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1[1].2


一、知识回顾
几个常用函数的导数:

二、基本初等函数的导数公式
为了方便,大家今后可直接使用下面的导数公式表

1.(C )? ? 0 (C是常数)

2.( x )? ? ?x
?

??1

(?为常数)

4.(cos x )? ? ? sin x

1 7.(log a x )? ? (a ? 0, a ? 1) x ln a

(1) y ? ?9

(2) y ? 5 x 3

(3) y ? log 2 x

(4) y ? 2 x

三、导数的运算法则
法则1: 两个函数的和(或差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(或差),即:

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x).
特别地:

[Cf ( x)]? ? Cf ?( x).(C为常数)

例1. (1)求函数f ( x) ? x ? sin x的导数.
2

解:f ?( x) ? ( x ? sin x)?
2

? ( x )? ? (sin x)? ? 2 x ? cos x
2

小结:对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系 式为可以直接应用公式的基本函数的模式.

3 2 (2)求函数g ( x) ? x ? x ? 6 x ? 2的导数. 2 3 2 3 解:g ?( x) ? ( x ? x ? 6 x)? 2 3 2 3 2 ? ? ? ? ( x ) ? ( x ) ? (6 x ) ? 3 x ? 3 x ? 6 2
3

法则 2: 两个函数的积的导数,等于第一个

函数的导数乘以第二个函数 数

加上第一个函

乘以第二个函数的导数
[ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x).

例2: (1)求函数h( x) ? x sin x的导数. (2)求函数f ( x) ? 2 x ln x的导数.
解 : (1)h?( x) ? ( x sin x)? ? x? sin x ? x(sin x)? ? sin x ? x cos x

(2) f ?( x) ? (2 x ln x)? ? (2 x)? ln x ? (2 x)(ln x)? ? 2 ln x ? 2

?3?.用两种方法求y ?(2x
的导数
2

2

? 3)(3x? 2)
2

解: y? ? (2x ? 3)?(3x ? 2) ? (2x ? 3)(3x ? 2)? 法一:

? 4 x ( 3 x ? 2) ? ( 2 x ? 3) ? 3
2

? 18 x ? 8 x ? 9 3 2 法二: y? ? (6 x ? 4 x ? 9 x ? 6)?
2

? 18 x ? 8 x ? 9
2

法则3 :两个函数的商的导数,等于分

子的导数与分母的积,减去分母的导数 与分子的积,再除以分母的平方,即:

f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) [ ]? ? 2 g ( x) g ( x)

其中g ( x) ? 0

( x ) ? sin x ? x ? (sin x) 解:y ? 2 sin x 2 2 x sin x ? x cos x ? 2 sin x
2 ' 2 '

'

1? ( x ? 3) ? ( x ? 3) ? 2 x 解:y ? 2 2 ( x ? 3)
2 '

? x ? 6x ? 3 ? 2 2 ( x ? 3)
2

例5. 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%, 物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:

例6. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随 着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加。 已知将1吨水净化到纯净度为 x%时所需费用 (单位:元)为: 5284 c( x ) ? (80 ? x ? 100) 100 ? x 求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时 变化率: (1)90% (2)98%

四、小结
求导数的方法:
(一)根据导数的概念求导数: (二)根据导数公式及导数的运算法则求导数:

巩固练习

三、导数的运算法则

例6:求下列函数的导数:

1 2 答案: (1) y? ? ? 1 ? 4 ; (1) y ? ? 2 ; x2 x3 x x 2 1 ? x x ( 2) y ? ? ; 2 2 (2) y ? ; (1 ? x ) 2 1? x 1 ? ( 3) y ? ; (3) y ? tan x; 2
cos x


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