点,如此一直爬下去,记第 n (n ? N ) 次爬行小
*

虫位于顶点 A 处的概率为 p n .

(1)求 p1 , p2 , p3 的值,并写出 p n 的表达式(不要求证明);
1 2 3 n (2)设 S n ? p1Cn ? p2Cn ? p3Cn ? .... ? pn Cn (n ? N * ) ,试求 S n (用含 n 的式子表示)。

23.(本小题满分 10 分) 已知整数 n ≥4,集合 M ? ?1, 2,3, ???, n? 的所有 3 个元素的子集记为 A1 , A2 , ???, AC3 .
n

(1)当 n ? 5 时,求集合 A1 , A2 , ???, AC3 中所有元素之和.
5

(2)设 mi 为 Ai 中的最小元素,设 P n = m1 ? m2 ? ??? ? mC 3 ,试求 P n.
n

2 23.(1)解:当 n ? 5 时,含元素 1 的子集有 C4 ? 6 个,同理含 2,3, 4,5 的子集也各有 6 个, 2 于是所求元素之和为 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? C4 ? 6 ?15 ? 90 ……………………………………………5 分 2 (2)证明:不难得到 1 ? mi ? n ? 2, mi ? Z ,并且以 1 为最小元素的子集有 Cn ?1 个,以 2 为最小元素的 2 2 2 n ? 2 为最小元素的子集有 C2 子集有 Cn 个, ?2 个,以 3 为最小元素的子集有 Cn?3 ,…,以
2 2 2 2 则 Pn ? m1 ? m2 ? ? ? mC 3 ? 1? Cn ?1 ? 2Cn ? 2 ? 3Cn ?3 ? ? ? (n ? 2)C2 ………………………………8 分
n

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (n ? 2)C2 ? (n ? 3)C3 ? (n ? 4)Cn ? ?? Cn ?1 ? C2 ? (n ? 3)(C2 ? C3 ) ? (n ? 4)C4 ? ?? Cn?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ? C2 ? (n ? 3)(C3 ? C3 ) ? (n ? 4)C4 ? ?? Cn ?1 ? C2 ? (n ? 3)C4 ? (n ? 4)C4 ? ? ? Cn?1 2 3 3 2 2 2 3 3 2 ? C2 ? C4 ? (n ? 4)(C4 ? C4 ) ? ?? Cn ?1 ? C2 ? C4 ? (n ? 4)C5 ? ? ? Cn?1 4 3 3 3 4 ? C4 ? C4 ? C5 ? ?? Cn ? Cn ?1 ……………………………………………………………………10 分

23.(本小题满分10分)

设 m 是给定的正整数,有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )中 ai ? 2 或 ?2 (1 ? i ? 2m) . (1)求满足“对任意的 1 ? k ? m , k ? N * ,都有

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 A ; a2 k

(2) 若对任意的 1 ? k ? l ? m ,k ,l ? N * , 都有 |

i ? 2 k ?1

?

2l

ai |? 4 成立,求满足“存在 1 ? k ? m , 使得

a2 k ?1 ? ?1 ” a2 k

的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 B 23.解:(1)因为对任意的 1 ? k ? m ,都有

a2 k ?1 ? ?1 ,则 (a2k ?1 , a2 k ) ? (2, ?2) 或 (a2k ?1 , a2k ) ? (?2, 2) , a2 k
………5 分
m?1 ,所有共有 2c1 ; m2 2

共有 2 种,所以 (a1 , a2 , a3 , ? ? ?, a2 m ) 共有 2m 种不同的选择,所以 A ? 2m .

2 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2c1 m 种,其余的由(1)知有
当存在二个 k 时,因为条件对任意的 1 ? k ? l ? m ,都有 | 其余的由(1)知有 2
m?2
i ? 2 k ?1

m ?1

?

2l

ai |? 4 成立得这两组共有 2cm ,

2 m? 2 ,所有共有 2cm 2 ;……,

m?1 2 m?2 m 依次类推得: B ? 2c1 ? 2cm 2 ???? ? 2cm ? 2(3m ? 2m ) . m2

………10 分

23.(本小题满分 10 分) 已知非空有限实数集 S 的所有非空子集依次记为 S1,S2,S3,??,集合 Sk 中所有元素的平均 值记为 bk.将所有 bk 组成数组 T:b1,b2,b3,??,数组 T 中所有数的平均值记为 m(T). (1)若 S={1,2},求 m(T); (2)若 S={a1,a2,?,an}(n∈N*,n≥2),求 m(T). 3 解:(1)S={1,2}的所有非空子集为:{1},{2},{1,2},所以数组 T 为:1,2, . 2 3 1+2+ 2 3 因此 m(T)= = . 3 2

???????????????3 分

(2)因为 S={a1,a2,?, an},n∈N*,n≥2,
1 2 n-1 1) ?ai+( Cn-1) ?ai+?+( Cn-1) ?ai ?ai+(2Cn- 3 n

n

1

n

1

n

1

n

i=1

i=1

i=1

i=1

所以 m(T)=

2 3 n C1 n+Cn+Cn+?+Cn

1 1 1 2 1 n-1 1+ Cn- 1+ Cn-1+?+ Cn-1 n 2 3 n = ai . ? 1 2 3 n Cn+Cn+Cn+?+Cn i=1

???????????????6 分

(n-1)! (n-1)! 1 k-1 1 1 n! 1 k 又因为 Cn -1= · = = · = Cn ,???????????8 分 k k (k-1) ! (n-k) ! k ! (n-k) ! n (n-k) ! k! n

1 1 1 2 1 3 1 Cn+ Cn+ Cn+?+ Cn n n n n n n 1n 所以 m(T)= ai= ?ai.???????????????10 分 ? 1 2 3 n ni=1 Cn+Cn+Cn+?+Cn i=1

2.记集合 S ? ?1,2,?, n? ,若 a , b 满足① a, b ? S ;② 0 ? a ? b ? t 或者 b ? a ? t ,则称 a ? b .
t

(1)若 n ? 5 ,求集合 S 中有多少组 (a, b, c) 满足 a ? b, b ? c, c ? a ?
2 2 2

(2)若 n ? 19 ,求集合 S 中有多少组 (a, b, c) 满足 a ? b, b ? c, c ? a ?
9 9 9

1 19 ○ 2 ○ 18 ○ ○ 3 ○ 17 ○ 4 16 ○ ○ 15 ○ 5 ○ 14 ○ 6 ○ 13 ○ 7 ○ 12 ○ 8 11 ○ ○ 9 10 ○ ○

2.解:⑴当 a ? 1 时,由题意知, (b, c ) 的取值为 (4, 2),(4,3),(5,3) 共 3 种, 而 a 可取 ?1,2,3,4,5? 中的任意元素,即共有 5 种取法,

? 集合 S 中共有 15 组 (a, b, c) 满足 a ? b, b ? c, c ? a ;--------4 分
2 2 2

⑵如图,将集合 S 中的 19 个数按逆时针顺序写在一个圆周上。 则 a ? b 表示 b 在 a 前面的(逆时针方向)的 9 个数之一;
9

由此我们得到:对于一个确定的 a , b 是 a 前面的(逆时针方向)的 9 个数之一,

c 是 a 前面的(顺时针方向)的 9 个数之一;
再由 b ? c ,知共有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 9 ? 45 组。
9

? 集合 S 中有 45 ?19 ? 855 组 (a, b, c) 满足
a ? b, b ? c, c ? a 。----------10 分
9 9 9

1 19 ○ 2 ○ 18 ○ ○ 3 ○ 17 ○ 4 16 ○ ○ 15 ○ 5 ○ 14 ○ 6 ○ 13 ○ 7 ○ 12 ○ 8 11 ○ ○ 9 10 ○ ○

已知 f n ( x) ? (1 ? x) n , (1)若 f2011 ( x) ? a0 ? a1x ? ?? a2011x2011 ,求 a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 的值;(3 分) (2)若 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g ( x) 中含 x 项的系数;(3 分)
6

? (m ? 1)n ? 1? m?1 .(4 分) (3)证明: C m ? 2C m ? 3C m ? ? ? nC m ?? C m?n m m ?1 m? 2 m ? n ?1 ? m?2 ? ?
解:(1)因为 又

f n ( x) ? (1 ? x) n ,所以 f2011 ( x) ? (1 ? x)2011 ,

f2011 ( x) ? a0 ? a1x ? ?? a2011x2011 , f2011 (1) ? a0 ? a1 ? ?? a2011 ? 22011
(1)

所以

f2011 (?1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2010 ? a2011 ? 0 (2)
(1)-(2)得: 所以:

2(a1 ? a3 ??? a2009 ? a2011 ) ? 22011
…………………3 分

a1 ? a3 ??? a2009 ? a2011 ? f2011 (1) ? 22010

(2)因为

g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,所以 g ( x) ? (1 ? x)6 ? 2(1 ? x)7 ? 3(1 ? x)8
…………………6 分 (1)

6 6 g ( x) 中含 x 6 项的系数为 1 ? 2 ? C7 ? 3C8 ? 99

(Ⅲ)设 h( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x)
m
m

m?1

? ? ? n(1 ? x)m?n?1

则函数 h( x) 中含 x 项的系数为

m m m Cm ? 2 ? Cm ?1 ? ? ? nCm?n?1

…………………7 分

(1 ? x)h( x) ? (1 ? x)m?1 ? 2(1 ? x)m?2 ? ? ? n(1 ? x)m?n
(1)-(2)得 ? xh( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x)
m m?1

(2)

? (1 ? x)m?2 ? ? ? (1 ? x)m?n?1 ? n(1 ? x)m?n

(1 ? x)m [1 ? (1 ? x)n ] ? xh( x) ? ? n(1 ? x)m?n 1 ? (1 ? x)

x2h( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)m?n ? nx(1 ? x)m?n
h( x) 中含 x m 项的系数,即是等式左边含 x m? 2 项的系数,等式右边含 x m? 2 项的系数

?
m? 2 m ?1 ?Cm ? n ? nCm ? n ? ?

(m ? n)! n(m ? n)! ? (m ? 2)!(n ? 2)! (m ? 1)!(n ? 1)!

?(n ? 1) ? n(m ? 2) (m ? n)! (m ? 1)n ? 1 m?1 ? ? Cm? n m?2 (m ? 1)!(n ? 1)1 m?2

m m ? C m ? 2 ? Cm ?1 ? ? ? nCm?n?1 所以 m

(m ? 1)n ? 1 m?1 Cm? n m?2

…………………10 分

23.(本小题满分 10 分)

* 0 1 2 m m 设 Sn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? (?1) Cn ? m ,m, n ? N 且 m ? n ,其中当 n 为偶数时,m ?

n ;当 n 为奇数时, 2

m?

n ?1 . 2

(1)证明:当 n ? N* , n ≥ 2 时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ; (2)记 S ?

1 1 1 1 1 0 1 2 3 1007 ,求 S 的值. C2014 ? C2013 ? C2012 ? C2011 ??? C1007 2014 2013 2012 2011 1007
n ?1 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 2 Cn? 1, 2

23.解:(1)当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, n ? 1 为偶数,
0 1 ∵ Sn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? ? ? (?1) 0 1 2 Cn? 1 , S n ? Cn ? Cn ?1 ? ? ? ( ?1) 2

0 1 Sn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? (?1)

n ?1 2

n ?1 2 Cn? 1 , 2

0 0 1 1 ∴ Sn ?1 ? Sn ? (Cn ?1 ? Cn ) ? (Cn ? Cn ?1 ) ? ? ? (?1)

n ?1 2

2 2 (C n ? ? Cn? 1 1 ) ? (?1) 2 ?1 2

n ?1

?1

n ?1

n ?1 2

n ?1 2 Cn? 1 2

0 1 = ?(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? (?1)

n ?1 2

2 Cn? 1 ) ? ? S n ?1 . 2

n ?1

∴当 n 为奇数时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 成立. 同理可证,当 n 为偶数时, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 也成立. (2)由 S ?

???????5 分 ???????6 分

1 1 1 1 1 0 1 2 3 1007 ,得 C2014 ? C2013 ? C2012 ? C2011 ??? C1007 2014 2013 2012 2011 1007 2014 1 2014 2 2014 3 2014 1007 C2013 ? C2012 ? C2011 ? ? ? C1007 2013 2012 2011 1007 1 2 3 1007 1007 1 2 2 3 3 1007 C2013 ) ? (C2012 ? C2012 ) ? (C2011 ? C2011 ) ? ? ? (C1007 ? C1007 ) 2013 2012 2011 1007

0 2014S ? C2014 ?

0 1 = C2014 ? (C2013 ?

0 1 2 1007 0 1 2 1006 = (C2014 ? C2013 ? C2012 ? ? ? C1007 ) ? (C2012 ? C2011 ? C2010 ? ? ? C1006 )

= S2014 ? S2012 . 又由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ,得 Sn? 6 ? Sn , 所以 S2014 ? S2012 ? S4 ? S2 ? ?1 , S ? ?

???????9 分

1 . 2014

???????10 分

23.(1)求证: n ? N * 时, ( 5 ? 2) 2n?1 ?( 5 ? 2) 2n?1 为正整数; (2)设 ( 5 ? 2)
2 n ?1

? m ? ? (m, n ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? )

? 1.

23.已知 fn(x)=(1+2 x)n,n∈N*. (1) 若 g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x),求 g(x)中含 x2 项的系数; (2) 若 pn 是 fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{an}是各项都大于 1 的数组成的数列,试 用数学归纳法证明:
(1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) ? pn . a1a2 ? an ? 1

23.设二项展开式 C n ?

?

3 ?1

?

2 n ?1

(n∈N*)的小数部分为 Bn .

(1)计算 C1 B1 , C2 B2 的值; (2)求证: Cn Bn ? 22n?1 .

23.六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子. (1)共有多少种不同的骰子; (2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V. 在所有的 骰子中,求 V 的最大值和最小值.

23.我们知道,对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同可以构造等式,这是一种非常有用的思想方 法——“算两次”(G.Fubini 原理),如小学有列方程解应用题,中学有等积法求高 ??? 请结合二项式定理,利用等式 (1 ? x)n ? (1 ? x)n ? (1 ? x)2n (n ? N*) 证明:
2 n (1) ? (Cr n ) ? C2 n ; r ?0 n m?r ) ? Cm (2) ? (C r n Cn 2n . r ?0 m

23.命题立意:本题主要考查二项式定理等基础知识,考查推理论证能力.

证明:(1)考虑等式 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? , 等式左边 xn 的系数是
n n 2n
n 1 n ?1 2 n?2 n 0 1 n r C0 ? Cn Cn ? ? ? Cn C n ? ? C0 n Cn ? Cn Cn n ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? = ? ? C n ? , 2 2 2

n

2

r ?0 2

n 等式右边 xn 的系数是 C n 根据对应项系数相等得, ? ? Cr n ? = C 2 n .(5 分) 2n ,
r ?0

n

(2)仍考虑等式 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ,
n n 2n
r m?r m 1 m ?1 2 m?2 0 等式左边 x m 的系数是 C0 ? Cn Cn ? ? ? Cm ?, n Cn ? Cn Cn n Cn = ? ? C n C n r ?0 m?r 根据对应项系数相等得, ? ? Cr ? = Cm n Cn 2 n .(10 分) r ?0 m m

等式右边 x m 的系数是 C m 2n ,

23.设等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差 d( d ? N* ),m 为数列 ?an? 中的项.

? 的展开式中是否含有常数项?并说明理由; (2)证明:存在无穷多个 d,使得对每一个 m, ? x ? 1 ? 的展开式中均不含常数项. x
(1)若 d=3,试判断 x ? 1 x
m m

?

23.命题立意:本题主要考查二项式定理,考查探究与推理论证的综合能力. (1)解:因为 ?an ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 .(2 分) 假设 x ? 1 x
r m?r Tr ?1 ? Cm x

?

? 的展开式中的第 r+1 项为常数项( r ? N ), r ?0. ? 1x ? ? C ? x ,于是 m ? 3 2
m r r m m? 3 r 2

设 m ? 3n ? 2 n ? N* ,则有 3n ? 2 ? 3 r ,即 r ? 2n ? 4 ,这与 r ? N 矛盾. 2 3 所以假设不成立,即 x ? 1 x

?

?

?

? 的展开式中不含常数项. (5 分)
m

(2)证明:由题设知 an= 1 ? (n ? 1)d ,设 m= 1 ? (n ? 1)d , 由(1)知,要使对于一切 m, x ? 1 x

?

? 的展开式中均不含常数项,
m

必须有:对于 n ? N* ,满足 1 ? (n ? 1)d ? 3 r =0 的 r 无自然数解, 2 即 r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? N . (8 分) 3 3 当 d=3k k ? N* 时, r ? 2d (n ? 1) ? 2 ? 2k (n ? 1) ? 2 ? N . 3 3 3 故存在无穷多个 d,满足对每一个 m, x ? 1 x 4.记 (1 ?

?

?

?

? 的展开式中均不含常数项.(10 分)
m

x x x )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ) 的展开式中, x 的系数为 an , x 2 的系数为 bn ,其中 n ? N * 2 2 2

(1)求 an (2)是否存在常数 p,q(p<q),使 bn ?

1 p q (1 ? n )(1 ? n ) ,对 n ? N * , n ? 2 恒成立?证明你的结论. 3 2 2

22.(本小题满分 10 分) 设 m, n ? N , f ( x) ? (1 ? 2x) ? (1 ? x) .
m n

(1)当 m ? n =2011 时,记 f ( x) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? a2011x2011 ,求 a0 ? a1 ? a2 ???? ? a2011 ; (2)若 f ( x ) 展开式中 x 的系数是 20,则当 m 、 n 变化时,试求 x 系数的最小值. 22.解:(1)令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ???? ? a2011 = (1 ? 2)2011 ? (1 ?1)2011 ? ?1 ………………………4 分
1 1 2 2 (2)因为 2Cm ? Cn ? 2m ? n ? 20 ,所以 n ? 20 ? 2m ,则 x 的系数为 22 Cm ? Cn
2 2

? 4?

m(m ? 1) n(n ? 1) 1 ? ? 2m2 ? 2m ? (20 ? 2m)(19 ? 2m) = 4m2 ? 41m ? 190 ……………7 分 2 2 2
2

所以当 m ? 5, n ? 10 时, f ( x ) 展开式中 x 的系数最小,最小值为 85…………………………10 分

3.若二项式 (

2 ? x ) n 的展开式中的常数项为第五项. 3 x

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项. 3.(1)? Tr ?1 ? Cn (
r

3

2 n?r ) ( x ) r , ……………………………1分 x

x 的指数为 ?
?( 3

n?r r ? ? 0 ,……………………………………………2分 3 2

2 ? x ) n 的展开式中的常数项为第五项,∴ r ? 4 ……………3 分 x

解得: n ? 10 . ………………………………………………4分 (2)?Tr ?1 ? C10 (
r

3

2 10?r r ) ( x )r ,其系数为 C10 ? 210?r .……………………5分 x
………………………6分

k k ?1 ? C10 ? 210? k ? C10 ? 29 ? k , k ? 1 设第 项的系数最大,则 ? k 10 ? k k ?1 ? C10 ? 211? k , ?C10 ? 2

化简得: ?

?2(k ? 1) ? 10 ? k , 8 11 即 ? k ? , ∴ k ? 3 ,………………8分 3 3 ? 11 ? k ? 2k ,
3 7 ? 5 6

即第四项系数最大, T4 ? C10 ? 2 ? x
*

? 15360 x 6 .………………………10分

?

5

23.设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N , n ? 2) , A, B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中的最大数小于 集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. (1)求 P2 , P 3 的值;

(2)求 P n 的表达式. 解:(1)当 n ? 2 时,即 S ? ?1,2? ,此时 A ? ?1? , B ? ?2? ,所以 P 2 ?1, ??????2 分

当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? ,若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? ,或 B ? ?3? ,或 B ? ?2,3? ; 若 A ? ?2? 或 A ? ?1,2? ,则 B ? ?3? ;所以 P 3 ? 5. ??????4 分

(2)当集合 A 中的最大元素为“ k ”时,集合 A 的其余元素可在 1, 2,?, k ? 1 中任取若干个(包含不取),
0 1 2 k ?1 k ?1 所以集合 A 共有 Ck 种情况, ?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ? ? Ck ?1 ? 2

??????6 分

此时,集合 B 的元素只能在 k ? 1, k ? 2,? ,n 中任取若干个(至少取 1 个),所以集合 B 共有
1 2 3 n ?k n ?k Cn ?1 种情况, ?k ? Cn?k ? Cn?k ? ? ? Cn?k ? 2

所以,当集合 A 中的最大元素为“ k ”时, 集合对 ( A, B) 共有 2k ?1 (2n?k ?1) ? 2n?1 ? 2k ?1 对, 当 k 依次取 1, 2,3,?, n ? 1 时,可分别得到集合对 ( A, B) 的个数,
n?1 求和可得 P ? (20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n?2 ) ? (n ? 2) ? 2n?1 ?1 . n ? (n ?1) ? 2

??????8 分

??????10 分

24.(本题满分 10 分) 从 1, 2,3,L , n 这 n 个数中取 m ( m, n ? N? , 3 ? m ? n ) 个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数 列的个数记为 f (n, m) . (1)当 n ? 6, m ? 3 时,写出所有可能的递增等差数列及 f (6,3) 的值; (2)求证: f (n, m) ?
( n ? m)(n ? 1) . 2( m ? 1)

24.【解析】(1)符合要求的递增等差数列为: 1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6;1,3,5,2,4,6,共 6 个. 所以 f (6,3) ? 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)设等差数列首项为 a1 ,公差为 d ,
am ? a1 ? (m ? 1)d , d ?

am ? a1 n ?1 ≤ , m ?1 m ?1



n ?1 n ?1 n ?1 n?m n ?1 ?1 ? t ≤ ?t≤ 的整数部分是 t ,则 ,即 . m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1

d 的可能取值为 1, 2, L , t ,

对于给定的 d , a1 ? am ? (m ? 1)d ≤ n ? (m ? 1)d , 当 a1 分别取 1, 2,3,L , n ? (m ? 1)d 时,可得递增等差数列 n ? (m ? 1)d 个. 所以当 d 取 1, 2, L , t 时,得符合要求的等差数列的个数
f (n, m) ? nt ? (m ? 1) ? t (t ? 1) m ? 1 2 2n ? m ? 1 ?? t ? t 2 2 2

m ? 1 2 2n ? m ? 1 n?m n ?1 ?t≤ t ? t, , m ?1 m ?1 2 2 n?m m ? 1 n ? m 2 2n ? m ? 1 n ? m ? (n ? m)(n ? 1) )?? ( ) ? ? 又 g( , 2( m ? 1) m ?1 2 m ?1 2 m ?1 n ?1 m ? 1 n ? 1 2 2n ? m ? 1 n ? 1 n ? m ? 2 n ? 1 g( )?? ( ) ? ? ? ? m ?1 2 m ?1 2 m ?1 2 m ?1 (n ? m)(n ? 1) n ? m ? 2 n ? 1 n?m n ?1 ? ? ? ?1 ? 0 , ) ? g( )? 且 g( 2(m ? 1) 2 m ?1 m ?1 m ?1 m?n n?m n ?1 ?t≤ ) 恒成立; 所以,当 时, g (t ) ? g ( m ?1 m ?1 m ?1
设 g (t ) ? ? 所以 f (n, m) ? g (t )

? g(

m ? n (n ? m)(n ? 1) )? m ?1 2(m ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

23. 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集. (1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数. 23.解:(1)110;
n

????????????????????????3 分
n n

(2)集合 M 有 2 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2 (2 ?1) 个.
* 若A ? ? B ,并设 B 中含有 k (1≤ k ≤ n, k ? N ) 个元素,则满足 A ? ? B 的有序

集合对 (A,B) 有

?C
k ?1

n

k n

k k k (2k ? 1) ? ? Cn 2 ? ? Cn ? 3n ? 2n 个 . ???????6 分 k ?0 k ?0

n

n

n n 同理,满足 B ? ? A 的有序集合对(A,B)有 3 ? 2 个.

???????8 分 合 对 (A,B) 的 个 数 为



















2n (2n ?1) ? 2(3n ? 2n ) ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n .

???????????10 分

2 ?n * 17.已知? ? x-x2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和;
3

(2)求展开式中含 x 2 的项;

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. C4 ?-2?4 10 n· 4 2 2 解:由题意知,第五项系数为 C4 · ( - 2) ,第三项的系数为 C · ( - 2) ,则有 = , n n C2 ?-2?2 1 n· 化简得 n2-5n-24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. 2 - ? r 8-r - 2?r=Cr (2)通项公式 Tr+1=Cr ( x)8 r· · ( - 2) · x -2r, 8· 8 ? x? 2 令
3 3 8-r 3 -2r= ,则 r=1.故展开式中含 x 2 的项为 T2=-16 x 2 2 2


(8 分)


1 r 1 (3)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为 Cr 2 ,Cr 2r , 8 · 8· 1 r 1 Cr 2 ,若第 r+1 项的系数绝对值最大, 8 ·
+ +

1 r 1 ?Cr 2 ≤Cr 2r , ? 8 · 8· 则? r+1 r+1 r r ? 2 ≤C8· 2, ?C8 ·
- -

解得 5≤r≤6.

(12 分)
-11

又 T6 的系数为负,∴系数最大的项为 T7=1 792x

.


由 n=8 知第 5 项二项式系数最大.此时 T5=1 120x 6. 19.设 f k ( x) ? sin 2k x ? cos2k x (x∈R), (1)求 f k ( x) 在 k=1,2,3 时的值域; (2)猜想 k∈ N ? 时 f k ( x) )的值域(结果用 k 表示); (3)对于(2)中的值域的结论,试用二项式定理给出证明. 解: (1)当 k=1,f1(x)=sin2x+cos2x=1,值域为 {1} . 1 当 k=2 时,f2(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1- sin22x. 2 1 ? ?1 ? ∵0≤sin22x≤1,∴f2(x)∈? ?2,1?.值域为?2,1? 当 k=3 时,f3(x)=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) 3 =1-3sin2xcos2x=1- sin22x.(也可用二项式定理) 4 1 ? 1 ∵0≤sin22x≤1,∴f3(x)∈? ?4,1?,值域为 [ 4 ,1] (2)猜想 k∈ N ? 时, f k ( x) 的值域为 [

1 ,1] ; 2k ?1

1 ? cos 2x k 1 ? cos 2 x k 1 (3) fk ( x) ? sin 2k x ? cos2k x ? ( ) ?( ) ? k [(1 ? cos 2 x)k ? (1 ? cos 2 x)k ] 2 2 2 ? 1 0 1 [Ck ? Ck2 cos2 2x ? Ck4 cos4 2x ? Ck6 cos6 2x?] ? 2 ? k ?1 [Ck0 ? Ck2 cos2 2x ? Ck4 cos4 2x ? Ck6 cos6 2x?] k 2 2

? cos2 2 x ?[0,1] ,
? cos2 2 x ? 0 时, f k ( x)min ?

1 2k ?1 1 [Ck0 ? Ck2 ? Ck4 ? Ck6 ?] ? 1 . k ?1 2

? cos2 2 x ? 1 时, f k ( x)max ?

f k ( x) 的值域为 [

1 ,1] ; 2k ?1

23.(本小题满分 10 分) 已知数集 A ? {a1 , a2 ,? ? ?, an } ,其中 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,且 n ? 3 ,若对 ?i, j ( 1 ? i ? j ? n ),

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P .
(Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a8 ?具有性质 P ,判断数列 a1 , a2 ,?, a8 是否为等差数列,若是等差数列, 请证明;若不是,请说明理由. 23.解:(Ⅰ)由于 3 ? 1 和 3 ? 1 都不属于集合 ?0,1,3?,所以该集合不具有性质 P ; 由于 2 ? 0 、 4 ? 0 、 6 ? 0 、 4 ? 2 、 6 ? 2 、 6 ? 4 、 0 ? 0 、 2 ? 2 、 4 ? 4 、 6 ? 6 都属于集合 ?0,2,4,6?, 所以该数集具有性质 P . ????????????????4 分

(Ⅱ)? A ? {a1 , a2 ,? ? ?, a8 } 具有性质 P ,所以 a8 ? a8 与 a8 ? a8 中至少有一个属于 A , 由 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a8 ,有 a8 ? a8 ? a8 ,故 a8 ? a8 ? A ,? 0 ? a8 ? a8 ? A ,故 a1 ? 0 .

? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a8 ,? a8 ? ak ? a8 ,故 a8 ? ak ? A(k ? 2,3,? ? ?,8) .
由 A 具有性质 P 知, a8 ? ak ? A(k ? 2,3,? ? ?,8) ,又? a8 ? a8 ? a8 ? a7 ? ? ? ? ? a8 ? a2 ? a8 ? a1 ,

? a8 ? a8 ? a1 , a8 ? a7 ? a2 ,? ? ?, a8 ? a2 ? a7 , a8 ? a1 ? a8 ,即 ai ? a9?i ? a8 (i ? 1,2,? ? ?,8)
由 a2 ? a7 ? a8 知, a3 ? a7 , a 4 ? a7 ,?,, a7 ? a7 均不属于 A , 由 A 具有性质 P , a7 ? a3 , a7 ? a 4 ,?,, a7 - a7 均属于 A ,

??①

? a7 ? a7 ? a7 ? a6 ? ? ? a7 ? a4 ? a7 ? a3 ? a8 ? a3 ,而 a8 ? a3 ? 6 , ? a7 ? a7 ? 0 , a7 ? a6 ? a2 , a7 ? a5 ? a3 ,?, a7 ? a3 ? a5 即 ai ? a8?i ? a7 (i ? 1,2,?,7) ??②
由①②可知 ai ? a8 ? a9?i ? a8 ? (a7 ? ai ?1 )(i ? 1,2,?,8) ,即 ai ? ai ?1 ? a8 ? a7 ( i ? 2,3,? ? ?,8 ).

故 a1 , a2 ,?, a8 构成等差数列. 23. 现有 7 首歌曲,每场演出演奏其中的 4 首 (1)每场有多少种不同的演奏方案;

??????????10 分

(2)为了使 7 首中的任意两首同场演出的次数都一样多,试问至少要安排多少场演出?说明理由,并给 出一种设计方案.(7 首歌曲可以编号为 1,2,3,4,5,6,7)
4 2 2 23.(1) A7 ? 840 ;(2)设至少安排 x 场演出,任意两首同场演出 y 次,则 xC4 ? yC7 ? 2x ? 7 y ,因为 2,7

互质,所以 xmin ? 7, y ? 2 方案如下:方案一:(1,2,3,4),(6,5,2,1),(3,4,5,6),(3,5,7,1),(4,7,5, 2),(6,2,3,7),(4,1,7,6) 方案二:(1,2,3,4),(6,5,2,1),(3,4,5,6),(1,3,7,6),(4,7,6,2) (5,2,3,7),(4,1,7,5)

23.(本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ?19 , bn ? 2n .将 {an } 与 {bn } 中的公共项按照 从小到大的顺序排列构成一个新数列记为 {cn } . (1)试写出 c1 , c 2 , c3 , c 4 的值,并由此归纳数列 {cn } 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 23. (1) c1 ? b1 ? a7 ? 21 , c2 ? b3 ? a9 ? 23 , c3 ? b5 ? a17 ? 25 , c4 ? b7 ? a48 ? 27 , 由此归纳: cn ? 22 n?1 .……………………………………………………………………………4 分 (2) 由 an ? bm ,得 n ?

2m ? 19 2m ? 1 ? ?6, 3 3

? n?6 ?

(3 ? 1)m ? 1 ,由二项式定理得 3
0 m 1 m ?1 2 m?2 m ?1 1 m Cm 3 ? Cm 3 (?1)1 ? Cm 3 (?1) 2 ? ? ? Cm 3 (?1) m?1 ? Cm (?1) m ? 1 , 3

? n?6 ?

? 当 m 为奇数时, n 有整数解, ? cn ? b2n?1 ? 22n?1 .……………………………………10 分
24.(本小题满分 10 分) 已 知 p( p ? 2 )是 给 定 的 某 个 正 整 数 , 数 列 {an } 满 足 : a1 ? 1,(k ? 1)ak ?1 ? p(k ? p)ak , 其 中

k ? 1, 2,3,?, p ? 1 .
(1)设 p ? 4 ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a p . 24.(1)由 (k ? 1) ak ?1 ? p( k ? p) ak 得

ak ?1 k?p , k ?1 , 2, 3, ?,p ?1 ? p? ak k ?1



a a2 4?2 8 4 ?1 ? ?4 ? ? ?6 , a2 ? ?6a1 ? ?6 ; 3 ? ?4 ? ? ? , a3 ? 16 a2 3 3 a1 2

a4 4?3 ? ?4 ? ? ?1 , a4 ? ?16 ; a3 4
(2)由 (k ? 1)ak ?1 ? p(k ? p)ak 得:

?3 分

ak ?1 k?p , k ?1 , 2, 3, ?,p ?1 ? p? ak k ?1



a a2 p ? 1 a3 p ? (k ? 1) p?2 , ,?, k ? ? p ? , ? ?p? ? ?p? a1 2 ak ?1 k a2 3 ak ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3)? ( p ? k ? 1) ? (? p)k ?1 ? a1 k!
( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3)? ( p ? k ? 1) k!

以上各式相乘得

?5 分

k ?1 ∴ ak ? (? p) ?

? (? p)k ?1 ?

( p ? 1)! (? p)k ?1 p! ? ? k !( p ? k )! p k !( p ? k )!
1 k C p (? p)k , k ? 1, 2, 3, ?,p 2 p

k ? ?(? p)k ?2 ? C p ??

?7 分

∴ a1 ? a2 ? a3 ? ?? a p

??

1 1 2 3 p p [C p (? p)1 ? C p (? p ) 2 ? C 3 p (? p ) ? ? ? C p (? p ) ] 2 p 1 [ ( 1 ?p p) ? 1 ] 2 p

? ?

? 10 分

23.(本题满分 10 分) (1)设 x ? ?1 ,试比较 ln(1 ? x) 与 x 的大小;

(2)是否存在常数 a ? N ,使得 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 对任意大于1 的自然数 n 都成立?若存在,试求 ? n k ?1 k

出 a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由。 23.解:(Ⅰ)设 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 f '( x) ? 1 ? 当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 故函数 f ( x ) 有最小值 f (0) ? 0 ,则 ln(1 ? x) ? x 恒成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分 (Ⅱ)取 m ? 1, 2,3, 4 进行验算:

1 x ? , 1? x x ?1

1 (1 ? )1 ? 2 1 1 9 (1 ? ) 2 ? ? 2.25 2 4 1 64 (1 ? )3 ? ? 2.37 3 27 1 625 (1 ? ) 4 ? ? 2.44 4 256 1 m 猜测:① 2 ? (1 ? ) ? 3 , m ? 2,3, 4,5,? m
②存在 a ? 2 ,使得 a ?

1 n 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (1 ? )k ? a ? 1 恒成立。 · ? n k ?1 k

证明一:对 m ? N ,且 m ? 1 , 有 (1 ?

1 m 0 1 1 2 1 2 k 1 k m 1 m ) ? Cm ? Cm ( ) ? ?Cm ( ) ? ? ? Cm ( ) ? ? ? Cm ( ) m m m m m

? 1?1? ?

m ? m ? 1? 1 2 m ? m ? 1??? m ? k ? 1? 1 k m ? m ? 1?? 2 ?1 1 m ( ) ??? ( ) ??? ( ) 2! m k! m m! m

? 2?
? 2?

1? 1? 1? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?
1 1 1 1 ? ??? ??? 2! 3! k! m!

? 2?

1 1 1 1 ? ??? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?

1 ?3 m k 1 k 又因 Cm ( ) ? 0 ? k ? 2,3, 4,? , m ? , m 1 m 故 2 ? (1 ? ) ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 m ? 3?
从而有 2n ?

? (1 ? k )
k ?1

n

1

k

? 3n 成立,即 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 ? n k ?1 k

所以存在 a ? 2 ,使得 a ? 证明二:

1 n 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (1 ? )k ? a ? 1 恒成立 · ? n k ?1 k

由(1)知:当 x ? (0,1] 时, ln(1 ? x) ? x ,

1 , k ? 1, 2,3, 4,?, k 1 1 1 1 k 1 k 则 ln(1 ? ) ? ,所以 k ln(1 ? ) ? 1 , ln(1 ? ) ? 1 , (1 ? ) ? e ? 3 , k k k k k
设x? 当 k ? 2 时,再由二项式定理得:

1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) k ? Ck0 ? Ck ( ) ? Ck2 ( ) 2 ? ? ? Ckk ( ) k ? Ck0 ? Ck ( )?2 k k k k k 1 k 即 2 ? (1 ? ) ? 3 对任意大于 1 的自然数 k 恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 k
从而有 2n ?

? (1 ? k )
k ?1

n

1

k

? 3n 成立,即 a ?

1 n 1 (1 ? )k ? a ? 1 ? n k ?1 k

所以存在 a ? 2 ,使得 a ?

1 n 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (1 ? )k ? a ? 1 恒成立 · ? n k ?1 k

23. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 4 .

? 1 ? ? (1)设数列 ?an ? 的公差 d ? 6 , m 为数列 ?an ? 的第 n 项的值,求证: ? ?x ? ? 的展开式中不含常数 x? ?
项; (2)设数列 ?an ? 的公差 d 为正整数, m 为数列 ?an ? 的第 n 项的值,求公差 d 的值的集合,使得对于一切

m

? 1 ? ? m,? ?x ? ? 的展开式中均不含常数项 x? ?

m

m? r ? 1 ? 3 r m?r ? 1 ? r 2 x ? ? T ? C x ? ? ? C x 23. 解:(1) m ? an ? 6n ? 2 , ? 展开式 ,则 m ? r ? 0 , r ? 1 m m ? ? ? ? 2 x? ? ? x?

m

r

3

? 1 ? 4 3 x? ? 即 6n ? 2 ? r , r ? 4n ? ? N ,所以 ? ? ? 的展开式中不含常数项. 3 2 x? ?
m? r ? 1 ? r m?r ? 1 ? r 2 ? ? (2) m ? an ? 4 ? ?n ? 1?d , ? ?x ? ? 展开式 Tr ?1 ? C m x ? ? ? ? Cm x x? ? ? x? m r 3

m

3 3 2 8 r ? 0 ,即 4 ? ?n ? 1?d ? r , r ? d ?n ? 1? ? 2 2 3 3 8 ① 若 d ? 3k k ? N * , r ? 2k ?n ? 1? ? ? N 3 2 ② 若 d ? 3k ? 1 k ? N , r ? 2k ?n ? 1? ? n ? 2 ,易知 n ? 3,6,9,? 时, r 为自然数 3 4 ③ 若 d ? 3k ? 2 k ? N , r ? 2k ?n ? 1? ? ?n ? 1? ,易知 n ? 2,5,8,? 时, r 为自然数 3
则m ?

?

?

?

?

?

?

* 综上,公差 d 的值的集合为 d d ? 3k , k ? N ??????????10 分

?

?

23.(本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意 n ? N ,恒有 nan?1 ? 2(n ? 1)an
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设区间 [

an an ?1 , ] 中的整数个数为 bn , 求数列 {bn } 的通项公式。 3n 3(n ? 1)
an ?1 2(n ? 1) a 2n ? ,当 n ≥ 2 时, n ? , an n an ?1 n ? 1

23.⑴由 nan ?1 ? 2(n ? 1) an ,得

所以,当 n ≥ 2 时, an ?

an an ?1 a 2n 2(n ? 1) 2?2 ? ? ? ? 2 ? a1 ? ? ?? ? 2 ? n ? 2n , an ?1 an ? 2 a1 n ?1 n ? 2 1

此式对于 n ? 1 也成立,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 2n .???????4 分 ⑵ 由⑴知,

an 2n (3 ? 1) n ( ?1) n 0 n ?1 1 n?2 n ?1 ? ? ? Cn 3 ? Cn 3 ? ? ? (?1) n ?1 Cn ? , 3n 3 3 3

an ?1 2n ?1 (3 ? 1) n ?1 (?1) n ?1 0 n 1 n ?1 n n ? ? ? Cn 3 ? C 3 ? ? ? ( ? 1) C ? ,?????8 分 ?1 n ?1 n ?1 3(n ? 1) 3 3 3
2n ?1 1 2n 1 2n ? 1 ? ) ? ( ? ) ?1? ; 3 3 3 3 3 2n ?1 1 2n 1 2n ? 1 ? ? 1) ? ( ? ) ? 当 n 为偶数时, bn ? ( .???????????10 分 3 3 3 3 3
当 n 为奇数时, bn ? (

2 n ?1 2 n?2 2 n ?3 r n n ?1 23.已知函数 f ( x) ? C0 , n ? N? . ? C1 ? C2 ? ? ? Cn (?1)r x2n?1?r ? ? ? Cn nx nx nx n (?1) x

⑴当 n ≥ 2 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;
? 1 n ⑵是否存在等差数列 {an } ,使得 a1C0 n ? a2 Cn ? ? ? an ?1Cn ? nf (2) 对一切 n ? N 都成立?并说明理由.

n 1 n ?1 n ?2 r n?r n ?1 23.(1) f ( x) ? xn?1[C0 ? C2 ? ??? ? Cr ? ??? ? (?1)n Cn ( x ? 1)n , n x ? Cn x nx n (?1) x n] = x

f ?( x) ? (n ? 1) xn?2 ( x ? 1)n ? xn?1 ? n( x ? 1)n?1 = xn?2 ( x ? 1)n?1[(n ? 1)( x ? 1) ? nx] ,

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ?

n ?1 , x3 ? 1 , 2n ? 1

因为 n ≥ 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 .???????????????????2 分 当 n 为偶数时 f ( x) 的增减性如下表:

x

(??,0)
0

(0,

n ?1 ) 2n ? 1

n ?1 2n ? 1

(

n ?1 ,1) 2n ? 1

(1, ??)

1

f ?( x)

?

0

?

0

?

0

?

f ( x) ?

无 极值





?

?

大值

?

小值

所以当 x ?

(n ? 1) n ?1 ? (?n) n n ?1 时, y极大 ;当 x ? 1 时, y极小 ? 0 .???4 分 (2n ? 1) 2 n ?1 2n ? 1

当 n 为奇数时 f ( x) 的增减性如下表: 所以

x

(??,0)
0

(0,

n ?1 ) 2n ? 1

n ?1 2n ? 1

(

n ?1 ,1) 2n ? 1

1

(1, ??)x ? 0 时,


y极大 ? 0 ;
f ?( x)

?

0

?

0

?

0

?

f ( x) ?

极 大值





?

?

小值

?

极值

x?

(n ? 1) n ?1 ? (?n) n n ?1 时, y极小 ? .????6 分 (2n ? 1) 2 n ?1 2n ? 1

1 2 n n ?1 (2)假设存在等差数列 ?an ? 使 a1C0 成立, n ? a2 Cn ? a3Cn ? ??? ? an ?1Cn ? n ? 2 n?m 由组合数的性质 Cm , n ? Cn 1 2 n n ?1 把等式变为 an?1C0 , n ? an Cn ? an ?1Cn ? ??? ? a1Cn ? n ? 2

两式相加,因为 ?an ? 是等差数列,所以 a1 ? an?1 ? a2 ? an ? a3 ? an?1 ? ? ? an?1 ? a1 ,
1 n n 故 (a1 ? an?1 )(C0 n ? Cn ? ? ? Cn ) ? n ? 2 ,

所以 a1 ? an?1 ? n . ?????????????????????????8 分 再分别令 n ? 1,n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 1 且 a1 ? a3 ? 2 , 进一步可得满足题设的等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 1(n ? N? ) .???10 分

23.(本小题满分 10 分) 已知 an ? (1 ? 2)n (n ? N* ) . ⑴若 an ? a ? b 2(a , b ? Z) ,求证: a 是奇数; ⑵求证:对于任意 n ? N* ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ? 1 ? k .
1 2 2 3 3 n n 23.⑴由二项式定理,得 an ? C0 n ? Cn 2 ? Cn ( 2) ? Cn ( 2) ? ? ? Cn ( 2) ,

2 2 4 4 2 2 4 所以 a ? C0 n ? Cn ( 2) ? Cn ( 2) ? ? ? 1 ? 2Cn ? 2 Cn ? ? ,

2 4 因为 2C2 n ? 2 Cn ? ? 为偶数,所以 a 是奇数.?????????????????4 分

⑵由⑴设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a ,b ? Z ) , 则 (1 ? 2)n ? a ? b 2 , ???????????????????????????5 分 所以 a2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n , 当 n 为偶数时, a 2 ? 2b 2 ? 1 ,存在 k ? a 2 , 使得 an ? a ? b 2 ? a2 ? 2b2 ? k ? k ? 1 , 当 n 为奇数时, a 2 ? 2b 2 ? 1 ,存在 k ? 2b 2 , 使得 an ? a ? b 2 ? a2 ? 2b2 ? k ? 1 ? k , ????????????????9 分 ??????10 分 ????????????????8 分 ????????6 分

综上,对于任意 n ? N ? ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ? 1 ? k .

23.(本小题满分 10 分)
2 对 于 给 定 的 大 于 1 的 正 整 数 n , 设 x ? a0 ? a , ? n, ? 1} ? ? na nn, 其 中 ai ?{0,1, 2, 1 n? a 2 n ?

i ? 0,1, 2,?, n ? 1, n ,且 an ? 0 ,记满足条件的所有 x 的和为 An .
(1)求 A2 ; (2)设 An ?

nn (n ? 1) ? f (n) ,求 f (n) . 2

23. 当 n ? 2 时, x ? a0 ? 2a1 ? 4a2 , a0 ?{0,1} , a1 ?{0,1} , a2 ? 1 , 故满足条件的 x 共有 4 个, 分别为: x ? 0 ? 0 ? 4 , x ? 0 ? 2 ? 4 , x ? 1 ? 0 ? 4 , x ? 1 ? 2 ? 4 , 它们的和是 22 . (2)由题意得, a0 , a1, a2 ,?, an?1 各有 n 种取法; an 有 n ? 1 种取法, 由分步计数原理可得 a0 , a1, a2 ,?, an?1 的不同取法共有 n ? n ??n ? (n ? 1) ? n (n ? 1) ,
n

即满足条件的 x 共有 n (n ? 1) 个,
n

当 a0 分别取 0,1, 2,?, n ? 1时, a1, a2 ,?, an?1 各有 n 种取法, an 有 n ? 1 种取法, 故 An 中所有含 a0 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1)n
n ?1

(n ? 1) ?

n n (n ? 1)2 ; 2 nn (n ? 1)2 ?n; 2

同理, An 中所有含 a1 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1)n

n ?1

(n ? 1) ? n ?

An 中所有含 a2 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1)n n ?1 (n ? 1) ? n 2 ?

n n (n ? 1)2 2 ?n ; 2 nn (n ? 1)2 n?1 ?n ; 2

An 中所有含 an ?1 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1)nn?1 (n ? 1) ? nn?1 ?
当 an 分别取 i ? 1, 2,?, n ? 1 时, a0 , a1 , a2 ,?, an?1 各有 n 种取法,

n n ?1 (n ? 1) n ?n ; 故 An 中所有含 an 项的和为 (1 ? 2 ? ? ? n ? 1)n ? n ? 2
n n

所以 An ?

nn (n ? 1) 2 n n?1 (n ? 1) n (1 ? n ? n 2 ? ? ? nn ?1 ) ? ?n ; 2 2

nn (n ? 1)2 nn ? 1 n n ?1 (n ? 1) n n n (n ? 1) n ?1 n ? ? ? ?n ? (n ? n ? 1) 2 n ?1 2 2
故 f (n) ? n
n ?1

? nn ? 1 .

23 .已知整数 n ? 3 ,集合 M ? ? 1,2,3,?, n? 的所有含有 3 个元素的子集记为 A1 , A2 , A3 ,?, AC 3 ,设
n

A1 , A2 , A3 ,?, AC 3 中所有元素之和为 S n .
n

(1)求 S 3 , S 4 , S 5 ,并求出 S n ;
5 (2)证明: S3 ? S 4 ? S5 ? ? ? S n ? 6Cn ?2 .

23.解:(I)当 n ? 3 时,集合 M 只有 1 个符合条件的子集,

S3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ,

????????1 分

2 当 n ? 4 时,集合 M 每个元素出现了 C3 次 2 S 4 ? C3 (1 ? 2 ? 3 ? 4) ? 30, ????????2 分
2 当 n ? 5 时,集合 M 每个元素出现了 C 4 次

2 S 5 ? C4 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 90, ????????3 分 2 2 所以,当集合 M 有 n 个元素时,每个元素出现了 Cn ?1 ,故 S n ? Cn?1 ?

(II)证明:因为 S n ? C n ?1 ?
2

n(n ? 1) (n ? 1)n(n ? 1)( n ? 2) 4 ? ? 6C n ?1 . 2 4

n ( n ? 1) .?5 分 2

4 4 4 4 则 S 3 ? S 4 ? S 5 ? ? ? S n ? 6(C4 ? C5 ? C6 ? ? ? Cn ?1 ) 5 4 4 4 5 ? 6(C5 ? C5 ? C6 ? ? ? Cn ?1 ) ? 6Cn ? 2 .



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