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最新人教版数学九年级上册21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》精品课件

21.2.4 一元二次方程的 根与系数的关系

1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
能力.

两个根x1、 两根 两根

请 同

方程

x2的值

x1

x2

的和 的积
x1+x2 x1·x2





3x2 -4x-4=0 2 -2/3 4/3 -4/3



察 下

2x2 +7x-4=0 1/2 -4 -7/2 -2



6x2+7x-3=0 -3/2 1/3 -7/6 -1/2

5x2-23x+12=0 4 3/5 23/5 12/5

请同学们猜想:

对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的

两个实数根x1、x2,那么x1+x2, x1·x2与系数a,b, c 的关系.

x1+x2= ? b a

x1.x2= c a

归纳:

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实

数根是x1,x2 那么x1+x2=? b,x1·x2= c

a

a

如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2 那么

x1+x2=-p

x1·x2= q

例题

【例1】已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一 个根及k的值.

【解析】设方程的另一个根是x1,那么

2x1=? 6 ∴x1= ? 3.

5

5

又 ? 3 +2= ? k

5

5

∴ k=-7

答:方程的另一个根是 ? ,3 k的值是-7. 5

例 题 【例2】不解方程,求方程2x2+3x-1=0的

两个根的(1)平方和(2)倒数和.

【解析】设方程的两个根分别是x1 、x2那么

x1+x2

=

? 23,x1.x2

=? 1
2

.

(1)∵(x1+x2)2=x12+2x1.x2 + x22

∴ x12+x22 =(x1+x2)2 - 2x1.x2

=(?

3)2-2(?
2

1
2 )=

13 4

(2)x—11

+

1
—x2

=

—xx1—1.+xx—22

=

?3
———2=3
?1

2

跟踪训练

1.下列方程两根的和与两根的积各是多少?(不解方程)

(1)x2-3x+1=0 (3)2x2+3x=0

(2)3x2-2x=2 (4)3x2=2

(1)(3,1) (2)( ,2 )? 2
33

(3)(? 3,0) (4)(0,
2

)? 2
3

2.利用根与系数的关系,判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?(口答)

(1)x2-6x-7=0(-1,7)
(2)3x2+5x-2=0( 5 ,? 2 )
33 (3)2x2-3x+1=0(3,1)

(√) (×) (×)

(4)x2-4x+1=0(? 2 ? 3,? 2 ? 3 ) (× )

1.(日照·中考)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两 根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是( ) A.-3,2 B. 3,-2 C. 2,-3 D. 2,3 【解析】选A,根据根与系数的关系得: x1+ x2= -p=2+1=3, x1·x2=q=2,即p=-3, q=2.

2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,它的另一个

16
根是 3 ,m的值是 16 .
3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与
系数的关系,求下列各式的值.

(1)(x1+1)(x2+1)

??5 2

(2)—x1 x2

+

—x2 x1

? ? 14 3

4.(珠海·中考)已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根,求 m的值及方程的另一根x2. 【解析】由题意得:(?1)2 ? (?1)?解m ?得5 ?m0 =-4,当m=-4时, -1+x2=-(-4), x2=5 所以方程的另一根x2=5. 答: m=-4, x2=5.

通过本课时的学习,需要我们: 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.



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